Rinormalizzazione di entanglement in sistemi quantistici unidimensionali

Università degli Studi di Pisa

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Specialistica in Scienze Fisiche

Anno Accademico 2008-2009

Tesi di Laurea Specialistica

Rinormalizzazione di entanglement

in sistemi quantistici unidimensionali

Relatore:

Laureando:

Indice

Indice iii

Elenco delle figure iv

Elenco dei listati iv

Introduzione v

1 Rinormalizzazione di entanglement 1

1.1 Rinormalizzazione di entanglement . . . 1

1.2 Multi-scale entanglement renormalization ansatz . . . 7

2 MERA Ternario 13 2.1 Operatori di salita . . . 13

2.2 Operatori di discesa . . . 14

2.3 Hamiltoniana e matrice densità . . . 15

2.4 Ottimizzazione della rete di tensori . . . 16

2.5 Algoritmo di ottimizzazione . . . 20

2.6 Cenni sull’implementazione . . . 22

3 Modello di Ising 25 3.1 Modello a piccole dimensioni . . . 25

3.2 Limite termodinamico . . . 27

A Tensori 35 A.1 Metaprogrammazione template . . . 36

A.2 Implementazione di una notazione naturale . . . 39

A.3 Un cenno alle prestazioni . . . 45 iii

Elenco delle figure

1.1 Graining in NRG ed in ER . . . 3

1.2 Notazione diagrammi . . . 5

1.3 ER per reticoli unidimensionali . . . 6

1.4 Porte logica quantistica . . . 8

1.5 MERA come circuito quantistico . . . 10

1.6 Cono causale per MERA ternario . . . 11

2.1 Operatori di salita . . . 14

2.2 Operatori di discesa . . . 15

2.3 Ambiente per il disentangler u . . . 19

2.4 Ambiente per l’isometria w . . . . 19

2.5 Algoritmo di ottimizzazione per la rete di tensori . . . 21

3.1 Energia per Θ = 1 . . . 26

3.2 Polarizzazione Θ = 1 . . . 28

3.3 Errore per l’energia e la magnetizzazione al limite termodinamico . 29 3.4 Errore per l’energia e la magnetizzazione al limite termodinamico . 31 A.1 Template di espressione per la somma di due tensori . . . 43

A.2 Prestazioni per la somma di tensori . . . 45

A.3 Confronto tra i template di espressioni ed codice C-like . . . 46

Elenco dei listati

A.2 Template di funzione dot<int N> . . . 39

A.3 Classe T1<typename T> . . . 40

A.4 Specializzazione di T1Expr per tensori . . . 41

A.5 Classe T1PlusT1 . . . 43

A.6 Operatore operator+ per espressioni . . . 44

Introduzione

La scoperta e lo sviluppo dell’algoritmo DMRG [20] per i sistemi quantistici a molti corpi, ha permesso di determinare le proprietà di alcuni sistemi in fisica dello stato condensato con una accuratezza non disponibile in precedenza. Originariamente DMRG è stato sviluppato per descrivere sistemi unidimensionali a temperatura zero caratterizzati da interazione a corto raggio, tuttavia la versatilità dell’idea alla base di questo metodo, ovvero costruire il flusso del gruppo di rinormalizzazione in uno spazio di matrici densità opportunamente selezionato, si è rivelata tale da permettere di applicarlo anche in contesti contesti lontani da quello originale [15].

La maggiore difficolà dei metodi che utilizzano stati di prodotti di matrici riguarda il fatto che tutti i calcoli hanno un costo computazionale polinomiale O χC
_{nel troncamento χ che descrive la dimensione dello spazio di Hilbert}

efficace. Per sistemi di dimensioni superiori ad uno il grado C è tale da rendere accessibili solo simulazioni effettuate per valori di χ piccoli, dell’ordine di 2 o 3, che non garantiscono una accuratezza adeguata. Similmente per sistemi unidimensionali al punto critico il parametro di troncamento aumenta per ogni iterazione del processo di rinormalizzazione, si necessita quindi di un parametro χ grande, nell’ordine di qualche migliaio, per ottenere risultati soddisfacenti [19]. DMRG inoltre presenta delle difficoltà tecniche nel descrivere sistemi caratterizzati da condizioni al contorno periodiche e quindi a descrivere, ad esempio, sistemi invarianti sotto traslazioni, per i quali sarebbe auspicabile una riduzione nel numero dei parametri necessari a descriverne le proprietà fisiche. Queste difficoltà illustrano come sia emersa la necessità di estendere i metodi usuali, in modo da riuscire a risolvere una classe piú ampia di problemi.

La Teoria Quantistica dell’Informazione ha messo in luce, da un altro punto di vista, le proprietà dei sistemi di molti corpi evidenziando il ruolo dell’entanglement. La conseguente teoria dell’entanglement si è rivelata essere lo strumento principale nella descrizione di fenomeni come il teletrasporto [1] e nello sviluppo della comunicazione e della computazione quantistica [9]. Recentemente il ruolo dell’entanglement ha permesso di approfondire la comprensione dei sistemi in fisica dello stato condensato [10] e di produrre algoritmi che risolvono, almeno parzialmente, le difficoltà incontrate da DMRG [3] basati sull’idea della rinormalizzazione di entanglement (ER). Tale procedura si prefigge l’obbiettivo di ridurre l’intrecciamento tra i blocchi, prima di effettuare il troncamento, in modo tale da contenere la crescita del parametro χ, osservata ad esempio nello studio di sistemi critici, e induce un Ansatz per sistemi di molti corpi detto MERA. Questo metodo incorpora naturalmente l’invarianza sotto traslazioni, nel qual caso necessita di un costo computazionale lineare nelle dimensioni del sistema, e l’invarianza sotto trasformazioni di scala, che comporta una ulteriore

Di recente sono state proposte promettenti estensioni del metodo allo studio di sistemi quantistici definiti su reticoli in dimensione due, come il modello di Ising [2, 5] ed il modello di Heisenberg su reticolo kagome [4].

In questo lavoro si è sviluppato un algoritmo di ER per sistemi quantisti-ci unidimensionali utilizzando il linguaggio C++, con l’obbiettivo di ottenere un’implementazione efficiente. Questo è stato possibile grazie ai template di espressioni che hanno permesso di realizzare un’interfaccia che mima la notazione di Einstein, comunemente utilizzata in fisica, mantenendo prestazioni paragona-bili a quelle che si ottengono con codice scritto manualmente. La flessiparagona-bilità di questo approccio ha permesso di migliorare leggermente il costo computa-zionale necessario ad ottimizzare i tensori che codificano la trasformazione di rinormalizzazione.

La tesi è organizzata come segue, nel capitolo 1 si sono introdotte le idee alla base della rinormalizzazione di entanglement e si è mostrato come queste portino a definire un ansatz per sistemi di molti corpi (MERA). Nel capitolo 2 si è specializzata la discussione ad un particolare schema di ER, quello ternario, per reticoli di spin unidimensionali. Si è supposto che il sistema manifesti invarianza sotto traslazioni, sotto queste ipotesi è possibile ridurre ulteriormente il costo computazionale richiesto dall’algoritmo ed ottenerne una descrizione particolarmente efficiente. Nel capitolo 3 si sono illustrati i risultati ottenuti applicando l’algoritmo al modello di Ising in campo magnetico esterno.

Capitolo 1

Rinormalizzazione di

entanglement

Indichiamo con L un reticolo di spin unidimensionale composto da N siti, indicato con Vslo spazio vettoriale di singolo sito s, che supponiamo essere di

dimensione finita d, il reticolo L è quindi rappresentato dallo spazio di Hilbert VL:

VL = V1⊗ · · · ⊗ · · · ⊗ VN =

O

s∈L

Vs, (1.1)

la cui dimensione cresce esponenzialmente con il numero dei siti considerati. Questa caratteristica illustra la maggiore difficoltà incontrata nello studio del problema dei molti corpi in meccanica quantistica, in quanto rende una trattazioni esatta inattuabile.

La rinormalizzazione di entanglement è un procedimento numerico che permette di caratterizzare uno stato puro |Ψi ∈ VL o, piú in generale, un

sottospazio a basse energie VU ⊂ VL attraverso una riorganizzazione locale

dello spazio di Hilbert, basato sul presupposto che, per la natura locale delle interazioni considerate, alcuni gradi di libertà dello stato fondamentale del sistema considerato possano essere disaccoppiati attraverso trasformazioni locali e, di conseguenza, rimossi senza compromettere la descrizione fisica.

