CAPITOLO 1 Campi elettrici e magnetici nel vuoto e nella materia

(1)

CAPITOLO 1

Campi elettrici e magnetici nel vuoto e nella materia

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli

(2)

Equazioni di Maxwell ^Riepilogo

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli 2

∫ ^E ^! ^{⋅ s} ^d ^! ⁼ 0

0 ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

i s

d

B µ ₀

∫ ^! ^{⋅ !} ⁼

Condizioni stazionarie

0 ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

Condizioni non stazionarie

Σ

⋅

−

=

⋅ ∫

∫ Σ

!

! !

! B d

s t d

E δ

δ

)

( ₀

0 dt

i d s

d

B ⋅ = + Φ ^E

∫ ^! ^! ^µ ^ε

(3)

Flusso del campo di una carica puntiforme

r o

r u

E q ˆ

4 1 πε 2

! =

Σ

= Σ

⋅

=

Φ E d Ed

d _E ! !

2 2

0 2

0 1 4 4

1 4 r

r d q

r Ed q

E π

πε

πε ^Σ ⁼

= Σ

=

Φ ∫ ∫

I dielettrici La legge di Gauss

ε 0

q

E = Φ

Il flusso totale non dipende dalla superficie

Se la carica è esterna, il flusso totale è nullo

Σ ! d

Σ

1

Σ

2

Σ

3

Σ

(4)

Definizione di angolo solido sotto cui è vista una superficie d Σ:

2 2

cos

r d r

d Ω = d Σ θ = Σ ^⊥

Ω Σ =

= Φ

Σ

⋅

= Σ

⋅

= Φ

r qd d qd

d n r u

d q E d

E

r E

0 2

0 2 0

4 1 cos

4 1

ˆ 4 ˆ

1 πε ϑ

πε

!

Ω

= Φ

=

Φ ^E ∫ ^d ^E ^q ∫ ^d

4 0

)

( πε

I dielettrici La legge di Gauss

Σ d

θ Σ cos d

E ! nˆ

r

q

(5)

Se la carica è interna ad Σ

0 0

0 4 4 ) 4

( π ε

πε πε

q d q

E = q Ω = =

Φ ∫

Σ

Ω

= Σ

⋅

=

Φ q d

d E d

0 1

1 1 4 πε

!

Ω

−

= Σ

⋅

=

Φ q d

d E d

0 2

2

4 πε

!

! Φ ( ) = ∫ ⋅ Σ = 0

Σ

!

! d E E

steradianti Se la carica è esterna ad Σ, ogni cono elementare intercetta due superfici dΣ ₁ , dΣ ₂

I dielettrici Legge di Gauss

Σ ! 1

d Σ ! 2

d

Σ

1

Σ

2

Σ

3

Σ

(6)

Teorema di GAUSS: Il flusso del campo E attraverso una superficie qualsiasi chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute entro la superficie, comunque siano distribuite, divisa per e ₀

ε 0

d q

E ⋅ Σ =

∫ ^! ^! q è interna alla superficie chiusa

considerata

Se il campo è prodotto da più cariche puntiformi, per il principio di sovrapposizione :

∑

∑ ^⋅ ^Σ ⁼ ^⋅ ^Σ ⁼ ^Φ

= Φ

i

i i

i

E E d E d d

d ( ! ) ! ( ! ! )

I dielettrici Legge di Gauss

∑

∑∫ ∑

∫∑ ^Φ ⁼ ^Φ ⁼ ^Φ ⁼

= Φ

i i i

i i S

i S i

i

E d d q

0

1 ε ^Σ

(7)

I dielettrici Il potenziale elettrostatico

r πε Q q

V W 1

4 Potenziale

0 =

=

0 V >

0 V <

Lavoro per unità di carica di prova

∫ ∞

∞

→ = ⋅

=

A r

r E d s

q

V W ! !

0 se solo valida e

Espression

∞

= U

∫ ^⋅

−

=

−

= ^B

A A

B V E d s

V

ΔV ! !

generale

In ⁼ ⁻ ⁼ ⁻ ^∫ ^⋅

B

A A

B

U F d s

U

ΔU ! !

