B
OLLETTINO
U
NIONE
MATEMATICA
I
TALIANA
Giovanni Vidossich
Una dimostrazione di un teorema di G.
Aquaro.
Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 3, Vol. 20
(1965), n.3, p. 400–401.
Zanichelli
<http://www.bdim.eu/item?id=BUMI_1965_3_20_3_400_0>
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SIMAI & UMI
Una dimostrazione di un teorema di G. Aquaro
G-IOVANNI V I D O S S I C H ( A v e n z a )
Snnto. - È nell'introdmione.
I n q u e s t a n o t a si espone u n a semplice dimostrazione d é l i a parte p i ù complessa di [1, Prop. 1], usando [2, § 4, Prop. 1] e un noto teorema s u g l i « enibeddings ». I n questa dimostrazione non si fa a l c u n uso di t e c n i c h e estranee a [3].
Convensioni: Si useranno le notazioni e la terminologia di [3],
Si dénotera con
TUfr), per o g n i topologia T su X, P i n s i e m e di tutte le unifor-mité, su X compatibili con T.
Ud(T), per o g n i topologia uniformizzabile T, il cardinale / \ Rk(w), che puô essere chiamato «grado di uniformizzabilità di T ».
TEOREMA ([1, P r o p . 1]). - Per ogni cardinale in finit o k e ogni spazio
topologico (X, r) le seguenti condizioni sono Ira loro equivalenti:
(1) T è uniformizzabile e Bd(x)<;fc.
(2) esiste una base completamenle regolare jfi di T taie che
(3) esiste w e 1H(T) precompatta taie che Ek(w) < ; k. (4) Sd(T) ^ k e Ud(T) < k.
P R O V A . - P r o v e r e m o le implicazioni (1)—- (3) •—^ (4| —*^ (1) e ( 3 ) - ( 2 ) - ( 1 ) .
( 1 ) - - ( 3 ) : P e r [3, 21.11], p = j (x, y) e X2 \tx = iy \ è u n a relazione d ' e q u i v a l e n z a su X taie che (X, i)/p è completamente regolare e, detta -K la proiezione canonica di (X, T) SU (X. x)/p, x = ^(^). P e r [3, 28.3], c'è un omeomorfismo <p di ( X T)/p su un sottospazio S del Zc0-cubo su [0, 1], essendo kQ = Bd(Tn). Sia I u n insieme di cardinalità k0 e, per ogni tel, wt u n a copia dell'uniformità di [0, 1]. I l fc0-cubo [0, 1 ]J è uniformizzabile e una uniformità corn-p a t i b i l e con la sua tocorn-pologia è w = 6 X w , , essendo
UNA DIMOSTRAZIONE DI UN TEOREMA DI G. AQUARO 401
definità cosl:
fa, y,)iei — {fa)iei,
(2/,)ie/)-I n virtù délia definizione di filtro prodotto e d é l i e proprietà dei cardinali infiniti, da R k ( w , ) < X o e ^ o ^ ^ segu e o v v i a m e n t e Rk(vv) <[ k I n f i n e è é v i d e n t e che Trsxsiwi è precompatta. P e r t a n t o (<po7TjTrsxs(w) è precompatta, è compatibile con T (perché T = ^(T^) e cp è un omeomoifismo) e Rk^onjTr^xMw)) < k.
( 3 ) - ( 4 ) - (1): Corne i n [1].
( 2 ) ~ - ( l ) : E v i d e n t e (tenuto conto di [1, Osservazione 1]). ( 3 ) - ( 2 ) : P e r [2, § 4, Prop. 1], c'è u n a base » = U ffi£ di T taie che | 2 | < f c e 3B£ è local mente finita. P e r ( 3 ) - - ( 4 ) , esiste
A S X taie che | A | < k e A è denso i n X. P e r t a n t o
» , = IJ ijBeJB, \B&a\,
aeA
il che implica (siccome 36,- è localmente, dunque pu n tu al m e n t e , fini ta)
da c u i :
, » , ! « £ S | I B e 38,-1 B 3 a | | < fc,
i 36 | < S | 36, | < *. D
REFERENZE
[1] G. AQUARO, Relasioni tra cardinalita di basi e di strutture uniformi
sopra ufto spasio topologico, « Rend. Acead. Sci. Pis. Mat. Napoli» 27
(19b0u 557 562.
[2] , Ricovrimenti aperti e strutture uniformi sopra uno spasio
topo-logico, «Ann. Mat. Pura ed Appl.» 47 (19Ô9), 319-390.
[3] H. J KOWALSKY, Topological Spaces, «Académie Press», New York, 1961.
Per'enuto alla Segreteria déll' U, M. I. il 19 ottobre 1965
