An extension of Kalker's linear theory for the simulation of limit conditions

(1)

1

POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in

Ingegneria Meccanica

AN EXTENSION OF KALKER’S LINEAR THEORY FOR THE

SIMULATION OF LIMIT CONDITIONS

Relatore: Prof. Francesco Braghin

Co-relatore: Prof. Ahmed Shabana

Tesi di Laurea di:

Emanuele CRIVELLENTE Matr. 771306

(2)

(3)

3

Ringraziamenti

Vorrei ringraziare il professor Shabana per avermi dato l’opportunità di svolgere il lavoro di tesi presso il suo gruppo di ricerca nel dipartimento di Ingegneria Meccanica presso la UIC. Ringrazio inoltre il professor Cheli per l’aiuto datomi in fase di partenza e permanenza negli Stati Uniti e il professor Braghin per avermi seguito con passione e pazienza nella stesura del lavoro di tesi. Ringrazio anche Liang Wang e Antonio Recuero, ricercatori del Multibody Systems Dynamics Laboratory che si sono sempre mostrati disponibili e appassionati nel lavoro.

Un ringraziamento speciale va inoltre alla mia famiglia, in particolare i miei genitori, per avermi sostenuto, accompagnato e guidato in questi anni. La loro presenza ed il loro aiuto è sempre stato di centrale importanza nel cammino di tutti i giorni.

Mi preme ringraziare inoltre tutti coloro che mi sono stati accanto in questi anni ricchi di incontri, amicizie, fatiche e gioie. Ringrazio tutti gli amici e compagni di studio con i quali ho avuto la fortuna di condividere un pezzo di vita. Voglio ricordare inoltre tutti coloro con i quali, da una semplice necessità di studiare assieme, è nata una importante e profonda amicizia, inaspettata e fruttuosa non soltanto negli aspetti che riguardano la sfera universitaria ma con i quali c’è stata la possibilità di mettere a tema la vita tutta.

(4)

(5)

5

Sommario

Il seguente lavoro di tesi si occupa di analizzare i principali modelli di contatto ruota-rotaia presenti attualmente nel panorama dell’analisi dinamica multi-body per veicoli ferroviari. In particolare nel lavoro si analizza nel dettaglio il modello lineare di Kalker evidenziandone i principali pregi e difetti. Successivamente un’estensione di tale modello viene sviluppata in questo lavoro con lo scopo di ampliare il campo di applicazione di tale modello. Il modello lineare di Kalker, oltre ad essere un modello che appunto stabilisce una relazione lineare molto semplificata tra pseudo-slittamenti e forze al contatto, non contiene un modello di saturazione del vincolo a contatto. Ciò significa che per elevati valori degli pseudoslittamenti tale modello risulta essere completamente inaffidabile. Introducendo quindi un modello di saturazione è possibile limitare il valore delle forze a contatto per alti valori degli pseudoslittamenti, conferendo così un campo di applicazione più ampio. È importante sottolineare che la relazione tra pseudo-slittamenti e forze a contatto non è esattamente lineare in tutto il suo campo di utilizzo: essa ha infatti un comportamento lineare per valori molto ridotti degli pseudo-slittamenti, può poi essere approssimato cubicamente per valori superiori di questi ultimi, mentre per elevati valori degli pseudo-slittamenti tale relazione diventa costante in quanto si verifica un pieno slittamento e quindi la forza tangenziale che si sviluppa in questa condizione raggiunge il suo massimo valore. Il modello di forza di contatto sopra citato è stato implementato nel software di calcolo multi-body SAMS/2000 presso la University of Illinois at Chicago nel laboratorio di calcolo del Professor Shabana. Successivamente sono state eseguite diverse simulazioni su tale software in diversi scenari con lo scopo di confrontare il modello lineare appena implementato con il modello di contatto USETAB già precedentemente presente nel software. Molteplici considerazioni sono state fatte a rigurardo dell’applicazione dei due modelli di contatto. Notando che una delle principali criticità del modello riguarda la determinazione della forze di contatto in corrispondenza del contatto di bordino, in quanto lo pseudo-slittamento di spin in tale condizione è molto elevato, si è deciso di analizzare la situazione di deragliamento causato da flange climb sempre con lo scopo di fare un confronto tra i due modelli di contatto e anche per analizzare tale fenomeno il quale risulta essere di fondamentale importanza per la sicurezza di qualsiasi veicolo

(6)

6

ferroviaro. Sono state svolte diverse simulazioni a tale scopo e il rapporto tra forza laterale e forza verticale (L/V) agenti sul punto di contatto a bordino è stato calcolato durante la simulazione. Tale rapporto è stato poi messo a confronto con il limite di deragliamento di Nadal. Altri limiti di deragliamento alternativi a quest’ultimo sono stati calcolati e messi a confronto con il rapporto L/V allo scopo di avere un’analisi più completa mediante l’utilizzo di indicatori più realistici, visto che in determinate condizioni spiegate nel lavoro di tesi l’indice di Nadal tende ad essere eccessivamente conservativo. Infine, notando che il valore limite di deragliamento dipende molteplici variabili, non già quelle fino a questo punto del lavoro citato, si è deciso di eseguire un’analisi di sensitività sulla dimensione del diametro di riferimento della ruota. Sono quindi state fatte diverse simulazioni di deragliamento al variare del diametro di riferimento, confrontando poi questi risultati con quanto appreso da alcune prove sperimentale svolte su ruote a diametro sensibilmente ridotto rispetto ai casi convenzionali.

Parole chiave: modello di Kalker; pseudoslittamenti; forze di contatto; punto di contatto; flange climb

(7)

7

Abstract

The following work of thesis deals with an analysis of the principal models of wheel-rail contact present in the multi-body dynamic analysis field for railroad vehicles. In particular in this work a detailed analysis of Kalker’s linear model has been done pointing out the principal pro and cons. Subsequently an extension of such model is developed with the purpose of amplify the application field of this contact force model. The Kalker’s linear model, in addition to establishing a very simplified relationship between creepages and contact forces, it does not have in its expression a saturation model of the contact forces. This means that for high values of creepages such model is completely unreliable. Introducing then a saturation model it is possible to limit the values of the contact forces for high values of the creepages, thus giving a wider field of application. It is important to point out that the relation between the creepages and contact forces is not exactly linear for its entire application field: it has in fact a linear behavior for very low values of the creepages, it can then be approximated as cubic behavior for higher values of the creepages, while for very high values such relation becomes constant since there is a complete sliding and so the tangential force that arise in this condition reach its maximum value. The above mentioned contact force model has been implemented on the multi-body calculation software SAMS/200 at the University of Illinois at Chicago in dynamic calculation laboratory of Professor Shabana. Afterwards several simulation have been made with this software in different scenarios with the purpose of compare this linear model with USETAB model already implemented in the software. Many considerations regarding the application of both of the contact models have been made. Noticing that one of the principal weaknesses of the linear model implemented is about the determination of the contact forces in correspondence of the flange contact, since in this point the spin creepage has a very high value, it has been decided to analyze the situation of derailment caused by the flange climb with the aim of comparing the two contact models and to analyze this phenomenon that is of fundamental importance for the safety of the railroad vehicles in general. Many simulation with this purpose have been made and ratio between lateral force and vertical force (L/V) acting in correspondence of the flange contact point has been calculated during the simulation. Such ratio has been compared with