(8)

I dielettrici Il potenziale elettrostatico

= 0

⋅

= ∫

→ F d s

W _A _A ! !

Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

= 0

⋅

=

Δ ^V Â ^→ Â ∫ Ê ^! ^d ^s ^! Il campo elettrostatico è conservativo

Circuitazione

(9)

Materiali magnetici La legge di Gauss per il campo magnetico

9

∫ Σ

Σ

⋅

=

Φ ! !

d

B B

∫ ^⋅ ^Σ ⁼

= ! ! 0 d

B B

φ

Le linee del campo B sono sempre chiuse

(10)

Materiali magnetici La legge di Ampere

π θ µ π

µ _ds ⁱ _d r

s i d

B 2 2

0 0 =

=

! ⋅ !

π θ θ µ

π µ

2 2

0 0 i

i d s

d B

D

C D

C

=

⋅ ∫

∫ ^! ^!

Filo rettilineo indefinito

Il risultato dipende solo

dall’angolo

(11)

Materiali magnetici La legge di Ampere

Per una linea chiusa che contiene la corrente

i i d

s d

B ⁰ ₀

2 θ µ

π

µ ₌

=

⋅

=

Γ ∫ ^! ^! ∫

Per una linea chiusa che non contiene la corrente

= 0

⋅

=

Γ ∫ ^B ^! ^d ^s ^!

(12)

Materiali magnetici La legge di Ampere

Per una linea chiusa che contiene più correnti

) ( ₁ ₂

0 i i

s d

B ⋅ = −

=

Γ ∫ ^! ^! ^µ

e concatenat

i s

d

B µ ₀

∫ ^⋅ ⁼

=

Γ ! !

(13)

Materiali magnetici La legge di Ampere

∫

∫ ^s ^B ^! ^⋅ ^d ^s ^! ⁼ ^µ ⁰ ⁱ ⁼ ^µ ⁰ ^Σ ^J ^! ^⋅ ^d ^Σ ^!

Σ è una qualunque superficie

che si appoggia sulla linea s

Utilizzando il vettore “densità di corrente”

(14)

Materiali magnetici La legge di Ampere

i s

d

B = B ⋅ = µ 0

Γ ∫ ^! ^!

Il campo magnetico non è conservativo

= 0

⋅

=

Γ ^E ∫ ^E ^! ^d ^s ^!

Il campo elettrostatico è conservativo

Linee aperte Linee chiuse

(15)

Equazioni di Maxwell Riepilogo

∫ ^E ^! ^{⋅ s} ^d ^! ⁼ 0

0 ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

i s

d

B µ ₀

∫ ^! ^{⋅ !} ⁼

Condizioni stazionarie

E ! ⋅ d ! Σ

"∫ Σ ⁼ ^q _ε ^int 0

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

Condizioni non stazionarie

)

( ₀

0 dt

i d s

d

B ⋅ = + Φ ^E

∫ ^! ^! ^µ ^ε

E ! _i ⋅d!s

"∫ ^{= −} ^d _dt ^Φ ^B

(16)

Campi variabili nel tempo Legge di Faraday Lentz

ε _i = − d Φ _B dt

Forza elettromotrice indotta

∫ Σ

Σ

⋅

=

Φ ! !

d B B)

(

E ! _i ⋅d!s =

"∫ ^ε ⁱ ⁼ ^d _dt ^Φ ^B

Campo elettrico indotto non conservativo

i = ε _i

R = − 1 R

d Φ _B dt

E ! _i ⋅d!s

"∫ ^{= −} _dt ^d ^B ^! ^⋅

∫ Σ ^d ^{Σ = − (} ^! ^d _dt ^B ^! ⁾ ^⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

(17)

Campi variabili nel tempo Legge di Faraday Lentz

ε _i = − d Φ _B dt

La legge di Lentz

L’effetto della f.e.m. indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che l’ha generata.

d Φ

_B

dt > 0

< 0

ε i ε ⁱ ^> ⁰

[ ] = _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤ sec Weber Volt

d Φ

_B

dt < 0

(18)

Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell

Ricordiamo la Legge di Ampere

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d J

∫

∫ ^s ^B ^! ^⋅ ^d ^s ^! ⁼ ^µ ⁰ ⁱ ⁼ ^µ ⁰ ^Σ ^J ^! ^⋅ ^d ^Σ ^!

