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esercizio132

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio n. 132

(2)

Calcolare il limite: lim x→0 ex−1 + ln (1 − x) tan x − x (1) *** Soluzione

Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 0 0: lim x→0 ex−1 + ln (1 − x) tan x − x = 0 0, (2)

per cui possiamo applicare la regola di De L’Hospital:

lim x→0 ex−1 + ln (1 − x) tan x − x H = lim x→0 ex+ 1 1−x 1 cos2x −1 (3) = lim x→0  cot2 x 1 − x · ex(1 − x) − 1 1 − cos2 x  = 0 · ∞ (4) = lim x→0 1 1 − x·x→0lim ex(1 − x) − 1 tan2 x (5)

Calcoliamo a parte il secondo limite:

lim x→0 ex(1 − x) − 1 tan2 x = 0 0 H = lim x→0 ex(1 − x) − ex 2 tan x · 1 cos2x = −1 2limx→0  xex tan xcos 2 x  = −1 2 Dall’equazione precedente si ricava:

lim x→0 ex−1 + ln (1 − x) tan x − x = − 1 2 1

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