1.1

Rinormalizzazione di entanglement

Introduciamo le idee alla base della rinormalizzazione di entanglement, questa è un’estensione delle usuali tecniche con alcune peculiari differenze. Seguendo quanto fatto da Wilson per risolvere il modello di Kondo a basse temperature [21], vogliamo definire una procedura che produca un nuovo reticolo efficace L0 a partire da quello fisico L. Il reticolo efficace viene determinato con un procedimento iterativo. Il primo passo consiste nell’individuare un insieme di blocchi in L. Un blocco B ⊂ L viene definito come un insieme di siti adiacenti del reticolo. La partizione in blocchi deve essere tale che questi abbiamo intersezione vuota, cioè ciascun sito deve appartenere ad un solo blocco. Lo spazio di Hilbert per il sito efficace s0 è ottenuto “setacciando” i gradi di libertà fisici dallo spazio VB associato al blocco B

VB =

O

s∈B

VVs, (1.2)

questa operazione si riduce a determinare una isometria w che rimuova i gradi di libertà non fisici, ovvero che permetta di selezionare il sottospazio SB ⊆ VB

contenente solo l’informazione rilevante

w : V0s0 7→ V_B, w†w = I. (1.3)

L’isometria w puó essere utilizzata per mappare uno stato puro |Ψi ∈ VL,

solitamente appartenente al sottospazio a basse energie, in uno stato a grana grossa |Ψ0i ∈ VL0.

L’iterazione del procedimento sopra descritto realizza una trasformazione del gruppo di rinormalizzazione numerica (NRG). La scelta del sottospazio SB

è essenziale per la riuscita della procedura. In particolare la dimensione η di SB

deve essere la piú piccola possibile in quanto il costo computazionale necessario a calcolare le osservabili locali cresce polinomialmente con η per le successive iterazioni del processo di granulatura. Inoltre η deve essere sufficientemente grande da permettere una descrizione fedele del sistema: lo stato |Ψ0i deve contenere tutte le informazioni rilevanti che erano presenti nello stato originale |Ψi. La scelta ottimale del sottospazio SB è stata identificata da White come

una parte fondamentale dell’algoritmo DMRG [20]. Considerata la matrice densità ridotta ρ[B], relativa al blocco B, dello stato |Ψi, il blocco efficace viene scelto in modo tale che

V0s0 ≈ S_B≡< |ρ₁i, . . . , |ρ_ηi >, (1.4)

dove gli stati |ρii corrispondono agli η autovettori piú probabili della matrice

densità ridotta ρ[B]_{, cioè quelli relativi agli autovalori p}

i maggiori, e l’intero η è

soggetto alla condizione

1 −

η

X

i=0

pi≤  (1.5)

essendo   1 un errore prestabilito legato al troncamento.

Osserviamo che il parametro η è legato al grado di intrecciamento dello stato |Ψi tra il blocco B ed il resto del sistema L − B, come caratterizzato dalla decomposizione di Schmidt troncata

|Ψi ≈ η X i=1 √ pi|ρii ⊗ |φii, |φii ∈ VL−B

la procedura descritta ha buone prestazioni quando è possibile fissare η relati-vamente piccolo, ovvero dipende dallo quantità di entanglement dello stato che si vuole descrivere.

La rinormalizzazione di entanglement si basa sull’osservazione che in molti sistemi il livello di intrecciamento è organizzato per differenti scale, e possa quindi essere ridotto applicando opportune trasformazioni locali. Questa idea viene tradotta in una deformazione, implementata in termini di una trasformazione unitaria, detta disentangler, dei bordi tra il blocco B ed il resto del sistema.

Per fissare le idee ci specializziamo al caso di una catena di spin unidimen-sionale e fissiamo il blocco B in modo tale che questo contenga solo due siti i e j, figura 1.1. Per poter realizzare la rinormalizzazione di entanglement si deve considerare un’altra coppia di siti q, p contigui rispettivamente a i e j ed,

1.1. Rinormalizzazione di entanglement 3 Vi Vj Vq Vi Vj Vp V′ s′ V′s′

w

w

u

u

Figura 1.1: in una trasformazione del NRG, ad un blocco di siti viene a corrispondere un sito efficace; la procedura di rinormalizzazione di entanglement aggiunge un passaggio intermedio in quanto al bordo di due blocchi viene prima applicato un operatore unitario con il fine di eliminare l’entanglement a corto raggio.

oltre all’isometria w, una coppia di operatori unitari u1, u2 tali che agiscano

localmente sulle coppie di siti, ovvero che riorganizzino gli spazi Vq⊗Vi, Vj⊗Vp:

u1: Vq⊗ Vi→ Vq⊗ Vi, u†1u1= u1u†1= I,

u2: Vj⊗ Vp→ Vj⊗ Vp, u†2u2= u2u†2= I. (1.6)

Una scelta opportuna degli operatori puó ridurre l’entanglement tra il blocco B ed i siti ad esso adiacenti, questa proprietà risulta piú chiara in termini di ρ[B]_.

La matrice densità ridotta per il blocco B puó essere ottenuta stracciando la matrice densità relativa al sottospazio contenente i quattro siti q, i, j, p:

ρ[B]= trqp

h

ρ[qijp]i, (1.7) mentre nel caso del NRG l’isometria agiva direttamente su ρ[B]_{, nel caso della}

ER questa viene applicata ad una matrice densità riordinata ˜ρ[B]

˜ ρ[B]= trqp h (u1⊗ u2)ρ[qijp](u1⊗ u2) †i , (1.8)

costruita con l’intento di avere un rango efficace ˜η minore di quello originario. La trasformazione di ER si compone quindi di due passi:

• partizionato il reticolo in blocchi, ad bordo di ogni blocco si applica una trasformazione unitaria, il disentangler, con l’intento di ridurre l’entangle-ment con il resto del sistema. Solo l’intreccial’entangle-mento localizzato al bordo viene rimosso;

• seguendo l’approccio di Wilson, si effettua un troncamento dello spazio di Hilbert di B, il criterio di scelta ottimale è quella introdotto da White ap-plicato alla matrice densità deformata ˜ρ[B]_{. Questa operazione corrisponde}

all’applicazione di una trasformazione isometrica, non invertibile. Iterare il procedimento definisce una successione di reticoli a grana grossa. Ogni passo del processo di rinormalizzazione è implementato da un operatore

isometrico, composizione dei disentangler e delle isometrie, che mappa lo spazio di Hilbert per il reticolo Lθ in quello per il reticolo a grana grossa Lθ+1:

U_θ† : VLθ 7→ VLθ+1. (1.9)

Indicato con L0 il reticolo fisico, l’algoritmo produce infine un reticolo efficace

LΘ L0 ER −−→ L1 ER −−→ · · ·−−→ LER Θ, (1.10)

le cui dimensione permettono di calcolare le quantità fisicamente rilevanti con metodi numerici esatti. Analogamente possiamo interpretare la rinormalizzazio-ne in termini dello stato |Ψi che si vuole descrivere. Posto |Ψi ≡ |Ψ0i, si viene

a determinare una successione di stati a grana grossa |Ψ0i

ER

−−→ |Ψ1i ER

−−→ · · ·−−→ |ΨER Θi, (1.11)

lo stato finale |ΨΘi deve essere selezionato in modo tale che contenga le

informa-zioni fisicamente rilevanti. Solitamente si vuole descrivere lo stato fondamentale, o un sottopazio a basse energie, del sistema fisico. Se il problema è risolubile quando si consideri il reticolo efficace LΘ, è possibile definire la relativa matrice

densità ρΘ e, invertendo le trasformazioni (1.9) che implementano la ER,

|ρ0i ER−1 ←−−−− |ρ1i ER−1 ←−−−− · · · ER −1 ←−−−− |ρΘi (1.12)

ricostruire, almeno parzialmente, l’informazione voluta.

Uno schema di ER è quindi caratterizzato dalla scelta del tipo di partizione del reticolo efficace θ-esimo, dal tipo di disentangler e di isometrie scelti e dal numero di iterazioni effettuate. Gli operatori isometrici sono tensori e il tipo di tensore da considerarsi puó essere espresso mediante una coppia di interi (m, n) dove m indica il numero di siti uscenti, mentre n quello dei siti entranti; ad esempio l’operatore w

w : V ⊗ V ⊗ V → V0

è del tipo (1, 3), mentre l’operatore u che agisce da disentangler introdotto negli esempi precedenti

u : V ⊗ V → V ⊗ V è del tipo (2, 2).