Σ è una qualunque superficie che si appoggia sulla linea s

Su una superficie chiusa

(19)

Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell

Condizioni stazionarie

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d J

Su una superficie chiusa

i i

Condizioni NON stazionarie

i i’

dq dt

Su una superficie chiusa

dt d dq

J ⋅ Σ = −

∫ Σ

!

Equazione di continuità

(20)

Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell

Consideriamo il seguente circuito in condizioni NON stazionarie

i d

J ⋅ Σ =

∫ ^Σ

1

0 !

µ ! 0

0 ∫ ^Σ ^J 2 ^! ⋅ ^d Σ ^! =

µ

J ! ⋅d ! Σ

"∫ Σ ^{≠ 0}

Quindi sulla superficie chiusa Σ =Σ ₁ +Σ ₂

i≠0

i=0

(21)

Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell

dt d dq

J ⋅ Σ = −

∫ Σ

!

ε 0

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

Su una superficie chiusa

∫

∫ Σ Σ

Σ

⋅

−

= Σ

⋅

= ! ! ! !

d J

dt d E d dt

dq

ε 0

0 ⋅ Σ = 0

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∫ +

Σ

! !

! d

dt E J ε d

Equazione di continuità Legge di Gauss

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+

= dt

E J d

J _Tot

! !

!

ε 0

(22)

dt E J _s d

! !

ε 0

= Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+

= dt

E J d

J _Tot

! !

!

ε 0

Densità di corrente di spostamento

dt d d

dt d dE

J

i _s = ∫ _s ⋅ Σ = ∫ ⋅ Σ = Φ ^E

Σ Σ

0 0 ε

ε ^!

!

Densità di corrente stazionaria

B ! ⋅ d!s

"∫ s ⁼ ^µ ⁰ ⁽ⁱ ^{+ i} ^s ⁾ ⁼ ^µ ⁰ ⁽ⁱ ⁺ ^ε ⁰ ^d _dt ^Φ ^E ⁾

Nuova formulazione della legge di Ampere Corrente di spostamento

B ! ⋅ d!s

"∫ s ⁼ ^µ ⁰ ∫ ^Σ ^J ^! ^Tot ^⋅d ^Σ ^! ⁼ ^µ ⁰ ∫ ^Σ ^⎛ _⎝⎜ ^J ^! ⁺ ^ε ⁰ ^d _dt ^E ^! ^⎞ _⎠⎟ ^{⋅ d} ^Σ ^!

(23)

Equazioni di Maxwell Riepilogo

E ! ⋅ d ! Σ

"∫ Σ ⁼ ^q _ε ^int 0

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

Condizioni non stazionarie

)

( ₀

0 dt

i d s

d

B ⋅ = + Φ ^E

∫ ^! ^! ^µ ^ε

E ! _i ⋅d!s

"∫ ^{= −} ^d _dt ^Φ ^B

E ! ⋅ d ! Σ

"∫ Σ ⁼ ^q _ε ^int 0

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

B ! ⋅ d!s

"∫ s ⁼ ^µ ⁰ ^J ^! ⁺ ^ε ⁰ ^d

E ! dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ d !

Σ Σ

∫

E ! _i ⋅d!s

"∫ ^{= − (} ^d

B ! dt ) ⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

(24)

Operatore nabla Introduzione

L’operatore (nabla), utile nell’analisi dei campi scalari e vettoriali, è definito come:

∇

z y

x u

u z u y

x ˆ ˆ ˆ

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ !

Analizziamo di seguito le operazioni che si possono eseguire mediante l’uso dell’operatore ∇

(25)

grad f ci dice come varia la funzione f nell’intorno di un punto. La sua componente lungo x è la derivata parziale di f rispetto ad x e fornisce una misura della rapidità con cui varia f quando ci si muove lungo l’asse x.

