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7 Esercitazione del 14/12/2010

Dalla teoria della distribuzione dei valori di mappe olomorfe, nella scorsa eser-citazione abbiamo ricavato il lemma di Borel: f1, . . . , fN : C → C∗ olomorfe e

tali che ! fi≡ 1 sono linearmente dipendenti su C. Ne diamo ora alcune forme

equivalenti.

Prp 7.1 Le seguenti sono equivalenti:

Borel f1, . . . , fN : C → C∗ olomorfe e tali che ! fi ≡ 1 sono linearmente dipendenti su C;

i. se f1, . . . , fN : C → C∗ sono olomorfe e tali che ! fi ≡ 1, allora una di esse `e costante;

ii. se g1, . . . , gM : C → C∗ sono olomorfe e tali che ! gi ≡ 0, allora esiste una partizione I1_{∪ . . . ∪ I}k di {1, . . . , M} tale che!Iαgi ≡ 0 e i, j ∈ Iα

sse gi/gj≡ const., con |Iα| ≥ 2 per ogni α.

Dim: i. ⇒ ii. Si ha!λifi= 0 con, wlog, λ1= 1; sottraendo all’ipotesi si

ottiene

(f1− f1) + f2(1 − λ2) + . . . + fN(1 − λN) = 1

ovvero

f2(1 − λ2) + . . . + fN(1 − λN) = 1

A meno di eliminare i casi in cui λi = 1, abbiamo ora h1, . . . , hk : C → C∗

olomorfe e tali che ! hi ≡ 1 con k ≤ N − 1; dunque possiamo ripetere il

procedimento di prima, applicando di nuovo Borel e riducendo ulteriormente il numero delle funzioni. Il procedimento si ferma quando rimaniamo con una sola funzione per la quale vale (1 − µ)g ≡ 1, ovvero g `e costante.

ii. ⇒ iii. Siano date le gi e definiamo la partizione I1, . . . , Ik di {1, . . . , M} di

modo che i, j ∈ Iαsse gi/gj `e costante. Poniamo hα=

"

i∈Iα

gi

e osserviamo che h1+ . . . + hk ≡ 0; poich´e ogni hα`e multiplo di gi per i ∈ Iα,

allora hα≡ 0 oppure hα)= 0 sempre. Wlog, supponiamo che h1, . . . , hm siano

mai nulle e che hm+1, . . . , hk ≡ 0. Per 2 ≤ α ≤ m, poniamo fα = −hα/h1, di

modo che si abbia ! fi ≡ 1; notiamo che le fi cos`ı definite sono olomorfe mai

nulle e dunque esiste fαcostante, diciamo fα≡ µ. Ora, se h1= C1gi con i ∈ I1

e hα= Cαgj con j ∈ Iα, otteniamo che −h_h1α = µ ⇒ −C_C1gαgj

i = µ ⇒ gj= − µC1

Cα gi

ovvero j ∈ I1, che `e assurdo. Dunque hα = 0 per ogni α (e poich´e le gi non

erano nulle, questo implica che |Iα| ≥ 2 per ogni α).

iii. ⇒ i. Supponiamo date f1, . . . , fN : C → C∗ olomorfe a somma 1.

Definia-mo f0= −1, di modo che f0+ ! fi≡ 0 e consideriamo la partizione I0, . . . , Ik.

Sia I0la classe di equivalenza di f0, allora, se I = I0abbiamo finito, in quanto

tutte le funzioni sono costanti; altrimenti, consideriamo che !_i_∈I_αfi≡ 0 `e una

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La terza formulazione equivalente del lemma di Borel ci permette di dare una precisa connotazione geometrica alla degenerazione di una curva olomorfa che ometta abbastanza iperpiani.

Thm 7.2 Siano H1, . . . , Hn+2iperpiani di CPn in posizione generale, con n ≥

2. Sia poi f : C → CPn _{una funzione olomorfa la cui immagine non interseca} nessun Hi. Allora f(C) `e contenuta in un iperpiano.

Dim: Consideriamo l’inclusione CPn _#

→ CPn+1, dove CPn viene identificato

con z0+ . . . + zn+1) = 0 e gli iperpiani H1, . . . , Hn+2possono essere considerati

come l’intersezione di questo con gli iperpiani zi = 0. Dunque f si solleva a F = (F0, . . . , Fn+1) : C → CPn+1tale che Fi)= 0 e!Fi= 0. Quindi esiste una

partizione degli indici {0, . . . , n + 1} data dagli insiemi I1, . . . , Ik. Siano J = I1

e K = {0, . . . , n + 1} \ J; definiamo l’iperpiano HJK= # " i∈J zi= 0 $

Dalla proposizione precedente, si ha che f(C) ⊂ HJK. !

