Esercizi di Algebra Lineare Operazioni su Mat 2 (K)
Anna M. Bigatti 5 novembre 2012
Matrici 2 × 2
Iniziamo a fare pratica su piccole matrici.
Sia K uno di questi insiemi Q , R , C (o anche Z/(p) , con p numero primo): quelli in cui esiste l’inverso per ogni elemento diverso da 0 (un campo).
Indichiamo con Mat2(K) l’insieme delle matrici 2×2 cio`e delle tabelle a b c d
con a, b, c, d ∈ K e definiamo somma e prodotto.
Definizione 1. La somma `e “termine a termine”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) in C = A + B `e la somma degli elementi in posizione (i, j) di A e di B :
a11 a12 a21 a22
+ b11 b12 b21 b22
= a11+ b11 a12+ b12 a21+ b21 a22+ b22
quindi
cij := aij+ bij
Il prodotto `e “righe per colonne”, cio`e l’elemento in posizione (i, j) in C = A · B `e la somma dei prodotti termine a termine della i -ma riga di A per la j -ma colonna di B (cio`e il prodotto scalare della i -ma riga di A per la j -ma colonna di B ):
a11 a12
a21 a22
· b11 b12
b21 b22
= R1· C1 R1· C2
R2· C1 R2· C2
= a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22
a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22
quindi in formule scriviamo
cij:= ai1b1j+ ai2b2j=
2
X
k=1
aikbkj
Esempio 2. Somma:
1 2 4 9
+ 13 0
−1 4
= 14 2 3 13
Esempio 3. Prodotto:
1 2 4 9
· 13 0
−1 4
= 11 8 43 36
1
Esercizio 4. Quali propriet`a ha la somma? Esiste l’elemento neutro? l’opposto? `e commuta- tiva? associativa?
Il prodotto invece si comporta in modo pi`u “inusuale”.
Esercizio 5. Calcolare il prodotto delle seguenti matrici in Mat2(R) :
(a)
1 0
−1 2
· 1 1 2 0
(b) 1 1 2 0
·
1 0
−1 2
(c) 1 2 3 6
· x 2 1 0
(d) 1 0 2 1/2
· 1 0 3 0
(e) 1 0 0 0
· 0 0 1 0
(f) 1 0 3 0
·
1 2
1/3 −1
(g) 0 0 0 0
·
1 2/7 1/3 −1
(h)
1 2/7 1/3 −1
· 0 0 0 0
In CoCoA possiamo operare con le matrici in questo modo (indipendentemente dal numero di
“a capo” e spazi):
A := Mat(QQ, [ [1,2], [4,9]
]);
B:=Mat(QQ, [[13,0],[-1,4]]);
A + B; A * B;
Si possono mettere spazi e “a capo” ovunque.
Esercizio 6. Verificare i risultati dei precedenti esercizi con CoCoA.
IMPORTANTE: Controllate queste cose se avete ottenuto un errore in CoCoA:
• c’`e il “;” alla fine di ogni comando?
• le parentesi sono bilanciate?
Emacs vi aiuta segnalando la corrispondenza delle parentesi con:
Options − > Paren Match Highlighting.
Quali propriet` a ha il prodotto di matrici?
Definizione 7. L’elemento neutro del prodotto, che chiamiamo matrice identica o identit`a, I , `e la matrice 1 0
0 1
(dimostriamo che ∀A ∈ Mat2(R) si ha A · I = I · A = A )
Definizione 8. Una matrice A ∈ Mat2(R) , si dice invertibile se esiste un’inversa B ∈ Mat2(R) , cio`e B `e tale che A · B = B · A = I .
Se tale B esiste, allora `e unica e viene indicata con A−1.
(Si pu`o dimostrare che se esiste B ∈ Mat2(R) tale che A · B = I , allora anche B · A = I )
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Esercizio 9. Trovare, se esiste, l’inversa delle seguenti matrici in Mat2(R) : imporre che la matrice generica M = x y
z w
sia tale che A · M = I e risolvere “a mano” il sistema lineare dato dalle uguaglianze entrata per entrata (4 equazioni e 4 incognite).