Funzione scalare della posizione f (x, y, z) con le derivate parziali

Possiamo costruire in ogni punto dello spazio un vettore le cui componenti x, y, z siano uguali alle rispettive derivate parziali. Questo vettore viene chiamato

“gradiente” di f

Operatore nabla Gradiente

z y

x u

z u f

y u f

x

f f ˆ ˆ ˆ

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ !

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe

essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

(26)

Operatore nabla Gradiente

Per esempio per una funzione di due sole variabili, x e y, vi sarà una direzione lungo la quale un breve passo ci porterà più in alto che un passo della stessa lunghezza in qualsiasi altra direzione. Il modulo della funzione gradiente è la pendenza misurata lungo quella direzione .

(27)

Operatore nabla Gradiente

Infatti

z dz dy f

y dx f

x df f

∂ + ∂

∂

= ∂ df ! f d s !

⋅

∇

= ( )

∇ ! f s d!

s d f

df ! !

⋅

∇

= ( ) _df = ∇ ! _f ^cos α _ds

La variazione della funzione è massima nella direzione di ∇ ! f

s d!

∇ ! f

df f +

f

(28)

Operatore nabla Gradiente In coordinate polari

) ( θ θ ^rd r

dr f r

df f

∂ + ∂

∂

= ∂

s d f

df ! !

⋅

∇

= ( )

θ ^u θ

rd u

dr s

d ! = ( ) ˆ _r + ( ) ˆ

θ ^u θ

u r

r ^r 1 ˆ

ˆ ∂

+ ∂

∂

= ∂

∇ !

θ ^u θ

f u r

r

f f _r 1 ˆ

ˆ ∂

+ ∂

∂

= ∂

∇ !

Se definiamo

E quindi

Gradiente in coordinate polari

(29)

Operatore nabla Divergenza

L’operatore “nabla” può anche applicato ad una funzione vettoriale

z

F y

F x

F F ^x ^y ^z

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ ! !

z z y

y x

x u F u F u

F

F ! = ˆ + ˆ + ˆ

z F y

F x

F F

div ^x ^y ^z

∂ + ∂

∂

= ∂

!

Il risultato è uno scalare e si chiama” divergenza”

Teorema della divergenza

F !

∫

∫ ^Σ ^F ^! ^⋅ ^d ^Σ ^! ⁼ ^τ ⁽ ^∇ ^! ^⋅ ^F ^! ⁾ ^d ^τ

F l u s s o d e l v e t t o r e F attraverso una superficie chiusa

Integrale della divergenza

di F sul volume racchiuso

dalla superficie

(30)

Operatore nabla Divergenza

∫

∫ ^Σ ^F ^! ^⋅ ^d ^Σ ^! ⁼ ^τ ⁽ ^∇ ^! ^⋅ ^F ^! ⁾ ^d ^τ

Σ

⋅

=

⋅

∇

⋅

∇

= Σ

⋅

!

d d F

F

d F d

F

τ

τ ) 1

(

) (

Per un volume infinitesimo

Σ

⋅

=

⋅

∇ ! ! _→ ! !

d F

F ^τ τ

lim 1 )

( ₀

La divergenza di un vettore F può essere interpretata come il flusso dello stesso vettore per unità di volume attraverso una superficie chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore

0 )

( ∇ F ! ⋅ ! = 0

) ( ∇ F ! ⋅ ! ≠

Campo solenoidale

F !

(31)

Operatore nabla Coordinate polari

θ ^u θ

f u r

r

f f _r 1 ˆ

ˆ ∂

+ ∂

∂

= ∂

∇ !

Gradiente

∇⋅ ! !

F = 1 r

∂

∂r (rF _r ) + 1 r

∂

∂ θ ^(F ^θ ⁾ Divergenza

(32)

Operatore nabla Coordinate speriche

θ ^u θ

f u r

r

f f _r 1 ˆ

ˆ ∂

+ ∂

∂

= ∂

∇ !