È comodo adottare una notazione diagrammatica che descriva tali scelte. Ad ogni tensore g del tipo (m, n)

g : V ⊗ · · · ⊗ V

n volte

→ V0_{⊗ · · · ⊗ V}0 m volte

, (1.13)

viene associato un opportuno simbolo avente m gambe rivolte verso l’alto ed n gambe verso il basso. Per il tensore g† si utilizza il simbolo di g riflesso, tale convenzione è illustrata in figura 1.2. Ogni gamba rappresenta un indice che spazia lo spazio di Hilbert locale al quale il tensore viene applicato, gambe connesse rappresentano contrazioni tra gli indici che sono saturati mediante una opportuna δ. Quando i tensori siano isometrie, i vincoli a cui sono soggetti

g†_{g = I} se n 6= m

1.1. Rinormalizzazione di entanglement 5 γ η µ ν α µ ν η α µ ν η uγηµν wαµνη w∗αµνη (a)

7−→

7−→

Figura 1.2: (a) ad ogni di tensore viene associato una opportuna rappresenta-zione diagrammatica, per semplificare la notarappresenta-zione si usa lo stesso simbolo per l’operatore ed il suo hermitiano quando la trasformazione è del tipo (n, n), come nel caso del disentangler u. Segmenti connessi corrispondono a contrazioni dei relativi indici saturati mediante una δ. (b) Rappresentazione grafica dei vincoli a cui sono soggetti i tensori che compongono uno schema ternario.

si traducono nel fatto che ai tensori contratti possano sostituirsi segmenti. I tensori sono organizzati in strati, enumerati da un indice discreto crescente, che “scorrono” la trasformazione di rinormalizzazione e determinano per ogni passo θ-esimo il corrispondente reticolo efficace Lθ. Per convenzione diciamo l’operatore

g della rete di tensori appartiene allo strato θ se appartiene all’insieme delle trasformazioni di rinormalizzazione che mandano lo spazio di Hilbert associato al reticolo Lθnel reticolo Lθ+1. Lo schema di ER per un sistema in D dimensioni è

quindi completamente descritto da un opportuno diagramma in D+1 dimensioni. Considerando il caso unidimensionale, sono possibili diverse realizzazioni della rete di tensori. Siamo interessati a studiare quelle reti che presentino una struttura periodica, nel senso che riproducano la medesima prescrizione ad ogni passo del processo di rinormalizzazione.

Schema binario: il reticolo è partizionato in blocchi contenenti ciascuno due siti, si applica quindi un disentangler del tipo (2, 2) e si proietta lo spazio associato a due siti parzialmente disintrecciati in un sito efficace con un’isometria del tipo (1, 2). Il procedimento viene iterato fino a quando non si ottiene un reticolo efficace contenente quattro siti, in questo caso si considera una nuova isometria di tipo (1, 4) che completa la trasformazione di ER. Una rete binaria composta da Θ + 1 strati descrive un reticolo fisico composto da 4 × 2Θ_siti.

Schema ternario: secondo questa prescrizione, un blocco è formato da tre siti, come nel caso precedente i disentangler che vengono applicati tra i bordi di due blocchi sono del tipo (2, 2) mentre le isometrie associano a tre siti un blocco efficace, sono cioè tensori di tipo (1, 3). Il procedimento viene reiterato fino a quando non si determina un reticolo contenente solo due siti, gli stati fisicamente rilevanti sono fissati mediante un operatore isometrico che chiude la rete e deve quindi essere di tipo (1, 2). Una rete

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16

L

L

L

L

(a) schema binario per un reticolo di N = 16 siti, i tensori utilizzati sono del tipo (2, 2) per i disentangler, del tipo (1, 2) per le isometrie interne e del tipo (1, 4) per il tensore superiore s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18

L

L

L

L

(b) schema ternario per un reticolo di N = 18 siti, il network è organizzato in tre livelli. I tensori utilizzati sono del tipo (2, 2) per i disentangler, del tipo (1, 3) per le isometrie interne e del tipo (1, 2) per il tensore superiore

Figura 1.3: esempi di possibili schemi di ER per reticoli unidimensionali. I ten-sori che implementano la rinormalizzazione sono organizzati in strati enumerati dal basso verso l’alto in modo tale che un tensore t che contribuisce alla trasfor-mazione Lθ→ Lθ+1, sia indicato come tθ. Osserviamo come ciascuno schema

sia, in linea di principio, caratterizzato da un numero di tensori dell’ordine di N , che quindi cresce linearmente con le dimensioni del sistema: sfruttare eventuali simmetrie permette di ridurre notevolmente il numero dei parametri necessari. Adottiamo la convenzione che le linee tratteggiate rappresentino condizioni al contorno periodiche.

1.2. Multi-scale entanglement renormalization ansatz 7

ternaria composta da Θ + 1 strati descrive un reticolo fisico composto da 2 × 3Θ _siti.

Da questi esempi possiamo ricavare una proprietà generale della ER, au-mentando linearmente i passi del processo di rinormalizzazione, la dimensione del sistema descritto cresce esponenzialmente, in formule

Θ ≈ log(N ). (1.15)

I due schemi introdotti per i sistemi unidimensionali esibiscono un com-portamento diverso per quanto riguarda le proprietà di trasformazione delle osservabili locali. In particolare è piú conveniente utilizzare lo schema binario quando si vogliano trattare operatori locali che agiscano su tre siti contigui mentre quello ternario trova la sua naturale applicazione in sistemi in cui le quantità rilevanti siano operatori che agiscono su due siti primi vicini ed è piú conveniente dal punto di vista computazionale per la particolare struttura dia-grammatica che lo caratterizza. Per studiare in dettaglio queste problematiche è conveniente introdurre una corrispondenza tra le reti di tensori associate agli schemi di ER ed i circuiti quantistici.

1.2

Multi-scale entanglement renormalization ansatz

La rinormalizzazione di entanglement porta naturalmente a considerare reti di tensori che possono essere messe in corrispondenza con i circuiti quantistici definiti in teoria quantistica dell’informazione. Questo corrispondenza permette di determinare le proprietà strutturali delle reti e conduce al multi-scale entan-glement renormalization ansatz (MERA), un ansatz per i sistemi di molti corpi capace di esplorare sistemi quantistici a piccole dimensioni, tipicamente catene di spin in una o due dimensioni, arbitrariamente grandi anche in concomitanza di punti critici quantistici.

Circuiti Quantistici

Il bit è il concetto fondamentale della teoria della teoria dell’informazione classica. La teoria dell’informazione quantistica [9] si basa sull’idea di sostituire al bit il suo analogo quantistico detto quantum bit o piú semplicemente qubit. Il qubit è essenzialmente uno stato |qi in un sistema quantistico a due livelli V2,

a differenza del caso classico non vi sono particolari restrizioni che impongano l’utilizzo di sistemi a due livelli, possiamo quindi considerare oggetti piú generali detti qudit che corrispondono a stati in sistemi quantistici a d livelli. Ad un registro classico corrisponde un registro di qudit, definito come uno stato appartenente al prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert Vq dei qudit che lo

compongono:

|q1, . . . , qni = |qi1⊗ · · · ⊗ |qin, |qii∈ Vq.

Le porte logiche fondamentali vengono trasposte in porte quantistiche, ovvero in trasformazioni che agiscono su registri di qudit con la importante differenza che, nel caso quantistico, poiché la probabilità si deve conservare, le operazioni devono essere invertibili, piú precisamente devono essere espresse in termini di

· · ·

· · ·

g

Figura 1.4: (a) la porta logica quantistica g trasforma un registro di qubit, la richiesta che g sia unitaria impone ad un input di n qudit, corrisponda un output dello stesso tipo; (b) esempio di circuito quantistico ordinato cronologicamente.

operatori unitari, ció impone che una porta quantistica g mandi un registro di n qubit in un registro delle stesse dimensioni

g : V⊗nq 3 |q i 1, . . . , q i ni 7→ |q o 1, . . . , q o ni ∈ V ⊗n q , gg †_{= g}† g = I. Dalla definizione segue che ad ogni porta logica quantistica possa essere associato un tensore di tipo (n, n) secondo la convenzione introdotta per la rinormalizzazione di entanglement, in particolare possiamo utilizzare una rap-presentazione diagrammatica simile a quella introdotta per la ER in cui le gambe superiori indichino gli ingressi e quelle inferiori le uscite, invertendo quindi l’ordinamento cronologico per ragioni che saranno evidenti in seguito.