(8)

8

Nadal’s derailment limit. Other alternative derailment limits have been calculate and compared with L/V ratio in order to have a more comprehensive analysis with the using of more realist indicators, since for some kind of situations explained in the work Nadal’s limit could be excessively conservative. Lastly, noticing that the limit value for derailment depends by many variables, not only the ones mentioned up to this point of the work, it has been decided to perform a sensitivity analysis on the dimension of the diameter of the wheel, comparing these results with what has been learned from some experimental tests made on wheels with a very small diameter with respect to the conventional type of wheel for railroad vehicles.

Keywords: Kalker’s model; creepages; contact forces, contact point, flange climb

(9)

(10)

10

Estratto in lingua italiana

Lo scopo di questo lavoro è quello di sviluppare un modello semplificato per la relazione tra le forze di contatto tangenziali e gli pseudo-slittamenti utilizzando il linguaggio di programmazione Fortran con lo scopo di aggiungere a SAMS/2000, il software per l’analisi dinamica multi-body, la possibilità per l’utente di scegliere più tipi di modello di contatto da utilizzare nelle simulazione che si troverà a svolgere. La scelta potrà essere relativa al modello di contatto già implementato, che è Kalker USETAB, oppure un nuovo modello lineare sviluppato nel modo spiegato in questo lavoro. Tale lavoro è quindi focalizzato nella determinazione delle forze di contatto tangenziali, mentre riguardo alla determinazione della forza normale è presente una spiegazione di come questa è calcolata e su quali modelli si basa ma tale parte di calcolo rimane invariata nel seguente lavoro proprio per poter essere in grado di andare ad analizzare le differenze introdotte soltanto da un diverso modello per il calcolo delle forze tangenziali a contatto. Tale modello verrà poi messo alla prova e analizzato in diversi scenari a diversi livelli di criticità, cioè in situazioni più o meno limite per un veicolo ferroviario proprio per andare a mettere in evidenza dove si trovano le maggiori differenze tra i modelli analizzati. In questo modo sarà possibile vedere quando il modello lineare non può più essere ritenuto sufficientemente affidabile per una corretta analisi del comportamento dinamico di un veicolo ferroviario in determinate condizioni.

Prima di passare direttamente al calcolo delle forze di contatto è necessaria la determinazione della posizione dei punti di contatto le quali, in dipendenza dalle condizioni geometriche e dinamiche, possono essere uno o più per ogni ruota a contatto. Una volta determinata la posizione di tutti i punti di contatto è possibile assegnare delle forze di contatto a tali punti. Viene calcolata prima la forza di contatto normale alle superfici e successivamente, anche con le informazioni derivate dal calcolo della forza normale, è possibile passare al calcolo delle forze tangenziali presenti al contatto tra la ruota e la rotaia. Ci sono diversi approcci per la determinazione dei punti di contatto tra la ruota e la rotaia come si può vedere in [2]. La determinazione del punto di contatto in sé non è oggetto di questo scritto ma si ritiene comunque utile per capire a fondo le procedure che si occupano dello studio del contatto ruota/rotaia. In tutte le simulazioni svolte in questo lavoro il metodo utilizzato per la determinazione

(11)

11

del punto di contatto è sempre l’Elastic Contact Formulation – Algebraic Equations (ECF-A) [3]. I vantaggi di questo approccio rispetto ad altri, per esempio approcci di tipo vincolato, sono i seguenti: l’Elastic Contact Formulation permette la presenza di piccole separazioni tra la ruota e la rotaia, oppure piccole compenetrazioni tra i due corpi a contatto. Questo significa che i corpi non sono a tutti gli effetti corpi deformabili, si continua in realtà a lavorare sotto l’ipotesi di corpi rigidi, ma una piccola comprenetrazione tra di essi è permessa. Tale valore di compenetrazione potrà essere poi utilizzato per la determinazione della forza normale di conatto. Tale forza può infatti essere determinata usando un modello di forza complementare con propri coefficienti di rigidezza e smorzamento, quindi direttamente calcolabile a partire dai valori di penetrazione e di velocità di penetrazione. Se i coefficienti di rigidezza e di smorzamento sono ben impostati, questa metodologia porta ad ottenere risultati accurati ed affidabili. Inoltre la caratteristica di permettere la separazione tra la ruota e la rotaia permette di simulare molti scenari in situazioni decisamente critiche in cui una separazione può effettivamente avvenire.

In [27] viene effettuato uno studio a riguardo dei principali modelli di contatto sviluppati da J. J. Kalker, in particolare è data maggiore attenzione al programma da calcolatore CONTACT, che è un modello completo sviluppato da Kalker. Viene analizzata inoltre la teoria lineare di Kalker e l’utilizzo di tavole precompilate per la legge di legame tra pseudoslittamenti, forze e momento. In [7] viene affrontata una valutazione dei principali modelli utilizzati e la loro accuratezza con un approccio di tipo statistico per la determinazione degli errori relativi di ciascun modello analizzato. Si può notare a partire da qui che non è presente un modello particolarmente semplificato che sia in grado di tener conto di condizioni in cui gli pseudoslittamenti assumono valori importanti. Infatti la maggior parte dei modelli attualmente in uso sono spesso complessi e pesanti da un punto di vista computazionale. Questo è dovuto al fatto che la relazione esistente tra gli pseudo-slittamenti e le forze di contatto tangenziali è fortemente non lineare e per questa ragione risulta particolarmente complicato descrivere questo compertamento utilizzando delle equazioni particolarmente semplici. In [6] sono affrontate in modo approfondito tutte le nozioni basilari a riguardo del contatto ruota/rotaia. Sono fornite poi nello stesso testo alcune formule di interpolazione per la determinazione dei coefficienti della tavola di Kalker per il suo modello lineare. Tuttavia in tale scritto viene sempre trascurato il contributo del momento di spin e quindi per coefficiente relativo al momento non viene

(12)

12

fornita la formula di interpolazione per la determinazione di tale coefficiente. In questo lavoro viene quindi proposta una nuova formula di interpolazione per la determinazione di tale coefficiente allo scopo di non fare ricorso all’utilizzo delle tavole di Kalker.

