Applicazione EOF su profili di spiaggia

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POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

APPLICAZIONE EOF A PROFILI DI

SPIAGGIA

Relatore: Prof. Ing. Giuseppe Passoni

Correlatori: Prof. Ing. J. J. Muñoz Pérez

Prof. Giorgio Anfuso

Tesi di laurea Magistrale di:

Pietro Parisi Mat. 883233

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INDICE DEI SIMBOLI

Capitolo 2: Paragrafo 2.2

x vettore delle variabili;

p numero delle variabili;

ai vettore delle costanti;

l moltiplicatore di Lagrange;

C matrice di covarianza;

I matrice Identità;

f moltiplicatore di Lagrange;

n numero di dati del campione;

Z matrice delle componenti principali;

A matrice dei coefficienti ai; X matrice dei vettori x;

Capitolo 2: Paragrafo 2.3

h altezza topografica;

hij altezza profilo ricostruita;

e errore quadratico medio; d delta di Dirac;

Xl Funzione empirica spaziale;

Tl Funzione empirica temporale;

al coefficiente di

normalizzazione;

zk componente principale k;

L matrice degli autovalori; Capitolo 2: Paragrafo 2.4

x variabile spaziale;

Nt numero di eventi registrati nel

tempo;

Nx numero di variabili spaziali;

Dhi-j incremento causato dalla

componente j-esima;

Dhi-j_{incremento calcolato come}

differenza tra la data j-esima e la data i-esima;

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 1. Esempio grafico dell'applicazione del metodo delle PCA nel caso di due variabili. ... 12

Figura 2. Campione di dati descritto secondo le variabili originali x1 e x2 . ... 13

Figura 3. Campione di dati descritto dalle nuove componenti principali z1 e z2. ... 14

Figura 4. Rappresentazione geometrica ellissoidi a) prima componente molto significativa b) prima e seconda componente ugualmente significative. ... 19

Figura 5. Placca rocciosa all’altezza della bassa marea (in rosso). ... 28

Figura 6. Localizzazione spiagge (Marocco). ... 28

Figura 7. Localizzazione spiagge (Spagna). ... 29

Figura 8. Localizzazione Profilo 1 (P1) ... 29

Figura 16. Modalità di estrapolazione ... 34

Figura 17. Maglia quadrata per il calcolo delle condizioni meteo-marine ... 37

Figura 18. Boe simulate (verdi) e Boe reali (rosse) ... 38

Figura 19. Andamenti temporali 1996-1998 punto SIMAR 5034017 ... 39

Figura 20. Rosa delle onde e dei venti 1996-1998 punto SIMAR 5034017 ... 40

Figura 21. Localizzazione punto SIMAR 5041003 ... 41

Figura 22. Andamenti temporali 2005-2007 punto SIMAR 5041003 ... 42

Figura 23. Rosa delle onde e dei venti 2005-2007 punto SIMAR 5041003 ... 43

Figura 24. EOF simulazione “non centrata” ... 46

Figura 25. EOF simulazione “centrata” Profilo 1 (P1) ... 50

Figura 33. Incrementi spaziali 1^ funzione Profilo 1 (P1) ... 71

(4)

Figura 37. Incrementi spaziali 1^funzione Profilo 2 (P2) ... 75

Figura 38. Incrementi temporali 1^ funzione Profilo 2 (P2) ... 76

Figura 49. Incrementi spaziali 1^ funzione profilo 5 (P5) ... 89

Figura 65. Schema comportamento 1^ funzione ... 109

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INDICE DELLE TABELLE

Tabella 1. Caratteristiche spiaggia ... 34

Tabella 2. Date delle rilevazioni topografiche in Spagna ... 35

Tabella 3. Date delle rilevazioni topografiche in Marocco ... 36

Tabella 4. Informazioni Boa SIMAR 5034017 ... 38

Tabella 5. Informazioni Boa SIMAR 5041003 ... 41

Tabella 6. Varianza descritta dalle varie funzioni. Simulazione “non centrata” ... 45

Tabella 7. Percentuale varianza descritta simulazione “centrata” Profilo 1 (P1) ... 51

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INDICE

INTRODUZIONE………...pag.7

1) CASO di STUDIO……….pag.9

2) EOF o PCA………pag.11

2.1 Analisi delle Componenti Principali (PCA) 2.2 Descrizione e Derivazione PCA

2.3 Caratteristiche PCA 2.4 EOF in Profili di spiaggia

2.5 MVSP (Multivariate Statistic Programm)

3) AREA DI STUDIO………...pag.27

3.1 Localizzazione spiagge

3.2 Dati topografici 3.3 Dati Metereologici

4) RISULTATI……….pag.45

4.1 Stampa profili non centrati

4.2 Stampa profili centrati 4.3 Incrementi

5) DISCUSSIONI.………pag.106

CONCLUSIONI………pag.112

APPENDICE……….pag.114

BIBLIOGRAFIA………..pag.133

(7)

INTRODUZIONE

L’ingegneria idraulica e ambientale si occupa dello studio dei sistemi idrogeologici. I territori possono essere soggetti a differenti eventi, i quali possono essere più o meno dannosi per l’uomo. Nell’ingegneria fluviale e montana è necessario conoscere a pieno i dinamismi idrologici di un pendio in modo da poter prevedere alluvioni e agire di conseguenza. Allo stesso modo, nell’ingegneria geotecnica è utile conoscere le dinamiche idrogeologiche per valutare la stabilità dei pendii. Nell’ingegneria marittima è fondamentale capire i processi costieri per salvaguardare la costa e i litorali da possibili erosioni incontrollate. Queste possono causare un danno fisico, in quanto possono causare danni a persone, oppure un danno economico poiché possono essere la causa di danneggiamento di strutture adibite al turismo o al lavoro. I processi costieri, così come i processi fluviali e in parte i processi idraulici e geologici sono governati dal trasporto solido. Questo è la principale causa di erosioni, smottamenti o alluvioni ed è un processo molto complesso da spiegare e descrivere, perchè dipende da molteplici variabili: granulometria del materiale, intensità del vento, intensità del moto ondoso, esposizione, antropizzazione del sito… Negli anni sono stati creati molti modelli sperimentali per analizzare questo fenomeno, però di difficile applicazione a livello pratico in situazioni reali. All’interno di un litorale il trasporto solido può modificare la morfologia del territorio in modo longitudinale o trasversale. Il primo caso, è delineato dalle correnti costiere che si formano a seguito del moto ondoso, il secondo è legato principalmente al moto ondoso che frange nella zona di rottura dell’onda, creando forze dissipative ed erosive che modificano il profilo di una spiaggia. Nella geomorfologia costiera l’analisi trasversale delle spiagge avviene attraverso dati topografici presi in sito. Il suo scopo principale è quello di classificare i litorali, generalizzando sotto alcune categorie spiagge dalla morfologia e dal comportamento simile. Si classificheranno così, spiagge dissipative intermedie o riflessive , onde che dissipano la loro energia in un lungo tratto vicino alla battigia (spilling) oppure onde che dissipano tutta l’energia sulla battigia (plunging) creando grossi innalzamenti locali del livello del mare (run-up). Tutti i metodi morfologici non

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testo, partendo dagli stessi dati topografici si andrà ad analizzare le dinamiche litorali del sito in questione in maniera matematica, in modo da poter generalizzare e dimostrare i comportamenti di una spiaggia. Per fare questo sarebbe logico ricostruire i dati topografici attraverso una funzione che dipenda da tutte le variabili in gioco, in modo da poter creare un modello matematico che permetta, non solo di classificare, ma anche di prevedere un determinato comportamento. Il problema, come già accennato, è molto complesso in quanto è impossibile legare tutte le variabili tra loro. L’idea è quindi quella di descrivere questi profili sfruttando il metodo statistico delle Funzioni Empiriche Ortogonali (EOF). Questo permette di ricostruire i profili topografici attraverso la combinazione lineare di funzioni, le quali rappresenteranno una determinata percentuale di varianza dei dati. La caratteristica principale è l’ortogonalità che rende queste funzioni indipendenti. Questa particolarità è di fondamentale importanza nel nostro progetto, poiché si intuisce che se le funzioni sono indipendenti, lo saranno anche i fenomeni fisici che definiscono la specifica funzione. L’altro grande vantaggio di questo metodo, è quello di poter ridurre le variabili in gioco al massimo, in modo da descrivere i profili attraverso un numero di funzioni che sia minimo e che sommate tra di loro rappresentino la maggior parte dei dati. In questo lavoro si andrà ad analizzare i processi dinamici di due siti. Uno localizzato in Spagna tra la città di Chipiona (36°44’ N ; 6°26’ W) e Rota (36°37’ N ; 6°21’ W), nella provincia di Cadiz (Spa), l’altro situato nella costa Nord-Occidentale della costa del Marocco, tra la città di Tangeri (35°46’N ; 5°48’W) e la città di Asilah (35°28’ N ; 6°2’W). Lo scopo sarà quello di analizzare sei profili presenti tra Chipiona e Rota e due presenti nella costa Atlantica del Marocco con il metodo delle EOF, associando ad ognuna delle funzioni un significato fisico preciso, incrociando i dati matematici con i dati metereologici. Si andrà inoltre a confrontare specificatamente due tipi di spiaggia differenti, una appoggiata su Piattaforma rocciosa e una completamente sabbiosa, che sono le due tipologie maggiormente diffuse nella zona di studio considerata.

