11   LE CONICHE

RIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL TERZO ANNO 1 La circonferenza. 2 La parabola. 3 L’ellisse. 4 L’iperbole. 5 Le coniche.

6 Equazione generale di una conica.

7 Calcolo delle principali caratteristiche di una conica. 8 L’iperbole equilatera.

9 L’iperbole equilatera riferita agli asintoti. 10 La funzione omografica.

11 Esercizi vari sulle coniche.

1 La circonferenza.

Circonferenza con centro nell’origine e raggio r:

𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑟}2

Circonferenza traslata con centro in 𝐶(𝛼; 𝛽) e raggio r: (𝑥 − 𝛼)2+ (𝑦 − 𝛽)2 = 𝑟2

Che svolgendo i calcoli diventa: 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 dove 𝑎 = −2𝛼 𝑏 = −2𝛽 𝑐 = 𝛼2+ 𝛽2− 𝑟2

2 La parabola.

Parabola con asse parallelo all’asse y e vertice nell’origine: 𝑦 = 𝑎𝑥2

Parabola con asse parallelo all’asse y e traslata: 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} vertice 𝑉(𝑥𝑉; 𝑦𝑉) con 𝑥𝑉 = − 𝑏 2𝑎 𝑦𝑉 = − ∆ 4𝑎 fuoco 𝐹(𝑥_𝐹; 𝑦_𝐹) con 𝑥_𝐹 = − 𝑏 2𝑎 𝑦𝐹 = 1−∆ 4𝑎 asse di simmetria 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 retta direttrice 𝑦 =−1−∆ 4𝑎

Parabola con asse parallelo all’asse x e vertice nell’origine: 𝑥 = 𝑎𝑦2

Parabola con asse parallelo all’asse x e traslata: 𝑥 = 𝑎𝑦2+ 𝑏𝑦 + 𝑐 vertice 𝑉(𝑥𝑉; 𝑦𝑉) con 𝑥𝑉 = − ∆ 4𝑎 𝑦𝑉 = − 𝑏 2𝑎 fuoco 𝐹(𝑥_𝐹; 𝑦_𝐹) con 𝑥_𝐹 = 1−∆ 4𝑎 𝑦𝐹 = − 𝑏 2𝑎 asse di simmetria 𝑦 = − 𝑏 2𝑎 retta direttrice 𝑥 =−1−∆ 4𝑎

3 L’ellisse.

Ellisse con centro in origine, fuochi sull’asse x e semiassi a, b: 𝑥 2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2 = 1 con 𝑎 > 𝑏 𝑐 = √𝑎2− 𝑏2 Fuochi 𝐹1(−𝑐; 0) 𝐹2(𝑐; 0) Ellisse traslata con centro 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶):

(𝑥−𝑥𝐶)2

𝑎2 +

(𝑦−𝑦𝐶)2

𝑏2 = 1

Che sviluppando i calcoli diventa un’equazione del tipo: 𝑚𝑥2_{+ 𝑛𝑦}2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0} Con m,n diversi e concordi.

Eccentricità: 𝑒 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 = 2𝑐 2𝑎 = 𝑐 𝑎

Ellisse con centro in origine, fuochi sull’asse y e semiassi a, b: 𝑥 2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2 = 1 con 𝑎 < 𝑏 𝑐 = √𝑏2− 𝑎2 Fuochi 𝐹1(0; −𝑐) 𝐹2(0; 𝑐) Ellisse traslata con centro 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶):

(𝑥−𝑥𝐶)2

𝑎2 +

(𝑦−𝑦𝐶)2

𝑏2 = 1

Che sviluppando i calcoli diventa un’equazione del tipo: 𝑚𝑥2_{+ 𝑛𝑦}2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0} Con m,n diversi e concordi.

Eccentricità: 𝑒 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 = 2𝑐 2𝑏= 𝑐 𝑏

4 L’iperbole.

Iperbole con centro in origine, fuochi sull’asse x e semiassi a, b: 𝑥 2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = 1 con 𝑐 = √𝑎2+ 𝑏2 Fuochi 𝐹1(−𝑐; 0) 𝐹2(𝑐; 0)

Iperbole traslata con centro 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶): (𝑥−𝑥𝐶)2

𝑎2 −

(𝑦−𝑦𝐶)2

𝑏2 = 1

Che sviluppando i calcoli diventa un’equazione del tipo: 𝑚𝑥2_{+ 𝑛𝑦}2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0} Con m,n diversi e discordi.