Un circuito quantistico è un modello che descrive un calcolo quantistico che associa ad un registro di qudit entrante, o registro di input, ad un registro di qudit uscente, o registro di output ed è la trasposizione di un circuito logico classico. Generalizzando quanto viene fatto nel caso classico i circuiti quantistici sono composti da porte elementari e da fili che le connettono e che rappresentano lo stato di un singolo qubit. Da un punto di vista topologico, i circuiti quantistici ammessi sono un sottoinsieme di quelli classici in quanto devono essere aciclici e non ammettono la congiunzione di due fili, nell’operazione classica detta FANIN, che associa al filo risultante lo XOR bitwise degli input considerati. Tale operazione chiaramente non è invertibile e non è quindi ammessa in un circuito quantistico, cosí come non è direttamente realizzabile l’operazione inversa, detta FANOUT, che copia lo stato associato ad un filo.

Un circuito quantistico C è ordinato cronologicamente quando le porte logiche e gli ingressi sono organizzati in strati. Tali strati sono enumerati da una variabile discreta che viene incrementata quando nello strato considerato sia presenta almeno un ingresso. Adottiamo quindi la convenzione grafica di ordinare il circuito dall’alto verso il basso come illustrato dalla figura 1.4.

Consideriamo quindi una porta logica g al tempo t di un circuito ordinato C , quando un ingresso di g è connesso all’output di una porta logica presente

1.2. Multi-scale entanglement renormalization ansatz 9

ad un tempo t0 passato rispetto a t, cioè t0< t, il filo corrispondente è detto legato. Se all’ingresso corrisponde direttamente un qudit del registro di input, il filo è detto libero.

Cono causale passato: dato un circuito quantistico ordinato cronologicamente C , definiamo il cono causale passato C[s]_{di un qudit uscente |si come il sottocircuito}

di C formato da tutte le porte e da tutti i fili causalmente connessi con s, cioè da quelli che possono modificare lo stato dell’output |si. Per ogni passo temporale t definiamo la larghezza locale di C[s] al tempo t come la somma del numero di ingressi legati delle porte logiche presenti nella restrizione, a quel passo temporale, del cono causale. La larghezza del cono causale C[s] è il valore massimo della larghezza locale al variare dell’indice temporale. Dato un insieme di siti s1, . . . , sn il cono causale passato C[s1,...,sn] è l’unione dei coni casuali dei

singoli siti C[s1]_{, . . . , C}[sn]_: C[s1,...,sn] ₌ n [ i=1 C[si]_.

ER e circuiti quantistici

Come visto, uno schema di ER definisce in modo naturale una rete di tensori che lo caratterizzano completamente. È possibile interpretare tale rete come un circuito quantistico. Consideriamo inizialmente il ruolo dei disentangler. Tali operatori si prefiggono il compito di rinuovere l’intrecciamento a corto raggio presente nel sistema e possiamo schematizzare questa operazione ponendo che lo stato |Ψi venga fattorizzato come

|Ψi = |Ψ0_{i ⊗ |σi, (1.16)}

dove la componente |σi viene quindi rimossa mediante l’azione di opportune isometrie. Possiamo quindi formalmente ripristinare i gradi di libertà rimossi imponendo che corrispondano allo stato fondamentale di un opportuno spazio di Hilbert, ovvero associamo alle isometrie dello schema di rinormalizzazione una porta quantistica in cui alcuni ingressi sono in uno stato fissato |0i come illustrato in figura 1.5.

Il circuito quantistico associato ad uno schema di ER ha alcune importanti proprietà. Osserviamo che, per costruzione, l’operatore unitario U_C, codificato dal circuito, associa al registro di input completamente disintrecciato |0i⊗N lo stato rappresentato dalla trasformazione di ER

|Ψi = U_C|0i⊗N. (1.17)

Inoltre presenta naturalmente un ordinamento cronologico inverso rispetto al flusso del gruppo di rinormalizzazione che porta alla seguente definizione MERA: uno schema per la rinormalizzazione di entanglement produce un ansatz per sistemi quantistici di molti corpi detto multi-scale entanglement renormalization ansatz (MERA), quando il circuito quantistico indotto dallo schema ha un cono causale limitato per ogni sito s del reticolo fisico, indipendente dal numero di iterazioni Θ del processo di rinormalizzazione.

|0i |0i |0i |0i

w :

t :

7−→

7−→

(a) agli operatori isometrici vengono associate le rispettive trasformazioni unitarie in cui alcuni ingressi sono in uno stato fissato |0i

|0i |0i

|0i |0i|0i |0i|0i |0i|0i |0i|0i |0i|0i |0i |0i |0i |0i |0i

(b) il circuito quantistico è tale da restituire lo stato |Ψi quando come input sia considerato lo

stato, completamente fattorizzato, |0i⊗N.

Figura 1.5: circuito quantistico C associato al MERA ternario unidimensionale

Si vuole dimostrare che lo schema ternario costituisce un MERA. Procediamo iterativamente mostrando che tale schema conserva la struttura degli operatori definiti su due siti, come vedremo questa proprietà è strettamente connessa con il fatto che la rete di tensori considerata sia caratterizzata da un cono causale limitato.

Consideriamo una coppia di siti primi vicini (s, r) nel reticolo Lθ al tempo

t. Ci sono tre possibili scelte che corrispondono alla posione relativa dei siti rispetto al partizionamento in blocchi del reticolo, ovvero i due siti possono appartenere ad uno stesso blocco Bso appartengono a due blocchi distinti Bs,

Bs+1, ma consecutivi. Quale che sia la scelta effettuata il cono causale al tempo

t, ha larghezza due e contiene due fili legati contigui, il disentangler impone infatti che, anche quando i due siti appartengano al medesimo blocco, debbano contribuire a due siti s0 e r0 nella granitura, figura 1.6. Questa proprietà è indipendente dal numero di strati considerati e quindi il cono causale associato a C[sr]è limitato. In termini di osservabili questo implica che lo schema ternario manda operatori definiti su siti primi vicini in operatori dello stesso tipo.

Consideriamo ora un sito s. Se s è il sito centrale di un blocco Bs allora

deve dare contributo solo al sito s0, il suo cono causale C[s] ha larghezza uno. Le altre due possibili scelte, fissare s a destra o sinistra del sito centrale del blocco Bs, portano ad un risultato analogo a quanto visto nel caso precedente:

l’azione del disentangler impone che l’informazione contenuta in s contribuisca ai siti efficaci s0 e r0. Il cono causale al tempo t che ne consegue ha larghezza due rispettivamente. Applicare successive trasformazioni, o in termini di teoria dell’informazione, scorrere a ritroso il circuito quantistico permette di determi-nare che, nella peggiore delle ipotesi il cono causale per un sito s ha larghezza 2, indipendentemente dal numero di passi fatti, che dimostra quanto voluto.

Questa discussione permette di determinare una condizione sufficente per determinare se uno schema di ER costituisce un MERA, basta infatti verificare che esista una struttura minimale conservata, intentendento con questo un insieme finito di n siti primi vicini che producano n siti primi vicini lungo il

1.2. Multi-scale entanglement renormalization ansatz 11 s r s′ _r′

C

C

C

C

C

C

Figura 1.6: cono causale per MERA ternario per una coppia di due siti primi vicini (a) e per un singolo sito (b)

flusso del gruppo di rinormalizzazione, indipendentemente da come vengano scelti.

Nello stesso spirito è facile dimostrare che anche lo schema binario soddisfa le condizioni richieste per un MERA, con l’importante differenza che in questo caso la struttura minima conservata è composta da una tripletta di siti s, r, v: il cono causale è piú largo nel caso binario e questo suggerisce che il costo computazionale associato a tale scelta sia piú elevato di quello che si avrebbe fissando un MERA ternario. In termini di osservabili questo implica che lo schema binario trasforma operatori definiti su tre siti in operatori dello stesso tipo.

Un MERA che descriva un sistema fisico non omogeneo deve essere ca-ratterizzato da O (N ) tensori a meno che non siano presenti simmetrie che permettano di ridurne il numero. I tensori della rete non devono avere necessa-riamente le medesime dimensioni. In termini dei reticoli efficaci ció significa che la dimensione dello spazio vettoriale Vsθ, associato al sito s ∈ Lθ, dipende

dallo strato θ. Definiamo quindi la dimensione di sito per lo strato θ come la quantità

dim(Vsθ) ≡ χθ, (1.18)

osserviamo che, per costruzione, χ0= d. Solitamente si utilizza una dimensione

di sito che, dopo un certo numero di passi, sia indipendente dal parametro θ, chiamiamo tale valore parametro di rifinitura χ del MERA. Spesso esprimeremo il costo computazionale degli algoritmi considerati in termini del parametro di rifinitura.

