Energia potenziale elettrostatica
Se una particella di carica q p si muove sotto l’effetto di un campo elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro;
Il lavoro ` e dato dal prodotto scalare di forza e spostamento, quindi dW = ~ F · d~ x = q p E · d~ ~ x
Se il campo ` e generato da una carica puntiforme E = ~ q
4πε 0
~r r 3
In questo modo il lavoro fatto dal campo elettrico diventa dW = q p q
4πε 0
~r · d~x r 3
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Lo spostamento si pu` o spezzare in una parte perpendicolare ad ~r, che ha prodotto scalare nullo con questo, e perci` o non contribuisce al lavoro, ed una parte parallela ad ~r
La variazione di d~ x parallela ad ~r ` e semplicemente la variazione della distanza dalla carica che origina il campo, moltiplicata per il versore radiale
d~ x k = dr ˆ r il lavoro svolto dal campo elettrico vale quindi
dW = q p q 4πε 0
r dr
r 3 = q p q 4πε 0
dr
r 2
Propriet` a del lavoro
Come si vede, il lavoro compiuto dipende solo dal valore assoluto del raggio
Calcolando un lavoro finito, si integra da un punto A ad un punto B ottenendo
W A→B = q p q 4πε 0
Z r
Br
Adr
r 2 = q p q 4πε 0
1 r B − 1
r A
Il risultato precedente ci dice che il lavoro fatto dipende solo dai punti di partenza e di arrivo, e quindi il campo elettrico ` e una forza
conservativa.
Posso quindi definire un’energia potenziale U, attraverso la relazione
∆U = U A − U B = −W A→B = q p q 4πε 0
1 r A
− 1 r B
da cui ricaviamo che
U(r ) = q p q 4πε 0
1 r + C
dove C ` e una costante che pu` o essere scelta arbitrariamente
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Potenziale e differenza di potenziale
Conviene introdurre una grandezza simile all’energia ma indipendente dalla carica di prova, come per ~ F ed ~ E
Definisco il potenziale V (diverso dall’energia potenziale) come
∆U = q 0 ∆V
La differenza potenziale tra due punti non dipende perci` o dal percorso La differenza di potenziale ha un significato fisico, il potenziale ` e invece definito a meno di una costante
se una carica si sposta da un punto A ad un punto B, la conservazione dell’energia potrebbe avere la forma
1
2 mv A 2 + V A = 1 2 mv B 2 + V B
Energia di un sistema di cariche
Voglio mettere insieme N cariche
Posso sistemare la prima carica q 1 dove voglio, non devo fare nessun lavoro
per portare la seconda a distanza r 12 dalla prima, devo fare un lavoro W 12 = q 2 · V (r 12 )
Usando l’espressione per V trovata prima ho W 12 = K · q 1 q 2
r 12
con K = 1 4πε 0
Se porto una terza particella, questa deve vincere i campi generati sia da q 1 che da q 2 . Il lavoro da fare ` e quindi
W 3 = W 13 + W 23 = K · q 1 q 3
r 13
+ q 2 q 3
r 23
per N cariche l’espressione sar` a W = K
N
X
i <j =1
q i q j r ij
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Campo magnetico
Il campo magnetico pu` o essere prodotto da magneti permanenti che presentano sempre due poli
Dividendo il magnete si trovano due magneti, ciascuno con due poli Anche un ago magnetico molto piccolo possiede due poli, e gli si pu` o assegnare un momento di dipolo magnetico
Come per i dipoli elettrici, anche su quelli magnetici che si trovano in un campo ~ B costante agisce un momento meccanico
~
τ = ~ µ × ~ B
in modo analogo un dipolo in un campo magnetico ha un’energia
U = −~ µ · ~ B
Monopoli magnetici?
Come per la carica elettrica, si pu` o cercare di isolare una carica magnetica
Secondo alcune teorie, la presenza di un monopolo magnetico spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica
Fino ad oggi non si ` e riusciti a separare i poli di un dipolo, n´ e a trovare particelle con un polo solo
Le linee del campo magnetico sono perci` o tutte chiuse, dato che quelle del campo elettrico possono iniziare o finire solo su una carica elettrica
Le linee del campo magnetico che entrano in una superficie chiusa devono quindi anche uscirne
Il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa ` e nullo
Φ(~ B) = 0
che ` e il teorema di Gauss per il campo magnetico
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Moto di una carica in un campo magnetico unforme I
Se una carica si muove in un campo magnetico, senza campo elettrico, la forza di Lorentz diventa
F = m ~ d~ v
dt = q~ v × ~ B
Prendendo ~ B diretto come l’asse z e ~ v perpendicolare a questo m dv x
dt = qv y B dv y
dt = −qv x B Derivando una delle equazioni e sostituendo l’altra trovo
d 2 v x
dt 2 = − qB m
2
v x
Questi dice che v x e v y compiono un moto periodico armonico ed ha la forma
v x (t) = v 0 sin(ωt), v y (t) = v 0 cos(ωt) con ω = qB
Moto di una carica in un campo magnetico uniforme II
Posso calcolare l’evoluzione temporale delle coordinate (con opportune condizioni iniziali)
x (t) = − v 0
ω cos(ωt) e y (t) = v 0
ω sin(ωt) Vedo che x (t) 2 + y (t) 2 = v 0 2 /ω 2 , quindi la carica segue una traiettoria circolare di raggio
R = v 0
ω = m v 0
q B il periodo del moto ` e
T = 2π
ω = 2π m qB
Infine, se la particella ha una velocit` a lungo z, questa non ` e toccata dal campo magnetico, quindi ci sar` a un moto rettilineo uniforme lungo z
la composizione del moto circolare e di quello rettilineo da’, in generale un moto elicoidale
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13
Selettore di velocit` a
per misurare alcune caratteristiche delle particelle conviene avere particelle con la stessa velocit` a.
incrociando campi elettrici e magnetici si possono selezionare particelle che procedono in linea retta
la forza elettrica ha modulo qE la forza magnetica ha modulo qvB
Le particelle che passano imperturbate sono quelle per cui le due forze
si equivalgono
Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo
Il comportamento degli atomi in un campo magnetico ` e di vario tipo Se gli atomi non hanno momento magnetico (diamagnetici) si oppongono debolmente al campo magnetico (1 − µ r ∼ 10 −5 )
Se gli atomi hanno un momento magnetico (materiali paramagnetici) questo tende ad allinearsi al campo e ad incrementarlo
(µ r − 1 ∼ 10 −3 − 10 −4 )
Non appena si toglie il campo, i momenti magnetici si orientano casualmente, dando un campo nullo
Una terza categoria (materiali ferromagnetici) possiede un momento magnetico che mantiene l’orientazione, formando magneti
permanenti. Questi possono essere distrutti scaldando il materiale, o creati raffreddandolo lentamente in un campo magnetico
Nei materiali ferromagnetici tutti i dipoli vicini tendono a disporsi parallelamente formando i domini di Weiss
Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13