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CAPITOLO 1

CASO di STUDIO

Il metodo delle Funzioni Empiriche Ortogonali (EOF), conosciuto anche come metodo delle componenti principali (PCA), è un’analisi statistica multivariata che permette di ridurre le variabili del problema al minimo. Il metodo è stato introdotto da (Pearson 1901) e approfondita in maniera algebrica da (Hotelling 1933). Di seguito è stato sviluppato e la bibliografia di riferimento è molto ricca, si può incontrare la teoria completa in diversi manuali (Jackson 2005, Stuart 1982, Jolliffe 1986, Daultrey 1976). Il metodo applicato all’interno dell’ingegneria costiera si incontra la prima volta con (Winant, Inman et al. 1975) che analizza dati di profili della spiaggia “Torrey Pines” in California, andando a descrivere i punti singolari della spiaggia che descrivono il movimento del profilo. È così che si inizia a descrivere i profili in modo matematico attraverso punti di rotazione attorno ai quali la spiaggia cambia forma stagionalmente (Aubrey 1979). Successivamente si è sviluppato il metodo andando ad analizzare il comportamento della spiaggia a breve, medio e lungo termine (Muñoz-Pérez, Medina et al. 2001, Miller, Dean 2007)(Muñoz-Perez, Medina 2010, Lemke, Miller et al. 2014, Alvarez, Pan 2016, Magnus, Hans et al. 1999). Un’altra applicazione nell’ingegneria costiera viene ricercata nello studio del movimento e della crescita delle dune costiere (Burgh, Wijnberg et al. 2009). I siti presi in esame in questa tesi sono stati precedentemente analizzati da studi geomorfologici a partire da dati topografici sia sul litorale spagnolo (Anfuso, Benavente 2006, Rangel-Buitrago, Anfuso 2011, G. Anfuso, J. A. Martínez del Pozo et al. 2003) , che su quello marocchino (Taaouati, Nachite et al. 2011) . Si procederà dunque con un approfondimento e un interpretazione matematica degli stessi dati già analizzati topograficamente. Il fenomeno di base che definisce tutti i movimenti della spiaggia è il trasporto solido. In particolare nei siti costieri considerati il trasporto può avvenire attraverso due modalità: attraverso il movimento del mare e del moto ondoso oppure attraverso l’azione del vento (Bagnold 1979). Il primo tipo di trasporto ha influenza soprattutto nella zona di rottura dell’onda. Questa presenta vari tipi di rottura in base al tipo di spiaggia che ci si trova ad analizzare (Guza, Inman 1975,

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particella solida di sabbia. L’inizio del movimento è definito dall’equilibrio dinamico tra forze costruttive (attrito del fondale) e forze distruttive (gravità e turbolenze). Quando le seconde aumentano il materiale solido viene messo in movimento andando a depositarsi in una zona in cui la turbolenza è minore (Dean 1991) Un indice molto usato nell’ingegneria costiera è il numero adimensionale di Gourlay (Gourlay 1980, Gourlay, Meulen 1968). Attraverso questo numero è stata creata una bibliografia sufficiente per descrivere e classificare i comportamenti tipici di una spiaggia (Psuty Norbert 1988, Psuty 1989, Short, Hesp 1982, Wright, Thom 1977, Wright, Short 1984, Wright, Short et al. 1985). Il secondo tipo di trasporto solido che si può incontrare su un litorale è quello causato dal vento ed influenza particolarmente la zona “asciutta” della spiaggia, e cioè tipicamente la zona sopra la linea di alta marea (Sherman, Hotta 1990), andando a dare una forma alle dune costiere nel caso di spiagge molto aperte (Hesp 2011, S. M. Arens, J. Wiersma 1994a) . In generale si può però affermare che, la morfologia generale di un profilo di spiaggia non sia dato solamente da uno dei due fenomeni ma da un’interazione tra i due. Molti testi descrivono i dinamismi di una spiaggia attraverso il volume di sabbia che può essere trasportato, depositato e modellato per dare forma al profilo. In particolare gli studi più approfonditi in questo senso sono stati realizzati da (Psuty 1989, Psuty Norbert 1988). Successivamente questo modello viene ripreso in modo da poter classificare e prevedere il tipo di spiaggia in funzione del volume di materiale eroso o accumulato dalla spiaggia o dal vento (Robin G. D. Davidson-Arnott, Mark N. Law 1996, S. M. Arens, J. Wiersma 1994b).

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CAPITOLO 2

FUNZIONI EMPIRICHE ORTOGONALI

Nel presente capitolo si presenterà il metodo delle Componenti principali (PCA) dal punto di vista matematico e teorico. Si partirà con un’introduzione generale seguita da un esempio per poi descrivere il procedimento con cui si trovano le componenti principali nel paragrafo 2.2. Successivamente nel paragrafo 2.3 si analizzeranno le caratteristiche base. Nel paragrafo 2.4 si introdurrà il metodo nel nostro specifico caso di studio, introducendo le funzioni empiriche ortogonali. Si differenzia in modo che la parte teorica sia nominata così come si incontra in bibliografia. Nell’ultimo paragrafo 2.5 si descrive brevemente il programma statistico usato per la derivazione delle Funzioni Empiriche Ortogonali (EOF).

2.1 Analisi delle componenti principali (PCA)

Il metodo delle funzioni empiriche ortogonali (EOF), meglio conosciuto anche, come analisi delle componenti principali (PCA), è una tecnica statistica che permette di descrivere un gruppo di dati dipendenti da alcune variabili attraverso le sue componenti principali. Queste sono calcolate matematicamente attraverso l’analisi della matrice di covarianza. La caratteristica principale è, che questa tecnica permette di ridurre un problema descritto da molteplici variabili ad uno descritto da poche variabili che massimizzano al loro interno la varianza dei dati. Queste nuove variabili sono le componenti principali, le quali sono anche indipendenti tra loro. Il metodo delle EOF o PCA dunque, trasforma un gruppo di variabili dipendenti tra loro che descrivono un problema, in altre indipendenti tra loro, che descrivono lo stesso problema, riducendole sensibilmente in numero e quindi semplificando la descrizione del fenomeno. In questo modo la prima componente rappresenterà il massimo della varianza dei dati in una direzione, la seconda componente rappresenterà il massimo della varianza nella direzione perpendicolare alla prima, poiché esse devono essere indipendenti, e così via. Il problema sarà così descritto da un numero finito e limitato

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, il quale sviluppò i suoi studi analizzando una trasformazione geometrica che andasse a rappresentare al meglio un gruppo di dati. Il suo metodo è ben applicabile manualmente ad un gruppo di poche variabili ed è stato utilizzato ampiamento prima dell’arrivo dei computer. Successivamente (Hotelling 1933) lo analizza e lo definisce in maniera algebrica. A lui si deve la comprensione del metodo delle componenti principali così come lo conosciamo oggi, infatti a differenza di (Pearson 1901) ha sviluppato il metodo partendo algebricamente dalla matrice di covarianza. Da questa ha ricavato gli autovalori e gli autovettori che permettevano di diagolanizzare la matrice. Dopo gli studi di (Hotelling 1933) si sono susseguiti altri autori, che hanno approfondito e specializzato le caratteristiche di questo metodo: (Rao 1964) ha analizzato l’utilità l’interpretazione e l’applicabilità del metodo, (Gower 1966) ha discusso il legame tra questo metodo e altre tecniche statistiche multivariate infine (Jeffers 1967) ha dato inizio ai primi casi applicativi reali di questo metodo andando ad analizzare i risultati.

