MASSIMI E MINIMI RELATIVI

1) MASSIMI E MINIMI RELATIVI. TEOREMA DI FERMAT

Definizione

0

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo [a , b] e x  [a , b].

Si dice che x0 è un punto di massimo relativo o locale per f(x) se esiste un intorno I(x0) di x0 tale che

0

( )

[ , ]

0

f(x)



f(x )

 

x

I x



a b

Analogamente si dice che x0 è un punto di minimo relativo o locale se esiste un intorno I(x0) di x0 :

0

( )

[ , ]

0

f(x)



f(x )

 

x

I x



a b

Un punto x0  [a, b] che sia un punto di massimo relativo o un punto di minimo relativo si dice un punto di estremo relativo o anche un punto di estremo locale.

Osservazioni

Si noti che sulla definizione di massimo relativo non si richiede che la disuguaglianza f(x) f(x )0

sia verificata in tutto l’intervallo [a, b] ma solo in un opportuno intorno I(x0) di x0. Evidentemente se

[ , ]

0

f(x) f(x ) x a b x0 è un punto di massimo e f(x0) è il massimo di f(x). Analogo discorso

vale per i punti di minimo relativo.

I punti di minimo e di massimo della funzione f, per distinguerli dai punti di estremo relativo, si chiamano punti di minimo assoluto e massimo assoluto. Si noti che:



x0 punto di estremo assoluto







x0 punto di estremo relativo



Ma tale implicazione non si inverte.

TEOREMA DI FERMAT (condizione necessaria di estremo relativo)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] e supponiamo che f(x) abbia in un punto

0 [ , ]

x  a b un estremo relativo. Valgono le seguenti implicazioni: 1) ₀ 0 2) ₀

interno ad [a,b]

'(

)

0

f derivabile in

x

f

x

x

















Dim

Supponiamo, per fissare le idee, x0 punto di massimo relativo per f(x). Ciò significa che esiste un

intorno I(x0) di x0 tale che

Per l’ipotesi 1) in I(x0) cadono sia punti di [a, b] minori di x0 sia punti di [a, b] maggiori di x0 e

quindi; essendo f x( ) f x( ) 0 0   x I x( )0 in virtù di (*), si ha:

0 0 0 0

0

( )

( )

0 se

se x x

f x

f x

x

x

x x















_

Passando al limite perxx0e per xx0 si ottiene '

0

( ) 0

f x

_



;

f x

_'

( ) 0

₀



La tesi segue dall’ipotesi 2) che implica f x'( )0  f x'( )0  f x'( )0 . Osservazione 1

Si noti che:

 



'







0 0 0

( ) = 0 con x

f x



a b

,

_

x

punto di estremo relativo

Ad esempio la funzione _{f x( )x}3 _{è tale che} ' 2

0 0 ( ) 3 0 x x f x _ x _         

Tuttavia sappiamo che f è strettamente crescente in R e quindi sprovvista di estremo relativo Osservazione 2

Si noti che, dal punto di vista geometrico, il teorema di Fermat afferma che nei punti di estremo relativo che sono interni ad un intervallo, la tangente al diagramma è parallela all’asse x.

Osservazione 3

Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x0 di estremo relativo non è interno

all’intervallo [a, b]

Ad esempio se x0 =b e x0 è un punto di massimo relativo è possibile considerare soltanto il limite

sinistro di f in b e, ripetendo lo stesso ragionamento della dimostrazione del teorema si ottiene:

'_{( )} '_{( ) 0}

f b  f b_ 

Ne segue che può essere '

( ) 0

f b 

2) TEOREMI DI ROLLE E DI LAGRANGE

I due teoremi che ci accingiamo a dimostrare sono detti teoremi fondamentali del calcolo con le derivate.

TEOREMA DI ROLLE

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo compatto [a, b], derivabile nei punti interni ad [a, b]. se f(a)=f(b) esiste un punto x0 interno ad [a, b] tale che f x'( ) = 00 . In altri termini vale la seguente implicazione:

 

 



 



1) , ' 2) , _{0 0} 3) ( ) ( )

, : ( ) 0

f continua in a b f derivabile in a b f a f b

x

a b

f x

       _   

  



Dim

Per il teorema di Weistrass che vale in virtù dell’ipotesi 1) f(x) ha in [a, b] minimo e massimo. Ciò significa che x x1 2

 

a b, tali che

 

1 2

( )

( )

( )

,

f x



f x



f x

 

x

a b

Se f x( )1  f x( )2 è evidente che la funzione f è costante in [a, b] e il teorema di Rolle è certamente vero quindi si ricordi che la derivata di una costante è nulla.

