Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea in Ingegneria Civile & Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta del 20 Settembre 2016
Nome e Cognome: ………..…………. No. di matricola: …….…....……CFU………
Problema 1
Una carica è distribuita su una circonferenza di raggio R con densità lineare di carica
λ= A0cos2θ.
a) Calcolare modulo direzione e verso della forza esercitata dalla circonferenza carica su un nucleo di elio (costituito da 2 protoni e 2 neutroni) posto a distanza d0. (3 punti)
Supponendo poi che, dalla posizione iniziale, il nucleo di elio venga lanciato verso il centro della circonferenza con una velocità v0, determinare:
b) il minimo valore di v0 affinché il nucleo riesca a passare dall’altra parte della distribuzione; (3
punti)
c) a quale distanza minima dalla circonferenza il nucleo si fermerà e la velocità finale che raggiungerà nell’ipotesi che esso sia partito con una velocità iniziale pari a 1/2v0. (4 punti).
Dati: d0 = 1.0x10-8m, R = 5.0x10-9m, mp=mn=6.7x10-27kg, qHe=3.2x10-19C, A0= 6.4 x10-19C/m Problema 2
Il condensatore del circuito in figura è a facce piane parallele, di area S e distanza d, è riempito da due
dielettrici diversi che occupano rispettivamente 1/3 e 2/3 dello spazio tra le armature (come in figura) ed è
inizialmente scarico. Calcolare:
a) La capacità del condensatore (3 punti)
b) La corrente che fluisce in R2 nell’istante in cui viene
chiuso l’interruttore (2 punti) c) La corrente in R2 a regime (2 punti)
d) La corrente in R3 al tempo t1 dalla chiusura dell’interruttore (3 punti).
Dati: R1=5kΩ, R2=20kΩ, R3=30kΩ, ε1 = 2, ε2 = 10, S= 25cm2, d=1cm, V=34 V, t1=100ns. Problema 3
Due fili rettilinei indefiniti, 1 e 2, paralleli tra loro, sono posti verticalmente in posizione fissa a distanza d l’uno dall’altro. In essi scorrono correnti concordi, di intensità I1 e I2 , rispettivamente. Nel piano che
contiene i due fili e tra essi è posto un terzo filo, 3, parallelo ad entrambi e di lunghezza L, nel quale
fluisce una corrente I3. Quest’ultimo filo è libero di spostarsi lateralmente nella porzione di piano
compresa tra i fili 1 e 2, mantenendosi parallelo ad essi. Si trascuri l’azione del campo magnetico prodotto dal terzo filo.
Determinare:
a) in quale posizione il filo 3 risulterà in equilibrio (determinare la distanza dal filo 1) (3 punti) b) quale deve essere il verso della corrente affinché tale equilibrio sia stabile (3 punti);
c) il lavoro che si dovrebbe compiere per avvicinare il filo 3 di Δ dal filo 2, a partire dalla posizione di equilibrio calcolata al punto a (4 punti).
Soluzioni Problema 1
La forza è repulsiva, è diretta per simmetria lungo l’asse della circonferenza e dipende dall’angolo α che sottende l’anello dalla distanza d0. Il modulo è semplicemente: ! = !!!!"
!!!!"#$ = !" !!!!!! !! ! con ! = !!!!!"!! ! !"#! = !!!" ed ! = !!+ !!! pertanto vale: F = !!!!!! !!!(!!!!!!)!/! = 2.1!10
!!"!. Il potenziale nel punto di partenza vale: !
! = !!!!
!! mentre nel
centro della circonferenza vale: !! = !
!!!!! quindi la velocità minima può essere calcolata
imponendo che al centro della circonferenza la velocità si annulli. Vale quindi: !"!+ !!!!!! = !"
! da cui !! =
!!(!!!!!)
! = 0.49 !/!. Con m=4mp.
Nell’ultimo caso considerato, il nucleo di elio verrà respinto dalla carica sulla circonferenza. La distanza di minimo avvicinamento può essere calcolata utilizzando sempre la conservazione dell’energia: !"!+ !!!!!! = !"
!"# Dove Vmin = 1.1x10-8J/C è il valore del potenziale nel punto di
minimo avvicinamento. Da Vmin si ricava !!"# = !!!!
!!!"#
!
− !! = 6.9!10!!!
Infine, la velocità che avrà a grande distanza si può ottenere sempre dalla conservazione dell’energia nell’ipotesi in cui, a grande distanza, il potenziale è nullo: !"!+ !
!!!! ! = ! !!!!"# ! Per cui: !!"# = 0.5!/!. Problema 2:
La capacità equivalente è il parallelo dei capacitori con diversa costante dielettrica, quindi: ! = !!+ !! = !!!
! !!
! + !!!
! = 16.2!". Appena si chiude l’interruttore il capacitore è assimilabile ad
un corto circuito per cui in R2 scorre la corrente !!!= !!!
!= !!! !! = ! !! !!" !! = 1.2 !" con !!" = !!!! !!!!!+ !! = 17!Ω ed !! = !!!!
!!!!! La corrente in R2 a regime vale semplicemente
!′!! = ! !
!!!!= 1.36mA. La corrente in R3 durante il transitorio va calcolata considerando che la
costante di tempo del circuito è la !!! = !!!!
!!!!!+ !! = 34!Ω e quindi τ = ReqC = 550ns.
Essendo la carica del condensatore data da: ! ! = !! 1 − !!! ! con !! = !!′!!!! La corrente nel ramo del capacitore è ! ! = !"!" = !!
! !!! ! e I(t1) = 0.67mA Problema 3:
La posizione di equilibrio si realizza nella situazione in cui la forza totale sul terzo filo è nulla. Pertanto la posizione di equilibrio (distanza x dal filo 1) deve soddisfare, assumendo I3 concorde
con le altre correnti: ! = !!+ !! = 0 = !!!× !!− !! = !!!"!!! !!!!! −!!! da cui: ! = !!!!
!!!! =
1.5 !. Guardando la direzione della forza totale, se la corrente I3 è concorde con le altre, è facile
capire che se x aumenta (diminuisce) la forza totale tende ad aumentare (diminuire) la distanza del terzo filo dalla posizione di equilibrio e quindi la posizione non è di equilibrio stabile. Al contrario, se la corrente I3 scorre in senso contrario alle altre due, aumentando (diminuendo) la distanza x dal
primo filo, la forza totale tende a riportare il terzo filo verso la posizione di equilibrio che quindi, in questa situazione è di equilibrio stabile. Il lavoro può essere calcolato dalla definizione:
! = − !!!! ∙ !! ! = !!!!! !" !" !!! ! !! ! − !− !! ! = !!!!! !" −!!!" ! − ! − ! ! − ! − !!!" ! + ! ! = !×!"!!!