In figura 1 è raffigurato un esempio applicativo pratico del metodo delle EOF. I dati raffigurati come pallini di colore blu sono rappresentati nel sistema di riferimento originale attraverso due variabili. Si nota che questi hanno una distribuzione precisa nel piano, con una direzione preferenziale. Questo significa che i dati sono disposti in modo che esista una retta sulla quale è possibile rappresentare la maggior parte dei dati. Questa è la prima componente principale che rappresenterà la varianza massima dei dati e che in figura 1 è rappresentata in verde. Di conseguenza per l’ortogonalità del metodo la seconda componente rappresenterà la massima varianza nella direzione ortogonale alla prima come ben rappresentato in figura 1. Si intuisce perfettamente da questo semplice esempio come i dati vengono descritti da un nuovo sistema di riferimento e di conseguenza da nuove variabili. A livello geometrico questa caratteristica rappresenta semplicemente una trasformazione

Figura 1. Esempio grafico dell'applicazione del metodo delle PCA nel caso di due variabili.

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nello spazio come si vedrà meglio nel paragrafo 2.2, mentre a livello algebrico questa trasformazione equivale a trasformare la matrice di covarianza in una diagonale con la varianza massimizzata sulla diagonale principale.

2.2 Descrizione e Derivazione PCA

La derivazione delle PCA che si andrà ad illustrare è riferita a (Jolliffe 1986) e riassume il procedimento algebrico definito da (Hotelling 1933) . Si inizia definendo un vettore x di p variabili aleatorie e si analizza la combinazione lineare degli elementi di x avente varianza massima, dove a1 è un vettore di p costanti:

𝑎_"#_{𝑥 = 𝑎}

""𝑥"+ 𝑎"'𝑥'+ ⋯ + 𝑎")𝑥)= * 𝑎"+𝑥+ )

+,"

(1)

Di seguito si analizza un vettore 𝒂_𝟐𝑻_{𝒙 che sarà non correlato con 𝒂} 𝟏

𝑻_{𝒙 e che avrà} varianza massima e così via, finché non sarà trovato un vettore 𝒂_𝑵𝑻_{𝒙 che sarà non} correlato con tutti i precedenti. Queste combinazioni appena definite sono le N componenti principali indipendenti tra loro.

(14)

In figura 2 è rappresentato un campione simbolico di 50 osservazioni su due variabili

x1 e x2 correlate tra loro. Se trasformiamo la rappresentazione attraverso le componenti

principali z1 e z2 avremo una situazione come quella descritta in figura 3.

Figura 3. Campione di dati descritto dalle nuove componenti principali z1 e z2.

Ora che si sono definite le PCA e si sono rappresentate graficamente ,si passa alla loro derivazione algebrica. Questa avviene partendo dall’ipotesi di conoscere la matrice di covarianza dei dati che chiameremo C e con la costrizione che il vettore generico aN

abbia lunghezza unitaria (𝑎₄#_𝑎

4 = 1).

Si considera la prima componente principale 𝒂_𝟏𝑻_{𝒙 il cui vettore a}

1 massimizza la

varianza 𝑣𝑎𝑟[𝑎_"#_{𝑥] = 𝑎}

"#𝐶𝑎". La massimizzazione della varianza così definita non è possibile in maniera finita se non attraverso una normalizzazione, di conseguenza viene imposto come in precedenza definito che a1 abbia lunghezza unitaria

(𝑎_"#_𝑎

" = 1). Per risolvere questa ottimizzazione si utilizzano i moltiplicatori di Lagrange in quanto si tratta di massimizzare una funzione a cui è associato un vincolo. Si avrà di conseguenza:

𝑎_"#_𝐶𝑎

(15)

dove l è il moltiplicatore di Lagrange. Differenziando l’equazione (2) rispetto a1 si

ottiene:

𝐶𝑎_"− 𝜆𝑎_" = 0 (3) Oppure:

(𝐶 − 𝜆𝑰)𝒂" = 0 (4)

Dove I la matrice identità di dimensioni (𝑝 × 𝑝). Dall’equazione (4) si nota che si tratta della risoluzione di un sistema lineare in cui l rappresenta l’autovalore di C e a1

il rispettivo autovettore. Si osserva che la quantità da essere massimizzata è: 𝑣𝑎𝑟[𝑎_"#_{𝑥] = 𝑎}

"#𝐶𝑎" = 𝑎"#𝜆𝑎" = 𝜆𝑎"#𝑎" = 𝜆 , di conseguenza l è il più grande possibile e di conseguenza il vettore formato dall’autovettore associato 𝒂_𝟏𝑻_𝒙 rappresenta la massima varianza.

Si procede ora analizzando la seconda componente che è definita allo stesso modo. Ha però un vincolo in più, dev’essere non correlata con la prima appena trovata. Questa situazione si traduce con il fatto che 𝑐𝑜𝑣[𝑎_"#_{𝑥, 𝑎}

' #_{𝑥] = 0. Ricordando che la} 𝑐𝑜𝑣[𝑎_"#_{𝑥, 𝑎} '#𝑥] = 𝑎"#𝐶𝑎' = 𝑎'#𝐶𝑎" = 𝑎'#𝜆"𝑎"# = 𝜆"𝑎'#𝑎" = 𝜆"𝑎"#𝑎' si hanno le seguenti situazioni 𝑎_"#_𝐶𝑎 ' = 0 ; 𝑎'#𝐶𝑎" = 0 ; 𝑎'#𝑎" = 0 ; 𝑎"#𝑎' = 0. Applicando i moltiplicatori di Lagrange come nel caso precedente si deve tener conto dunque di un ulteriore vincolo:

𝑎_'#_𝐶𝑎

'− 𝜆(𝑎'#𝑎'− 1) − 𝜙𝑎'#𝑎" (5) dove l e f sono i moltiplicatori di Lagrange. Differenziando l’equazione (5) rispetto a

a2 si ottiene:

(16)

Moltiplicando per a1T si ottiene:

𝑎_"#_𝐶𝑎

'− 𝜆𝑎"#𝑎'− 𝜙𝑎"#𝑎" = 0 (7) A questo punto i primi due termini sono nulli a causa della condizione di non correlazione citata in precedenza e di conseguenza perché la (7) sia identica c’è bisogno che f sia zero poiché 𝑎_"#_𝑎

" = 1. Perciò come in precedenza la (6) diventa 𝐶𝑎'− 𝜆𝑎' = 0 oppure (𝐶 − 𝜆𝑰)𝒂' = 0. Ancora una volta dunque l rappresenta un autovalore di C e a2 il suo rispettivo autovettore. Come nel caso precedente l è il più

grande possibile. Si può riformulare il procedimento per un terzo vettore e un quarto e così via, potendo affermare in generale che:

I vettori a1, a2, a3…ap rappresentano gli autovattori della matrice di covarianza C e i

coefficienti l1 l2 l3 … lp i rispettivi autovalori, in modo che:

𝑣𝑎𝑟[𝑎₄#_{𝑥] = 𝜆}

4 for N=1,2……p (8)

2.3 CARATTERISTICHE PCA

In generale si può quindi affermare che il metodo delle PCA analizza principalmente la matrice di covarianza C. Tutto il metodo si basa sulla trasformazione di questa matrice in una diagonale, in cui gli autovettori rappresentano le nuove direzioni principali del sistema di riferimento mentre gli autovalori corrispondenti rappresentano la grandezza della varianza che quella precisa componente descrive. Per comprendere appieno il metodo è dunque necessario analizzare e descrivere la matrice

C. Noti n dati di un campione di dati, si definisce la covarianza come un numero che

esprime il legame tra le variabili e cioè quanto le misure di queste varino insieme. A livello matematico è definita come segue:

𝐶 = 1 𝑛 − 1*H𝑥IJ+ − 𝑥̅+L M J," (𝑥I_JN − 𝑥̅_N) (9) con 𝑥̅+ = 1 𝑛* 𝑥IJ+ 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 M J,"

(17)

Può essere descritta anche in maniera matriciale definendo X una matrice (𝑛 × 𝑝) contenente gli elementi (𝑥I_JN− 𝑥̅_N). Si ha quindi che:

𝐶 =_{𝑛 − 1}1 𝑋#_𝑋 ₍₁₀₎

A questo punto applicando l’equazione (𝐶 − 𝜆𝑰)𝒂_N = 0 si ottiene la matrice A contenente i k autovettori della matrice di covarianza C. Si scriverà dunque la trasformazione finale che porta alla composizione della matrice delle PCA che chiameremo Z.