Se per l’ipotesi 3) almeno uno dei due punti x x1 è interno ad ,2

 

a b . Se per esempio x1è interno ad [a, b] allora x2 essendo un punto di estremo assoluto, è anche un punto di estremo relativo nel quale f è derivabile per l’ipotesi 2). Dal teorema di Fermat si deduce che f x'( ) = 01 e il teorema di Rolle è completamente dimostrato.

Osservazione 1

Se consideriamo il diagramma di una funzione f che verifica l’ipotesi del teorema di Rolle allora questo teorema afferma che esiste almeno un punto c del diagramma, distinto dagli estremi a e b, in cui la tangente geometrica è parallela all’asse x.

Osservazione 2

La continuità di f(x) negli estremi dell’intervallo [a,b] è indispensabile.

Consideriamo ad esempio la funzione

( )

0,1

 

0

1

x se x

f x

se x







 





Tale funzione è derivabile in

 

0,1

ma non è continua in [0, 1] perché nel punto 1 ha una discontinuità eliminabile essendo lim ( ) 1_x1 f x   f(0) 0 . inoltre vale

(per l’ipotesi 2) f(0)=f(1)=0 . Ebbene, essendo f x'( ) 1   x

 

0,1 tale funzione non verifica la tesi del teorema di Rolle.

TEOREMA DI LAGRANGE

Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo compatto [a,b] e derivabile nei punti interni ad [a,b], esiste un puntox0 interno ad [a,b] tale che:

 

' 0

( )

( )

f b

f a

f x

b a



_



Questa uguaglianza si chiama formula di Lagrange. Dim

Consideriamo la funzione ausiliare





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a g x f x f a x a b a     _   _   

La quale,geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del punto Q della retta congiungente gli estremi A=(a,f(a)), B=(b,f(b)) aventi la stessa ascissa(distanza variabile del diagramma della retta).

Si verifica facilmente che g(a)=g(b)=0. D’altra parte g è continua in [a,b], derivabile in

 

a b, risulta

 

'

_{( )}

'

_{( )}

f b

( )

f a

( )

_,

g x

f x

x

a b

b a







 



Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto x0

 

a b tale che,

' ' 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a 0 g x f x b a    

 . Ma ciò equivale a dire che esiste un punto x0

 

a b tale che, ' 0 ( ) ( ) ( ) f b f a f x b a    . Il teorema è dimostrato.

3)CONSEGUENZE NOTEVOLI DEL TEOREMA DI LAGRANGE

Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identicamente nulla. Viceversa, mediante il teorema di Lagrange, si dimostra il seguente:

TEOREMA (sulle funzioni con derivata nulla)

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in

 

a b, . V.s.i.

 



_{f x}'_{( ) 0   x a b,}







_{f cos tan , te in a b}

 



Siano x1 x2

 

a b, con x1 x2. applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo compatto di estremix1e x2 si ha:

' 2 1 0 2 1

( )

( )

( ) 0

f x

f x

f x

x

x



_

_



Dove x0 è un punto interno all’intervallo in questione. Ne segue che

 



x x1, 2 a b e x, 1x2







f x( )1  f x( )2



E ciò implica che f è costante in

 

a b, . Il teorema è dimostrato.

CRITERIO DI MONOTONIA

Sia f x( ) una funzione continua nell’intervallo

 

a b, e derivabile in

 

a b, . V.s.i.

 

 

 





'_{( ) 0 , ( ) ,} 0 f x crescente in a b f x x a b decrescente          _ _  _  _{ }  



Dim

Siano x x1, 2

 

a b, con x1 x2. Applicando il teorema di Lagrange all’intervallo



x x1, 2



si ha ' 2 1 0 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 f x f x f x x x  _{ }  Dove x0



x x1, 2



. Ne segue

 

1 2 ( )1 ( ) ,2 1 2 , x x  f x  f x x x  a b E ciò per definizione significa che f è crescente in

 

a b,

Dim

 

, 0

 

,

x a b e x a b

    essendo f crescente risulta: 0 0 ( ) ( ) 0 f x f x x x  _  E quindi anche

 

0 ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 , x x f x f x f x x a b x x        Il teorema è completamente dimostrato.