Infine verificare il risultato con CoCoA, cio`e che B , la matrice ottenuta, soddisfi A · B = I e B · A = I (la funzione per creare la matrice identica `e IdentityMat(QQ, 2)).
(a) 1 0 0 2
(b) 0 1 2 0
(c) 1 0 2 0
(d) 1 2 3 4
(e) 1 2 3 6
Esercizio 10. Sia A ∈ Mat2(Q) . Dimostrare o confutare
• Se A ha una riga nulla non `e invertibile.
• Se A ha una colonna nulla non `e invertibile.
• Se A ha una diagonale nulla non `e invertibile.
• Se A ha una diagonale nulla `e invertibile.
Ma succedono cose ancora pi`u strane: siamo abituati a pensare che - x2= 0 implica x = 0
- x2= 1 implica x = 1 o x = −1 - x2= x implica x = 0 o x = 1 ma per le matrici non `e cos`ı!
Esercizio 11. Trovare diversi esempi di matrici A ∈ Mat2(Q) tali che
(a) A2= 0 (b) A2= I (c) A2= A
(imporre che la matrice generica abbia la propriet`a richiesta e cercare diverse soluzioni al sistema)
Esercizio 12. Mostrare, se possibile, per ognuna delle seguenti matrici in Mat2(R) , una matrice B non nulla tale che AB = I oppure AB = 0 .
(a) A = 1 0 3 0
(b) A = 0 0 2 1
(c) A = 1 5 0 1
(d) A = 1 1 1 1
(e) A =
1 −1
−1 1
(f) A = 0 1 1 0
(g) A = 1 1 2 2
(h) A = 3 0 0 6
(i) A = 0 3 1 0
Osservazione: Nell’esercizio precedente riusciamo sempre a trovare una matrice B non nulla tale che o A · B = I o A · B = 0 . Questo fatto `e vero, ma (per ora) non lo dimostriamo. Ne dimostriamo solo una parte:
Esercizio 13. Sia A ∈ Mat2(Q) .
(a) Se esiste B ∈ Mat2(Q) non nulla tale che A · B = 0 allora A non `e invertibile.
(b) Se A `e invertibile allora non esiste B ∈ Mat2(Q) non nulla tale che A · B = 0 . (c) (Domanda di logica) sono equivalenti (a) e (b)? Quale caso manca?
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Altre propriet` a di somma e prodotto
Quali operazioni sono consentite tra elementi di N e quali sono le loro propriet`a? e su Z ? Q ? R ? C ?
Ripasso delle propriet`a
• esistenza elemento neutro e : ∀a a ∗ e = e ∗ a = a
• esistenza opposto/inverso: ∀a ∃b tale che a ∗ b = b ∗ a = e
• commutativa: ∀a, b a ∗ b = b ∗ a
• associativa: ∀a, b, c (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
• distributiva: [due operazioni] ∀a, b, c (a + b) · c = a · c + b · c e c · (a + b) = c · a + c · b Esercizio 14. Dimostrare o confutare:
• per ogni a, b ∈ R si ha (a · b)2= a2· b2
• per ogni a, b ∈ Z si ha (a · b)2= a2· b2
• per ogni a, b, c ∈ R tali che a + b = a + c si ha b = c
• per ogni a, b, c ∈ R tali che a · b = a · c si ha b = c
Ricordiamoci che non possiamo usare operazioni non consentite! Sembra ovvio, ma `e molto comune dimenticarsi di controllare se l’elemento di cui usiamo l’inverso sia invertibile...
Esercizio 15. Dimostrare o confutare:
• per ogni A, B ∈ Mat2(Q) si ha (A · B)2= A2· B2
• per ogni A, B, C ∈ Mat2(R) tali che A + B = A + C si ha B = C
• per ogni A, B, C ∈ Mat2(R) tali che A · B = A · C si ha B = C
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