𝑍 = 𝑋𝐴 (11)

Si analizza ora una proprietà geometrica particolare: si consideri la famiglia di

ellissoidi di -p dimensioni:

𝑥#_𝐶X"_{𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡} ₍₁₂₎

Le componenti principali (PCA) rappresentano gli assi principali di questi ellissoidi

Dim: si sa che una componente principale è definita come segue 𝑧 = 𝐴#_{𝑥 , ed essendo}

A ortogonale si può definire la formula inversa come 𝑥 = 𝐴 𝑧. Sostituendo questa nella

(12) si ha:

(𝐴 𝑧)#_𝐶X"_{(𝐴 𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑧}#_𝐴#_𝐶X"_𝐴 𝑧 ₍₁₃₎ Sapendo che la matrice A contiene gli autovettori di C e introducendo la matrice L contenente valori nulli eccetto che sulla diagonale principale dove contiene gli autovalori corrispondenti, si ha che

(18)

E di conseguenza

𝑧#_ΛX"_{𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑡} ₍₁₅₎ la (13) può essere riscritta come:

*𝑧N' 𝜆_N )

N,"

= 𝑐𝑜𝑠𝑡 (16)

La (16) rappresenta l’equazione di un ellissoide riferito ai sui assi principali. Nel caso si abbia una distribuzione normale di x questo ellissoide definisce i contorni dentro la quale si ha una probabilità costante di x. Il primo asse principale definisce la prima componente principale, il secondo la seconda e così via. Se si modifica la (12) in modo che l’ellissoide non sia centrato nell’origine ma intorno alla media si ha:

(𝑥 − 𝑥̅#_)𝐶X"_{(𝑥 − 𝑥̅) = 𝑐𝑜𝑠𝑡} ₍₁₇₎ La forma di questo ellissoide è identificato dalla forma della matrice di covarianza. Si è detto che in generale il metodo lavora su questa matrice trasformandola in una matrice diagonale in cui 𝑉𝑎𝑟[𝑎_N#𝑥] = 𝜆 . La forma di C però identifica il livello di omogeneità dei dati, se questi hanno una distribuzione attorno ad un valore medio e di conseguenza una varianza minima si avrà un ellissoide schiacciato attorno all’asse principale (figura 4a), al contrario se la matrice di covarianza è omogenea e di conseguenza i dati sono distribuiti uniformemente su tutto lo spazio si avrà un ellissoide più ampio con i primi due autovalori più simili tra loro (figura 4b).

(19)

Figura 4. Rappresentazione geometrica ellissoidi a) prima componente molto significativa b) prima e seconda componente ugualmente significative.

L’ellissoide di figura 4a rappresenta un’alta probabilità di trovare un elemento dei dati attorno alla prima componente principale, di conseguenza questa rappresenterà una varianza dei dati molto alta. Al contrario l’ellissoide di figura 4b ha una forma più costante e uniforme in entrambe le direzioni principali, di conseguenza la probabilità di avere un elemento descritto dalla seconda componente principale è molto simile alla probabilità di avere un elemento descritto dalla prima componente principale. Questo concetto è importante perché come si vedrà in seguito andrà ad identificare due tipologie diverse di simulazioni con i dati prelevati per i nostri profili.

2.4 APPLICAZIONE EOF IN PROFILI DI SPIAGGIA

I concetti spiegati in 2.3 sono statisticamente applicabili in qualsiasi ambito. Si è conseguito a descrivere il metodo delle Componenti Principali (PCA) in maniera generale, in caso di variabili casuali. Nell’ingegneria marittima e oceanografia è solito chiamare le componenti trovate come Funzioni Empiriche Ortogonali (EOF). I dati che verranno analizzati saranno altezze topografiche h rilevate trasversalmente alla spiaggia, lungo la variabile x (0<xi<Nx). Per ogni punto di ascissa xi si avranno Nt

altezze per le Nt date di rilevazione. Applicando l’analisi delle EOF è così possibile

riordinare tutte le altezze descrivendole attraverso la sommatoria di, al massimo, Nx

funzioni empiriche ortogonali, nel seguente modo:

(20)

Xl rappresenta la l-esima funzione empirica ortogonale mentre Tl rappresenta un

coefficiente che lega la funzione spaziale al caso preso in esame nel tempo. Alcune bibliografie chiamano questi coefficienti come funzioni empiriche temporali. Nei paragrafi seguenti si farà riferimento alla soluzione appena accennata. Infine al è una

costante di ortonormalizzazione che equivale a 𝑎₊ = b𝑁_d ∗ 𝑁_e∗ 𝜆_{_} dove Nx e Nt

equivalgono al numero di dati che abbiamo a disposizione nello spazio e nel tempo mentre ll è l’autovalore associato all’autofunzione.

Si descrive ora i passaggi algebrici che occorrono per trovare il valore delle Funzioni Empiriche Ortogonali (EOF), che sono spiegati meglio nel seguente testo (Muñoz-Perez, Tejedor et al. 2001). Innanzitutto bisogna ricordare che la (18) rappresenta un’interpolazione e di conseguenza per massimizzarla si analizza l’errore quadratico medio che è definito come segue:

𝜀_J+ = ℎg − ℎ_J+ (19)

L’errore così definito dev’essere minimo, si deve dunque procedere alla sua derivazione. Prima è necessario però introdurre la condizione di ortogonalità. Questa è definita nel modo seguente:

𝑋J ∗ 𝑋+ = 𝛿J+

𝑇_J ∗ 𝑇₊ = 𝛿_J+ (20)

dij rappresenta il delta di Dirac che assume il valore nullo ogni qualvolta che i¹ j e

viceversa, assume il valore unitario quando i=j. Definita la condizione di ortogonalità si procede:

* 𝜀_J+' Mi J," = * jℎ_J+− * 𝑋_{_}(𝑥_J) 4 _," ∗ 𝑇_{_}(𝑡₊)k ' Mi J," 𝑗 = 1, … … , 𝑁_e

(21)

* 𝜀_J+' Mi J," = *Hℎ_J+ − 𝑋_"𝑇_"− 𝑋_'𝑇_'− ⋯ − 𝑋_{_}𝑇_{_} − ⋯ 𝑋₄𝑇₄L' Mi J,"

Si calcola ora la derivata tenendo conto della (20):

2 * jℎ_J+ − * 𝑋_l(𝑥_J) ∙ 𝑇_l(𝑡₊) 4 l," k Mi J," ∙ (−𝑋_{_}(𝑥_J)) = 0 𝑙 = 1, … , 𝑁 Si ricava che: *oℎ_J+∙ 𝑋_{_}(𝑥_J) − 𝑇_{_}(𝑡₊)p Mi J," = 0 𝑙 = 1, … , 𝑁 𝑇_{_}H𝑡₊L = *oℎ_J+ ∙ 𝑋_{_}(𝑥_J)p Mi J," 𝑙 = 1, … , 𝑁 (21)

in modo analogo si può trovare:

𝑋_(𝑡J) = *oℎJ+ ∙ 𝑇_H𝑥+Lp Mq

J,"

𝑙 = 1, … , 𝑁 (22)

Tramite l’equazione (21) e (22) è intuitivo e immediato vedere che se si conosce una delle due funzioni empiriche si riesce a ricavare l’altra.