Eccentricità: 𝑒 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 = 2𝑐 2𝑎 = 𝑐 𝑎

Iperbole con centro in origine, fuochi sull’asse y e semiassi a, b: 𝑥 2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = −1 con 𝑐 = √𝑎2+ 𝑏2 Fuochi 𝐹1(0; −𝑐) 𝐹2(0; 𝑐)

Iperbole traslata con centro 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶): (𝑥−𝑥𝐶)2

𝑎2 −

(𝑦−𝑦𝐶)2

𝑏2 = −1

Che sviluppando i calcoli diventa un’equazione del tipo: 𝑚𝑥2_{+ 𝑛𝑦}2 _{+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0} Con m,n diversi e discordi.

Eccentricità: 𝑒 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 = 2𝑐 2𝑏= 𝑐 𝑏

5 Le coniche.

La circonferenza, l’ellisse, la parabola e l’iperbole si chiamano coniche perché si possono ottenere intersecando un cono a due falde con un piano che non passa per il vertice del cono.

Se invece il piano passa per il vertice del cono si ottengono le coniche degeneri, cioè punti o rette.

Un cono a due falde si ottiene con una retta a (asse del cono) e una retta r (retta generatrice del cono) che incide nel punto V (vertice del cono) sulla retta a formando un angolo θ (angolo di semiapertura del cono).

Quando la retta generatrice r ruota intorno all’asse a, essa genera un cono a due falde.

Se indichiamo con α l’angolo compreso tra l’asse del cono e il piano, si può verificare che al variare dell’angolo α si ottengono le varie coniche. In particolare risulta che:

Se 𝛼 =𝜋

2 l’intersezione fra il piano e il cono è una circonferenza; se 𝜃 < 𝛼 <𝜋

2 l’intersezione è un’ellisse; se 𝛼 = 𝜃 l’intersezione è una parabola; se 𝛼 < 𝜃 l’intersezione è un’iperbole.

Se invece il piano che interseca il cono passa per il vertice V, si può verificare che: Se 𝛼 =𝜋

2 l’intersezione fra il piano e il cono è un punto; se 𝜃 < 𝛼 <𝜋

2 l’intersezione è un punto; se 𝛼 = 𝜃 l’intersezione è una retta;

se 𝛼 < 𝜃 l’intersezione è formata da due rette incidenti nel vertice.

6 Equazione generale di una conica.

In generale l’equazione di una conica è del tipo: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2+ +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Dove i coefficienti 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 sono numeri reali qualsiasi.

Se 𝐵 ≠ 0 compare il termine 𝑥𝑦 e significa che la conica ha gli assi di simmetria ruotati di un certo angolo rispetto agli assi cartesiani.

Se invece 𝐵 = 0, come nei casi finora esaminati, non compare il termine 𝑥𝑦 e la conica ha gli assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani o paralleli agli assi cartesiani. In tal caso l’equazione della conica risulta:

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2+ +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

e secondo i valori dei coefficienti si ottengono le varie coniche. Se 𝐴 = 𝐶 la conica è una circonferenza;

Se 𝐴 ≠ 𝐶 con A e C concordi, la conica è un’ellisse;

Se 𝐴 = −𝐶 la conica è un’iperbole con i semiassi uguali (iperbole equilatera) Se 𝐴 ≠ 𝐶 con A e C discordi, la conica è un’iperbole;

Se 𝐶 = 0 la conica è una parabola con asse parallelo all’asse y; Se 𝐴 = 0 la conica è una parabola con asse parallelo all’asse x.

7 Calcolo delle principali caratteristiche di una conica.

Per determinare le caratteristiche di una conica conoscendo la sua equazione bisogna osservare i suoi coefficienti per stabilire il tipo di conica e poi eseguire alcuni calcoli per trasformarla in forma normale. Vediamo alcuni esempi.

a- Trova le caratteristiche della conica: 𝑥2_{− 4𝑥 + 𝑦 + 3 = 0} È una parabola con asse parallelo all’asse y.