Gradiente

∇⋅ ! !

F = 1 r ²

∂

∂r (r ² F _r ) + 1 rsen θ

∂

∂ θ ^(F ^θ ^sen θ ⁾ Divergenza

(33)

Operatore nabla Rotore

Definiamo

F !

! ∧

∇

z z y

y x

x u F u F u

F

F ! = ˆ + ˆ + ˆ

z y x

y z x

x

z y u

y F x

u F x F z

u F z F y

F F

rot ˆ ˆ ˆ

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

!

Il risultato è un vettore e si chiama ”rotore”

z y

x

z y

x

F F

F

z y

x

u u

u

∂

ˆ ˆ

ˆ

(34)

Operatore nabla Rotore Teorema di Stokes

∫

∫ ^s ^F ^! ^⋅ ^d ^s ^! ⁼ ^Σ ⁽ ^∇ ^! ^∧ ^F ^! ⁾ ^⋅ ^d ^Σ ^!

Circuitazione di F Flusso del (rot F)

Per una superficie infinitesima

s d d F

F

d F s

d F

! !

!

! !

Σ ⋅

=

∧

∇

Σ

⋅

∧

∇

=

⋅

) 1 (

) (

s d F

F ! ! !

! ⋅

= Σ

∧

∇ _Σ _→ 1

lim )

( ₀

Il rotore di un vettore F può essere interpretato come la circuitazione dello stesso vettore per unità di superficie su una linea chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore

F ! )

( ! F !

∧

∇

(35)

Operatore nabla Rotore

Campo rotazionale

0 )

( ∇ F ! ∧ ! ≠

Campo irrotazionale

0 )

( ∇ F ! ∧ ! =

Circuitazione

≠ 0

= 0

(36)

Operatore nabla Alcune proprietà

Quindi se f indica una funzione scalare ed F un campo vettoriale, HA senso calcolare

rot (grad f) div (grad f) div (rot F) grad (div F)

Vettore Scalare scalare vettore

∇ ∧ ( ! !

∇f ) !

∇⋅( !

∇f ) _∇⋅( ^! _{∇ ∧} ^! F) ^" !

∇( !

∇⋅ ! F)

NON ha senso calcolare

rot (div F) grad (rot F)

∇ ∧ ( ! !

∇⋅ !

F) !

∇( !

∇ ∧ ! F)

Se f ed F sono derivabili due volte

∇ ∧ ( ! !

∇f ) = 0 _∇⋅( ^! _{∇ ∧} ^! F) ^! = 0

(37)

Operatore nabla

Combinazione di operatori vettoriali

Divergenza del gradiente ( Laplaciano)

Rotore del gradiente

Divergenza del rotore

Rotore del rotore

∇⋅( ! !

∇f ) = ∇

²

∇ ∧ ( ! !

∇f ) = 0

∇⋅( ! !

∇ ∧ ! F) = 0

∇ ∧ ( ! !

∇ ∧ !

F) = ∇

²

! F + !

∇( !

∇⋅ ! F)

Alcune proprietà

(38)

Operatore nabla

Alcune proprietà

(39)

Operatore nabla

Alcune proprietà

(40)

Formalismo differenziale per E e B Campo Elettrostatico

Consideriamo il valore di V in due punti vicini, (x, y , z) e (x+dx, y+dy, z+dz): la variazione di V, passando dal primo al secondo, è:

∫ ^⋅

−

=

−

= ^B

A A

B V E d s

V

ΔV ! !

generale

In dV E ! d s !

⋅

−

=

quindi e

z E V

y E V

x

E _x V _y _z

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

= , ,

V grad E

V E

−

=

∇

−

! =

!

z dz dy V

y dx V

x dV V

∂ + ∂

∂

= ∂

(41)

Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico

Inoltre

= 0

∫ ^{E !} ^! ⋅ ^d ^s Il campo elettrostatico è conservativo

Teorema di Stokes

∫

∫ ^s ^E ^! ^⋅ ^d ^s ^! ⁼ ^Σ ⁽ ^∇ ^! ^∧ ^E ^! ⁾ ^⋅ ^d ^Σ ^!