Il problema è quindi disaccoppiato ed è possibile andare ad analizzare e massimizzare la matrice di covarianza in modo da ricavare autovalori e autovettori nel modo classico descritto nel paragrafo 2.2. Nel nostro caso risolveremo il sistema secondo la funzione empirica spaziale. Definiamo innanzitutto la matrice di covarianza da studiare come:

𝜎' ₌ 1 𝑛_d𝑛_e* * ℎ'(𝑥J, 𝑡+) Mq +," Mi J," (23)

(22)

sostituendo la h reale con la h stimata (18) e ricordando la condizione di ortogonalità (20) si ottiene: 𝜎' ₌ 1 𝑛_d𝑛_e* * 𝑇_'(𝑡+) 4 _," Mq +," (24)

Ora si deve massimizzare la covarianza dei dati e imporre che le funzioni siano minori dell’unità. Come già accennato nel paragrafo 1.2 il problema si risolve attraverso i moltiplicatori di Lagrange come segue:

* 𝑇_{_}'H𝑡+L − 𝜆_s* 𝑋_'(𝑥J) − 1 Mi J," t 𝑙 = 1, … , 𝑁 Mq +,"

sostituiamo Tl con l’espressione trovata precedentemente (21):

* s*oℎ_J+ ∙ 𝑋_{_}(𝑥J)p Mi J," t ' − 𝜆_{_}s* 𝑋_{_}'_(𝑥 J) − 1 Mi J," t 𝑙 = 1, … , 𝑁 Mq +,"

differenziando rispetto a Xl e imponendo la derivata uguale a 0 si avrà:

* s*oℎ_J+∙ 𝑋_{_}(𝑥_J)p Mi J," t ∙ s* ℎ_J+ Mi J," t − 𝜆_{_}* 𝑋_{_}(𝑥_J) = 0 Mi J," Mq +," * s*oℎ_J+∙ 𝑋_{_}(𝑥_J)p Mi J," t ∙ s* ℎ_J+ Mi J," t − 𝜆_{_}* 𝑋_{_}(𝑥_J) = 0 Mi J," Mq +," * s* 𝑋_{_}(𝑥_J) ∙ * ℎ_u+∙ ℎ_u+ Mi u,! Mi J," t = 𝜆_{_}* 𝑋_{_}(𝑥J) Mi J," Mq +,"

(23)

* 𝑋_{_}(𝑥_J) * *Hℎ_u+∙ ℎ_u+L Mi u," Mq +," = 𝜆_{_}* 𝑋_{_}(𝑥J) Mi J," Mi J," (25)

quest’ultima (25) equivale ad un sistema di nt equazioni in nx incognite che può

scrivere in forma matriciale come:

[𝐴 − 𝜆𝐼] ∙ 𝑋_{_} = 0 (26)

dove l e Xl sono l’autovalore e la rispettiva autofunzione del sistema risolvente.

La matrice A sarà di dimensione Nx× Nt:

𝐴 = 𝐻 ∙ 𝐻# ₍₂₇₎

Una volta trovata la funzione Xl si può ricavare la funzione Tl tramite la (21);(22). La

(26) è analoga alla (4), con la differenza che nella (4) al posto della matrice A si usa la matrice di covarianza C. L’analisi finale in qualsiasi caso non cambio poiché come si nota dalla (27) la matrice A ha la stessa forma della (10), poiché la matrice di covarianza (23) nel nostro caso è stata costruita attraverso le altezze h. Analogamente si può svolgere il ragionamento su Tl e non su Xl: si avrà in questo caso un sistema

risolvente del tipo:

[𝐵 − 𝜆𝐼] ∙ 𝑇_{_} = 0 (28)

La matrice B in questo caso avrà dimensione : Nx× Nt

𝐵 = 𝐻#_{∙ 𝐻} ₍₂₉₎

(24)

metodo è quello di ridurre le variabili in gioco, questo significa che è necessario arrivare a descrivere i nostri profili attraverso l’utilizzo di poche EOF. Se si sviluppa la (18) si avranno le seguenti interpolazioni, nel caso per esempio dell’utilizzo di una funzione (30) oppure due funzioni (31):

ℎ_J+" _{= 𝑎}

" ∗ 𝑋"(𝑥J) ∗ 𝑇"(𝑡+) (30) ℎ_J+' _{= 𝑎}

"∗ 𝑋"(𝑥J) ∗ 𝑇"H𝑡+L + 𝑎'∗ 𝑋'(𝑥J) ∗ 𝑇'(𝑡+) (31) Una volta che queste variabili sono state ridotte al minimo, lo scopo è quello di analizzare e trovare un significato fisico ad ognuna di esse. Per capirne meglio il comportamento è necessario andare ad analizzare l’influenza che ognuna di queste provoca sul profilo. Si calcola così l’incremento della funzione sul profilo. Per esempio se si vuole sapere l’incremento dovuto alla seconda funzione si dovrà levare alla (31) l’effetto dovuto alla prima funzione (30) in modo da avere il seguente risultato:

∆ℎ"X' = ℎ'− ℎ" = 𝑎' ∗ 𝑋'(𝑥J) ∗ 𝑇'(𝑡+) (32) In analogia con la (32) se si vuole conoscere l’incremento dovuto alla terza funzione si avrà:

∆ℎ_'X{ = ℎ_{− ℎ_' = 𝑎_{∗ 𝑋_{(𝑥_J) ∗ 𝑇_{(𝑡₊) (33) Dalla (32) e (33) si intuisce che in generale per cercare l’incremento dovuto alla funzione m si analizzerà la (34):

∆ℎ_NXl = ℎ_l− ℎ_N = 𝑎_l∗ 𝑋_l∗ 𝑇_l (34) L’analisi degli incrementi, come vedremo in seguito è importante, in quanto è possibile andare a capire i punti caratteristici su cui agisce quella funzione. Si notano i punti

(25)

attorno ai quali questa funzione ruota, oppure i punti di massimo accumulo o massima erosione. Attraverso l’analisi di questi incrementi non si può però associare, l’effetto che ha portato a questo risultato. Più precisamente, questi incrementi sono quelli calcolati al tempo t. Sono incrementi istantanei, riferiti alla data nella quale sono stati prelevati i dati topografici, di conseguenza non è possibile capire fino in fondo le cause fisiche che hanno determinato questa situazione. Bisogna dunque calcolare gli incrementi temporali, questo significa calcolare la differenza di altezze rilevate tra una data e la successiva, in modo da poter comprendere se c’è stato un accumulo o un’erosione in una determinata zona della spiaggia nel periodo intercorso tra le due date di rilevamento. Si calcolano così:

ℎ_{_}e'Xe" _{= 𝑎}

_∗ 𝑋_(𝑥J) ∗ 𝑇_(𝑡') − 𝑎_ ∗ 𝑋_(𝑥J) ∗ 𝑇_(𝑡") (35) La (35) rappresenta l’incremento temporale calcolato tra il tempo t1 e il tempo t2 della

funzione l-esima. È così possibile associare una condizione metereologica precisa ad il comportamento della spiaggia.

2.5 MVSP Program (Multivariate Statistical Package)

Per l’analisi dei dati si è utilizzato un programma statistico chiamato MVSP (Multivariate Statistical Package). Inserendo una matrice di dati in input, il programma restituisce il valore delle varie autofunzioni, spaziali e temporali e i rispettivi autovalori. Nel nostro caso si è inserita la matrice delle altezze topografiche si è scelto di ricavare solo le prime due o tre funzioni. Inoltre, il programma funziona con incrementi spaziali costanti, di conseguenza si è proceduto a interpolare questi linearmente tra le altezze note, usando come incremento costante la minima distanza utilizzata in sito per battere un punto con il teodolite. In questo modo si riesce ad approssimare bene anche le piccole deformità della spiaggia che con incrementi più grandi sarebbero andate perse. Attraverso questo programma si sono eseguite due tipo di simulazioni, la prima che chiameremo “non centrata”, e la seconda che chiameremo “centrata”. La differenza sta nel fatto che il programma nel primo caso, calcola le

(26)

che ha la tendenza di accentrarsi attorno ad un valore medio. Una matrice di questo tipo avrebbe la forma dell’ellissoide spiegato nel paragrafo 2.3 come quella in figura 4 a. La conseguenza è che la prima funzione rappresenterebbe la maggior parte dei dati non potendo così valutare in modo dettagliato le altre. Si procederà prima con una simulazione “non centrata” in modo da descrivere le caratteristiche generali delle funzioni e successivamente si procederà con la simulazione “centrata”. Da sottolineare che l’andamento delle funzioni ortogonali che risulteranno da una simulazione “centrata” saranno le stesse di quelle “non centrate”, ma semplicemente riferite al valore medio., di conseguenza anche tutti i vari incrementi saranno riferiti al valore medio e non allo zero.