Osservazione notevole

Dalla dimostrazione del criterio di monotonia si deduce facilmente la seguente implicazione

 

 

 





'_{( ) 0 , ,} 0 f strettamente crescente in a b f x x a b decrescente          _ _  _  _{ }  



Tuttavia questa implicazione non si inverte. Consideriamo infatti la funzione _{f x( )x}3

strettamente crescente in R. Essendo _{f x}'_{( ) 3 x}2 _{risulta f}'_{(0) 0 . Pertanto la derivata di una} funzione strettamente monotona può annullarsi in qualche punto.

Osservazione 2

I teoremi di cui ci siamo occupati non valgono in generale se l’insieme di definizione della funzione f non è un intervallo.

4) FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO

Abbiamo visto che la nozione di estremo relativo è molto importante per lo studio del diagramma di una funzione. Vogliamo ora occuparci di altre due considerazioni del diagramma che non sono meno importante.

Definizione 1

Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo

 

a b, , in tale ipotesi il diagramma di f è dotato di retta tangente in ogni punto di

 

a b, .

Si ha che f è convessa in

 

a b, quando in ogni puntox0

 

a b, accade che il diagramma di f è al di sopra della retta tangente nel punto di ascissa x0.

Analogamente si dice che f è concava in

 

a b, se in ogni punto x0

 

a b, accade che il diagramma di f è al di sotto della tangente nel punto di ascissa x0.

Osservazione notevole

Ricordando che l’equazione della retta tangente al diagramma di f nel puntox0 è '

0 0 0

( )

( )(

)

y



f x



f x

x x



Possiamo affermare che:

 







'

 



0 0 0 0 , ( ) ( ) ( )( ) , , f convessa in a b  f x  f x  f x x x x x  a b

 







'

 



0 0 0 0 , ( ) ( ) ( )( ) , , f concava in a b  f x  f x  f x x x x x  a b Definizione 2

Sia f(x) una funzione derivabile nell’intervallo

 

a b, e x0un punto interno ad

 

a b, cioè x0

 

a b, . Si dice chex0è un punto di flesso per la funzione f o anche che il punto P0 ( ; ( ))x f x0 0 è un punto di flesso per il diagramma di f quando accade che f(x) è concava in



a x, 0



e convessa in



x b0,



o viceversa.

Osservazione

Si noti che se x0è un punto di flesso per f allora esistono punti di

 

a b, diversi da x0 in cui il diagramma di f sta al di sopra della tangente inx0 e punti di

 

a b, diversi da x0 in cui il diagramma di f sta al di sotto della tangente in x0. Conseguentemente la tangente di flesso attraversa il

diagramma. Osservazione

Nelle applicazioni può capitare che il diagramma di f abbia l’andamento in figura e cioè sia convesso in



a x, 0



e concavo in



x b0,



e la tangente dix0 sia verticale, evidentemente in tal caso risulta '

0

( )

f x   e si dice che la funzione f ha inx0 un flesso a tangente verticale e la retta di equazione x x 0si chiama retta tangente di flesso. Naturalmente tutto ciò vale anche quando viceversa, in



a x, 0



f è concava e in



x b0,



f è convessa.

CRITERIO DI CONVESSITA’ (senza dimostrazione)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo

 

a b, e due volte in

 

a b, . V.s.i.

 

 

 





''_{( ) 0 , convessa ,} 0 f in a b f x x a b concava          _ _  _  _{ }  



Da questo teorema si deduce immediatamente il seguente risultato.

TEOREMA (condizione necessario di flesso)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo

 

a b, e due volte nel puntox0

 

a b, . V.s.i.







''



0 ( ) 0 0

x punto di flesso per f  f x  Dim

Se x0 è un punto di flesso, per il criterio di convessità e per il criterio di monotonia la derivata '_{( )}

f x risulta crescente in



a x, 0



e decrescente in



x b0,



o viceversa. Conseguentementex0 è un punto di estremo assoluto e quindi anche di estremo relativo per _{f x}'_{( ). Dal teorema di Fermat} applicato alla funzione f’ segue la tesi.