La peculiare struttura causale richiesta, insieme ai vincoli imposti sulle isometrie (1.14), rendono MERA un metodo molto efficiente per il calcolo dei valori di aspettazione delle osservabili locali.

Simmetrie

La rinormalizzazione di entanglement si presta facilmente ad includere simmetrie spaziali. Consideriano un sistema unidimensionale invariante sotto traslazioni. Per ogni blocco in cui viene partizionato il reticolo dobbiamo risolvere lo stesso problema in quanto i termini hamiltoniani presenti sono tutti identici per costruzione. Questa osservazione porta ad introdurre un MERA invariante sotto traslazioni, ovvero uno schema di rinormalizzazione in cui, per ogni strato, possiamo introdurre una unica coppia di tensori w, u che sono quindi univocamente determinati dall’indice θ, riducendo il numero di parametri all’ordine O (Θ) = O (log N ) (ricordiamo che il numero di siti N è legato al parametro Θ dalla relazione Θ ≈ log N ). Osserviamo che un MERA invariante sotto traslazioni non descrive necessariamente uno stato fondamentale, o un sottospazio, che manisfesti tale simmetria poiché la struttura diagrammatica induce delle disomogeneità: alcuni siti hanno posizioni inequivalenti rispetto alla rete di tensori. È comunque possibile mitigare questo effetto, mediando opportunamente le espressioni per le osservabili locali e le matrici densità ridotte.

In sistemi invarianti sotto trasformazioni di scala è possibile ridurre ulte-riormente i parametri necessari imponendo che, dopo un certo valore ¯θ, tutti i disentangler e le isometrie siano identici. Il numero di parametri risulta quindi indipendente dalle dimensioni fisiche del sistema considerato. Tale scelta defini-sce un MERA invariante di scale che trova applicazione nello studio di sistemi quantistici in corrispondenza del punto critico o di sistemi caratterizzati da ordine topologico al limite infrarosso del flusso del gruppo di rinormalizzazione [12, 8].

Capitolo 2

MERA Ternario

Studiamo le proprietà di un MERA ternario. In tale schema, a ciascun passo, il reticolo Lθ è partizionato in blocchi contenenti tre siti, viene quindi applicato

prima un disentangler u del tipo (2, 2) quindi un’isometria w del tipo (1, 3) per produrre il reticolo Lθ+1. Un operatore è identificato dal passo θ in cui

interviene e dai siti ai quali viene applicato in modo non banale. Indicizzati con s e t siti appartenenti rispettivamente al reticolo Lθe Lθ+1, fissate le coordinate

per i relativi spazi di Hilbert VLθ e VLθ+1, la trasformazione (1.9) diventa

|t0, . . . , tmi = w∗tr00,r1,r2· · · w ∗tm rn,r0,r1u ∗r2,r3 s2,s3· · · u ∗rn,r0 sn,s0|s0, . . . , sni, (2.1)

dove i tensori u, w soddisfano i seguenti vincoli    (u)r,s_t,v(u†)t,v_p,q= δr_pδs_q, (w)p_s,t,v(w†)s,t,v_q = δpq. (2.2)

In vista di determinare come sia possibile trasformare la Hamiltoniana del sistema e costruire le matrici densità ridotte, definiamo gli operatori di salita e di discesa associati ad una rete di tensori.

2.1

Operatori di salita

Una rete di tensori MERA è particolarmente efficace nel descrivere osservabili locali. Consideriamo un osservabile Oθ definito nello spazio vettoriale che

descrive il reticolo Lθ, l’immagine dell’operatore al passo successivo del processo

di rinormalizzazione è ottenuta mediante l’applicazione dell’operatore (1.9)

Oθ+1= Uθ†OθUθ. (2.3)

In genere, per la struttura delle contrazioni rappresentate della rete di tensori, è complicato determinare una forma esplicita pre l’operatore Oθ+1. In alcuni

casi le espressioni si semplificano notevolmente.

Supposto che Oθ agisca in modo non banale solo su una coppia di siti primi

vicini s, s + 1 ∈ Lθ:

Oθ= I ⊗ I · · · ⊗ o

[s,s+1]

θ ⊗ · · · I ⊗ I, (2.4)

i j k l AL i j k l AC i j k l AR

Figura 2.1: esistono tre possibili realizzazioni AL, AC, AR per l’operatore di

salita quando si consideri un operatore che si applichi a due siti primi vicini.

è possibile, ricorrendo ai vincoli (2.2), semplificare tutti i tensori che non appartengono al cono causale della coppia di siti r, r + 1. L’operatore di salita per l’osservabile Oθ è quindi determinato dalla posizione relativa dei siti s,

s + 1 rispetto ai tensori della rete, figura 2.1. Sono possibili tre configurazioni differenti che definiscono tre diversi operatori di salita Aθ

A

Oθ+1 = AθA(Oθ), A = {L, C, R}. (2.5)

Questo risultato si estende immediatamente al caso in cui un osservabile si possa decomporre come somma di termini che agiscono su due siti. Per linearità il risultante operatore di salita risulta uguale alla somma degli operatori di salita applicati ai singoli termini.

Per un osservabile invariante sotto traslazioni è conveninte introdurre l’ope-ratore di salita medio definito come la media dei tre differenti contributi. Un operatore invariante sotto traslazioni è completamente caratterizzato da un singolo termine o[r,r+1], l’operatore di salita medio permette di determinarne iterativamente la sua rappresentazione per ogni spazio di Hilbert VLθ:

oθ+1=A(oθ) ≡ 1 3 h Aθ L(oθ) + AθC(oθ) + AθR(oθ) i . (2.6)

2.2

Operatori di discesa

Siano r, r + 1 due siti appartenenti al reticolo Lθ. Vogliamo costruire degli

operatori di discesa che mappino la matrice densità ρ[r,r+1]_θ in una matrice densità locale, definita sui siti [s, s + 1] appartenenti al cono causale passato di [r, r + 1] nel reticolo Lθ−1. In questo caso la scelta non è univoca, scegliamo di

definire gli operatori come illustrato in figura 2.2, in questo modo l’operatore di discesa D è il duale del relativo operatore di salita. Dato un qualsiasi osservabile o[s,s+1]_θ−1 ed una matrice densità ρ[r,r+1]_θ si ha

2.3. Hamiltoniana e matrice densità 15 i j r s DL j k s t DC k l t v DR

Figura 2.2: gli operatori di discesa sono scelti in modo tale da trasformare una matrice densità locale ρθ in una equivalente matrice densità locale ρθ−1

definita sul reticolo Lθ−1. A seconda della posizione relativa del supporto di

ρθ−1 con il piú vicino disentangler è possibile contrarre i tensori in tre modi

diversi corrispondenti alle definizioni degli operatori di discesa DL, DC e DR.

Come nel caso degli operatori di salita, è utile definire un operatore di discesa medio D ρθ−1= D(ρθ) ≡ 1 3 h Dθ L(ρθ) + DCθ(ρθ) + DRθ(ρθ) i , (2.8)

attraverso il quale é possibile costruire una matrice densità che approssimi uno stato, o un sottospazio, invariante sotto traslazioni. L’utilizzo dell’operatore di discesa medio permette infatti di ridurre le anisotropie dovute alla geometria della rete di tensori.

2.3

Hamiltoniana e matrice densità

Dalla struttura degli operatori di salita e di discesa, un MERA ternario si presta a descrivere sistemi la cui Hamiltoniana sia decompomibile in una somma di termini che agiscano su una coppia di siti primi vicini

H =X

s

h[s,s+1]. (2.9)

Data una rete di tensori, ciascun termine della (2.9) trasforma attraverso l’applicazione di un opportuno operatore di salita. Per linearità quindi un MERA ternario conserva la struttura dell’interazione lungo il flusso del gruppo di rinormalizzazione Hθ= X s∈Lθ h[s,s+1]_θ = X s∈Lθ A(h[s,s+1]_θ−1 ). (2.10)

Per non appesantire la notazione abbiamo sottinteso la diversa forma strutturale dell’operatore di salita applicato al termine hamiltoniano considerato.

La trasformazione di rinormalizzazione produce quindi una successione di Hamiltoniane fino a determinare l’Hamiltoniana HΘ associata allo strato

superiore di dimensioni tali che sia possibile trattarla con metodi numerici esatti. Determinata quindi calcolare la matrice densità ρΘ associata al reticolo LΘ,

applicando opportunamente una successione di operatori di discesa, è possibile calcolare le matrici densità ridotte di interesse [3].