(27)

CAPITOLO 3

AREA di STUDIO

Nel presente capitolo si procede con la descrizione delle spiagge analizzate. Nel primo paragrafo si descriverà la loro localizzazione andando a suddividere tutte le spiagge in due categorie ben distinte, quelle che si chiameranno “rocciose” e quelle che si chiameranno “sabbiose”, differenziate dalla loro morfologia e formazione. Nel secondo paragrafo si descriverà come sono stati rilevati i dati topografici originali ed infine nel terzo ed ultimo paragrafo si descriveranno le caratteristiche metereologiche dei siti in questione.

3.1 LOCALIZZAZIONE SPIAGGE

Lo studio si focalizza sull’analisi di spiagge localizzate nella costa Atlantica della Spagna e del Marocco. Il litorale spagnolo si trova nella provincia di Cadiz, a nord della città omonima (36°32’ N ; 6° 17’ W), situato tra la città di Chipiona (36°44’ N ; 6°26’ W) e Rota (36°37’ N ; 6°21’ W) . A nord della zona interessata è presente la foce del fiume Guadalquivir mentre a Sud si trova la baia di Cadiz. La spiaggia ha un’estensione di circa 14 Km da suddividere in tre zone. La prima si sviluppa dalla città di Chipiona fino alla punta Camaron, ed è caratterizzata dalla presenza del lungomare della città e da un’orientazione N-S. La zona di mezzo si sviluppa dalla punta Camaron alla punta Candor, è caratterizzata da spiagge omogene intervallate dalla presenza dell’estuario del Rio Hondo e ha un’orientazione NNW-SSE. La terza situata tra punta Candor e Rota con la presenza del lungomare della città e di lidi turistici, ha un’orientazione WNW-ESE. In totale su tutta la lunghezza del litorale vengono analizzati sei differenti profili. Il litorale marocchino, è localizzato tra la città di Tangeri (35°46’N ; 5°48’W) e la città di Asilah (35°28’ N ; 6°2’W). La spiaggia ha un’orientazione NE-SW e viene analizzata attraverso due profili. Questi si possono confrontare, in quanto soggette allo stesso moto ondoso come dimostrato nel paragrafo 3.3.

(28)

In entrambi i siti si distinguono e vengono confrontati due tipologie differenti di spiagge: una sabbiosa e una appoggiata su piattaforma rocciosa. La prima è una classica spiaggia dal fondale sabbioso, mentre la seconda è caratterizzata dalla presenza di una lastra rocciosa all’altezza della bassa marea. Questa è ben visibile in figura 5: dalla foto aerea scattata in regime di bassa marea si nota affiorare una placca rocciosa, che nell’immagine è sottolineata con il tratteggio rosso. Per semplificare meglio, chiameremo “sabbiosa” la prima e “rocciosa” la seconda. In totale si analizzano otto profili differenti divisi quattro rocciosi e quattro sabbiosi, sei presenti sulla costa spagnola (figura 7) e due presenti sulla costa marocchina (figura 6).

Figura 6. Localizzazione spiagge (Marocco). Figura 5. Placca rocciosa all’altezza della bassa marea

(29)

Figura 7. Localizzazione spiagge (Spagna).

3.1.1 PROFILO 1 (sabbioso)

Figura 8. Localizzazione Profilo 1 (P1)

(30)

lungomare e dalla presenza di un pennello a nord di essa, che sicuramente andrà ad influenzare la sedimentazione.

3.1.2 PROFILO 2 (roccioso)

Il profilo 2 è situato sulla punta Cameron a sud della baia della città di Chipiona. Come si nota molto bene dalla foto (figura 9) è caratterizzato da una placca rocciosa che in condizioni di bassa marea esce in superficie. Questa si estende dalla punta fino alla “playa de Tres Piedras” situata subito a Sud. Queste piattaforme rocciose presentano i cordali da pesca che funzionano in base alla marea.

3.1.3 PROFILO 3

(31)

Il profilo 3 si trova nella zona della “Playa della Ballena” ed è caratterizzato da un tratto di costa aperto completamente sabbioso senza presenza di pennelli o disturbi nelle vicinanze (figura 10). Questo profilo si trova subito a Sud dell’Arroyo Hondo e subito a nord di una placca rocciosa che si estenderà fino alla playa de Peginas. La spiaggia in questione è chiamata Playa Aguadulce.

3.1.4 PROFILO 4

Il profilo 4 (figura 11) è situato nella spiaggia “Trayuelas”. Ha la caratteristica di appoggiare su una piattaforma rocciosa come il profilo P2 e di essere localizzata in un’insenatura. La spiaggia è inoltre corta rispetto alle altre analizzate. La parte iniziale del profilo è caratterizzata da una falesia.

(32)

Il profilo 5 (Figura 12) è situato nella zona a nord della Punta Candor, nella spiaggia chiamata “Peginas”. Si tratta di una spiaggia completamente sabbiosa. Subito a Sud inizia la piattaforma rocciosa che caratterizza la punta Candor. La spiaggia presenta dune ben sviluppate che coprono la falesia.

3.1.6 PROFILO 6

Il profilo 6 (Figura 13) è situato su una piattaforma rocciosa adiacente la spiaggia “Playa da Luz”. Immediatamente a nord della Spiaggia “Pietras Gordas” e della città di Rota. Come il profilo P4 presenta una lunghezza inferiore rispetto alla media e sulla piattaforma rocciosa presenta cordali da pesca che funzionano in base alla marea.

3.1.7 PROFILO 7

(33)

Il profilo 7 (Figura 14) è completamente sabbiosa ed è situato sulla spiaggia di “Charf el-Akab” in Marocco. Questa è localizzata a sud della città di Tangeri. Analogamente alle spiagge spagnole questa, essendo sabbiosa presenta una lunghezza complessiva notevole di circa 180 m.

3.1.8 PROFILO 8

Il profilo 8 (Figura 15) è appoggiato su una piccola piattaforma rocciosa e anche in questo caso come nelle spiagge spagnole presenta una lunghezza inferiore ai profili sabbiosi. La sua lunghezza è comparabile con quella del profilo P2. La spiaggia analizzata è quella di Asilah e si trova immediatamente a Nord della città omonima Si sono così presentate tutte e otto le spiagge che si analizzeranno tramite le EOF. In tutte si possono notare le caratteristiche principali attraverso la foto aerea ricavata da “Google Earth”. Si notano in maniera evidente le piattaforme rocciose tipiche dei profili P2, P4, P6 e P8.

Si riassumono in tabella 1 le caratteristiche principali delle varie spiagge analizzate, in particolare si riporta la tipologia, l’orientazione, la lunghezza totale che si nota essere molto più corta nelle spiagge rocciose, la distanza Dx utilizzata e le zone di alta marea.

(34)

Tabella 1. Caratteristiche spiaggia

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

Tipologia SABBIA ROCCIA SABBIA ROCCIA SABBIA ROCCIA SABBIA ROCCIA

Orientazione SE SE SE SSE SE SSE NE NE

Lunghezza [m] 128.82 101.48 130.05 51.3 100 70 150 100 Dx [m] 3.39 1.72 2.89 0.9 1 1 5 5 ALTA MAREA [m] 51 32 52 11 23 26 56 27 MEDIA MAREA [m] 85 65 78 30 54 48 132 57 BASSA MAREA [m] 128.82 101.48 130.05 51.3 100 70 150 100

3.2 DATI TOPOGRAFICI

I dati utilizzati per l’analisi delle EOF sono punti topografici delle quote della spiaggia. Questi sono stati rilevati dal professor Giorgio Anfuso dell’Università di Cadiz (UCA) nel periodo tra Marzo 1996 e Maggio 1998, per quanto riguarda la costa Spagnola, mentre per la costa Marocchina i dati sono stati prelevati nello stesso modo dal professor Mohammed Taoouati dell’Università di Bordeaux tra Aprile 2005 e Gennaio 2007 con la supervisione del professor Anfuso. Sono stati prelevati 18 profili in Spagna e 9 profili in Marocco con cadenza bimestrale o trimestrale, attraverso lo stazionamento di un teodolite ed in regime di bassa marea, in modo da facilitare le operazioni e avere misure il più precise possibile. Nonostante questo le operazioni di misura sono state effettuate in condizioni metereologiche più o meno complicate e vista la difficoltà dell’operazione di rilevamento si ha molta disomogeneità delle misure: due profili tracciati sullo stesso sito, ma in date diverse, possono avere lunghezze differenti. Si è deciso quindi di unificare le lunghezze dei profili fino alla condizione di bassa marea. I Profili che risultavano più corti sono stati estrapolati fino al raggiungimento della quota di bassa marea con la

(35)

stessa pendenza tra gli ultimi due punti noti. La giustificazione nell’estrapolare i dati fino alla quota di bassa marea sta nel fatto che l’andamento tipico di tutte le spiagge prevede una diminuzione della pendenza del profilo proprio dopo questo punto (figura 16) (Wright, Short 1984) . Di conseguenza andando ad estrapolare i dati con la pendenza del profilo centrale si creerebbe una situazione fittizia che porterebbe ad un errore non trascurabile, poiché le pendenze sono molto differenti. In tabella 2 vengono riportate tutte le date di rilevamento per la costa Spagnola, mentre in tabella 3 vengono riportate le date di rilevamento per la costa Marocchina.