Osservazione

L’implicazione incontrata in questo teorema non si inverte. Ad esempio la funzione _{f x( )x}4_è convessa in tutto R perché risulta _{f x}'_{( ) 4 , ( ) 12 x f x}3 '' _{ x}2 _{0   x . Tuttavia risulta}

''_{(0) 0}

f  ; la derivata seconda si annulla nel punto zero che non è di flesso. Osservazione

Dalle considerazioni svolte in questo paragrafo si deduce che lo studio del segno della derivata seconda di una funzione f consente di determinare la concavità, la convessità e i punti di flesso del diagramma. I punti di flesso a tangente non verticale sono da ricercare tra i punti interni

all’intervallo di definizione di f nei quali la derivata seconda si annulla. Se in un punto x0risulta ''

0

( ) 0

f x  e inoltre la derivata seconda è minore di zero a sinistra di x0e maggiore di zero a destra allorax0 è un punto di flesso per f. naturalmente si giunge alla stessa conclusione se a sinistra di x0

''_{( ) 0}

f x  e a destra _{f x}''_{( ) 0 .}

5) ASINTOTI

Si dice asintoto una retta alla quale una curva, che nei casi che ci riguardano è un diagramma, si avvicina infinitivamente. Gli asintoti si dicono orizzontali, verticali e obliqui.

Considerata una funzione f(x) è facile convincersi che













0

0

I) asintoto orizzontale lim ( )

II) asintoto verticale lim ( ) .

x x x y l per f f x l x x per f _ f x opp         _    _  

Nel caso dell’asintoto obliquo y=mx+n è evidente che la distanza PQ del diagramma dalla retta tende a zero se e solo se tende a zero la “distanza verticale” PT cioè la differenza tra le ordinate del diagramma della retta.

Ne segue che:













III) asintoto obliquo lim ( ) ( ) 0

x

y mx n per f f x mx n



     

Si verifica che y=mx+n è un asintoto obliquo se e solo se





( ) lim lim ( ) x x f x m e n f x mx x      Osservazione 1

Si noti che, affinché il diagramma di f(x) abbia la retta obliqua y=mx+n come asintoto è necessario che risulti m0e m n, _{ } . Conseguentemente se uno dei due limiti non esiste oppure esiste ed è infinito il diagramma è sprovvisto di asintoto obliquo.

Osservazione 2

6) LA REGOLA DI L’HOPITAL

Consideriamo due funzioni reali f e g entrambe infinitesime o entrambe infinite in un puntox0. In tal caso il loro rapporto f/g si presenta in forma indeterminata 0 / 0 o  / perché il limite può esistere (finito o infinito) come può non esistere. Un metodo utile per studiare tali forme indeterminate è fornito dal seguente teorema

TEOREMA DI L’HOPITAL(senza dimostrazione)

Siano f(x) e g(x) due funzioni reali derivabili nell’intervallo



a x, 0



con x0   (nell’intervallo



x b0,



con x0  ). Supponiamo che risulti

0 0 0 0

lim ( ) lim ( ) 0 oppure lim ( ) e lim ( )

xx f x xx g x  xx f x   xx g x  

E che i rapporti f/g e f’/g’ abbiano significato in



a x, 0



(in



x b0,



) cioè che risulti





'

0

( ) 0 ( ) 0 ,

g x  e g x   x a x



 x



x b₀,





, se f e g sono infinitesime in x₀. In tale ipotesi vale l’implicazione: 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x l l g x g x                    Osservazione 1 (notevole)

In base al teorema di l’ Hospital ogni volta che il limite

0 ( ) lim ( ) x x f x g x 

Si presente nella forma indeterminata 0/0 o nella forma  / si può cercare di calcolare tale limite sfruttando il limite in x0 del rapporto delle derivate

0 ' ' ( ) lim ( ) x x f x g x  .

Se quest’ ultimo limite esiste (finito o infinito) allora esiste anche il

0 ( ) lim ( ) x x f x g x  e risulta 0 0 ' ' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x         .