Si trasforma in forma normale. 𝑦 = −𝑥2+ 4𝑥 − 3 Si trova il vertice 𝑉(𝑥_𝑉; 𝑦_𝑉)

𝑥

_𝑉

= −

𝑏 2𝑎

=

−4 −2

= 2

𝑦

_𝑉

= −

∆ 4𝑎

=

−𝑏2+4𝑎𝑐 4𝑎

=

−16+4(−1)(−3) 4(−1)

=

−16+12 −4

=

−4 −4

= 1

Perciò

𝑉(2; 1)

Allo stesso modo si possono calcolare le altre caratteristiche (fuoco, asse di simmetria, retta direttrice)

b- Trova le caratteristiche della conica: 𝑦2− 𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 È una parabola con asse parallelo all’asse x.

Si trasforma in forma normale. 𝑥 = 𝑦2_{+ 4𝑦 + 5} Si trova il vertice 𝑉(𝑥_𝑉; 𝑦_𝑉)

𝑥

_𝑉

= −

∆ 4𝑎

=

−𝑏2+4𝑎𝑐 4𝑎

=

−16+4·1·5 4·1

=

−16+20 −4

=

4 4

= 1

𝑦

_𝑉

= −

𝑏 2𝑎

=

−4 2·1

=

−4 2

= −2

Perciò

𝑉(1; −2)

c- Trova le caratteristiche della conica: 9𝑥2_{+ 25𝑦}2_{− 36𝑥 + 50𝑦 − 164 = 0}

Siccome i primi due coefficienti sono diversi e concordi, si tratta di un’ellisse traslata per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi.

Prima bisogna trasformare l’equazione in forma canonica: 𝑥2 𝑎2+

𝑦2

𝑏2 = 1 seguendo questa procedura che

si chiama completamento del quadrato di un binomio.

Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: 9𝑥2 − 36𝑥 + 25𝑦2 + 50𝑦 − 164 = 0 Si raccolgono i numeri a fattore comune:

9(𝑥2_{− 4𝑥) + 25(𝑦}2_{+ 2𝑦) − 164 = 0}

Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato e la metà del coefficiente di y elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro:

9(𝑥2_{− 4𝑥 + 4) + 25(𝑦}2_{+ 2𝑦 + 1) − 164 = 0+36+25} 9(𝑥2_{− 4𝑥 + 4) + 25(𝑦}2_{+ 2𝑦 + 1) = 164 + 36 + 25} 9(𝑥 − 2)2_{+ 25(𝑦 + 1)}2 _{= 225} 9(𝑥−2) 2 225

+

25(𝑦+1)2 225

=

225 225 (𝑥−2)2 225 9

+

(𝑦+1)225 2 25

= 1

(𝑥−2) 2 25

+

(𝑦+1)2 9

= 1

Scriviamo le equazioni della traslazione: {𝑥

′_{= 𝑥 − 2} 𝑦′= 𝑦 + 1

In tal modo otteniamo l’ellisse traslata in forma normale: 𝑥′

2

25

+

𝑦′2

9

= 1

Che ha centro traslato 𝐶′(0; 0) semiassi 𝑎 = 5 𝑏 = 3

Vertici traslati: 𝐴₁′(−5; 0) 𝐴₂′(5; 0) 𝐵₁′(0; −3) 𝐵₂′_{(0; 3)} Per trovare i fuochi si calcola c: 𝑐 = √𝑎2_{− 𝑏}2 _{= √25 − 9 = √16 = 4} Perciò i fuochi traslati sono: 𝐹₁′(−4; 0) 𝐹₂′(4; 0)

Per trovare le caratteristiche dell’ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: {𝑥 = 𝑥

′_{+ 2} 𝑦 = 𝑦′− 1

E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati. 𝐶′(0; 0) ⇒ 𝐶(2; −1) 𝐹₁′_{(−4; 0) ⇒ 𝐹}

1(−2; −1) 𝐹2′(4; 0) ⇒ 𝐹2(6; −1)

d- Trova le caratteristiche della conica: 𝑥2_{− 𝑦}2_{− 4𝑥 + 8𝑦 − 3 = 0}

Siccome i primi due coefficienti sono opposti, si tratta di un’iperbole equilatera traslata, per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi.

Prima bisogna trasformare l’equazione in forma canonica: 𝑥2 𝑎2−

𝑦2

𝑏2 = ±1 con il completamento del

quadrato del binomio.

Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: 𝑥2 − 4𝑥 − 𝑦2+ 8𝑦 − 3 = 0

Si raccolgono i numeri a fattore comune:

1(𝑥2_{− 4𝑥) − 1(𝑦}2_{− 8𝑦) − 3 = 0}

Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro:

(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − (𝑦2− 8𝑦 + 16) − 3 = 0 + 4 − 16 (𝑥2− 4𝑥 + 4) − (𝑦2 − 8𝑦 + 16) = −9 (𝑥 − 2)2− (𝑦 − 4)2 = −9 (𝑥−2) 2 9

−

(𝑦−4)2 9

= −

9 9 (𝑥−2)2 9

−

(𝑦−4)2 9

= −1

Scriviamo le equazioni della traslazione: {𝑥′= 𝑥 − 2 𝑦′_{= 𝑦 − 4}

In tal modo otteniamo l’iperbole equilatera con i fuochi sull’asse y in forma normale: 𝑥′

2

9

−

𝑦′2

9

= −1

Che ha centro traslato 𝐶′(0; 0) semiassi 𝑎 = 3 𝑏 = 3

Vertici traslati: 𝐴₁′(−3; 0) 𝐴₂′(3; 0) 𝐵₁′(0; −3) 𝐵₂′_{(0; 3)}

Per trovare i fuochi si calcola c: 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= √9 + 9 = √18 = √9 ∙ 2 = 3√2} Perciò i fuochi traslati sono: 𝐹₁′(0; −3√2) 𝐹2′(0; 3√2)

Per trovare le caratteristiche dell’ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: {𝑥 = 𝑥′+ 2

𝑦 = 𝑦′_{+ 4}

E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati.

𝐶′(0; 0) ⇒ 𝐶(2; 4) 𝐹₁′(0; −3√2) ⇒ 𝐹1(2; 4 − 3√2) 𝐹2′(0; 3√2) ⇒ 𝐹2(2; 4 + 3√2) 𝐴₁′(−3; 0) ⇒ 𝐴₁(−1; 4) 𝐴₂′(3; 0) ⇒ 𝐴₂(5; 4) 𝐵₁′(0; −3) ⇒ 𝐵₁(2; 1) 𝐵₂′(0; 3) ⇒ 𝐵₂(2; 7)

d- Trova le caratteristiche della conica: 9𝑥2_{− 4𝑦}2_{− 18𝑥 + 16𝑦 + 29 = 0}

Siccome i primi due coefficienti sono diversi e discordi, si tratta di un’iperbole traslata, per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi.

Prima bisogna trasformare l’equazione in forma canonica: 𝑥2 𝑎2−

𝑦2

𝑏2 = ±1 con il completamento del

quadrato del binomio.

Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: 9𝑥2 − 18𝑥 − 4𝑦2+ 16𝑦 + 29 = 0

Si raccolgono i numeri a fattore comune:

9(𝑥2_{− 2𝑥) − 4(𝑦}2_{− 4𝑦) + 29 = 0}

Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro:

9(𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 4(𝑦2− 4𝑦 + 4) + 29 = 0 + 9 − 16 9(𝑥2− 2𝑥 + 1) − 4(𝑦2 − 4𝑦 + 4) = −29 + 9 − 16 9(𝑥 − 1)2− 4(𝑦 − 2)2 = −36 9(𝑥−1) 2 36

−

4(𝑦−2)2 36

= −

36 36 (𝑥−1)2 36 9

−

(𝑦−2)36 2 4

= −1

(𝑥−1)2 4

−

(𝑦−2)2 9

= −1

Scriviamo le equazioni della traslazione: {𝑥

′_{= 𝑥 − 1} 𝑦′_{= 𝑦 − 2}

In tal modo otteniamo l’iperbole con i fuochi sull’asse y in forma normale: 𝑥′

2

4

−

𝑦′2

9

= −1

Che ha centro 𝐶′(0; 0) semiassi 𝑎 = 2 𝑏 = 3

Vertici: 𝐴₁′(−2; 0) 𝐴₂′(2; 0) 𝐵₁′(0; −3) 𝐵₂′_{(0; 3)} Per trovare i fuochi si calcola c: 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= √4 + 9 = √13} Perciò i fuochi sono: 𝐹₁′(0; −√13) 𝐹2′(0; √13)

Per trovare le caratteristiche dell’ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: {𝑥 = 𝑥

′_{+ 1} 𝑦 = 𝑦′+ 2

E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati.

