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Se il campo ` e generato da una carica puntiforme E = ~ q

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Academic year: 2021

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(1)

Energia potenziale elettrostatica

Se una particella di carica q p si muove sotto l’effetto di un campo elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro;

Il lavoro ` e dato dal prodotto scalare di forza e spostamento, quindi dW = ~ F · d~ x = q p E · d~ ~ x

Se il campo ` e generato da una carica puntiforme E = ~ q

4πε 0

~r r 3

In questo modo il lavoro fatto dal campo elettrico diventa dW = q p q

4πε 0

~r · d~x r 3

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

(2)

Lo spostamento si pu` o spezzare in una parte perpendicolare ad ~r, che ha prodotto scalare nullo con questo, e perci` o non contribuisce al lavoro, ed una parte parallela ad ~r

La variazione di d~ x parallela ad ~r ` e semplicemente la variazione della distanza dalla carica che origina il campo, moltiplicata per il versore radiale

d~ x k = dr ˆ r il lavoro svolto dal campo elettrico vale quindi

dW = q p q 4πε 0

r dr

r 3 = q p q 4πε 0

dr

r 2

(3)

Propriet` a del lavoro

Come si vede, il lavoro compiuto dipende solo dal valore assoluto del raggio

Calcolando un lavoro finito, si integra da un punto A ad un punto B ottenendo

W A→B = q p q 4πε 0

Z r

B

r

A

dr

r 2 = q p q 4πε 0

 1 r B − 1

r A



Il risultato precedente ci dice che il lavoro fatto dipende solo dai punti di partenza e di arrivo, e quindi il campo elettrico ` e una forza

conservativa.

Posso quindi definire un’energia potenziale U, attraverso la relazione

∆U = U A − U B = −W A→B = q p q 4πε 0

 1 r A

− 1 r B



da cui ricaviamo che

U(r ) = q p q 4πε 0

1 r + C

dove C ` e una costante che pu` o essere scelta arbitrariamente

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

(4)

Potenziale e differenza di potenziale

Conviene introdurre una grandezza simile all’energia ma indipendente dalla carica di prova, come per ~ F ed ~ E

Definisco il potenziale V (diverso dall’energia potenziale) come

∆U = q 0 ∆V

La differenza potenziale tra due punti non dipende perci` o dal percorso La differenza di potenziale ha un significato fisico, il potenziale ` e invece definito a meno di una costante

se una carica si sposta da un punto A ad un punto B, la conservazione dell’energia potrebbe avere la forma

1

2 mv A 2 + V A = 1 2 mv B 2 + V B

(5)

Energia di un sistema di cariche

Voglio mettere insieme N cariche

Posso sistemare la prima carica q 1 dove voglio, non devo fare nessun lavoro

per portare la seconda a distanza r 12 dalla prima, devo fare un lavoro W 12 = q 2 · V (r 12 )

Usando l’espressione per V trovata prima ho W 12 = K · q 1 q 2

r 12

con K = 1 4πε 0

Se porto una terza particella, questa deve vincere i campi generati sia da q 1 che da q 2 . Il lavoro da fare ` e quindi

W 3 = W 13 + W 23 = K ·  q 1 q 3

r 13

+ q 2 q 3

r 23



per N cariche l’espressione sar` a W = K

N

X

i <j =1

q i q j r ij

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

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Campo magnetico

Il campo magnetico pu` o essere prodotto da magneti permanenti che presentano sempre due poli

Dividendo il magnete si trovano due magneti, ciascuno con due poli Anche un ago magnetico molto piccolo possiede due poli, e gli si pu` o assegnare un momento di dipolo magnetico

Come per i dipoli elettrici, anche su quelli magnetici che si trovano in un campo ~ B costante agisce un momento meccanico

~

τ = ~ µ × ~ B

in modo analogo un dipolo in un campo magnetico ha un’energia

U = −~ µ · ~ B

(7)

Monopoli magnetici?

Come per la carica elettrica, si pu` o cercare di isolare una carica magnetica

Secondo alcune teorie, la presenza di un monopolo magnetico spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica

Fino ad oggi non si ` e riusciti a separare i poli di un dipolo, n´ e a trovare particelle con un polo solo

Le linee del campo magnetico sono perci` o tutte chiuse, dato che quelle del campo elettrico possono iniziare o finire solo su una carica elettrica

Le linee del campo magnetico che entrano in una superficie chiusa devono quindi anche uscirne

Il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa ` e nullo

Φ(~ B) = 0

che ` e il teorema di Gauss per il campo magnetico

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

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Moto di una carica in un campo magnetico unforme I

Se una carica si muove in un campo magnetico, senza campo elettrico, la forza di Lorentz diventa

F = m ~ d~ v

dt = q~ v × ~ B

Prendendo ~ B diretto come l’asse z e ~ v perpendicolare a questo m dv x

dt = qv y B dv y

dt = −qv x B Derivando una delle equazioni e sostituendo l’altra trovo

d 2 v x

dt 2 = −  qB m

 2

v x

Questi dice che v x e v y compiono un moto periodico armonico ed ha la forma

v x (t) = v 0 sin(ωt), v y (t) = v 0 cos(ωt) con ω = qB

(9)

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme II

Posso calcolare l’evoluzione temporale delle coordinate (con opportune condizioni iniziali)

x (t) = − v 0

ω cos(ωt) e y (t) = v 0

ω sin(ωt) Vedo che x (t) 2 + y (t) 2 = v 0 22 , quindi la carica segue una traiettoria circolare di raggio

R = v 0

ω = m v 0

q B il periodo del moto ` e

T = 2π

ω = 2π m qB

Infine, se la particella ha una velocit` a lungo z, questa non ` e toccata dal campo magnetico, quindi ci sar` a un moto rettilineo uniforme lungo z

la composizione del moto circolare e di quello rettilineo da’, in generale un moto elicoidale

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

(10)

Selettore di velocit` a

per misurare alcune caratteristiche delle particelle conviene avere particelle con la stessa velocit` a.

incrociando campi elettrici e magnetici si possono selezionare particelle che procedono in linea retta

la forza elettrica ha modulo qE la forza magnetica ha modulo qvB

Le particelle che passano imperturbate sono quelle per cui le due forze

si equivalgono

(11)

Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo

Il comportamento degli atomi in un campo magnetico ` e di vario tipo Se gli atomi non hanno momento magnetico (diamagnetici) si oppongono debolmente al campo magnetico (1 − µ r ∼ 10 −5 )

Se gli atomi hanno un momento magnetico (materiali paramagnetici) questo tende ad allinearsi al campo e ad incrementarlo

(µ r − 1 ∼ 10 −3 − 10 −4 )

Non appena si toglie il campo, i momenti magnetici si orientano casualmente, dando un campo nullo

Una terza categoria (materiali ferromagnetici) possiede un momento magnetico che mantiene l’orientazione, formando magneti

permanenti. Questi possono essere distrutti scaldando il materiale, o creati raffreddandolo lentamente in un campo magnetico

Nei materiali ferromagnetici tutti i dipoli vicini tendono a disporsi parallelamente formando i domini di Weiss

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

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