Quali propriet` a ha il prodotto di matrici?

Esercizi di Algebra Lineare Operazioni su Mat ₂ (K)

Anna M. Bigatti 5 novembre 2012

Matrici 2 × 2

Iniziamo a fare pratica su piccole matrici.

Sia K uno di questi insiemi Q , R , C (o anche Z/(p) , con p numero primo): quelli in cui esiste l’inverso per ogni elemento diverso da 0 (un campo).

Indichiamo con Mat2(K) l’insieme delle matrici 2×2 cio`e delle tabelle a b c d



con a, b, c, d ∈ K e definiamo somma e prodotto.

Definizione 1. La somma `e “termine a termine”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) in C = A + B `e la somma degli elementi in posizione (i, j) di A e di B :

 a11 a₁₂ a₂₁ a₂₂



+ b11 b₁₂ b₂₁ b₂₂



= a11+ b₁₁ a₁₂+ b₁₂ a₂₁+ b₂₁ a₂₂+ b₂₂



quindi

c_ij := a_ij+ b_ij

Il prodotto `e “righe per colonne”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) in C = A · B `e la somma dei prodotti termine a termine della i -ma riga di A per la j -ma colonna di B (cio`e il prodotto scalare della i -ma riga di A per la j -ma colonna di B ):

 a11 a12

a21 a22



· b11 b12

b21 b22



= R1· C1 R1· C2

R2· C1 R2· C2



= a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22

a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22



quindi in formule scriviamo

cij:= ai1b1j+ ai2b2j=

2

X

k=1

aikbkj

Esempio 2. Somma:

 1 2 4 9



+ 13 0

−1 4



= 14 2 3 13



Esempio 3. Prodotto:

 1 2 4 9



· 13 0

−1 4



= 11 8 43 36



1

Esercizio 4. Quali propriet`a ha la somma? Esiste l’elemento neutro? l’opposto? `e commuta- tiva? associativa?

Il prodotto invece si comporta in modo pi`u “inusuale”.

Esercizio 5. Calcolare il prodotto delle seguenti matrici in Mat₂(R) :

(a)

 1 0

−1 2



· 1 1 2 0



(b)  1 1 2 0



·

 1 0

−1 2



(c)  1 2 3 6



· x 2 1 0



(d)  1 0 2 1/2



· 1 0 3 0



(e)  1 0 0 0



· 0 0 1 0



(f)  1 0 3 0



·

 1 2

1/3 −1



(g)  0 0 0 0



·

 1 2/7 1/3 −1



(h)

 1 2/7 1/3 −1



· 0 0 0 0



In CoCoA possiamo operare con le matrici in questo modo (indipendentemente dal numero di

“a capo” e spazi):

A := Mat(QQ, [ [1,2], [4,9]

]);

B:=Mat(QQ, [[13,0],[-1,4]]);

A + B; A * B;

Si possono mettere spazi e “a capo” ovunque.

Esercizio 6. Verificare i risultati dei precedenti esercizi con CoCoA.

IMPORTANTE: Controllate queste cose se avete ottenuto un errore in CoCoA:

• c’`e il “;” alla fine di ogni comando?

• le parentesi sono bilanciate?

Emacs vi aiuta segnalando la corrispondenza delle parentesi con:

Options − > Paren Match Highlighting.

Quali propriet` a ha il prodotto di matrici?

Definizione 7. L’elemento neutro del prodotto, che chiamiamo matrice identica o identit`a, I , `e la matrice  1 0

0 1



(dimostriamo che ∀A ∈ Mat2(R) si ha A · I = I · A = A )

Definizione 8. Una matrice A ∈ Mat₂(R) , si dice invertibile se esiste un’inversa B ∈ Mat₂(R) , cio`e B `e tale che A · B = B · A = I .

Se tale B esiste, allora `e unica e viene indicata con A⁻¹.