𝐶′(0; 0) ⇒ 𝐶(1; 2) 𝐹₁′(0; −√13) ⇒ 𝐹1(1; 2 − √13) 𝐹2′(0; √13) ⇒ 𝐹2(1; 2 + √13) 𝐴₁′(−2; 0) ⇒ 𝐴1(−1; 2) 𝐴2′(2; 0) ⇒ 𝐴2(3; 2) 𝐵1′(0; −3) ⇒ 𝐵1(1; −1) 𝐵2′(0; 3) ⇒ 𝐵2(1; 5)

8 L’iperbole equilatera.

L’iperbole si dice equilatera se i semiassi sono uguali, cioè se 𝑎 = 𝑏 Perciò se i fuochi sono sull’asse x, l’iperbole equilatera ha equazione: 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑎2 = 1 cioè 𝑥

2_{− 𝑦}2 _{= 𝑎}2 Se i fuochi sono sull’asse y, l’iperbole equilatera ha equazione: 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑎2 = −1 cioè 𝑥

2_{− 𝑦}2 _{= −𝑎}2 In generale si può scrivere: 𝑥2 _{− 𝑦}2 _{= ±𝑎}2

Nell’iperbole equilatera i vertici sono: 𝐴₁(−𝑎; 0) 𝐴₂(𝑎; 0) 𝐵₁(0; −𝑎) 𝐵₂(0; 𝑎) 𝑐 = √𝑎2 _{+ 𝑏}2 _{= √𝑎}2_{+ 𝑎}2 _{= √2𝑎}2 _{= 𝑎√2}

Se i fuochi sono sull’asse x, risultano: 𝐹₁(−𝑎√2; 0) 𝐹2(𝑎√2; 0) Se i fuochi sono sull’asse y, risultano: 𝐹1(0; −𝑎√2) 𝐹2(0; 𝑎√2) L’eccentricità risulta: 𝑒 =𝑐 𝑏= 𝑐 𝑎= 𝑎√2 𝑎 = √2 Gli asintoti hanno equazione: 𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥 cioè 𝑦 = ±𝑥

Nell’iperbole equilatera gli assi sono uguali, formano un quadrato e gli asintoti sono perpendicolari tra loro.

9 L’iperbole equilatera riferita agli asintoti.

Siccome nell’iperbole equilatera gli asintoti sono perpendicolari tra loro, possiamo considerare questi asintoti come gli assi cartesiani di un nuovo sistema di riferimento OXY ruotato rispetto al primo di 45° in senso orario e scrivere l’equazione dell’iperbole rispetto a questo nuovo sistema di riferimento per ottenere un’equazione molto più semplice.

Per passare dal riferimento Oxy al riferimento OXY si usano queste formule di trasformazione:

{ 𝑥 =√2 2 𝑋 + √2 2 𝑌 𝑦 = −√2 2 𝑋 + √2 2 𝑌

Sostituendo queste formule nell’equazione dell’iperbole equilatera con i fuochi sull’asse x : 𝑥2 _{− 𝑦}2 _{= 𝑎}2 si ottiene: (√2 2 𝑋 + √2 2 𝑌) 2 − (−√2 2 𝑋 + √2 2 𝑌) 2 = 𝑎2 2 4𝑋 2_{+ 2}√2 2 𝑋 √2 2 𝑌 + 2 4𝑌 2₋2 4𝑋 2₋2 4𝑌 2_{+ 2}√2 2 𝑋 √2 2 𝑌 = 𝑎 2

Semplificando i termini opposti si ottiene: 2𝑋𝑌 = 𝑎2 cioè 𝑋𝑌 = 𝑎2 2 Ponendo 𝑘 =𝑎2

2 con 𝑘 > 0, si ottiene l’equazione: 𝑋𝑌 = 𝑘 cioè 𝑌 = 𝑘

𝑋 che indica la relazione di proporzionalità inversa fra X ed Y.