Allora deve essere

0 0 )

(

=

∧

∇ E rot

! E

!

Formalismo differenziale per E e B

(42)

Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico

∫

∫ ^⋅ ^Σ ⁼ ⁼

= Φ

Σ τ

τ ε ρ

ε ^d

d q E E

0 0

) 1

( ! !

Legge di Gauss

Teorema della divergenza ^Φ ⁽ Ê ⁾ ⁼ ∫ ^Σ Ê ^! ^⋅ ^d ^Σ ^! ⁼ ∫ ^τ ⁽ ^∇ ^! ^⋅ Ê ^! ⁾ ^d ^τ

Dunque

∫ ^τ ^∇ ^⋅ ⁼ ∫

τ

τ ε ρ

τ ^d

d E

0 ) 1 ( ! !

0 0

) (

ε ρ

=

⋅

∇ E div

E

!

E !

Il flusso dipende localmente dalla densità di carica all’interno del volumetto

Formalismo differenziale per E e B

(43)

Equazioni di Maxwell

Si calcoli la divergenza nel punto generico (x, y, z) per il campo prodotto da una carica puntiforme q posizionata nel punto (0,0,0)

E

_x

( x, y, z ) ⁼ ^q

4 πε

₀

x

( ) x

²

^{+ y} ( )

²

^{+ z} ( )

²

⎡⎣ ⎤⎦

^{3 2}

E

_y

( x, y, z ) ⁼ ^q

4 πε

₀

y

( ) x

²

^{+ y} ( )

²

^{+ z} ( )

²

⎡⎣ ⎤⎦

^{3 2}

E

_z

( x, y, z ) ⁼ ^q

4 πε

₀

z

( ) x

²

^{+ y} ( )

²

^{+ z} ( )

²

⎡⎣ ⎤⎦

^{3 2}

( )

5

(

² ²

)

0 2

2 2 5 0

4 3

4 2 r x

r x q

z r y

q x

E

_x

−

=

− +

∂ =

∂

πε πε

( )

5

(

² ²

)

0 2

2 2 5 0

4 3

4 2 r y

r y q

z r x

q y

E

_y

−

=

− +

∂ =

∂

πε πε

( )

5

(

² ²

)

0 2

2 2 5 0

4 3

4 2 r z

r z q

y r x

q z

E

_z

−

=

− +

∂ =

∂

πε

πε ( ∇ E ! ⋅ ! ) = 0 ^z

E y

E x

E E ^x ^y ^z

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ ! !

Formalismo differenziale per E e B Campo Elettrostatico

(44)

Equazioni di Maxwell

Si calcoli la divergenza nel punto generico (x, y, z) per il campo prodotto da una carica puntiforme q posizionata nel punto (0,0,0)

E _r (r, θ ⁾ = q 4 πε ₀

1 r ² E _θ ( ) r, θ ^{= 0}

0 )

( ∇ E ! ⋅ ! =

Formalismo differenziale per E e B Campo Elettrostatico

r = x ² + y ² θ =artg ( y x )

∇⋅ ! !

E = 1 r ²

∂

∂r (r ² E _r ) + 1 rsen θ

∂

∂ θ ^(E ^θ ^sen θ ⁾

(45)

Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico

0 )

( ε

= ρ

⋅

∇ E ! !

E ! E !

0 )

( ∇ E ! ⋅ ! =

Inoltre ricordando

V

E ! = − ∇ !

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine

potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.

Formalismo differenziale per E e B

(46)

Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico

2 2 2

2 2

2 2 2 Operatore laplaciano

z y

x ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

0 2

2 2

ε

− ρ

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ z

V y

V x

V V Equazione di Poisson in

presenza di sorgenti

2 0

2 2

2 2 =

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ z

V y

V x

V V Equazione di Laplace nel

vuoto

Risolvendo l’equazione di Laplace si determina la funzione V(x,y,z)

Applicando

si determina il campo E(x,y,z)

V

E ! = − ∇ !