In [1] è proposta una nuova modalità per il calcolo del momento di spin, viene inoltre trattata l’importanza del calcolo del momento di spin e la sua rilevanza nella dinamica del sistema. In [22] è proposto un algoritmo veloce ed efficiente per il calcolo delle forze di contatto tenendo anche in considerazione il momento di spin nella definizione della forza laterale, trascurando però l’effetto del momento di spin sulla dinamica del sistema. Tale metodo è anche analizzato da un punto di vista di tempo di calcolo e messo a confronto con altri metodi. Si nota quindi che in tutti i metodi visti ed analizzati il problema del calcolo delle forze tangenziali è spesso risolto mediante un trade off tra la precisione del metodo utilizzato e la complessità del modello stesso, visto che, come è intuitivo dedurre, più completo è il modello nella descizione del fenomeno più esso sarà complesso e costoso da un punto di vista computazionale. Questo lavoro espone quindi nel dettaglio lo sviluppo di una relazione lineare tra gli pseudo-slittamenti e le forze tangenziali a contatto che permetta, tenendo conto dell’errore introdotto, di ottenere valori delle forze accettabili, capendo ed evidenziando in quali condizioni i valori restituiti dal modello lineare siano buone approssimazioni di un caso reale o quando invece le semplificazione introdotta è eccessiva e quindi l’errore commesso non è più accettabile. Tale studio ha come base di partenza il modello lineare di Kalker, il quale viene poi successivamente sviluppato allo scopo di raggiungere una soluzione maggiormente accurata in situazioni in cui gli pseudo-slittamenti raggiungono valori che sarebbero eccessivamente elevati per il modello lineare di Kalker. Questo significa introdurre nella classica relazione lineare un modello di saturazione basato sulla legge Coulomb; praticamente la relazione tra pesudo-slittamenti e forze tangenziali è lineare fino a che tali forze tangenziali raggiungono il limite di saturazione dato dalla relazione di Coulomb per la quale la massima forza tangenziale esprimibile è pari al valore di forza normale tra i due corpi moltiplicato per un coefficiente che dipende sostanzialmente dalle caratteristiche fisiche dei due corpi a contatto. Per valori maggiori degli pseudo-slittamenti il legame diventa quindi costante in dipendenza della sola forza normale che agisce sul punto di contatto. Tale legge ha quindi lo scopo di ampliare il campo di applicazione del modello lineare.

(13)

13

Nel primo capitolo viene fornita un’introduzione all’oggetto della tesi, mentre nel secondo capitolo è presente una descrizione della tecnica utilizzata in questo lavoro per la determinazione della posizione del punto di contatto con lo scopo di fornire una un quadro completo sul problema generale del contatto ruota rotaia. Il capitolo 3 affronta il problema del forza normale di contatto, fornendo prima i concetti base del modello di contatto elastico e come, mediante questo tipo di formulazione, la forza normale a contatto può essere calcolata. Successivamente viene introdotta la teoria al contatto di Hertz, teoria largamente utilizzata sia in ambito di ricerca che in ambito industriale; le ipotesi per l’applicazione della teoria sono spesso ritenute valide in campo ferroviario. Tale teoria viene sempre utilizzata per tutte le simulazioni svolte in questo lavoro, mentre verranno utilizzati due diversi modelli per il calcolo delle forze tangenziali. Nel capitolo 4 viene affrontato il problema della determinazione delle forze tangenziali. Nel primo paragrafo è presente il modello lineare di Kalker fornendo la formulazione matematica di tale modello e dando una breve spiegazione di come funziona e quali sono i principali limiti. Nel secondo paragrafo di questo capitolo viene presentata l’estensione del modello classico di Kalker lineare ricavando le formule e motivando le scelte fatte in questo frangente. È in questa parte che la legge di saturazione viene sviluppata con lo scopo di rendere il modello lineare ancora valido quando il valore degli pseudo-slittamenti cresce. Nei due paragrafi successivi vengono presentati altri due modelli per il calcolo delle forze tangenziali. Il primo modello è USETAB, che è il modello che verrà anche utilizzato come riferimento nelle simulazioni per valutare la bontà del modello lineare sviluppate. Per il confronto verranno quindi disegnati nelle sezioni successive i grafici di spostamente e forze con i due modelli a confronto e viene anche calcolato in alcuni casi l’errore commesso dal modello lineare in rapporto ai valori forniti da USETAB. Nell’ultimo paragrafo viene poi mostrato un altro programma per il calcolo delle forze tangenziali. Tale programma si chiama FASTSIM ed è un programma molto utilizzato sia in ambito di ricerca che in campo industriale e che è in grado di restituire valori molto accurati a fronte di un costo computazionale relativamente ridotto se pre esempio confrontato con il più completo programma di calcolo, sempre sviluppato da Kalker, CONTACT. Nel capitolo 5 è presente una descrizione dei modelli ferroviari utilizzati nelle simulazioni; si tratta di un modello di sala ferroviaria, un sistema che risulta quindi essere intrinsicamente instabile, e un modello di veicolo ferroviario completo composto da diversi corpi rigidi collegati tra di loro mediante elementi elastici dotati di elementi

(14)