Naturalmente può capitare che anche il limite in x0 del rapporto delle derivate f’/g’ si presenti in forma indeterminata. In tal caso, se f’ e g’ verificano le ipotesi del teorema di l’ Hopital, è possibile riapplicare la regola di l’Hopital e cioè si può provare a calcolare il limite

0 '' '' ( ) lim ( ) x x f x g x  Evidentemente, se questo limite esiste, risulta

0 0 ' '' ' '' ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x    E conseguentemente 0 0 0 ' '' ' '' ( ) ( ) ( )

lim lim lim

( ) ( ) ( )

x x x x x x

f x f x f x

g x g x g x

Osservazione 2

Si noti che l’implicazione contenuta nel teorema di l’ Hospital non si inverte. Consideriamo ad esempio le funzioni 2 1 ( ) cos ; ( ) x 1 f x x g x e x   

Le quali sono entrambe infinitesime in 0 e verificano le ipotesi del teorema. Si ha

1 1 ' ' 2 cos ( ) ( ) x x x x sen f x g x e   E quindi  ' ' 0 ( ) lim ( ) x f x perchè g x   





1 1 0 lim 2 cos_{x x}

x  x sen Tuttavia risulta: 1 2 1 0 0 0 cos ( )

lim lim lim cos 0 1 0

( ) 1 1 x x x x x x x x f x x x g x e e            Osservazione 3

Da questi esempi si deduce che la regole di l’ Hospital si può applicare non solo ai limiti nelle forme indeterminate 0/0 e  / ma anche, con opportuni artifici di calcolo, a tutte le forme indeterminate.

7) STUDIO DEL DIAGRAMMA DI UNA FUNZIONE

I risultati fin qui ottenuti ci consentono di studiare l’andamento del diagramma di una espressione elementare f(x).

È opportuno studiare le proprietà della funzione secondo il seguente schema: 1) si determina l’insieme di definizione di f e inoltre

a) le simmetrie evidenti (f pari, dispari, periodica)

b) quando è semplice farlo si studiano il segno di f e si calcolano le intersezioni con gli assi

2) si determinano tutti gli asintoti orizzontali e obliqui e si controlla il comportamento di f nei punti di discontinuità. Questo controllo porta a determinare anche gli asintoti verticali.

3) Si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente ed i punti di massimo e minimo relativo. Ciò si ottiene studiando il segno della derivata di f.

4) Quando non presenta particolari difficoltà si determinano gli intervalli in cui la funzione è concava o convessa e i punti di flesso, ciò si ottiene studiando il segno della derivata seconda di f.

8) LA FORMULA DI TAYLOR

Sia f(x) una funzione reale definita in un intorno I(x0) del punto x0 Re derivabile in x0. Consideriamo la differenza

(*) r x1( ) f x( )f x( )0  f x'( )(0 x x 0) Osserviamo che essendo

(**) 0 0 ' 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) 0 x x x x f x f x r x f x x x x x       _  _  _  _

Tale funzione ha in x0 un infinitesimo di ordine superiore ad x x 0nel senso che r x1( )tende a zero più rapidamente di x x 0quando xx0.

Osservazione 1

È noto che in ogni approssimazione l’errore è definito da:

errore = valore vero – valore approssimato

conseguentemente r x1( )rappresenta l’errore che si commette quando si assume '

0 0 0

( ) ( ) ( )( )

f x  f x  f x x x e cioè quando si sostituisce il valore f(x) di f nel punto x con il valore in x del polinomio di primo grado '

1( ) ( )0 ( )(0 0) P x  f x  f x x x . Significato geometrico

Consideriamo il diagramma della funzione f e il punto P0 ( ; ( ))x f x0 0 di tale diagramma. È noto che la retta tangente a tale diagramma nel punto P0 ha equazione

'

0 0 0

( ) ( )( )

y f x  f x x x

Conseguentemente r x1( ) rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P( ; ( ))x f x del diagramma e del punto ….. della retta tangente

Si nota dalla figura che la distanza verticale tra la curva e la retta tangente quando x è abbastanza prossimo a x0 è più piccola della distanza di x da x0 e cioè risulta

1( ) 0

r x  x x per x abbastanza prossimo a x0

Conseguentemente, dal punto di vista geometrico, il limite (**)…. Che la distanza verticale della curva della tangente a cioè la funzione r x1( ) tende a zero più rapidamente della distanza x x 0 di x da x0quando x tende a x0

È facile convincersi che tra tutte le rette passanti per il puntoP0la tangente in P0 è quella che approssima meglio il diagramma y f x( ) nei punti x vicini a x0. Se vogliamo approssimazioni migliori dobbiamo utilizzare altre curve.