Formalismo differenziale per E e B

(47)

Equazioni di Maxwell Campo Magnetostatico

0 0 )

(

=

⋅

∇ B div

B !

!

Non esistono cariche magnetiche !

Campo solenoidale

Legge di Ampere

∫

∫ ^s ^B ^! ^⋅ ^d ^s ^! ⁼ ^µ ⁰ ⁱ ⁼ ^µ ⁰ ^Σ ^J ^! ^⋅ ^d ^Σ ^!

∫

∫ ^Σ

Σ

⋅

= Σ

⋅

∧

∇ ! ! ! ! !

d J d

B ) ₀

( µ

J B

rot

J

B !

"

" !

"

0 ) 0

(

µ µ

=

∧

∇

Teorema di Stokes

Formalismo differenziale per E e B

(48)

Equazioni di Maxwell Riepilogo

∫ ^E ^! ^{⋅ s} ^d ^! ⁼ 0

0 ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

i s

d

B µ ₀

∫ ^! ^{⋅ !} ⁼

Condizioni stazionarie

0 0

) (

ρ ε ρ ε

=

⋅

∇ E div

E

!

0 0 )

(

=

∧

∇ E rot

! E

! !

0 0 )

(

=

⋅

∇ B div

B !

!

J B

rot

J

B !

"

" !

"

0

)

0

(

µ µ

=

∧

∇

V grad E

V E

−

=

∇

−

! =

! !

0 2

ε

− ρ

=

∇ V

(49)

Equazioni di Maxwell Campi variabili

E ! _i ⋅d!s

"∫ ^{= − ∂Φ} _∂t ^(B) ^{= − ∂} _∂t ^B ^! ^⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

Faraday Lentz

( !

∇ ∧ ! E) ⋅

∫ Σ ^d ^{Σ = − ∂} ^! _∂t ^B ^! ^⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

Teorema di Stokes

( !

∇ ∧ ! E) ⋅

∫ Σ ^d ^{Σ = − ∂} ^! _∂t ^B ^! ^⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

( !

∇ ∧ !

E) = − ∂ B !

∂t rot "

E = − ∂ B !

∂t

Formalismo differenziale per E e B

(50)

Equazioni di Maxwell Campi variabili

Ampere Maxwell

( !

∇ ∧ ! B) ⋅

∫ Σ ^d ^{Σ =} ^! ^µ ⁰ ∫ Σ ^⎛ _⎝⎜ ^J ^! ⁺ ^ε ⁰ ^∂ _∂t ^E ^! ^⎞ _⎠⎟ ^⋅d ^Σ ^! Teorema di Stokes

B ! ⋅ d!s

"∫ s ⁼ ^µ ⁰ ^J ^! ⁺ ^ε ⁰ ^∂

E !

∂t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ d !

Σ Σ

∫

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

∧

∇

t J E

B rot

t J E

B

! !

!

! !

!

0 0

0 ) 0

(

ε µ

Formalismo differenziale per E e B

(51)

Equazioni di Maxwell Campi variabili

Condizioni non stazionarie

0 0

) (

ρ ε ρ ε

=

⋅

∇ E div

E

!

! !

0 0 ) (

=

⋅

∇ B div

B !

!

! 0

ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

∧

∇

t J E

B rot

t J E

B

! !

!

! !

!

0 0

0

)

0

(

ε µ

t E B

rot

t E B

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∧

∇

" !

! !

! )

! (

E _i ⋅d!s

"∫ ^{= − (∂}

B !

∂t ) ⋅

∫ Σ ^d ^Σ ^!

B ! ⋅ d!s

"∫ s ⁼ ^µ ⁰ ^J ^! ⁺ ^ε ⁰ ^∂

E !

∂t

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ d !

Σ Σ

∫

(52)

Equazioni di Maxwell Forma differenziale

In presenza di sorgenti

0 0

) (

ρ ε ρ ε

=

⋅

∇ E div

E

!

! !