14

molla e/o smorzatore a secondo del tipo di collegamento che devono andare ad eseguire. Il capitolo 6 è dedicato ad esporre le simulazioni fatte al fine di testare il modello lineare messo a punto e di confrontarlo con il più preciso modello di riferimento USETAB. In questa parte sono stati simulati diversi scenari come ad esempio con tracciato rettilineo o tracciato in cui è presente una curva. Le simulazioni sono anche state eseguite a diverse velocità e con differenti condizioni iniziali allo scopo di ricoprire un’ampia gamma di casi e quindi di poter dare poi dei giudizi soddisfacenti sul comportamento del modello lineare messo a punto. In seguito a ciò si è deciso di analizzare un fenomeno nel dettaglio, ritenuto decisivo nello studio della dinamica dei veicoli ferroviari. Si tratta del deragliamento causato dall’arrampicamento della ruota che va bordino sulla rotatia, situazione che può accadere ad esempio se un veicolo si trova ad affrontare una curva in condizioni che possono essere critiche. Tale situazione è stata ed è attualmente oggetto di grandi sforzi da parte della ricerca universitaria come anche da parte delle aziende specializzate nel settore ferroviario, in quanto è un elemento chiave per la sicurezza di marcia dei veicoli. Tale fenomeno è stato analizzato con l’utilizzo della sola sala ferroviaria, in quanto utilizzando un veicolo completo si sarebbe aumentato eccessivamente il grado di complessità del problema rendendo troppo difficile da comprendere quello che sta accadendo. Sono stati quindi messi a punto diversi scenari allo scopo di portare la sala a deragliamento causato da flange climb. Si è pervenuti a questo scopo facendo viaggiare la sala ad una velocità costante non eccessivamente elevata su una curva con raggio di curvatura relativamente ridotto. Durante la simulazione si è applicata poi una forza esterna in corrispondenza del centra di massa volta a spingere tale sala verso l’esterno curvo, concorde quindi con la forza centrifuga che tende appunto a spingere la sala verso l’esterno della curva. Tale forza incrementa il suo valore in dipendenza dal tempo di simulazione, quindi continuerà ad aumentare fino a che la situazione di deragliamento si verifichi. Per queste situazioni è stato analizzato il rapporto tra forza laterale definita nel sistema di riferimento solidale al tracciato e la forza verticale definita nello stesso sistema di riferimento, chiamata Y/Q in Europa oppure L/V negli Stati Uniti. Il valore di questo rapporto è stato poi confrontato con il limite Nadal. Tale limite, inventato da Nadal nel 1908, indica il rapporto L/V massimo al di sotto del quale non avviene deragliamento. È un indicatore che è stato ed è tuttora ampiamente utillizzato, anche perchè in molti casi risulta essere decisamente cautelativo rispetto al rischio di deragliamento. Esso infatti non dipende dall’angolo di serpeggio e dal valore di forza longitudinale mentre il

(15)

15

fenomeno del flange climb è influenzato anche da queste variabili. Quindi per piccoli angoli di serpeggio o se la forza longitudinale è particolarmente sfruttata esso tende a sovrastimare il rischio di deragliamento fornendo un limite di deragliamento decisamente più basso del valore reale. Si è deciso quindi di confrontare il rapporto L/V con altri indicatori i quali dessero risultati più realistici. Sono stati quindi analizzati altri due indicatori di deragliamento: uno che dipende dall’angolo di serpeggio e che quindi per piccoli valori di quest’ultimo fornisca un limite di deragliamento superiore, e un che dipende dalla forza longitudinale. Ciò significa che se la forza longitudinale nel punto di contatto a bordino è elevata, la forza laterale in tale punto non potrà crescere moltissimo dato che buona parte della forza totale sviluppabile nel punto di contatto è impiegata longitudinalmente. Ne consegue che in questa situazione il rischio di deragliamento diminuisce sensibilmente e quindi il limite di deragliamento cresce. Entrambi gli indicatori vanno a convergere al limite di Nadal quando la situazione non è tale per cui il limite di Nadal sta sovrastimando il rischio di deragliamento. Per questo motivo tali indicatori sono adatti allo scopo di questo lavoro. Diverse osservazioni e conclusioni sono poi state fatte a riguardo di questa analisi confrontando i risultati ottenuti con il modello lineare implementato e con il modello di riferimento USETAB. A conclusione del lavoro si è deciso di svolgere un analisi di sensitività sul diametro di riferimento della ruota per andare a vedere, anche basandosi su risultati di prove sperimentali, come influisce la variazione della dimensione della ruota sul limite di deragliamento. Interessanti osservazioni sono stati fatte a riguardo di questa analisi.

(16)

(17)

17



limit” criterion ... 81

7.3. The “Saturation limit” criterion ... 82

7.4. Simulations ... 82

7.4.1. Unsuspended wheelset... 83

8. Sensitivity analysis on the L/V ratio varying the diameter of the wheel. ... 98

9. Conclusions ... 103

Bibliography ... 106

List of figures

1 Rendering of the wheelset during the simulation ... 44

2 Spin moment and spin creepage vs time in simulation b ... 49

3 Lateral displacement vs time for simulations a, b, c ... 50

4 Normal force vs time for simulations a, b, c ... 51

5 Longitudinal force vs time for simulations a, b, c. ... 52

6 Lateral force vs time for simulations a, b, c… ... 53

7 Lateral displacement vs time in simulation d ... 55

8 Longitudinal force vs time in simulation d ... 56

9 Lateral force vs time in simulation d ... 56

10 Normal force vs time in simulation d ... 56

11 Rendering of the complete car during the simulation ... 58

12 Track trajectory in simulation e ... 58

13 Lateral displacement vs time for the first wheelset and the last wheelset in simulation e ... 59

14 Lateral force vs time for the first wheelset and the last wheelset in simulation e ... 59

15 Lateral displacement of the car body vs time during the different critical velocity detected for the two models ... 60

(19)

19

16 Lateral force of one wheel of the trail rear wheelset of the car body

vs time during the different critical velocity detected for the two

models... 61

17 Track trajectory in simulation f ... 61

18 Lateral displacement and lateral force of the right wheel of the lead front wheelset of the car body vs time during simulation f ... 62

19 Lateral displacement of the wheelset and lateral force on the right wheel of the trail rear wheelset of the car body vs time during simulation f ... 62

20 Force in correspondence of the flange contact point vs time in simulation f ... 64

21 Creepages values for flange contact during simulation f... 65

22 Saturation check and creepages values for tread contact in one wheel of the rear trail wheelset during simulation f ... 66

23 Contact point lateral position. Right wheel of the front trail wheelset in simulation f ... 67

24 Contact forces scheme on the right and left wheel when flange contact occurs in Simulation f ... 68

25a Sum of the forces acting on front trail wheelset projected on y and z axes during simulation f ... 69

25b Vertical displacement of the Lead front wheelset (on the left) and of the trail rear wheelset (on the right) in simulation f ... 69

26 Track trajectory in simulation f ... 70

27 Vertical, lateral displacement and lateral force of the lead front wheelset in the simulation g ... 71

28 Lateral displacement and lateral force of the lead front wheelset in the simulation h ... 71

29 Percentage error between the two methods in simulation d for lateral displacement and lateral force ... 73

30 Percentage error between the two methods in simulation e for lateral displacement of the lead front wheelset and the rear trail wheelset ... 73

31 Percentage error between the two methods in simulation e for lateral force of the lead front wheelset and the rear trail wheelset ... 74