Tabella 2. Date delle rilevazioni topografiche in Spagna

PROFILI Anno Data 1 2 3 4 5 6 0 22-23/03 * * * * 1 05-06/04 * * * * * * 2 04-06/05 * * * * * 3 1996 30-31/07 * * * 4 29-30/09 * * * * * * 5 28-29/10 * * * * * * 6 19/11(4) _* _* _* 7 27-29/12 * * * * * * 8 9-12/02 * * * * * * 9 12-13/03 * * * * * * 10 24-25/04 * * * * * * 11 1997 23-24/05 * * * * * * 12 22-23/07 * * * * * * 13 17-18/10 * * * * * * 14 18-19/11 * * * * * * 15 15-16/01 * * * * * * 16 13-14/02 * * * * * * 17 1998 16-19/03 * * * * * * 18 13-14/05 * * * * * *

(36)

Tabella 3. Date delle rilevazioni topografiche in Marocco

Charf el-Akab (Profilo 7) Assilah beach (Profilo 8)

23/04/2005 24/04/2005 22/06/2005 25/06/2005 24/09/2005 25/09/2005 07/01/2006 01/01/2006 04/03/2006 04/03/2006 29/04/2006 29/04/2006 27/06/2006 25/06/2006 09/09/2006 10/09/2006 20/01/2007 21/01/2007

3.3 DATI METEREOLOGICI

Entrambi i siti sono situati sulla costa Atlantica. Di conseguenza si avrà un clima ed una meteorologia tipicamente oceanica, caratterizzata da perturbazioni dovute alle basse pressioni dall’Atlantico, formando moti ondosi significativi che andranno a dissipare l’energia proprio sulla costa d’interesse. Per l’analisi del problema del controllo dei profili sabbiosi con il metodo delle EOF ci si concentra principalmente sull’analisi del moto ondoso e del vento, poiché queste due variabili sono quelle che possono maggiormente influenzare un trasporto di materiale lungo un sistema costiero. Si andranno ad analizzare i risultati delle EOF incrociandoli con i dati metereologici per trarre dei significati fisici specifici per ogni funzione. Si analizzano le EOF tramite dati di altezza significativa dell’onda e periodo significativo dell’onda media e massima nel periodo di tempo desiderato. Inoltre si analizzano le EOF tramite l’analisi dell’intensità del vento e la sua direzione.

I dati vengono scaricati dal portale ufficiale Puertos de Los Statos

(http://www.puertos.es/es-es/oceanografia/Paginas/portus.aspx). In questo sito vengono riportate le varie condizioni metereologiche in diversi punti sparsi su una maglia quadrata (figura 17). Questi punti possono essere: boe realmente esistenti oppure boe simulate. Le seconde, che sono le più numerose elaborano i dati attraverso un modello matematico integrato nella maglia quadrata in cui i vertici rappresentano le boe fittizie. Partendo da dati di boe reali si può quindi ricostruire e modellare la

(37)

situazione metereologica su tutto il litorale Atlantico. In figura 17 si notano in rosso le boe “reali” mentre in verde le boe simulate distribuite su una griglia regolare. Il sistema è sviluppato per tutte le coste spagnole e limitrofe e i dati sono disponibili dal 1958 fino ad ora.

Figura 17. Maglia quadrata per il calcolo delle condizioni meteo-marine

3.3.1 Meteorologia Spagna

Per ricavare informazioni metereologiche per la costa spagnola si è scelto di prendere tutti i dati necessari dalla boa SIMAR 5034017 localizzata nel punto situato in coordinate 36.67° N e 6.67° W (figura 18) e modellata a partire dalle boe fisse localizzate come in figura 18. Le varie boe fisse sono localizzate nei seguenti punti:

- Seville buoy: 36.74° ; N 6.48° W; - Cadiz buoy: 36.50° N ; 6.33° W; - Cadiz bay buoy: 36.48° N ; 6.96° W;

(38)

Figura 18. Boe simulate (verdi) e Boe reali (rosse)

In tabella 4 Si riportano tutti i dati caratteristici del punto SIMAR 5034017.

Tabella 4. Informazioni Boa SIMAR 5034017

Longitudine: 6.67° W

Latitudine: 36.67° N

Frequenza: 1 h

Codice boa: 5034017

Inizio dati: 04-01-1958 Tipo di punto: Punto SIMAR

(39)

In figura 19 sono riportati i grafici temporali dell’altezza significativa dell’onda (a), del periodo dell’onda (b), e dell’intensità del vento (c).

Figura 19. Andamenti temporali 1996-1998 punto SIMAR 5034017

In generale si nota nei grafici andamenti simili: i periodi di aumento del moto ondoso e anche dell’intensità del vento sono quelli invernali, periodo che varia da Ottobre a

(40)

Settembre. Nelle stagioni intermedie ci sono dei periodi poco costanti con picchi mensili dovuti probabilmente a condizioni temporalesche di breve durata.

Figura 20. Rosa delle onde e dei venti 1996-1998 punto SIMAR 5034017

In figura 20 sono riportate: la rosa dell’altezza significativa dell’onda (a), del periodo dell’onda (b) e dell’intensità del vento (c). Da questi grafici è intuibile la direzione principale del moto ondoso e della provenienza del vento. Sono infatti riportate radialmente le varie percentuali, di conseguenza si nota che più del 45% del moto ondoso proviene da direzione W, mentre percentuale meno elevate provengono da altre direzioni che variano da WNW a SE. Il moto ondoso proveniente da E è praticamente assente come conseguenza del fatto che essendoci la costa, una perturbazione continentale non provoca un aumento significativo dell’onda a causa del

“fetch” limitato. Al contrario si nota invece che il vento non ha una direzione

predominante ma è suddiviso in maniera omogenea su tutto il grafico.

I dati che si sono presentati in questo paragrafo sono basati su un arco temporale di due anni, di conseguenza tutti i grafici sono generalizzati. I rilievi che analizziamo noi hanno cadenza bimestrale o trimestrale, di conseguenza è necessario analizzare i dati metereologici più nello specifico. I grafici temporali e le rose sono riportate nelle varie appendici. In particolare si riportano i dati per l’anno 1996 (APPENDICE A), l’anno 1997 (APPENDICE B) e l’anno 1998 (APPENDICE C).

(41)

3.3.2 Meteorologia Marocco

Per ricavare informazioni metereologiche per la costa spagnola si è scelto di prendere tutti i dati necessari dalla boa SIMAR 5041003 localizzata nel punto situato in coordinate 35.50° N e 6.08° W di fronte alla spiaggia di Asilah (figura 21). Questi dati sono utilizzabili anche per la spiaggia di Charf el Akab poiché soggetti alle stesse situazioni metereologiche.

Figura 21. Localizzazione punto SIMAR 5041003

In tabella 5 vengono riportati i dati caratteristici del punto SIMAR 5041003.

Tabella 5. Informazioni Boa SIMAR 5041003

Longitudine: 6.08° W

Latitudine: 35.50° N

Frequenza: 1 h

Codice boa: 5041003

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In figura 22 sono riportati i grafici temporali dell’altezza significativa dell’onda (a), del periodo dell’onda (b), e dell’intensità del vento (c).

Figura 22. Andamenti temporali 2005-2007 punto SIMAR 5041003

In generale si nota un andamento simile tra altezza dell’onda e periodo dell’onda. I periodi con un moto ondoso più significativo sono quelli invernali da Ottobre ad

(43)

Aprile. Rispetto alla zona spagnola si notano i dati medi molto più elevati e incostanti, spesso sopra H=1 m di altezza. Singolare anche il comportamento del vento che presenta un andamento regolare senza picchi significativi per tutto il periodo considerato.