A tale scopo, invece della tangente, adoperiamo la parabola '' ' 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 f x y f x  f x x x  x x Consideriamo la funzione '' ' 0 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 f x r x  f x _f x  f x x x  x x _  









0 0 ' 1 '' 2 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( )( ) 2 ( )( ) ( ) lim lim x x x x f x f x f x x x f x x x r x x x x x      _     _    H =

_

_

0 0 ' ' '' ' ' '' 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) lim lim ( ) 0 2 2 x x x x f x f x f x x x f x f x f x x x x x          _  _  _  _

Dove certamente occorre supporre f derivabile una volta in un intorno I(x0) dix0e due volte nel punto x0.

Ne segue che r x2( )tende a zero per xx0più rapidamente di (x x 0)2e cioè del quadrato della distanza di x da x0e si capisce che se x è abbastanza vicino a x0 risulta (x x 0)2< x x 0 e dunque l’approssimazione ottenuta è migliore.

In generale, applicando ripetutamente n-1 volte la regola di l’Hopital si ottiene il seguente risultato

TEOREMA

Sia f(x) una funzione derivabile n-1 volte in un intorno di x0e n volte nel punto x0. Considerata la differenza ' '' ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . ( ) 1! 2! ! n n n f x f x f x r x f x f x x x x x x x n    _        _  

Dove con il simbolo n! si intende il fattoriale di n e cioè il prodotto 1 2 3 ,  n risulta

0 ₀ ( ) lim 0 ( ) n n x x r x x x   

E cioè, come si suol dire, r x_n( )per xx0 è infinitesimo di ordine superiore a (x x 0)n. Ciò premesso si da la seguente

Definizione

Nelle ipotesi su f del teorema precedente, l’uguaglianza

' '' ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . ( ) 1! 2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x n   _        _  

Si chiama formula di Taylor della funzione f di punto iniziale x0. Il polinomio di grado n ' '' ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . ( ) 1! 2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n       

Si chiama polinomio di Taylor di punto iniziale x0.

La funzione r x_n( )che rappresenta l’errore che si commette quando si assume f x( )r x_n( )si chiama resto di Peano della formula di Taylor.

Osservazione 1

È utile tenere presente che se f(x) e g(x) sono due infinitesime in x0 in simboli

( ) ( ( ))

f x _{ } g x

Che si legge f è un o piccolo di g in x0, esprime che f(x) è in x0 un infinitesimo di ordine superiore a g(x) e cioè che risulti

0 ( ) lim 0 ( ) x x f x g x  

Utilizzando questa definizione, posto r xn( )



(x x 0)n



in virtù del teorema precedente la formula di Taylor può riscriversi nella forma



0



( ) ( ) ( )n

n

f x P x _ x x

E esprime che la funzione f(x) si può rappresentare in un intorno I(x0) come somma del suo polinomio di Taylor e di un infinitesimo in x0di ordine superiore a ( 0)

n

x x

Osservazione 2

È facile verificare, calcolando le derivate della funzione considerate nel punto 0, che la formula di McLaurin di _{e sen x}x, , cos , log(1_{x x}) _{con n=3 sono:}

2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 1 ( ) 1! 2! 3! ( ) 3! cos 1 ( ) 2! log(1 ) ( ) 2 3 x x x x e x x senx x x x x x x x x x x                    

Tali espressioni possono essere utilizzate per il calcolo dei limiti in forma indeterminata.

Utilizzando la formula di Taylor è possibile dimostrare il seguente risultato che può essere utile nelle applicazioni.

TEOREMA (condizione sufficiente di estremo relativo)

Sia f(x) una funzione derivabile una volta nell’intervallo

 

a b, e due volte nel punto x0

 

a b, V.s.i.

' ''

0

0 0 è un punto di massimo relativo ( ) 0 ( ) 0 (minimo) ( 0) x f x e f x        _       



Dim

Consideriamo la formula di Taylor di f con n=2:

'' ' 0 2 0 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 f x f x  f x  f x x x  x x r x

Tale formula, per le ipotesi, si può riscrivere nella forma '' 2 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f x  f x  x x r x Dividendo per 2 0

(x x ) e passando al limite per xx0, si ha

0 '' 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) 2 x x f x f x f x x x   _{ } 

Conseguentemente, per il teorema della permanenza del segno,

0 0 0

( ) : ( )I x f x f x( ) x I x( )

   

L’uguaglianza è valida solo per x x 0.

Ma ciò significa, secondo definizione,che x0 è un punto di massimo relativo per f. Il teorema è dimostrato.