ESERCITAZIONE 3
Esercizio 1. Sia 𝑚 ≠ 0 un numero reale costante, e considera la funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥. a) Che tipo di proporzionalità lega tra loro le variabili 𝑥 e 𝑦?
b) In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 𝑂𝑥𝑦 che tipo di grafico è associato alla funzione 𝑓(𝑥)? Descrivilo al variare di 𝑚.
c) Descrivi alcuni esempi (fisici o matematici) di grandezze legate da questo tipo di proporzionalità. d) Calcola per quali valori di 𝑚 risulta 𝑓(2) = 6 e tracciane il grafico relativo.
Supponi ora 𝑚 = 3 e considera la funzione 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 6𝑥 .
e) Che tipo di proporzionalità lega tra loro le variabili 𝑥 e 𝑦? Descrivi almeno un esempio di grandezze matematiche legate da questo tipo di proporzionalità.
f) Disegna il grafico della funzione 𝑔(𝑥) nello stesso riferimento cartesiano che hai usato nel punto b). g) Determina algebricamente, e poi geometricamente, le soluzioni della disequazione 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Esercizio 2. Semplifica la seguente espressione algebrica, precisandone tutte le CE.
1 2(𝑏 − 1) − 3 𝑏 ∙ 1 𝑏 − 𝑏 − 6− 2 𝑏 + 5𝑏 + 6+ 3𝑏 − 5 𝑏 + 2𝑏 − 9𝑏 − 18 − 𝑏 + 2 𝑏 + 3𝑏 Esercizio 3.
a) Determina tutti i numeri naturali 𝑛 che godono della seguente proprietà: diminuendo il numero del 25%, si ottiene un numero minore di 33.
b) In un rettangolo, un lato è i 5/7 dell’altro. Quali valori può assumere la misura 𝑥 del lato maggiore, affinché il perimetro risulti maggiore di quello di un quadrato di lato 6 cm?
c) La somma di tre numeri interi dispari consecutivi è 33. Determina tali numeri.
d) Da un sondaggio è emerso che, su 30 intervistati, 23 consumano caffè, 21 consumano tè, e 3 non consumano né caffè e né tè. Avvalendoti dei diagrammi insiemistici di Eulero Venn, calcola quanti intervistati consumano tè e caffè.
Esercizio 4. Sia 𝐴𝐵𝐶 un triangolo isoscele di base 𝐵𝐶, e indica con 𝐷 il punto medio di 𝐵𝐶. Traccia la retta 𝑟 passante da 𝐷 e parallela al lato 𝐴𝐵, indicando con 𝐸 il punto in cui incontra il lato 𝐴𝐶. Poi traccia la retta 𝑠 passante da 𝐷 e parallela al lato 𝐴𝐶, indicando con 𝐹 il punto in cui incontra il lato 𝐴𝐵. Dimostra che
a) 𝐵𝐹𝐷 ≅ 𝐷𝐸𝐶;
b) 𝐹𝐵𝐶𝐸 è un trapezio isoscele; c) 𝐴𝐹𝐷𝐸 è un rombo.
Supponendo che 𝐴𝐵𝐶 = 50°, determina tutte le ampiezze degli angoli interni del trapezio 𝐹𝐵𝐶𝐸 e del rombo 𝐴𝐹𝐷𝐸.
Esercizio 5. Risolvi e discuti, al variare del parametro 𝑎 ∈ ℝ, l’equazione fratta 𝑎 + 3 3𝑥 − 4𝑎 𝑎 − 3= 1 − 𝑎 𝑥 . Esercizio 6. Risolvi il seguente sistema:
1 2(𝑥 + 1) − 𝑥 𝑥 − 1 2 < (1 − 𝑥)(𝑥 − 3) 𝑥 𝑥 − 3+ 2𝑥 − 1 2𝑥 − 6> 2
QUESTIONARIO
QUESITO 1. Considera le disequazioni
(a) 𝑥 ≥ 0 (b) 𝑥 ≥ 𝑥 (c) 𝑥 + 𝑥 ≥ 0 (d) 𝑥 > 0 Quali tra esse hanno come insieme soluzione 𝑆 = ℝ? Argomenta la tua risposta.
QUESITO 2. Considera il polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎𝑥 − (11𝑎 + 1). a) Calcola per quali valori di 𝑎 il polinomio è divisibile per 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 2.
b) Per il valore di 𝑎 appena determinato, utilizza la regola di Ruffini per calcolare il quoziente 𝑄(𝑥) della divisione.
QUESITO 3. Sull’insieme 𝐴 = {2,3,4,5,6} considera la relazione 𝑥ℛ𝑦 ⟷ 𝑀𝐶𝐷(𝑥, 𝑦) > 1. Stabilisci se ℛ è una relazione di equivalenza.
QUESITO 4. Date le funzioni 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, determina 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.
QUESITO 5. In un grande magazzino è stata compiuta un’indagine sulle taglie di pantaloni da uomo venduti durante una settimana, ottenendo i seguenti risultati
Taglia 44 46 48 50 52 54 56
Frequenza 2 7 6 12 10 2 1
a) Completa la tabella calcolando la frequenza relativa e percentuale di ciascuna taglia
Taglia 44 46 48 50 52 54 56 Frequenza 2 7 6 12 10 2 1 Frequenza relativa Frequenza percentuale
b) Determina la media aritmetica ponderata, la taglia mediana, la taglia moda, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variazione dell’indagine.
c) Costruisci un istogramma che rappresenta l’indagine.
QUESITO 6 (Matematica e Fisica). Il fisico francese Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806) dimostrò che tra due cariche elettriche costanti 𝑄 e 𝑄 , poste a distanza 𝑑, agisce una forza 𝐹 (detta appunto Forza di Coulomb), il cui modulo è
𝐹 = 𝑘 𝑄 𝑄 𝑑
ove 𝑘 > 0 è un’opportuna costante.
a) Determina la formula inversa che esprime 𝑄 in funzione di tutte le altre lettere.
b) Sapendo che 𝑄 è un protone (carica positiva), e che 𝑄 è un elettrone (carica negativa) stabilisci se 𝐹 è attrattiva o repulsiva.
c) Rispondi alla stessa domanda del punto precedente nell’ipotesi in cui entrambe le cariche siano elettroni.
d) Che tipo di proporzionalità lega le variabili 𝐹 e 𝑑 ? Sempre nell’ipotesi in cui entrambe le cariche siano elettroni, cosa accade alla forza 𝐹 se la distanza 𝑑 aumenta?
e) Cosa puoi concludere, da un punto di vista fisico, dalle considerazioni matematiche del punto precedente?
QUESITO 7. Scrivi nel linguaggio insiemistico la parte evidenziata.
QUESITO 8. Dati i punti 𝐴(2, −1), 𝐵(6,1) e 𝐶(2,2) determina, utilizzando i vettori: a) Le coordinate del punto 𝐷 tale che 𝐴𝐵𝐶𝐷 è un parallelogramma;