Gli iperpiani di CPn _{ottenuti dall’intersezione di H}

JK con H = {!zi = 0}

sono detti iperpiani diagonali; `e facile verificare che

HJK = % & i∈J Hi ' ⊕ % & i∈K Hi '

da cui la nomenclatura di diagonale. Se infatti n = 2, gli iperpiani diagonali di 4 rette a tre a tre non concorrenti in CP2 _{sono esattamente le tre diagonali del}

quadrilatero da esse formato.

Thm 7.3 Sia f : C → CPn _{olomorfa che omette gli iperpiani H1, . . . , H} n+p in posizione generale. Allora f(C) `e contenuta in un sottospazio di dimensione ≤ [n/p].

Dim: Sia Fi : Cn+1 → C la forma lineare che definisce il sollevamento in

Cn+1_{dell’iperpiano H}

i e sia (f :C → Cn+1\ {0} il sollevamento di f. Poniamo hi= Fi◦ (f , allora hiha valori in C∗; poniamo inoltre {1, . . . , n+p} = I1∪. . .∪Iq

con i, j ∈ Iα se e solo se hi/hj `e costante.

Claim: Fissato α0, Jα0 = )β#=α0Iβ ha al pi`u n elementi.

Se cos`ı non fosse, sia J formato da n + 1 elementi di Jα0 e da 1 elemento di Iα0;

costruiamo una partizione J = ) Jαdefinendo Jα= J ∩Iα. Le funzioni {Fj, j ∈ J_{} sono n+2 forme lineari su C}n+1_{e quindi sono linearmente dipendenti, dunque}

per il teorema precedente ogni Jα deve avere almeno due elementi. Ma Jα0 ha

un solo elemento, il che `e assurdo. Dunque Jα0 ha al pi`u n elementi.

Dunque, |Iα| ≥ p per ogni α e qp ≤ n + p. Sia ora I$ ⊂ {1, . . . , n + p} tale

che |I$_{| = n + 1; definiamo una sua partizione ponendo I}$

α= I$∩ Iα; allora le

equazioni

Fi= ciFi0 i∈ Iα$, i)= i0

per un fissato i0 ∈ Iα$ sono kα− 1, dove kα| = |Iα$|. Dunque le funzioni hi

soddisfano almeno k1− 1 + . . . + kq− 1 equazioni linearmente indipendenti, ma

k1− 1 + . . . + kq− 1 = n + 1 − q ≥ n + 1 − n + p

n = n − n p

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e dunque l’immagine di f `e contenuta in un sottospazio di dimensione al pi`u

n/p. !

Cor 7.4 Se f : C → CPn _{omette 2n + 1 iperpiani in posizione generale, allora} f `e costante.

Per dare una descrizione pi`u geometrica, riportiamo alcune definizioni e alcu-ni risultati (senza dimostrazione) da un lavoro di Zaidenberg2_{. Dati H}_{1, . . . , H}

N

iperpiani in CPn_{, diremo che essi sono}

(a) in configurazione iperbolica se per ogni $ linea proiettiva in CPn_{, $ ∩})_H i

contiene almeno 3 punti;

(b) in configurazione iperbolicamente immersa se ogni $ retta proiettiva in CPn _{interseca )}

##⊂HiHi in almeno 3 punti.

Esempio Sei rette in CP2_{, tre delle quali passano per un punto p, mentre le}

altre tre passano per un punto q, non sono in configurazione iperbolica, infatti la retta per p e q le interseca in due soli punti. Due rette per p, due rette per q e la retta per p e q sono in configurazione iperbolica, ma non in configurazione iperbolicamente immersa, in quanto la retta per p e q interseca le altre in due soli punti.

Thm 7.5 H1, . . . , HN rispettano (a) solo se N ≥ 2n + 1.

Thm 7.6 H1, . . . , HN rispettano (a) se CPn\)Hi `e iperbolico.

Thm 7.7 H1, . . . , HN, N ≥ 2n+1 sono in posizione generale solo se rispettano (a).

Thm 7.8 H1, . . . , H2n+1 sono in posizione generale se rispettano (a).

Thm 7.9 Dati H1, . . . , HN, X = CPn\)Hi `e iperbolico completo e iperboli-camente immerso se e solo se gli iperpiani rispettano (b).

Thm 7.10 Il complementare di 2n + 1 iperpiani `e iperbolicamente immerso se

e solo se sono in posizione generale.

Esempio In CPn_{, consideriamo Y = {z}

0· · · zn(z0−z1)(z1−z2) · · · (zn−1−zn) =

0}; X = CPn

\Y `e iperbolico completo ma non iperbolicamente immerso. Infatti X ∼= (C \ {0, 1})n _{e dunque `e iperbolico completo, ma la retta $ = {z}

1 = . . . = zn−1 = 0} interseca gli iperpiani che non la contengono solo nei punti

[0, . . . , 0, 1] e [1, 0, . . . , 0]. Dunque per il teorema di Green e Howard non pu`o essere iperbolicamente immerso.