0 0 ) (

=

⋅

∇ B div

B !

!

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

∧

∇

t J E

B rot

t J E

B

! !

!

! !

!

0 0

0

)

0

(

ε µ

t E B

rot

t E B

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∧

∇

" !

! !

! )

(

Nel vuoto

0 0 ) (

=

⋅

∇ E div

E !

!

0 0 ) (

=

⋅

∇ B div

B !

!

t B E

rot

t B E

∂

= ∂

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 0

0

)

0

(

ε µ

t E B

rot

t E B

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∧

∇

" !

! !

! )

(

(53)

Equazioni di Maxwell Campi variabili

0 0 )

(

=

⋅

∇

E div

E !

! !

0 0 )

(

=

⋅

∇ B div

B !

! !

t B E

rot

t B E

∂

= ∂

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 0

0 ) 0

(

ε µ

ε µ t

E B rot

t E B

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∧

∇

" !

! !

! )

(

2 0

0 1 = c ε

µ

(54)

Equazioni di Maxwell Equazione di continuità

Conservazione della carica

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

=

∧

∇ t

J E B

! !

!

0 ) 0

( µ ε

Applichiamo ad ambo i membri l’operatore divergenza

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

∂ + ∂

⋅

∇

=

∧

∇

⋅

∇

= t

J E B

! !

!

0 ) 0

(

0 µ ε

E t J t

∂

− ∂

=

⋅

∂ ∇

− ∂

=

⋅

∇ ^! ^! ε ₀ ^! ^! ρ

J t

∂

− ∂

=

⋅

∇ ^! ^! ρ ^!

J ⋅d ! Σ

"∫ Σ ^{= − ∂} _∂t ^q

(55)

Dielettrici Introduzione

0 0 0

ε

= σ h E

V

0 0

0 ε

= σ Δ

0 0

0 ε

= σ

E ⁰

0 0 ( )

Δ V = h − s < Δ V ε

σ

Se inseriamo nel condensatore una lastra di materiale conduttore

Indipendemente dalla posizione della lastra

Ricordiamo che …

(56)

Dielettrici Introduzione

Se inseriamo nel condensatore una lastra di materiale dielettrico, ΔV diminuisce

Dielettrico: materiale non conduttore (gomma, vetro, polistirolo..)

Δ V < Δ V 0

Consideriamo il caso il cui tutto il

condensatore sia riempito con dielettrico Δ V _κ < Δ V ⁰ ⁼ _Δ ^Δ ⁰ ^> ¹

CAPITOLO 1 Campi elettrici e magnetici nel vuoto e nella materia

CAPITOLO 1

Campi elettrici e magnetici nel vuoto e nella materia

Equazioni di Maxwell Riepilogo

∫ E ! ⋅ s d ! = 0

0

ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

i s

d

B µ 0

∫ ! ⋅ ! =

Condizioni stazionarie

0

ε int

d q

E ⋅ Σ =

∫ Σ

!

!

= 0 Σ

∫ ⋅

Σ

!

! d B

Condizioni non stazionarie

Σ

⋅

−

=

⋅ ∫

∫ Σ

!

! !

! B d

s t d

E δ

δ

)

( 0

0 dt

i d s

d

B ⋅ = + Φ E

∫ ! ! µ ε

Flusso del campo di una carica puntiforme

r o

r u

E q ˆ

4 1 πε 2

! =

Σ

= Σ

⋅

=

Φ E d Ed

d E ! !

2 2

0 2

0

1 4 4

1

4 r

r d q

r Ed q

E π

πε

πε Σ =

= Σ

=

Φ ∫ ∫

Equazioni di Maxwell ^Riepilogo

∫ ^E ^! ^{⋅ s} ^d ^! ⁼ 0

B µ ₀

∫ ^! ^{⋅ !} ⁼

( ₀

B ⋅ = + Φ ^E

∫ ^! ^! ^µ ^ε

d _E ! !

πε ^Σ ⁼

d Ω = d Σ θ = Σ ^⊥

Φ ^E ∫ ^d ^E ^q ∫ ^d