32 Wheelset in the track with an important angle of attack ... 76

33 Scheme of the position of two contact point ... 77

34 Contact forces scheme defined in two different coordinate system ... 79

35 Drawing of the two different wheel/rail profiles for the simulations ... 83

36 Trend of the external lateral force applied to wheelset ... 85

37a Unsuspended wheelset. Displacements with the first profile and the two contact force models ... 86

37b Unsuspended wheelset. Displacements with the second profile and the two contact force models ... 87

(20)

20

38a Unsuspended wheelset. Normal force on the right wheel using the

First profile ... 88

38b Unsuspended wheelset. Normal force on the right wheel using the second profile ... 88

39 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with the USETAB and Linearized models for the first wheel/railprofile compared with Nadal’s limit ... 90

40 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with the USETAB and Linearized models for the second wheel/rail profile compared with Nadal’s limit ... 91

41 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with USETAB model for the first wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “ limit” criterion ... 93

42 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with Linear model for the first wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “ limit” criterion ... 93

43 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with USETAB model for the second wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “ limit” criterion ... 94

44 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with Linear model for the second wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “ limit” criterion ... 94

45 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with USETAB model for the first wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “saturation limit” criterion ... 96

46 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with Linear model for the first wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “saturation limit” criterion ... 96

47 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with USETAB model for the second wheel/rail profile comparedwith Nadal’s limit and “saturation limit” criterion ... 97

48 Unsuspended wheelset. L/V ratio calculated with Linear model for the second wheel/rail profile compared with Nadal’s limit and “saturation limit” criterion ... 95

49 Picture of the bogie with the wheelsets ... 99

50 Picture of the wheelset mounted on the dynamic test rig ... 99

51 Geometrical dimensions of the wheel ... 100

52 Position of the limit contact point ... 101

53 Maximum value of L/V ratio registered in each simulation for both USETAB and Linear model varying the radius of the wheel ... 101

54 Value of the normalized variation of the vertical force in the same instant of the previous graph. ... 102

(21)

21

List of the tables

1 Coefficient m and n ... 36

2 Inertial parameters of the unsuspended wheelset ... 45

3 Inertial parameters for each element of the full vehicle model ... 46

4 Bearing element data ... 46

5 Data used in the full vehicle model ... 47

6 Values of the initial conditions for simulations a, b, c ... 54

7 Constraint on the angular velocity during the simulations a, b, c ... 54

(22)

22

1. Introduction

The goal of this work is to develop a simplified model for the relation between contact forces and creepages using Fortran Language in order to add to SAMS/2000, the software for the multi-body dynamic analysis, the possibility for the user to choose for the contact model to use in the simulation. The choice will be either the already implemented model, which is based on Kalker USETAB, or Kalker’s linear model, developed in the way that is explained in this report. The work is therefore focused on the determination of the tangential contact forces, while regarding the normal contact force an explanation of the way in which is calculated is made, but no modifications are done with respect to this topic.

Before the calculation of the contact forces, it is necessary to determine the location of the contact points, which depending from the dynamic condition could be one or more, then, starting from this data and knowing other geometric, dynamic and material constitutive variable, it is possible to pass to the calculation of the contact forces. There are many approaches for the detection of the contact points between the wheel and the rail as explained in [2]. The detection of the contact points is not the object of this script but is useful in order to understand the mechanisms that concern the study of the wheel/rail contact forces. In all of the simulations conducted for this report the Elastic Contact Formulation – Algebraic Equations (ECF-A) [3] for the detection of the contact point is always used. Basically this formulation allows the detection of the contact points solving a set of algebraic equations. The advantages of this method with respect to other methods are the following: this method allows for small wheel separation and penetration conditions, allowing to simulate several scenarios even in critical and unusual conditions; the normal contact force is determined using a compliant force model that has stiffness and damping coefficients, so it is directly calculable starting from the values of indentation and velocity of indentation. If the damping and stiffness coefficients are well set, this methodology return accurate and reliable results.

In [27] a survey about the principals models developed by J. J. Kalker is performed; in particular more attention is given to the comprehensive computer program CONTACT developed by Kalker, to Kalker’s linear theory, and to the Table-lookup for the creep-force-moment law. In [7] an assessment about the more used methods and their accuracy is made using a statistical analysis. It can

(23)

23

be noticed that a simplified approach that would be able to take into account conditions of large creepages is missing. In fact the most part of the method currently used are often complex and heavy from the computational point of view. This is due to the fact that the relation between creepages and forces is strongly nonlinear and, for this reason, is complicated to describe this behavior with very simple equations.

In [6] the bases of the wheel/rail contact are deeply explained, and some interpolation formulas for the Kalker’s coefficient tables are presented. However

this discussion is developed neglecting the spin moment, so coefficient c is ₃₃

not calculated; in this script a new interpolation formula to determine c ₃₃

coefficient is proposed, in order to develop a new model that would be able to consider spin creepage and the effect of the spin on the dynamic behavior of the train.

In [1] a new way for the spin moment calculation and its importance in railway dynamics is explained while in [22] a fast wheel-rail forces calculation is proposed considering spin creepage for the definition of the lateral force but neglecting the effect of the spin moment. It is also showed some time calculation comparisons between the proposed method and other known methods.

It can be deduced that the problem of finding relation between creepages and contact forces is important, and in all of the already implemented methods there is always a trade of between accuracy and complexity of the model, because the more comprehensive the method is, the more complex and nonlinear the formulation is, since the relation between creepages and forces is strongly nonlinear.

This paper explains a modification implemented in the software SAMS/2000 on the calculation of the tangential forces in the contact between wheel and rail. An alternative subroutine has been implemented to calculate the contact forces that, starting from the values of normal force, dimension of the contact ellipse, material characteristics and creepages returns the value of the tangential forces and the spin moment for these assigned values.

Since the calculation of the dynamic behavior of a train is dependent from second order differential equations order, the solution has to be determined by

(24)

24

using numerical integration; the values of the tangential forces has to be calculated at each time step, and they are quite crucial in the determination of the dynamic behavior and stability of railway vehicles. It is therefore interesting to develop an explicit method, which can be easy and fast in both implementation and calculation.

The work is focused on a linear relation between forces and creepages that permit, considering the error committed, to have acceptable force values, understanding in which conditions these values are a good approximations of the real values and when are not, and so when it would be necessary a more comprehensive implementation. The base of the study starts from the famous Kalker's linear theory, and develops it in order to rich a more accurate solution that is especially able to consider, in an approximate way, the saturation limit of the contact forces. In fact the main limit of this model is that is not able to consider a condition of saturation between creepages and forces. To this end an extension of the classical Kalker’s linear model is developed in this work including a saturation law with the aim of giving a wider possibility of application of the linear model.