I valori di X e di Y sono inversamente proporzionali e concordi, l’iperbole si trova nel 1° e nel 3° quadrante. Se 𝑘 =𝑎2

2 allora 𝑎

2 _{= 2𝑘 𝑎 = √2𝑘 a è il semiasse dell’iperbole equilatera}

Il vertice 𝐴1 si trova nel terzo quadrante alla distanza a dall’origine e le sue coordinate sono: 𝐴1(− 𝑎 √2; − 𝑎 √2) cioè 𝐴1(− √2𝑘 √2 ; − √2𝑘 √2) cioè 𝐴1(−√𝑘; −√𝑘)

Il vertice 𝐴2 si trova nel primo quadrante alla distanza a dall’origine e le sue coordinate sono: 𝐴2( 𝑎 √2; 𝑎 √2) cioè 𝐴2( √2𝑘 √2 ; √2𝑘 √2) cioè 𝐴2(√𝑘; √𝑘) Il fuoco 𝐹1 si trova nel terzo quadrante alla distanza 𝑐 = 𝑎√2 dall’origine e le sue coordinate sono:

𝐹₁(−√2𝑎 √2 ;

−√2𝑎

√2 ) 𝐹1(−𝑎; −𝑎) 𝐹1(−√2𝑘; −√2𝑘) Il fuoco 𝐹2 si trova nel primo quadrante alla distanza 𝑐 = 𝑎√2 dall’origine e le sue coordinate sono:

𝐹₁(√2𝑎 √2 ;

√2𝑎

Sostituendo le equazioni della trasformazione nell’equazione dell’iperbole equilatera con i fuochi sull’ asse y: 𝑥2_{− 𝑦}2 _{= −𝑎}2 _{si ottiene: 2𝑋𝑌 = −𝑎}2 _{cioè 𝑋𝑌 = −}𝑎2

2 Ponendo 𝑘 = −𝑎2

2 con 𝑘 < 0, si ottiene l’equazione: 𝑋𝑌 = 𝑘 cioè 𝑌 = 𝑘

𝑋 che indica la relazione di proporzionalità inversa fra X ed Y.

I valori di X e di Y sono inversamente proporzionali e discordi, l’iperbole si trova nel 2° e nel 4° quadrante. Se 𝑘 = −𝑎2

2 allora 𝑎

2 _{= −2𝑘 𝑎 = √−2𝑘 a è il semiasse dell’iperbole equilatera} Il vertice 𝐴1 si trova nel quarto quadrante alla distanza a dall’origine e le sue coordinate sono: 𝐴₁(𝑎 √2; − 𝑎 √2) cioè 𝐴1( √−2𝑘 √2 ; − √−2𝑘 √2 ) cioè 𝐴1(√−𝑘; −√−𝑘)

Il vertice 𝐴2 si trova nel secondo quadrante alla distanza a dall’origine e le sue coordinate sono: 𝐴₂(− 𝑎 √2; 𝑎 √2) cioè 𝐴2(− √−2𝑘 √2 ; √−2𝑘 √2 ) cioè 𝐴2(−√−𝑘; √−𝑘) Il fuoco 𝐹₁ si trova nel quarto quadrante alla distanza 𝑐 = 𝑎√2

dall’origine e le sue coordinate sono:

𝐹1(√2𝑎_√2 ;−√2𝑎_√2 ) 𝐹1(𝑎; −𝑎) 𝐹1(√−2𝑘; −√−2𝑘) Il fuoco 𝐹₂ si trova nel secondo quadrante alla distanza 𝑐 = 𝑎√2 dall’origine e le sue coordinate sono:

Esercizio.

Data l’iperbole equilatera riferita agli asintoti: 𝑥𝑦 = −4 trovare i semiassi, i vertici, i fuochi e disegnarla. Risulta che: 𝑘 = −4; −𝑎2

2 = −4; 𝑎

2 _{= 8 𝑎 = √8 𝑎 = 2√2} Essendo x ed y discordi, l’iperbole equilatera si trova nel

secondo e nel quarto quadrante.