2_{M. Zaidenberg, Picard’s theorem and hyperbolicity, Siberian math. J.,vol. 24 (1983),} 858-867

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7.1 Nozioni di aritmetica su campi di numeri

La teoria di Nevanlinna trova un parallelo stretto nell’artimetica diofantea; per sviluppare questa similitudine dobbiamo per`o introdurre alcune notazioni e nozioni di aritmetica sui campi di numeri.

Innanzitutto, un campo di numeri è un’estensione algebrica finita di Q, ov-vero è un campo k tale che [k : Q] < +∞; sia A la chiusura integrale di Z in C, ovvero l’anello degli interi algebrici, allora l’anello Ok = A ∩ k è detto anello degli interi di k.

Le valutazioni non archimedee su k sono gli ideali primi p ⊂ Ok, le valu-tazioni reali sono gli embedding σ : k #→ R e le valuvalu-tazioni complesse sono le

coppie non ordinate (σ, σ) con σ : k #→ C un embedding con immagine non contenuta in R. L’insieme delle valutazioni si indica con Mk, mentre l’insieme

delle valutazioni reali e complesse (dette anche archimedee) si indica con S_∞. Ad ogni valutazione `e associata una norma su k, nel seguente modo: se

ν _{∈ M}k `e una valutazione non archimedea e quindi corrisponde ad un ideale

primo p ⊂ Ok, definiamo

0x0ν = (Ok : p)ordp(x)

se x )= 0 e 0 altrimenti, dove ordp(x) `e l’esponente di p nella fattorizzazione

dell’ideale frazionario (x); se ν ∈ Mk `e reale, poniamo 0x0ν = |σ(x)| (dove

il valore assoluto al secondo membro `e l’usuale modulo reale) e se ν ∈ Mk `e

complessa, definiamo 0x0ν= |σ(x)|2.

Esempio Se k = Q, Ok = Z e i suoi ideali primi sono generati dagli usuali

numeri primi, p = (p) con p = 2, 3, 5, . . .; inoltre esiste un unico embedding reale di Q (quello ovvio) e non vi sono embedding complessi non contenuti nella retta reale. Dunque M_Q= {∞, 2, 3, 5, . . .}, dove ∞ sta per la valutazione reale. Inoltre, se x ∈ Q, si ha

0x0p= p−n

dove n `e l’unico intero tale che esistono a, b ∈ Z non divisibili per p tali che

x = pn(a/b). Dunque, ad esempio, se x = 21/26,

0x02= 2 0x03= 1/3 0x05= 1 0x07= 1/7 0x011= 1 0x013= 13

e 0x0p = 1 per ogni altro primo, mentre ovviamente 0x0∞ = 21/26. Si pu`o

notare che *_p_0x0p= 26/21 = 1/0x0∞.

Esempio Se k = Q(α) con α3 _{= 2, allora O}

k = Z[α] (attenzione! non `e vero

in generale per qualunque α algebrico). In Mk troviamo una sola valutazione

reale data da σ(α) = 21/3 _{(il comportamento su Q `e fissato) ed una sola}

valu-tazione complessa data dalla coppia di embedding coniugati σ1(α) = ω21/3 e σ2(α) = ω2₂1/3 _{con ω una radice terza dell’unit`a. Per quanto riguarda invece}

le valutazioni non archimedee, la loro determinazione richiede lo studio delle estensioni degli ideali primi di Q in k; ad esempio, il discriminante di k `e −108 e dunque gli unici primi con ramificazione saranno 2 e 3, entrambi con ramifi-cazione pari a 3; i primi p tali che 3 ) |p − 1 si spezzeranno come prodotto di due primi, entrambi con ramificazione 1, corrispondenti a due estensioni di Qp

di grado 1 e 2, mentre i primi p congrui a 1 modulo 3 si spezzeranno in tre primi di ramificazione 1 oppure non si spezzeranno, a seconda che 2 sia o meno un residuo cubico modulo p. Questo fornisce una completa descrizione degli

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ideali primi di k e dunque di Mk. Per quanto riguarda le norme indotte da tali

valutazioni, esse sono collegate alla norma dell’estensione di campo kPi ⊇ Qp,

dove Pi `e l’ideale primo di k rispetto a cui vogliamo calcolare la norma e p `e

l’ideale di Q che gli sta sotto. Ad esempio, se ν `e la valutazione corrispondente all’ideale primo sopra a (2), si ha

0x0ν = 0Nkν/Q2(x)0

1/3 2

e in questo caso `e proprio 0Nk/_Q(x)01/32 . Quindi, ad esempio, 0α0ν = 0Nk/Q(α)01/32 = 020 1/3 2 = 1 3 √ 2