In Chapter 2 a description regarding the technique used for the detection of the contact point is given in order to provide a complete idea about the general problem of the analysis of contact between the wheel and rail. Chapter 3 deals with the normal contact problem, giving an explanation about the Elastic Contact Formulation and about how in this formulation the contact force in calculated. After this a brief summary on the Hertz theory about the normal contact is taken into account. In this work the Hertz theory for the solution of the normal contact problem is always used even when different tangential contact force models are used. In Chapter 4 the tangential contact problem is faced. In this part first the Kalker’s linear model is studied giving the mathematical formulation and explaining the principal weaknesses. Secondly an extension of the same linear model is developed, creating a saturation law in order to limit the values of the tangential forces when the creepages are high. In the same Chapter other two tangential contact force models are present. One is Kalker’s USETAB that is used in the whole work as a reference for the comparison of the results with the linear model with saturation. The second is FASTSIM that is a tangential contact force model widely used in research and by the companies with interesting results concerning the time consuming and the accuracy of the solutions. In Chapter 5 a description of the railroad multi-body

(25)

25

models used in the simulation is given. In Chapter 6 the simulation made and the relative results are shown giving observation about the comparison between USETAB model and linear model. In this part many scenarios with different models are used in order to give as many elements as possible to understand the differences between the two contact model, and when the linear model cannot be a good approximation of the behavior of the railroad vehicle. The Chapter 7 deals with the problem of the derailment caused by flange climb phenomenon. The study of the flange climb phenomenon is always important since is one of the most likely causes of the derailment of a railroad vehicle. Some derailment indicators are shown in this part and the comparison of the behavior of these indicator using USETAB and Linear contact force models has been done. Since, as already pointed out in the previous chapter, the limit of derailment depends by many variables, it has been decided to see if this limit depends by other variables not already mentioned. Some experimental tests revealed in fact that by reducing the dimension of the wheel, that means reducing the value of the diameter of the wheel, the limit of derailment can increase. So in Chapter 8 a set of simulations in which the wheelset is pushed to the derailment varying the value of the diameter of the wheel, have been studied. In Chapter 9 the final conclusion relative to the work done are presented.

2. Detection of the contact points

In railroad dynamic simulation the detection of the contact points between the wheel and rail is one of the most important issues in the implementation of dynamic analysis codes for many reasons. The values of the contact forces, especially the value of the normal force, is strongly dependent on the detection of the contact points and the method used for that detection; in addiction the calculation of the equations that leads to the determination of the contact points represent an important part, in terms of time consuming, in the process of the resolution of the dynamic behavior of railroad vehicle. For these reasons it is evident that is very important that an appropriate and efficient method for the detection of the contact points has to be implemented in a general software for multibody railroad dynamic analysis, in order to reach realistic and accurate result in an efficient way.

When the wheel/rail interaction is considered there are two main approaches that can be used in the multibody system formulation in order to determine the

(26)

26

location of the contact points and the relative normal force. The first approach uses kinematic constraints formulations in order to describe the contact between the wheel and the rail; thus in this approach it is assumed that there is no penetration or separation between the wheel and the rail. In the second approach there are no kinematic constraints and, for this reason, the wheel has six degrees of freedom with respect to the rail; as a logical consequence of that wheel/rail separation or penetration is allowed and the normal force is defined as a compliant force with assumed stiffness and damping coefficient. The first approach is called constraint approach and employs nonlinear algebraic kinematic constraint equations to describe the contact between the wheel and the rail assuming a non-conformal contact; the normal contact force, in this case, is calculated as a constraint force. In both of the approaches the three dimensional contact condition is considered, this means that the contact conditions are expressed in terms of four geometric parameters that define the wheel and rail surfaces [3]. The second approach is called elastic approach: four algebraic equations that define the non-conformal contact conditions can be formulated and used to solve for the geometric surface parameters that define the location of a potential contact point. Another algebraic equation that measures the distance along the normal to the surfaces at the contact point is introduced to check whether or not the two surfaces are in contact. If four algebraic equations are imposed only at the position level to determine the location of the contact point, while the fifth equation is imposed using a penalty method that allows wheel/rail separation, one obtains an elastic contact formulation, in which the wheel has six degrees of freedom with respect to the rail. In all the approaches so far explained the use of three-dimensional contact conditions automatically account for the geometric coupling between all the surface parameters. It is however possible to make some approximations with respect to above explained method choosing a predetermined contact plane that intersects with the rail surface to search for the location of the points of contact; such a search involves only two geometric surface parameters that define the wheel and rail profiles uncoupling in fact the four surface parameters as before mentioned. These two surface parameters can be determined solving two algebraic equations instead of four; the planar contact conditions are used in most specialized railroad vehicle. Regardless of what contact conditions are used, the dynamic equations of motion of multi-body railroad vehicle systems can be formulated using different sets of generalized coordinates [23]. Introducing these kinds of simplifications it is possible to reduce the calculation time for the detection of the contact points.

(27)

27

The application of the above mentioned models can be done in two different ways. The first way is to use an on-line search. The on-line search consist in solving the problem of the detection of the contact points at each time step during the dynamic simulation; this method leads to accurate results but, since the iterative procedure for the resolution of the nonlinear algebraic equations at each time step is requested, it is also computationally heavy in terms of time consuming during the dynamic simulation. These calculations in fact might require most of the whole time calculation of the dynamic solution. On the other hand a so called off-line search method could be implemented to determine the location of the contact points. In this case, the location of points of contact is pre-computed by the contact geometry analysis, and such information is stored in the look-up contact table. The opportune values of the location of the contact points are then interpolated from the table during the dynamic simulation starting from the position of the wheelset in a precise time step, which is the input of the look-up contact table. The off-line search has been widely used in the specialized railroad vehicle dynamics codes, while the on-line search is used in general multibody computer algorithms. Such off-line search leads to a large recover of time with respect to the on-line one, since no iteration for the contact point detection is requested. Rigid contacts are generally assumed in the off-line contact geometry analysis [10].