Per costruzione, un sistema invariante sotto traslazioni è caratterizzata da un solo termine hamiltoniano che possiamo quindi trasformare mediante l’applicazione dell’operatore di salita medio A

ho A

−→ h1

A

−→ . . .−A→ hΘ, (2.11)

la matrice densità ridotta per due siti primi vicini che puó essere calcolata mediante l’applicazione dell’operatore di discesa medio D

ρo D

←− ρ1

D

←− . . .←D− ρΘ, (2.12)

l’energia del sistema è completamente determinata in funzione del termine hamiltoniano h e della matrice densità ridotta ρ.

Visto come sia possibile trasformare le quantità fisicamente rilevanti, è possibile stabilire un algoritmo per ottimizzare la rete di tensori con il fine di descrivere un sottospazio a basse energie VU ⊂ VL del sistema.

2.4

Ottimizzazione della rete di tensori

Data una rete di tensori che costituiscono un MERA, si pone il problema di ottimizzarne gli elementi per descrivere le proprietà spettrali, a basse energie, del sistema considerato. Per fissare le idee specializziamo la discussione allo schema ternario, il procedimento che verrà introdotto è facilmente estendibile ad altri schemi, differenziandosi solo per quanto riguarda la differente struttura degli ambienti per i singoli tensori della rete.

Nel seguito si suppone che i termini hamiltoniani h[r,r+1]_{siano caratterizzati}

da uno spettro non positivo. Questa ipotesi non inficia la generalità della discussione ed è facilmente realizzabile per qualsiasi sistema del tipo (2.9) mediante la sostituzione

h[r,r+1] → h[r,r+1]_{− λ}

MI, essendo λM l’autovalore massimo della matrice h[r,r+1].

Lo stato fondamentale, od eventualmente un sottospazio a basse energie VU⊂ VL, di un sistema fisico caratterizzato da una Hamiltoniana del tipo (2.9)

è convenientemente descritto in termini delle matrici densità ridotte ρ[r,r+i]_in

modo tale che l’energia E(U )_{, associata al sottospazio V}

U, sia

E(U )= tr (Hρ) =X

r∈L

trh[r,r+1]ρ[r,r+1]. (2.13) In un MERA l’informazione è codificata nella scelta dei tensori che imple-mentano, ad ogni passo, le rispettive iterazioni del processo di rinormalizzazione. Introdotto l’indice discreto θ che le enumera, la proprietà di dualità della rete di tensori permette di scrivere l’energia E(U ) in termini di ciascun reticolo efficace Lθ in funzione dei termini hamiltoniani e delle matrici densità ridotte

E(U )= X

r∈L0

trh[r,r+1]₀ ρ[r,r+1]₀ = · · · = X

r∈Lθ

2.4. Ottimizzazione della rete di tensori 17

Il primo passo di un algoritmo iterativo, per l’ottimizzazione di una rete di tensori, consiste nel determinare come sia possibile scegliere un certo tensore appartenente allo strato θ quando siano fissati tutti gli altri tensori della rete. Oltre al metodo descritto sono stati sviluppati approcci basati sull’utilizzo dell’operatore di evoluzione temporale [13].

Ottimizzazione di un singolo tensore

Consideriamo lo strato θ della rete di tensori, si vuole determinare un algoritmo che permetta di ottimizzarne un disentangler od una isometria. Per sempli-ficare la notazione su indica il tensore considerato con il simbolo generico t, specificandone la tipologia solo quando necessario.

Come visto l’energia puó essere scritta in termini delle Hamiltoniane ristrette e delle matrici densità ridotte, per evidenziare il ruolo delle isometrie che realizzano la ER ricordiamo che le osservabili definite per il reticolo Lθ+1, sono

ottenute da quelle definite nel reticolo Lθ mediante l’azione di un opportuno

operatore di salita, in particolare per le Hamiltoniana ridotte questo si traduce nell’applicazione dell’operatore di salita medio A

h[r,r+1]_θ+1 = Ah[r,r+1]_θ , (2.15) che agisce solo sui siti contenuti nel cono casuale passato dei siti r, r + 1 apparetenenti al reticolo Lθ+1. L’energia del sistema diventa allora

E(U )=X

r∈Lθ+1

trhAh[r,r+1]_θ ρ[r,r+1]_θ+1 i. (2.16)

Per convenienza si definisce la funzione costo E (t) del tensore t appartenente allo strato θ, come il contributo all’energia E(U )dipendente esplicitamente da t. Per la struttura dell’operatore di salita, la funzione costo dipende quadratica-mente dal tensore t, in particolare devono esistere due famiglie di matrici, che indichiamo con Mse Ns, tali che

E(t) = tr X

s

tMst†Ns



, (2.17)

dove l’indice s scorre i siti il cui cono causale contiene il tensore t.

Il problema di scegliere il tensore si riduce a quello di minimizzare la funzione costo nel sottospazio dei tensori che soddisfano il vincolo (2.2). Si tratta quindi di risolvere un problema quadratico vincolato di cui non è noto nessun metodo risolutivo esatto. Per superare questa difficoltà è possibile adottare diverse strategie [3]. In seguito discuteremo un metodo iterativo basato sulla linearizzazione della funzione costo. L’ambiente Υtper il tensore t

è definito come:

Ambiente Υt: data una isometria t appartenente ad una rete di tensori,

l’am-biente Υt è definito come il contributo indipendente da t della funzione costo

E(t), ottenuto considerando indipendenti gli operatori t e t†_.

Dall’equazione (2.17) è possibile ricavare la forma esplicita per l’ambiente Υte

quindi introdurre la funzione costo linearizzata E (t) Υt=

X

s

con la convenzione che t e Υt siano considerati indipendenti. Il problema di

minimizzare la funzione costo linearizzata E (t), con t vincolato, ammette una soluzione nota [7].

Data una matrice A ∈ Cm×n (risp. A ∈ Rm×n), esiste una fattorizzazione di A della forma

A = U ΣV† A = U ΣVt
, (2.19)

detta decomposizione ai valori singolari (o SVD, dall’inglese Singular Value Decomposition) e tale che

i. la matrice U ∈ Cm×m _{(U ∈ R}m×m_{) è unitaria (ortogonale),}

ii. la matrice Σ ∈ Cm×n _{è una matrice diagonale con elementi reali non}

negativi sulla diagonale,

iii. la matrice V ∈ Cn×n(V ∈ Rn×n) è unitaria (ortogonale).

La convenzione comunemente utilizzata consiste nell’ordinare gli elementi diago-nali di Σ, detti valori singolari di A ed indicati con σi per i = 1, . . . , min(m, n),

in modo non crescente. In questo caso, la matrice diagonale Σ è univocamente determinata da A mentre non lo sono le matrici U e V . Introdotta la matrice I

I ∈ Rn×m : I(i, j) = (

0 se i 6= j, 1 altrimenti.

posto Υt= U ΣV†, la scelta t = −V IU†minimizza la funzione costo linearizzata

min

t E(t) = mint tr tU ΣV

†
_{= −tr (IΣ) = −}X

i

σi, (2.20)

e poiché le matrici V e U sono unitarie è immediato verificare che venga soddisfatto il vincolo (1.14)

t†t = (−V IU†)†(−V IU†) = U IV†V IU† = I. (2.21) Una strategia per ottimizzare il tensore t consiste quindi nell’iterare i seguenti passi nS volte

S1. Si determina l’ambiente Υt con l’ultimo valore di t calcolato.

S2. Si calcolano le matrici U e V che trasformano l’ambiente nella rappresenta-zione singolare Σ = U†ΥtV .

S3. Il tensore t viene aggiornato mediante la sostituzione t = −V IU†

fino a quando non si ottenga un grado di convergenza soddisfacente. Osserviamo che, in linea di principio, non è garantita convergenza dell’algoritmo, per questo un MERA non puó essere annoverato tra i metodo variazionale. Un’analisi numerica mette peró in evidenza che, almeno nei casi fisicamente rilevanti, si ottengono buoni risultati per nS dell’ordine di 10.

Si consideri il caso in cui il tensore t sia un disentangler u. Dall’equazione (2.16) risulta che il contributo dovuto a u è contenuto nei tre operatore di salita che contengono u. L’ambiente Υu è quindi determinato dalla somma

2.4. Ottimizzazione della rete di tensori 19

Υ

Υ

Υ

Figura 2.3: l’ambiente Υu per il disentangler u è determinato dalla somma dei

tre differenti contributi i tre differenti contributi Υu= ΥLu + ΥCu + ΥRu, le linee

tratteggiate rappresentano il tensore rimosso.