Figura 23. Rosa delle onde e dei venti 2005-2007 punto SIMAR 5041003

In figura 23 sono riportate: la rosa del periodo dell’onda (a), dell’altezza significativa dell’onda (b) e dell’intensità del vento (c). Da questi grafici è intuibile la direzione principale del moto ondoso e della provenienza del vento. Sono infatti riportate radialmente le varie percentuali, di conseguenza si nota che più del 45% del moto ondoso proviene da direzione NW, il 37 % proviene da W e percentuali meno consistenti da N e NE. Il moto ondoso proveniente da E/SE è praticamente assente come conseguenza del fatto che essendoci la costa, una perturbazione continentale non provoca un aumento significativo dell’onda a causa del “fetch” limitato. Si nota invece che il vento ha intensità omogenea ma che presenta quasi il 20 % del vento totale registrato in questi due anni proveniente da ENE.

I dati che si sono presentati in questo paragrafo sono basati su un arco temporale di due anni, di conseguenza tutti i grafici sono generalizzati. I rilievi che analizziamo noi

(44)

appendici. In particolare si riportano i dati per l’anno 2005 (APPENDICE D), l’anno 2006/Gennaio 2007 (APPENDICE E).

(45)

CAPITOLO 4

RISULTATI

In questo capitolo si presentano i risultati dell’analisi dei profili. Si parte dall’analisi “non centrata” dove i risultati vengono trattati attorno all’origine e non attorno alla media dei dati (vedi Paragrafo 2.5) e in cui si inquadreranno le caratteristiche principali delle varie spiagge. Nel paragrafo 4.2 si procederà con l’analisi delle EOF per ciascuna spiaggia ed infine nel paragrafo 4.3 si analizzaeranno gli incrementi, calcolati come descritto nel paragrafo 2.4.

4.1 RISULTATI SIMULAZIONI “NON CENTRATE”

In figura 24 sono riportate le EOF per una simulazione “non centrata”. Si ricorda che questo tipo di simulazione costruisce la matrice di covarianza centrata attorno allo 0 e non attorno alla media dei dati. Di conseguenza non valuta a priori la distribuzione di questi e quindi a livello geometrico non valuta la forma dell’ellissoide definito nel paragrafo 2.3. Ci si aspetta che la prima funzione di questa simulazione sia la media dei dati, in quanto il profilo ha una tendenza e varia attorno a questa. La simulazione è stata eseguita attraverso la scelta di tre funzioni delle quali in tabella 6 sono riportate le caratteristiche di percentuale di varianza descritta.

Tabella 6. Varianza descritta dalle varie funzioni. Simulazione “non centrata”

PRIMA FUNZIONE SECONDA FUNZIONE TERZA FUNZIONE CUMULATA

Percentuale [%] Percentuale [%] Percentuale [%] Percentuale [%]

P1 97.354 1.738 0.513 99.605 P2 98.316 0.97 0.397 99.683 P3 98.123 1.151 0.274 99.549 P4 98.309 1.173 0.289 99.771 P5 97.175 1.132 0.759 99.066 P6 98.345 0.705 0.307 99.357 P7 97.788 1.774 0.195 99.756

(46)

Figura 24. EOF simulazione “non centrata”

Si nota chiaramente come già accennato che c’è una tendenza dei dati a concentrarsi attorno ad un valore medio, infatti la prima funzione rappresenta sempre più del 97% dei dati complessivi. Questo significa che la prima funzione spaziale rappresenta il profilo medio nel periodo studiato tra Marzo 1996 e Maggio 1998 per le spiagge

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spagnole e il periodo tra Aprile 2005 e Gennaio 2007 per le spiagge marocchine. Per verificare questa situazione si è stampato insieme con le funzioni, il profilo medio calcolato algebricamente attraverso i dati topografici. Questo è stato riportato in figura 24 tramite una linea tratteggiata rossa. È chiaro ed evidente dai grafici che questo corrisponde esattamente con la prima funzione (linea gialla) in tutti e sei i casi. Nei grafici si possono distinguere le spiagge cosiddette sabbiose da quelle appoggiate su piattaforma rocciosa. Si osserva che quest’ultime sono molto più corte delle prime: il profilo P2 ha una lunghezza di circa 100 m, il profilo P4 di 50 m, il profilo P6 di 70 m e il profilo P8 di 100m. I profili sabbiosi invece hanno lunghezze completamente differenti: il profilo P1 ha una lunghezza di 125 m, il profilo P3 di 130 m, il profilo P5 di 110 m e il profilo P6 di 180 m. È importante ricordare che i dati topografici sono stati rilevati a partire dalla condizione di bassa marea, di conseguenza l’ultimo punto della spiaggia si trova sulla linea di bassa marea. Osservando la forma generale del profilo medio si può affermare che i profili “rocciosi” hanno un andamento molto più lineare che quelli sabbiosi. Questo non significa che abbiano meno variazioni nel tempo ma che in generale il profilo medio tende a disporsi in modo lineare nello spazio. Questa caratteristica è molto evidente nei profili P4 e P6 che sono anche i più corti. I profili “sabbiosi” invece, presentano un andamento meno lineare, ma più ondulatorio. In particolare è giusto evidenziare che, soprattutto nel profilo P1 e P3, si nota la presenza di una duna, la quale potrebbe trattarsi della duna che si forma nella zona intertidale nelle spiagge dissipative.

Si riportano ora le varie pendenze del profilo medio: - P1=0.03; - P2=0.04; - P3=0.034; - P4=0.07; - P5=0.04; - P6=0.06; - P7=0.015 - P8=0.03

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conseguenza è molto probabile che il cambio di forma del profilo medio sia la duna intertidale. Si nota inoltre che i profili P4 e P6, che sono quelli più corti presentano una pendenza molto maggiore. Le spiagge presentano tratti tipicamente dissipative, però con caratteristiche differenti l’una dall’altra. In generale si nota che le spiagge spagnole appoggiate su piattaforma rocciosa (P2;P4;P6) presentano pendenza molto maggiore rispetto a quelle “sabbiose” (P1;P3;P5), di conseguenza potrebbero presentare caratteristiche più riflessive. Lo stesso capita nella parte marocchina dove la spiaggia “rocciosa” (P8) presenta una pendenza che è quasi il doppio di quella “sabbiosa” (P7), anche se in generale queste spiagge presentano pendenze molto più lievi di quelle rilevate nella parte spagnola. I profili P1, P2, P4, P5 presentano una “pendenza artificiale” all’inizio della spiaggia. Si nota infatti che in questi punti la pendenza è molto maggiore rispetto al resto del profilo a causa del fatto che all’inizio di queste spiagge sono presenti rispettivamente, la passeggiata marittima (P1) e le falesie (P2;P4;P5). La conseguenza è che vicino a questi “ostacoli” ci sia un maggiore accumulo di materiale nel tempo che tende a depositarsi con difficoltà ad essere eroso nel tempo.

Ora che è stato analizzata la prima funzione, la quale è stata associata al profilo medio della spiaggia, si può passare all’analisi delle seguenti. È necessario innanzitutto interpretarne il significato generale. La seconda e terza funzione spaziale rappresentano il comportamento nello spazio degli effetti dovuti a esse. Questo significa che le corrispondenti funzioni hanno i massimi e i minimi localizzati nello stesso punto indipendentemente dal tempo, il che significa che in quei punti vengono registrati degli incrementi in ogni momento dell’anno. In base alla (18) questi incrementi possono essere positivi o negativi a seconda del segno della funzione temporale corrispondente, e quindi rappresentare accumuli o erosioni localizzate. I punti nulli invece vengono chiamati punti di “rotazione” in quanto non hanno ne accumuli ne erosioni nel tempo e dunque l’effetto della funzione fa variare il profilo attorno a questi punti. È quindi importante studiare la posizione di questi per capire come si comporta la spiaggia. Si parte con la seconda funzione. Questa presenta andamenti diversi a seconda della spiaggia analizzata. Nei profili P1, P3, P5 e P6 e P7 questa presenta un andamento ondulatorio con picchi evidenti e localizzati in modo preciso. Al contrario nei profili P2 e P4 e P8 questa ha un comportamento costante