In some cases also some hybrid model that uses constraint and elastic formulations together, on-line and off-line search, depending on the wheelset position with respect to the rail and the number of contact point supposed to be detected can be found. Also the calculation of the normal force in such approaches can be computed in different ways. With the elastic contact formulation the normal force is calculated as function of the penetration value and penetration velocity, assuming the Hertz contact model. While in the constraint formulation, since no penetration is allowed, the normal force is not computable using the Hertz model so it is calculated as a constraint using Lagrange multiplier, or on the other hand could be computed supposing an elastic track foundation with stiffness and damping constants [10][26]. In [11] the application of multiple look-up contact tables with a constraint approach for the dynamic simulation in turnout negotiation is discussed; in the case of constraint approach the wheelset motion can be described with only two degrees of freedom, typically lateral displacement and yaw angle. An analogue procedure in tight curve negotiation is performed in [13]. In [26] a Hybrid

(28)

28

procedure that is able to describe many different scenarios and in particular flange climb derailment is implemented.

2.1.Contact formulation

The solution for the contact location requires an accurate representation of the geometry of the wheel and the rail surfaces. This representation can be defined using local surface geometric properties such as the radii of curvature and the tangent and normal vectors to the surfaces. These geometric properties are not only important for determining the contact locations (geometry problem), but they are also important in determining the forces that represent the dynamic interaction between the wheel and the rail.

2.1.1. Parameterization of wheel and rail surfaces

In general a set of four surface parameters can be used to describe the geometry of two bodies in contact. The two surface parameters for each body can be written in a unique vector as:

1 2 1 2

T

w w r r

s s s s s _ (2.1.1.1)

Where superscripts w and r denote the wheel and the rail, respectively. With these parameters the location of a general contact point P can be define as:

1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) r r r r r r r P r r r x s s u y s s z s s            1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) w w w w w w w P wi w w x s s u y s s z s s            (2.1.1.2)

(29)

29

In equation 2.2 are presented respectively the location of the contact point P in the rail coordinate system and the location of the contact point P in the coordinate system of the wheel.

Once the position of an arbitrary contact point P on the wheel and on the rail is defined, the tangents to the surface and the normal vector at the contact point in the rail and wheel coordinate systems can be defined as:

1 2 1 2 1 2 , , r r r P r P r r r r r u u t t n t t s s         1 2 1 2 1 2 , , w w w P w P w w w w w u u t t n t t s s         (2.1.1.3)

The two tangent vectors relative to rail and to the wheel are not necessarily perpendicular and represent the tangent plane in the point of contact for each surface.

2.1.1.1. Track Geometry

In the definition of the track geometry s represents the rail arch length and ₁r s ₂r

is the surface parameter that defines the rail profile. The surface parameters s ₁r

and s are defined in a profile coordinate system ₂r rp rp rp

X Y Z . The location of the origin and the orientation of the profile coordinate system, defined respectively

by the vector Rrp and the transformation matrix Arp, can be uniquely

determined using the surface parameter s . Using this description, the global ₁r

position vector of an arbitrary point on the surface of the rail r can be written as follows:

( )

r r r rp rp rp

(30)

30

Where Rr is the global position vector of the origin of the rail body coordinate

system X Y Zr r r, Ar is the transformation matrix that defines the orientation of

the rail coordinate system, u is the local position vector that defines the rp

location of the arbitrary point on the rail surface with respect to the profile coordinate system. The location and orientation of the rail profile coordinate

system depends only on the distance traveled along the track s , while the local ₁r

position of an arbitrary point on the rail surface at any section depends on the value of s , that is: ₂r

1 1 2 2

( ), ( ), [0 ( )]

rp rp r rp rp r rp r r T

R R s A  A s u  s f s (2.1.1.1.2)

Where f is the function that defines the rail profile.

2.1.1.2. Wheel Geometry

The surface parameter s defines the wheel profile, and ₁w s is an angular ₂w

parameter that represents the rotation of the contact point. The location of the origin and the orientation of the wheel coordinate system are defined,

respectively, by the vector Rw and the transformation matrix Aw. Using this

description, the global position of an arbitrary point on the surface of the wheel

w can be written as follows:

w w w w

r R A u (2.1.1.2.1)

Where u is the local position vector that defines the location of the arbitrary w

point on the wheel surface with respect to the wheel coordinate system. For example in the case of the right wheel of a wheelset, this vector is defined as:

1 2 1 1 2

[ ( )sin ( )cos ]

w w w w w w T

(31)

31

Where g is the function that defines the wheel profile, and L is the distance between the origin of the wheelset coordinate system at the point of attach between the axle and the wheel.

3. Normal contact problem

3.1. Elastic contact formulation

As already mentioned in the introduction, in this work an elastic contact formulation has been decided to use. In the elastic approach no kinematic contact constraint are imposed; as a result the wheel has six degrees of freedom with respect to the rail. Small penetration between the wheel and the rail are allowed at the contact point. Since penetration is allowed the normal force can be calculated in this approach by the use of a compliant force element that consists of stiffness and damping elements; as a result the normal force depends on the value of indentation between the two bodies and velocity of indentation. The elastic contact formulation chosen for this work is the so called Elastic Contact Formulation – Algebraic Equations (ECF-A), in which the locations of the contact point are determined by solving a set of algebraic equations. For each contact, four algebraic equations are solved to determine the four parameters that describe the geometry of the wheel and the rail surfaces. After determining the four surface parameters that satisfy the algebraic nonlinear equations, the distance between the surfaces along the normal is evaluated using a fifth equation to determine whether or not there is a contact [3].

With the use of the elastic contact force the determination of the location of the contact point consists in solving the following algebraic equations:

1 2 1 2 0 0 0 0 r wr r wr w r w r t r t r t n t n          _{ }   _{ } (3.1.1)

(32)

32

The first equation of Eq. 3.1.1 is imposing that the distance between the wheel and rail contact point multiply by the first tangent vector of the rail surface in the contact point is equal to zero. This means that in this equation it is prescribed that the distance between the contact point on the wheel and on the rail along the first tangent vector of the rail surface in the contact point of the rail is equal to zero. Similarly can be explained the second equation, while third and fourth equation are guaranteeing that that the tangent planes defined at the points on the wheel and rail are parallel. As can be noticed the algebraic equation are function of the surface parameters as be proved looking at Eq. 2.1.1.3. The above presented algebraic equation can be solved using an iterative method, as Newton-Raphson algorithm, for the surface parameters that define potential nonconformal contact points. In order to solve them with the use of the algebraic equations it necessary to calculate the Jacobian matrix and solve iteratively a system for each contact to determine the Newton differences associated with the surface parameters.