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

Figura 2.4: nel calcolo dell’ambiente Υw per l’isometria w si deve considerare,

oltre alla possibile scelta del termine hamiltoniano h, anche quella della posizione relativa dell’isometria rispetto ai disentangler adiacenti. L’ambiente è quindi determinato considerando sei contributi indipendenti Υw= ΥLLw + ΥLCw + ΥLRw +

ΥRL

ai differenti termini hamiltoniani h[r,r+1]_{il cui cono causale futuro contiene il}

disentangler considerato.

Quando il tensore t sia un’isometria w, il relativo ambiente ha una struttura piú complicata in quanto si deve tener conto anche della diversa posizione relativa rispetto ai disentangler adiacenti, in definitiva in tal caso l’ambiente Υwè dato dalla somma di sei contributi, figura 2.4.

Invarianza sotto traslazioni

Quando il sistema fisico sia invariante sotto traslazioni è possibile utilizzare una rete di tensori che rispecchi tale proprietà. In tal caso ogni strato è caratterizzato da un solo disentangler e da una sola isometria. Ne segue che, mentre la funzione costo per il disentangler resta una funzione quadratica, quella per l’isometria diviene quartica in w. Ai fini dell’ottimizzazione di singolo tensore si decide comunque di linearizzare la funzione costo trattando come indipendenti i due differenti contributi in w presenti.

Costo computazionale

La notazione grafica, oltre a rappresentare in modo immediato le contrazio-ni richieste, permette anche di calcolare facilmente il costo computazionale dell’ottimizzazione per singolo tensore. Per ogni iterazione dell’algoritmo di ottmizzazione, è infatti necessario aggiornare l’ambiente Υt, come prescritto al

passo S1, ma i valori delle Hamiltoniane e delle matrici densità ridotte presenti sono costanti durante tutto il processo. Organizzando opportunamente le contra-zioni è quindi possibile determinare l’ambiente Υtcon un costo computazionele

dell’ordine di O χ8
_{determinato contando le contrazioni che riguardano il}

tensore t, ovvero la parte variabile dell’ambiente. In definitiva ottimizzare un tensore della rete richiede un costo computazione O nSχ8
poichè si devono

ripetono nS volte i passi S1-S3.

2.5

Algoritmo di ottimizzazione

Illustriamo una strategia atta a minimizzare l’energia E(U )_{del sottospazio V}

U

che si deve descrivere, ottimizzando in sequenza i singoli tensori della rete, come descritto nella sezione 2.4. L’idea dell’algoritmo consiste nell’ottimizzare ciascun tensore partendo dallo strato piú basso della rete, ovvero quello indicizzato dal valore θ = 0. Ottimizzati i disentangler e le isometrie appartenenti allo strato θ si aggiornano tutti i termini della Hamiltoniana per lo strato sucessivo h[r,r+1]_θ+1 fino a quando θ + 1 = Θ. Calcolata la Hamiltoniana efficace HΘ è possibile

costruire la relativa matrice densità ρΘ. Quindi, mediante l’applicazione degli

opportuni operatori di discesa, è possibile aggiornare le matrici densità ridotte di interesse.

Data una rete di tensori, un procedimento iterativo per la sua ottimizzazione che la scorra dal basso verso l’alto, si compone dei seguenti passi:

O1. Per tutti gli strati interni, ovvero quelli enumerati dall’indice θ tale che θ = 0, . . . Θ − 1:

i si ottimizzano tutti i disentangler e tutte le isometrie appartenenti allo strato θ,

2.5. Algoritmo di ottimizzazione 21

NO SI

NO

SI

Inizializzazione dei tensori, θ ← 0, nc← 0

Ottimizzazione dei tensori uθe wθ

Calcolo dei termini hamiltoniani h[s,s+1]

θ+1

θ + 1 = Θ ? θ ← θ + 1

Aggiornamento delle matrici densit`a ridotte

nc≤ nT ?

nc← nc+ 1,

θ ← 0

Calcolo osservabili

Figura 2.5: diagramma di flusso per un algoritmo di ottimizzazione iterativo che scorra dal basso verso l’alto la rete di tensori.

ii si calcolano i termini hamiltoniani per due siti h[r,r+1]_θ+1 applicando gli opportuni operatori di salita ottenuti mediante i tensori aggiornati al passo precedente.

O2. Si aggiorna la matrice densità per lo strato superiore e quindi si determinano le conseguenti matrici densità ridotte per ogni strato inferiore.

Il passo O1.i consiste nell’ottimizzazione progressiva di tutti i tensori ap-partenenti allo strato θ, mediante l’algoritmo per l’ottimizzazione di singolo tensore illustrato in precedenza. Per ogni tensore considerato dobbiamo costrui-re l’ambiente Υt utilizzando i valori dei termini hamiltoniani e delle matrici

densità ridotte, determinati nei passi successivi. Le ottimizzazioni di singolo tensore vengono ripetute un numero nL di volte, per gli operatori appartenenti

allo strato θ. Il costo computazione di questa operazione risulta quindi essere O nLnSχ8N
, tenendo presente che un MERA non omogeneo è caratterizzato

Nel passo O1.ii si aggiornano i termini hamiltoniani per lo strato successivo utilizzando i disentangler e le isometrie risultate da O1.i. Il costo computazionale di questa operazione è di ordine O χ8
per ciascun termine, corrispondente all’applicazione dell’opportuno operatore di salita A.

Si prosegue fino a quando non sia spaziata tutta la rete di tensori. Ottenuta la Hamiltoniana efficace HΘ, è possibile determinare la matrice densità efficace ρΘ

utilizzando metodi di diagonalizzazione esatta. Quindi si aggiornano le matrici densità ridotte per tutti gli strati sottostanti con un costo computazionale dell’ordine O χ8N
.

Il processo viene ripetuto un numero totale nT di volte fino al

raggiungi-mento del grado di accuratezza desiderato. Il costo computazionale totale per ottimizzare un MERA risulta quindi essere dell’ordine O nTnLnSχ8N
.

Dall’analisi della convergenza dei risultati prodotti dall’algoritmo, si evince come risulti opportuno utilizzare valori di nL e nS relativamente piccoli,

so-litamente dell’ordine di 5: non è conveniente ottimizzare tensori utilizzando funzioni costo che sono destinate a variare nelle iterazioni successive.

Ottimizzazione in presenza di simmetrie

UN sistema invariante sotto traslazioni puó essere descritto da una MERA invariante sotto traslazioni, con la conseguente sensibile riduzione del numero dei parametri da considerarsi, traendone vantaggio anche l’algoritmo di ottimiz-zazione. Il passo i1 si riduce infatti all’ottimizzazione di una singola coppia di tensori, un disentangler ed una isometria.

Analogamente abbiamo un solo termine hamiltoniano ed una sola matrice densità ridotta per ogni valore di θ, il costo computazionale associato al passo O2 si riduce a O χ8_{log N
≈ O χ}8_{Θ
corrispondente alla ripetuta applicazione}

dell’operatore di discesa medio D. Segue quindi che il costo computazionale complessivo per ottimizzare un MERA invariante sotto traslazioni si riduce a O nTnLnSχ8log N
.

Il costo computazionale per un sistema descritto da un MERA invariante di scala, subisce un’ulteriore riduzione in quanto i tensori indipendenti si riducono ad essere ¯θ < θ. Procedendo come in precedenza si ottiene un costo computazionale O nTnLnSχ8log ¯N
, dove si è convenientemente introdotto il

parametro ¯N < N . In definitiva un MERA invariante sotto trasformazioni di scala ammette un costo computazionale per la sua ottimizzazione indipendente dalle dimensioni del reticolo fisico descritto [11].

2.6

Cenni sull’implementazione

Si è implementato L’algoritmo per un MERA invariante sotto traslazioni utiliz-zando il linguaggio C++. La tecnica dei template di espressioni ha permesso di sviluppare una interfaccia naturale per le contrazioni tra tensori, descritta in dettaglio nell’appendice A.

La flessibilità del formalismo sviluppato ha permesso di effettuare, con rela-tiva facilità, ottimizzazioni che sarebbe state di complicata implementazione utilizzando altri linguaggi di programmazione, come il fortran o il C. In parti-colare, una volta implementato l’algoritmo, è stato possibile riorganizzare le contrazioni in modo efficente.

