Università degli Studi dell’Aquila
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Industriale, A. A. 2015-16
I prova parziale di Fisica Generale II – 02/11/2015
Nome Cognome Matricola Crediti
Una distribuzione di carica sferica ha densità ρ1 tra i raggi R1 e R2 e ρ2 tra i raggi R2 e R3. La distribuzione è circondata
da un guscio sferico metallico (conduttore) compreso tra i raggi R4 ed R5. Una carica di massa m e carica q si trova
nel guscio metallico a distanza d (con R4 < d < R5) dal
centro della distribuzione. Si determinino: a) la carica totale Q della distribuzione sferica (2 punti); b) il modulo del campo elettrico alle distanze R2, R3 e a metà tra R3 e R4 dal centro (2 punti); c) la densità superficiale di carica
indotta sul guscio metallico (2 punti); d) la velocità minima che bisogna fornire alla carica q per raggiungere una distanza R2 dal centro, nell’ipotesi che essa sia libera
di muoversi nei materiali attraversati (4 punti). e) Qual è il dato inutile del problema? (1 punto).
Nota: si trascuri la presenza della carica q ai fini del calcolo della carica indotta nel conduttore.
Dati: ρ1 = 1.5 μC/m3, ρ2 = 2.5 μC/m3, R1 = 20 cm, R2 = 30
cm, R3 = 40 cm, R4 = 80 cm, R5 = 100 cm, m = 0.2 mg, q =
Soluzione
La carica contenuta in ciascuno guscio sferico può essere calcolata moltiplicando la densità per il rispettivo volume: 𝑄1 = 𝜌14 3𝜋(𝑅2 3− 𝑅 13) = 0.12 μC 𝑄2 = 𝜌24 3𝜋(𝑅3 3− 𝑅 23) = 0.39 μC La carica totale della distribuzione è quindi Q = Q1 + Q2 = 0.51 μC.
Applicando il teorema di Gauss, si può calcolare il modulo del campo elettrico E alle distanza richieste. In particolare, si vede come E dipenda solo dalla carica totale contenuta in una ipotetica superficie sferica chiusa a distanza generica r dal centro della distribuzione ed ha un’espressione simile a quella di una carica puntiforme:
𝐸(𝑅
2) =
1 4𝜋𝜀0 𝑄1 𝑅22=
1.2 × 10 4 V/m𝐸(𝑅
3) =
1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑅32=
2.9 × 10 4 V/m𝐸 (
𝑅3+𝑅4 2) =
1 4𝜋𝜀0 𝑄 (𝑅3+𝑅42 )2=
1.3 × 104 V/mPoiché il guscio metallico circonda completamente la distribuzione di carica siamo in presenza di un caso di induzione completa, per cui la carica indotta sulla faccia interna (σ4) è pari in modulo alla
carica inducente ed opposta di segno, mentre quella sulla faccia esterna (σ5) è uguale sia in modulo
che segno. La densità superficiale sulle due facce sarà pertanto:
𝜎
4= −
𝑄 4𝜋𝑅42=
- 63 nC/m 2𝜎
5=
𝑄 4𝜋𝑅52=
40 nC/m 2Per penetrare la distribuzione sferica la carica q deve vincere soltanto la repulsione di quest’ultima, in quanto all’interno del conduttore il campo elettrico è nullo. La differenza di energia potenziale tra R4 e R2 è pari all’energia cinetica che bisogna fornire alla carica per raggiungere la distanza R2. E’
pertanto necessario calcolare la differenza di potenziale tra R4 e R2, cosa che richiede la conoscenza
dell’espressione del campo elettrico in funzione della distanza dal centro in questa regione di spazio. Tra R4 e R3, il campo elettrico è pari a quello di una carica puntiforme Q e quindi la differenza di
potenziale è:
∆𝑉
2= 𝑉(𝑅
3) − 𝑉(𝑅
4) = ∫ 𝐸(𝑟)𝑑𝑟 =
𝑅4 𝑅3∫
1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2𝑑𝑟 =
𝑅4 𝑅3 1 4𝜋𝜀0𝑄 (
1 𝑅3−
1 𝑅4) =
5.7 kV Tra R3 e R2 è possibile calcolare E(r) utilizzando il teorema di Gauss:4𝜋𝑟2𝐸(𝑟) =𝑞(𝑟) 𝜖0
La carica q(r) contenuta entro il raggio generico R2 ≤ r ≤ R3 è:
𝑞(𝑟) = 𝑄1+ 𝜌24 3𝜋(𝑟
3− 𝑅 23) Pertanto la differenza di potenziale tra R3 e R2 risulta essere:
∆𝑉1 = 𝑉(𝑅2) − 𝑉(𝑅3) = ∫ [ 1 4𝜋𝜀0 𝑄1 𝑟′2+ 𝜌2 3𝜀0(𝑟 ′−𝑅2 3 𝑟′2)] 𝑅3 𝑅2 𝑑𝑟 =
=
𝑄1 4𝜋𝜀0(
1 𝑅2−
1 𝑅3) +
𝜌2 3𝜀0[
𝑅32−𝑅22 2+ 𝑅
2 3(
1 𝑅3−
1 𝑅2)] =
2.1 kV Per cui ΔV = ΔV1 + ΔV2 = 7.8 kV. La velocità minima da fornire alla carica q è quindi:1 2𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2 ≥ 𝑞∆𝑉 𝑣𝑚𝑖𝑛 = √2𝑞∆𝑉/𝑚 = 20 m/s
Il dato inutile del problema è il valore numerico della distanza d, in quanto all’interno del conduttore il campo elettrico è nullo, quindi non occorre conoscere la posizione esatta della carica q ai fini del calcolo delle differenze di potenziale.