The system that as to be solved with the iterative Newton-Raphson method is [3]: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 r r r w r w wr r r wr r r r r r r r w r w wr r r wr r r r r w w r r r r w w w w r r w w r r r r w w w w r r t t t t t t r t t r t t s s t t t t t t r t t r t t s s t t n n n n t t s s s s t t n n n n t t s s s s  _ _  _ _{ }  _ _{ }  _ _               _  _  _  _      _  _  _  _      1 1 2 2 1 1 2 2 w r wr w r wr r w r r w r s t r s t r s t n s t n     _{ }_ _ _ _ _  _{ } _ _ _    _{ } __{ }_ _  _{ }_ _ _ _ _  _{ } _ _ _     _ _ _ _      _ (3.1.2)

In Eq. 3.1.2 s₁w, s₂w, s₁r and s₂r are the Newton differences and it is considered that the algorithm converge when the value of the Newton differences are less than an arbitrary tolerance.

It is important to point out that, as already previously mentioned, there are no equations relative to the value of the indention between the two bodies, this

(33)

33

means that indentation is allowed to happen between the bodies. Therefore a fifth equation needs to be provided in order to calculate the value of indention necessary to calculate the value of the normal force:

wr r

r n

   (3.1.3)

Once the value of the indentation is know it is possible to calculate normal force using Hertz’s theory, which starting from the value of indentation is able to determine the value of the contact force multiplying the value of indentation for a stiffness coefficient:

3 2

h h

F  K  (3.1.4)

h

K is the Hertzian constant that depends on the surface curvatures and the

elastic properties [3]. The value indicated in Eq. 3.1.4 corresponds to a value of static force since no dynamic information is included. So in order to have a more accurate value of the normal force it is possible to calculate also a dynamic contribution to the normal force, calculating first the value of the velocity of indentation deriving in time the value of the indentation;

d

F  C  (3.1.5)

C is the damping constant. The total force that is generated in correspondence of the contact thus appears to be:

3 2

n h d h

(34)

34

3.2. Hertz theory

The lateral and longitudinal forces are strongly influenced by the force normal to the contact surfaces. The reason of this dependence it has to be found out in the value of dimension of contact ellipse axis, in fact the value of the contact force directly depend on the product of the two ellipse axis, in addiction the friction coefficients depends on the a/b ratio as well. Using the Hertz theory, which still nowadays is one of the most applied theories to describe the contact between two bodies, the dependence of the ellipse dimension by the value of the normal force can be shown. The Hertz theory, it is assumed that the contact area is, in general, elliptical. There are some important assumptions under which the Hertz theory is valid [3]. In the Hertz theory, it is further assumed that each body is an elastic half-space loaded over a small elliptical region. The assumption of elastic half-space implies that the concentrated contact stresses can be treated separately from the general distribution of the stresses in the two bodies due to their shape and the way in which they are supported. This assumption is valid when the dimensions of the contact area are small compared with the dimensions of the two bodies and the relative radii of curvature of the two surfaces. Hertz theory is based on the assumption of small deformation of two elastic bodies due to the static compression, and it neglects the effect of the friction forces. For the wheel/rail contact problem, Hertz theory is the most commonly used theory to determine the shape of the contact and the local deformation of the wheel and rail surfaces at the contact region. The assumptions used in the Hertz theory are the following: the surfaces of the bodies are continuous and nonconformal, the strains are small, the stress resulting from the contact force vanishes at a distance far from the contact area, the surfaces are frictionless, the bodies are elastic and no plastic deformation occurs in the contact area. All of these hypotheses are in the most of the cases

verified in the railroad contact problems. The dimension a and b are the

calculable as:





1 3 2 1 3 (3 _n 4 ) am F K K K (3.2.1)





1 3 2 1 3 (3 n 4 ) bn F K K K (3.2.2)

(35)

35

Where K₁ and K₂ are constants that depends by material properties of the

bodies in contacts, while K₃ and K₄ are other constant parameters that depend

by the geometrical characteristics of the bodies in contact, such as radii of curvature of the bodies in contact.

2 1 1 1 1 K E     (3.2.3) 2 2 2 2 1 K E     (3.2.4) 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y K R R R R             (3.2.5) 1 2 2 ₂ 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 cos 2 2 _x _y _x _y _x _y _x _y K R R R R R R R R  _ _ _ _ _ _ _     _  _ _  _  _  _  _ _ _ _ _ _ _ _    (3.2.6)

The coefficients m and n are tabulated as a function of the angular parameter 

that is:





1 4 3 cos K K  _  _(3.2.7)

In table 1 an example of the m and n tabulated data dependent by  is shown.

The angular parameter  represent the angle between the planes which contain

the curvature radius R_x₁ and R_x₂. This angle is in general is not equal to 0 but

(36)

36

It is then clear and reasonable to assume that the tangential forces and the moment are influenced by the value of the contact normal force in the point of contact.

Table 1. Coefficients m and n

(deg)  m n 0.5 61.400 0.1018 1.0 36.890 0.1314 1.5 27.480 0.1522 2.0 22.260 0.1691 3.0 16.500 0.1964 4.0 13.310 0.2188 6.0 9.790 0.2552 8.0 7.860 0.2850 10.0 6.604 0.3112 20.0 3.813 0.4123 30.0 2.731 0.4930 35.0 2.397 0.5300 40.0 2.136 0.5670 45.0 1.926 0.6040 50.0 1.754 0.6410 55.0 1.611 0.6780 60.0 1.486 0.7170 65.0 1.378 0.7590 70.0 1.284 0.8020 75.0 1.202 0.8460 80.0 1.128 0.8930 85.0 1.061 0.9440 90.0 1.000 1.000

(37)

37

4. Tangential contact problem

4.1. Kalker’s Linear theory

[3] The Kalker’s linear theory is based on the Hertz theory to calculate the normal force between two bodies in contact. In his theory, developed in the 1882, is assumed that the contact area is, in general, elliptical. In the Hertz theory, it is further assumed that each body is an elastic half-space loaded on a small elliptical region; this hypothesis is used by most of the studies carried out on this topic, and is often an acceptable hypothesis. Other hypothesis that permit to face the problem in a convenient way are: the surfaces of the bodies are continuous and nonconformal; the strains are small; the stresses caused by the contact force vanish at a distance far from the contact area; the surface are frictionless; the bodies are elastic with non-plastic deformation in the contact area.

Kalker’s linear theory starts from the assumption that, for very small creepages, the area of slip is very small and so can be neglected [15]; basing on this assumption it can be said that the adhesion area coincides with the contact area. Thus the simplify formulas described by Kalker are:

11 22 23 23 23 0 0 0 0 x x y y c F F Gab c abc M _abc _abc             _{ }           _     _ _  (4.1.1) 1 1 1 2 w r G G G    _  _   (4.1.2) 1 2 w r w r G G G      _  _   (4.1.3)

Where , , and are respectively the longitudinal, lateral and spin