I vertici si trovano a distanza 2√2 dall’origine. 𝐴₁(𝑎 √2; − 𝑎 √2) 𝐴1(2; −2) 𝐴2(−2; 2) 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= √2𝑎}2 _{= 𝑎√2 = 2√2 · √2 = 4} I fuochi si trovano a distanza 4 unità dall’origine. 𝐹1( 𝑐 √2; −𝑐 √2) cioè 𝐹1( 4 √2; −4 √2) cioè 𝐹1(2√2; −2√2) e quindi 𝐹2(−2√2; 2√2)

Osservazione: le coordinate di A1 e di A2 si possono anche trovare mettendo al sistema l’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante con l’equazione dell’iperbole equilatera: 𝑥𝑦 = −4

{_{𝑥𝑦 = −4}𝑦 = −𝑥 {_{𝑥(−𝑥) = −4}𝑦 = −𝑥 { 𝑦 = −𝑥 −𝑥2 _{= −4} { 𝑦 = −𝑥 𝑥2 _{= 4} { 𝑦 = −𝑥 𝑥₁ = −2 𝑥₂ = 2 { 𝑦₁ = −𝑥₁ 𝑦₂ = −𝑥₂ 𝑥₁ = 2 𝑥2 = − 2 { 𝑦1 = −2 𝑦₂ = 2 𝑥₁ = 2 𝑥2 = − 2 Perciò si ottiene: 𝐴₁(2; −2) 𝐴₂(−2; 2)

10 La funzione omografica.

È un’iperbole equilatera riferita agli asintoti e traslata. La sua equazione è del tipo:

𝑦 =

𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑

dove a,b,c,d sono numeri qualsiasi.

Se 𝑐 = 0 la funzione omografica è degenere e diventa una retta. Infatti: 𝑦 =𝑎𝑥+𝑏

𝑑 𝑦 = 𝑎 𝑑𝑥 +

𝑏

𝑑 come l’equazione della retta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 Per ottenere l’equazione di una funzione omografica

consideriamo un’iperbole equilatera riferita agli asintoti: 𝑥𝑦 = 1, e facciamo una traslazione di vettore 𝑉⃗ (2; 3).

Le equazioni della traslazione sono: {𝑥′= 𝑥 + 2 𝑦′_{= 𝑦 + 3} Le equazioni della traslazione inversa sono: {𝑥 = 𝑥

′_{− 2} 𝑦 = 𝑦′− 3

Che si sostituiscono nell’equazione 𝑥𝑦 = 1 e si ottiene: (𝑥′_{− 2)( 𝑦}′_{− 3) = 1} 𝑦′− 3 = 1 𝑥′₋₂ 𝑦 ′_{= 3 +} 1 𝑥′₋₂ 𝑦 ′₌ 3(𝑥′−2)+1 𝑥′₋₂ 𝑦 ′₌3𝑥′−6+1 𝑥′₋₂ 𝑦 ′ ₌3𝑥′−5 𝑥′₋₂

Mentre un’iperbole equilatera riferita agli asintoti ha il centro nell’origine O(0;0), la funzione omografica ha il centro O’(2;3)

Viceversa, data la funzione omografica 𝑦

=

3𝑥−2_𝑥−1

trova il suo centro, i semiassi, i vertici, i fuochi e disegnarla.

Bisogna trasformare l’equazione nella forma 𝑥′𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡 e calcolare tutte le sue caratteristiche.

Bisogna trasformare la funzione omografica in modo che al numeratore al posto della x compaia il denominatore x-1. 𝑦

=

3(𝑥−1_𝑥−1)−2+3

𝑦

=

3(𝑥−1_𝑥−1)+1

𝑦

= 3 +

_𝑥−11

𝑦 − 3

=

_𝑥−11

(𝑥 − 1)( 𝑦 − 3) = 1 Poniamo: {𝑥′= 𝑥 − 1 𝑦′ = 𝑦 − 3 e si ottiene:

𝑥′𝑦′ = 1 che è un’iperbole equilatera riferita agli asintoti con centro 𝐶′(0; 0) Abbiamo anche: 𝑘 = 1 𝑎2

2 = 1 𝑎

2 _{= 2 𝑎 = √2}

Essendo x’ e y’ concordi, l’iperbole si trova nel 1° e 3° quadrante. I vertici si trovano a distanza 𝑎 = √2 dall’origine degli assi.