2.6. Cenni sull’implementazione 23

Raffinamento dell’algoritmo di ottimizzazione

In precedenza si è stimato il costo computazionale necessario ad ottimizzare un tensore della rete, come O nSχ8
. Tale stima era ottenuta considerando le

contrazioni che riguardano i termini dipendenti dal disentangler o dall’isometria nel relativo ambiente. È possibile migliorare questo risultato organizzando opportunamente le contrazioni.

Per semplificare la notazione si considera esplicitamente il contributo legato al termine ΥC

u. La figura 2.3 rappresenta le contrazioni

(ΥC u) tv rs= w ∗i abcw ∗j defu ∗cd pqhθpqrsw abt h w vef k ρθ+1hkij , (2.22)

i termini che non contraggono direttamente il tensore u, possono essere isolati e devono essere calcolati solo una volta durante l’ottimizzazione. Il conseguente tensore Y

Y_cftv= w∗iabcw∗jdefw abt h w

vef

k ρθ+1hkij, (2.23)

organizzando opportunamente le contrazioni, viene calcolato con un costo computazionale O χ6

W_chit = w∗i_abcwabt_h (O χ6
₎

V_dkjv= w∗j_defwvef_k (O χ6
₎

˜

ρtk_cj = W_chitρθ+1hkij (O χ6
)

Y_cftv = ˜ρtk_cjV_dkjv (O χ6
₎

In funzione del tensore Y , l’ambiente ΥC

u diventa (ΥC u) tv rs= Y tv cfhθpqrsu∗cdpq, (2.24)

procedendo come per il tensore Y , ΥCu viene calcolato con un costo

computa-zionale O χ6
. Il procedimento illustrato, puó essere ripetuto anche per gli ambienti ΥL

u e ΥRu, in questi casi si guadagna solo un fattore χ mentre la parte

costante necessita di un costo computazionale di ordine O χ8
_.

In definitiva si è ottenuta una implementazione dall’algoritmo di otti-mizzazione per il disentangler, caratterizzata da un costo computazionale O χ8_{+ n}

Sχ7
.

La natura più complicata del problema che riguarda l’isometria w non permette di estendere i risultati a questo caso quando si considerino sistemi invarianti sotto traslazioni.

Capitolo 3

Modello di Ising

Applichiamo l’algoritmo allo studio delle proprietà dello spettro a basse energie per il modello di Ising in campo magnetico esterno trasverso a temperatura zero. Consideriamo l’Hamiltoniana

H =X

s



λσ_z[s]+ σ_x[s]σ[s+1]_x , (3.1)

dove σ[s]a è la matrice di Pauli che agisce sul sito s:

σ_a[s]= I ⊗ I · · · ⊗ σa⊗ · · · I ⊗ I

e la somma è estesa a gli N siti del reticolo L. Il parametro λ rappresenta

l’intensità del campo magnetico esterno applicato lungo l’asse z. Una transizione di fase si realizza per il valore critico λc = 1. In una dimensione, sono note

soluzioni analitiche implicite del modello [14], che puó quindi essere utilizzato per verificare la correttezza dell’algoritmo sviluppato.

Assumendo condizioni al contorno periodiche, è possibile utilizzare un MERA invariante sotto traslazioni con il vantaggio sul costo computazionale che ne consegue.

3.1

Modello a piccole dimensioni

Sistemi di piccole dimensioni sono interessanti perchè consentono di confrontare i risultati ottenuti con le soluzioni fornite da metodi di diagonalizzazione esatti, anche quando non sia nota una soluzione analitica e permettono di evidenziare alcune proprietà dell’algoritmo, utili quando si vadano a considerare sistemi di dimensioni maggiori.

Consideriamo un reticolo composto da sei siti, descritto quindi da una rete di tensori organizzata in due strati. Quando il parametro di rifinitura χ sia uguale a 8, la ER si riduce ad una semplice trasformazione di coordinate e quindi riproduce esattamente tutte le proprietà del sistema.

Poniamo quindi χ = 4, abbiamo utilizzato l’algoritmo per determinare l’energia dello stato fondamentale come riportato in figura 3.1. Si osserva che l’algoritmo produce risultati numericamente esatti per λ > 0.25, nella regione di piccolo campo magnetico la capacità risolutiva si riduce con un errore massimo dell’ordine O 10−6
comunque soddisfacente. L’algoritmo

−1.6 −1.5 −1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1 E ne rg ia pe r si to 0.25 0.5 0.75 1 1.25

Campo magnetico trasverso (a) 10−14 10−13 10−12 10−11 10−10 10−9 10−8 δE 0.25 0.5 0.75 1 1.25

Campo magnetico trasverso (b)

Figura 3.1: energia (a) e relativo errore (b) per un sistema composto da N = 6 siti corrispondente ad un MERA costituito da due strati. I risultati sono ottenuti considerando un parametro di rifinitura χ = 4, simulazioni effettuate per valori maggiori riproducono esattamente le proprietà del sistema, in particolare per χ = 8 la Hamiltoniana HΘ corrisponde, a meno di una trasformazione di

3.2. Limite termodinamico 27

riproduce gli effetti del modello a dimensioni finite, come confermato dallo studio della magnetizzazione trasversa media hσzi, figura 3.2. Anche in questo

caso l’andamento dell’errore mostra una maggiore difficoltà in un intorno della regione λ ≈ 0.15, mentre si ottengono risultati numericamente esatti per λ > 0.25.

Applicare il MERA ad un sistema composto da sei siti equivale a considerare una rete di tensori caratterizzata da due strati e quindi, nel caso invariante sotto traslazioni, una sola coppia (u, w). Il disentangler viene scelto per rimuovere l’intrecciamento tra i due blocchi in cui è partizionato il reticolo, quale che sia la scelta del parametro χ, nel caso considerato è un tensore di dimensione χ0= 2

in quanto, per costruzione si applica a due siti appartenenti al reticolo fisico. L’isometria w determina il un sito efficace per il reticolo L1, la sua efficacia

dipende dall’azione del disentangler: il maggiore errore riscontrato nella regione λ ≈ 0.15 suggerisce che in queste condizioni il disentangler non sia in grado si selezionare i gradi di libertà fisicamente irrilevanti e che quindi sia necessario allargare la dimensione del sito efficace.

Questa osservazione risulterà particolarmente utile quando si considereranno sistemi di dimensioni maggiori.

3.2

Limite termodinamico

Un MERA caratterizzato da Θ = 4 descrive un reticolo composto da N = 162 siti, i risultati ottenuti in questo caso non dipendono significativamente delle dimensioni del sistema, ovvero siamo al limite termodinamico.

Si è quindi calcolata l’energia dello stato fondamentale del sistema e la magnetizzazione trasversa al variare del campo magnetico trasverso. I risultati sono stati confrontati con le soluzioni analitiche esatte e l’errore ottenuto è riportato in figura 3.3. Per minimizzare gli errori commessi si sono tenute pre-senti due proprietà, comunque evidenziate da una analisi numerica preliminare, e quindi generalizzabili anche per altri modelli.

Per λ piccolo, nel modello di Ising, la differenza di energia tra lo stato fondamentale ed il primo stato eccitato tende a zero, inducendo oscillazioni nella convergenza dell’algoritmo di ottimizzazione: l’algoritmo risulta incapace di distinguere esattamente lo stato fondamentale. Questa problematica puó essere risolta decidendo di descrivere un sottospazio piú ampio VU anziché

ridurci al solo stato fondamentale. Cosí facendo si sono eliminate tutte le fluttuazioni presentatesi durante la fase di ottimizzazione della rete di tensori. Durante le simulazioni effettuate con χ = 4 si è inizialmente osservata una difficoltà nell’ottenere buoni risultati per λ ≈ 0.25, non giustificata dell’anda-mento dell’errore che si delineava nelle regioni adiacenti. In tal caso l’esperienza fatta per sistemi di piccole dimensioni ha suggerito di aumentare la dimensione di sito solo per il reticolo L1. Con questo accorgimento non si modifica

sostan-zialmente il costo computazionale per la simulazione, ma si sono migliorati i risultati ottenuti, esposti in figura 3.3.

Al valore lambda = 1 corrisponde il punto critico per il modello di Ising, in questo caso si ottengono le stime peggiori per l’energia dello stato fondamentale. Anche nel caso peggiore, le simulazioni effettuate con χ = 4, si ottiene comunque un risultato confortante essendo δE ≈ 10−5. Aumentando il parametro χ aumenta l’accuratezza: per χ = 8 l’errore commesso è dell’ordine di 10−6.