Compito_10_01_2014 v2

Universit`a dell’Aquila - Facolt`a di Ingegneria Prova Scritta di Fisica Generale II - 10/01/2014

Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU Docente ... ... ... ... ... ...

Tempo a disposizione 2 ore. 3-4 CFU solo primi due esercizi 1 ora e mezzo. Problema 1

Una sfera di raggio R con densit`a di carica −ρ `e circondata da un guscio sferico compreso tra il raggio R e 2R (come mostrato in figura) con densit`a ρ. Determinare a) la carica totale della distribuzione; b) a che distanza dal centro il campo elettrico `e nullo (trascurando il punto centrale o l’infinito); c) la differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e il bordo.

(Dati del problema: R = 1 m, ρ = 10−6 C/m3₎

Problema 2

Il condensatore nel circuito in figura `e un condensatore a facce piane e parallele ed `e riempito per met`a con materiale isolante di costante dielettrica relativa 1 e per met`a con materiale

isolante di costante 2. In assenza di isolante la capacit`a del

condensatore vale C0. Si calcoli: a) la capacit`a del

conden-satore; b) il tempo t1, a partire dalla chiusura dell’interruttore,

in cui la tensione ai capi del condensatore vale v1 = f /4; c)

l’energia dissipata su R3 fino a tale istante.

(Dati del problema: C0 = 1 nF , 1 = 2, 2 = 3, R1 = R2 =

R3 = 1kΩ, f = 10 V )

Problema 3

Una barretta conduttrice (lunghezza l, resistenza R), `e vincolata ad un estremo ma libera di ruotare intorno ad esso. L’altro estremo scivola senza attrito lungo una guida semicircolare mantenendo il contatto elettrico; un filo con-duttore di resistenza trascurabile tra la base della guida ed il vincolo chiude il contatto elettrico. La barretta, inizial-mente in posizione verticale, si trova in una zona in cui vi `e un campo magnetico B uniforme, costante e perpen-dicolare al piano (vedi figura) e viene posta in rotazione con velocit`a angolare ω = Kt in senso orario.

Calcolare: a) la corrente che scorre nella barretta appena prima di toccare il piano orizzontale; b) il verso della corrente; c) l’energia dissipata nel compiere il quarto di giro in figura. (dati del problema: m = 10 g, l = 20 cm, B = 1.5 T , K = 100π rad/s2_{, R = 0.5 Ω )}

SOLUZIONI Problema 1

a)

La carica della zona centrale:

Q−= −4 3πR 3 ρ Q+ = ρ4 3πR 3_[(2R)3_{− R}3_{] =} 28 3 πρR 3 Qt= Q−+ Q+ = 8πρR3 = 2.5 · 10−5 C b)

Dal teorema di Gauss per 0 ≤ r ≤ R: 4πr2Er = −ρ 4 3εo r3 0 ≤ r ≤ R Er = − ρr 3εo 0 ≤ r ≤ R Si annulla solo al centro.

Dal teorema di Gauss per R ≤ r ≤ 2R: 4πr2Er = Q− εo + ρ 4 3εo π[(r3− R3_{] R ≤ r ≤ 2R} Er= ρ 3εor2 (r3− 2R3) Si annulla per: r0 = 3 √ 2R = 1.26 m c) La d.d.p. tra 0 e R vale: V1 = − Z 0 R Erdr = ρ 3εo Z 0 R rdr = −ρR 2 6εo La d.d.p. tra R e 2R vale: V2 = − Z R 2R Erdr = Z 2R R ρ 3εor2 (r3− 2R3_{)dr =} ρR 2 6εo V = V1+ V2 = 0V Problema 2

a) Il condensatore `e equivalente a due condensatori con capacit`a 1C0/2 ed 2C0/2 posti in

parallelo. La capacit`a risultante `e pertanto C = (1+ 2)C0/2 = 2.5nF .

b) Nel circuito equivalente di Thevenin per la carica del condensatore la resistenza `e data dal parallelo di R1 ed R2, in serie con R3. Indicando con R il valore comune delle tre resistenze,

si ha Rth= R3+ R1R2 R1+ R2 = 3 2R

Il f.e.m. di Thevenin `e pari alla caduta di tensione su R2 quando l’interruttore `e aperto,

pernato fth= R2 R1+ R2 f = f 2.

Il condensatore si carica con legge v(t) = fth(1−e−t/τ), con τ = RthC. Risolvendo l’equazione

v(t1) = f /4 si ricava t1 = τ log(2) = 2.6µs.

c) La corrente che scorre su R3 `e data da

i3(t) = C dv(t) dt = Cfth τ e −t/τ . L’energia dissipata `e pertanto data da

E3(t1) = Z t1 0 R3i23(t)dt = R3 C2_f2 th 2τ 1 − e −2t1/τ
= 15.6nJ Problema 3

a) La forza elettromotrice indotta `e:

V = −dΦ

dt = −B dS

dt con la superficie che concatena il flusso utile:

S(t) = 1 2llθ(t) Pertanto l’espressione di V `e: V (t) = −1 2Bl 2dθ dt = − 1 2Bl 2_{ω(t) = −}1 2Bl 2_Kt.

L’istante t1 in cui la barretta tocca il piano orizzontale `e ricavabile dalla condizione:

θ(t1) = π/2 θ(t1) = Z t1 0 ω(t)dt = Kt2₁/2 = π 2 per cui: t1 = r π K = 0.10 s Pertanto la differenza di potenziale ai capi della barretta `e:

V (t1) = − 1 2Bl 2_Kt 1 3

e la corrente: I(t1) = V (t1) R = 1 2RBl 2_Kt 1 = 1.88 A

b) Dovendosi opporre alla variazione del flusso concatenato che diminuisce con l’area, deve generare un campo entrante nel piano della figura e quindi la corrente scorre in senso antio-rario.

c) L’energia dissipata nella barretta `e:

W = Z t1 0 RI(t)2dt = R Bl 2_K 2R 2Z t1 0 t2dt = B 2_l4_K2 4R t3₁ 3 = 59mJ 4