Perciò: 𝐴₁′_{(−1; −1) 𝐴} 2

′_{(1; 1)} 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= √2𝑎}2 _{= 𝑎√2 = 2}

I fuochi si trovano a distanza 𝑐 = 2 dall’origine degli assi. Perciò: 𝐹₁′₍₋ 𝑐 √2; − 𝑐 √2 ) = 𝐹1 ′_{(−√2; −√2) 𝐹} 2′(√2; √2)

Le caratteristiche della funzione omografica si trovano applicando le equazioni della trasformazione inversa:

{𝑥 = 𝑥′+ 1

𝑦 = 𝑦′_{+ 3} al centro, ai vertici e ai fuochi: 𝐶′(0; 0) ⇒ 𝐶(1; 3)

𝐴₁′(−1; −1) ⇒ 𝐴₁(0; 2) 𝐴₂′(1; 1) ⇒ 𝐴2(2; 4))

𝐹₁′(−√2; −√2)) ⇒ 𝐹1(1 − √2; 3 − √2) 𝐹₂′(√2; √2))) ⇒ 𝐹1(1 + √2; 3 + √2)

Esercizio. Data la funzione omografica 𝑦

=

_2𝑥+3𝑥+1

trova il suo centro, i semiassi, i vertici, i fuochi e disegnarla.

Per ottenere al numeratore 2x al posto di x, moltiplichiamo ambo i membri per 2. 2𝑦

=

2𝑥+2_2𝑥+3 2𝑦

=

2𝑥+3−1_2𝑥+3

2𝑦

= 1 −

_2𝑥+31

2𝑦 − 1

= −

_2𝑥+31

(2𝑥 + 3)(2 𝑦 − 1) = −1

Ponendo {𝑥

′_{= 2𝑥 + 3}

𝑦′= 2𝑦 − 1 si ottiene: 𝑥′𝑦′= −1 che è un’iperbole equilatera riferita agli asintoti che si trova nel secondo e quarto quadrante con 𝐶′(0; 0)

Abbiamo anche: 𝑘 = −1 −𝑎2 2 = −1 𝑎2 2 = 1 𝑎 2 _{= 2 𝑎 = √2}

I vertici si trovano a distanza 𝑎 = √2 dall’origine degli assi. Perciò: 𝐴₁′_{(1; −1) 𝐴}

2

′_{(−1; 1)} 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= √2𝑎}2 _{= 𝑎√2 = 2}

I fuochi si trovano a distanza 𝑐 = 2 dall’origine degli assi. Perciò: 𝐹₁′(√2; −√2) 𝐹2′(−√2; √2)

Le caratteristiche della funzione omografica si trovano applicando le equazioni della trasformazione inversa al centro, ai vertici e ai fuochi:

{2𝑥 = 𝑥 ′_{− 3} 2𝑦 = 𝑦′+ 1 { 𝑥 =𝑥′−3 2 𝑦 =𝑦′+1 2 𝐶′(0; 0) ⇒ 𝐶(−3 2; 1 2) 𝐴₁′(1; −1) ⇒ 𝐴₁(1−3 2 ; −1+1 2 ) ) ⇒ 𝐴1( −2 2 ; 0) ) ⇒ 𝐴1(−1; 0) 𝐴₂′(−1; 1) ⇒ 𝐴₂(−1−3 2 ; 1+1 2 ) ⇒ 𝐴2( −4 2 ; 2 2) ) ⇒ 𝐴2(−2; 1) 𝐹₁′(√2; −√2) ⇒ 𝐹1(√2−3₂ ;1−√2₂ ) 𝐹₂′_{(−√2; √2) ⇒ 𝐹} 2(−√2−3₂ ;1+√2₂ )

Esercizio. Trova le caratteristiche della funzione omografica: 𝑦

=

5𝑥+1_4𝑥−3

moltiplichiamo ambo i membri per 4

5. 4 5

𝑦 =

4 5(5𝑥+1) 4𝑥−3

4 5

𝑦 =

4𝑥+4 5 4𝑥−3

4 5

𝑦 =

4𝑥−3+4 5+3 4𝑥−3 4 5

𝑦 = 1 +

4 5+3 4𝑥−3

4 5

𝑦 = 1 +

4+15 5 4𝑥−3

4 5

𝑦 = 1 +

19 5 4𝑥−3

4 5

𝑦 − 1 =

19 5

4𝑥−3

moltiplichiamo ambo i membri per 5

4𝑦 − 5 =

19

4𝑥−3

(4𝑥 − 3)(4𝑦 − 5) = 19 ……..e così via