(Si pu`o dimostrare che se esiste B ∈ Mat₂(R) tale che A · B = I , allora anche B · A = I )

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Esercizio 9. Trovare, se esiste, l’inversa delle seguenti matrici in Mat2(R) : imporre che la matrice generica M = x y

z w



sia tale che A · M = I e risolvere “a mano” il sistema lineare dato dalle uguaglianze entrata per entrata (4 equazioni e 4 incognite).

Infine verificare il risultato con CoCoA, cio`e che B , la matrice ottenuta, soddisfi A · B = I e B · A = I (la funzione per creare la matrice identica `e IdentityMat(QQ, 2)).

(a)  1 0 0 2



(b)  0 1 2 0



(c)  1 0 2 0



(d)  1 2 3 4



(e)  1 2 3 6



Esercizio 10. Sia A ∈ Mat2(Q) . Dimostrare o confutare

• Se A ha una riga nulla non `e invertibile.

• Se A ha una colonna nulla non `e invertibile.

• Se A ha una diagonale nulla non `e invertibile.

• Se A ha una diagonale nulla `e invertibile.

Ma succedono cose ancora pi`u strane: siamo abituati a pensare che - x²= 0 implica x = 0

- x²= 1 implica x = 1 o x = −1 - x²= x implica x = 0 o x = 1 ma per le matrici non `e cos`ı!

Esercizio 11. Trovare diversi esempi di matrici A ∈ Mat2(Q) tali che

(a) A²= 0 (b) A²= I (c) A²= A

(imporre che la matrice generica abbia la propriet`a richiesta e cercare diverse soluzioni al sistema)

Esercizio 12. Mostrare, se possibile, per ognuna delle seguenti matrici in Mat₂(R) , una matrice B non nulla tale che AB = I oppure AB = 0 .

(a) A = 1 0 3 0



(b) A = 0 0 2 1



(c) A = 1 5 0 1



(d) A = 1 1 1 1



(e) A =

 1 −1

−1 1



(f) A = 0 1 1 0



(g) A = 1 1 2 2



(h) A = 3 0 0 6



(i) A = 0 3 1 0



Osservazione: Nell’esercizio precedente riusciamo sempre a trovare una matrice B non nulla tale che o A · B = I o A · B = 0 . Questo fatto `e vero, ma (per ora) non lo dimostriamo. Ne dimostriamo solo una parte:

Esercizio 13. Sia A ∈ Mat2(Q) .

(a) Se esiste B ∈ Mat2(Q) non nulla tale che A · B = 0 allora A non `e invertibile.

(b) Se A `e invertibile allora non esiste B ∈ Mat2(Q) non nulla tale che A · B = 0 . (c) (Domanda di logica) sono equivalenti (a) e (b)? Quale caso manca?

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Altre propriet` a di somma e prodotto

Quali operazioni sono consentite tra elementi di N e quali sono le loro propriet`a? e su Z ? Q ? R ? C ?

Ripasso delle propriet`a

• esistenza elemento neutro e : ∀a a ∗ e = e ∗ a = a

• esistenza opposto/inverso: ∀a ∃b tale che a ∗ b = b ∗ a = e

• commutativa: ∀a, b a ∗ b = b ∗ a

• associativa: ∀a, b, c (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

• distributiva: [due operazioni] ∀a, b, c (a + b) · c = a · c + b · c e c · (a + b) = c · a + c · b Esercizio 14. Dimostrare o confutare:

• per ogni a, b ∈ R si ha (a · b)²= a²· b²

• per ogni a, b ∈ Z si ha (a · b)²= a²· b²

• per ogni a, b, c ∈ R tali che a + b = a + c si ha b = c

• per ogni a, b, c ∈ R tali che a · b = a · c si ha b = c

Ricordiamoci che non possiamo usare operazioni non consentite! Sembra ovvio, ma `e molto comune dimenticarsi di controllare se l’elemento di cui usiamo l’inverso sia invertibile...

Esercizio 15. Dimostrare o confutare:

• per ogni A, B ∈ Mat2(Q) si ha (A · B)²= A²· B²

• per ogni A, B, C ∈ Mat2(R) tali che A + B = A + C si ha B = C

• per ogni A, B, C ∈ Mat2(R) tali che A · B = A · C si ha B = C

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