In generale, vale la seguente relazione tra le norme, detta formula del

pro-dotto: ₊

ν∈Mk

0x0ν = 1 ∀ x ∈ k∗

Le norme ora introdotte ci permettono in qualche modo di misurare quanto un elemento del campo è ”distante” dalle unità del campo (ovvero le unità dell’a-nello Ok), quanto è, si potrebbe dire, complicato. Ad esempio, su Q, osserviamo

che le norme p−adiche (quelle indotte da una valutazione non archimedea) so-no tanto maggiori quanto più è complicata la fattorizzazione del deso-nominatore, mentre la crescita della norma archimedea indica quanto il numeratore sorpassa il denominatore. In questo spirito, definiamo altezza di un elemento x ∈ k la quantità

Hk(x) =

+

ν∈Mk

max{0x0ν, 1}

Ad esempio, H_Q(a/b) = max{|a|, |b|}, se (a, b) = 1. Tale altezza `e a volte detta

moltiplicativa per distinguerla da hk(x) = log Hk(x), che `e l’altezza additiva.

Per chiarire il concetto, esaminiamo il teorema di Roth, risultato classico riguardante l’approssimazione di numeri algebrici tramite frazioni.

Prp 7.11 (Roth) Siano α ∈ Q, (, C > 0, allora esistono finite coppie (a, b) ∈ Z2 _{con (a, b) = 1 tali che}

, ,

,a_b − α,,, ≤ _|b|C2+%

In un certo senso, la bontà dell’approssimazione e il grado di complessità del-l’approssimante sono legate di modo che non sia possibile approssimare a piacere con una fissata complessità dell’approssimante. Una riformulazione non trop-po distante del risultato di Roth consiste nell’utilizzare l’altezza moltiplicativa come stima della complessità:

, ,

,a_b − α,,, ≤ _H C

Q(a/b)2+%

ha comunque un numero finito di soluzioni ai minimi termini. Volendo ”rinno-vare” la notazione, potremmo anche scrivere

--a_b − α-- -∞≤ C H(a/b)2+%

utilizzando la valutazione reale di Q. Su questa strada si giunge ad una gene-ralizzazione del teorema di Roth per campi di numeri.

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Prp 7.12 Sia k un campo di numeri e S ⊆ Mk. Dati αν ∈ Q con ν ∈ S, siano (, C > 0; allora esistono finiti x_{∈ k tali che}

+

ν∈S

min{1, 0αν− x0ν} ≤ C Hk(x)2+%

Se ora prendiamo − log dei due membri, otteniamo che, fissati (, c > 0, la disuguaglianza " ν∈S log+ --_x_{− α}1 _ν -ν ≥ (2 + ()hk(x) + c

vale solo per un numero finito di elementi di k.

Ora, sempre fissato un insieme di valutazioni S che contenga S_∞, poniamo

mS(x) = " ν∈S log+ 0x0ν mS(a, x) = mS . 1 x_{− a} / NS(x) = " ν#∈S log+ 0x0ν NS(a, x) = NS . 1 x_{− a} /

La prima `e detta funzione di prossimit`a e la seconda funzione di conteggio; osserviamo che Hk(x) = mS(x) + NS(x), per definizione. Tali funzioni sono

l’analogo aritmetico delle omonime definite nella teoria di Nevanlinna.

La funzione mS misura quanto la x `e prossima (approssima) a rispetto alle

valutazioni in S, mentre NS guarda il comportamento sul complementare.

Il risultato di Roth si pu`o quindi ulteriormente riformulare dicendo che, dati

S _{⊇ S}∞, a1, . . . , aq ∈ k, (, c > 0 reali, per tutti gli x ∈ k tranne al pi`u un

numero finito si ha che "

j

mS(aj, x)≤ (2 + ()hk(x) + c

che `e un analogo del Secondo Teorema della teoria di Nevanlinna. Inoltre, si riesce a dimostrare che

hk(x) = mS(a, x) + NS(a, x) + O(1)

dove O(1) = hk(a) + [k : Q] log 2, che ci fornisce un analogo del Primo Teorema.

In generale, la chiave di lettura per il parallelismo tra teoria di Nevanlinna e approssimazione diofantea `e data dalla seguente corrispondenza:

• una funzione olomorfa f : C → C corrisponde a una successione infinita

di elementi {xn}n∈N⊆ k

• un raggio r corrisponde ad un elemento x

• la scelta degli angoli θ corrisponde alle valutazioni in S • |f(reiθ_{)| trova il suo analogo in 0x0}

ν∈S • ordzf diventa ordνx

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• la funzione caratteristica Tf(r) si trasforma nell’altezza hk(x) • mf e Nf diventano mS e NS

• la formula di Jensen per il primo coefficiente dello sviluppo di Laurent

diventa la formula del prodotto