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Academic year: 2021

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(1)

FORMULARIO FISICA TECNICA

Primo principio

Relazione fondamentale: βˆ†π‘ˆ = 𝑄 βˆ’ 𝐿 Trasformazione adiabatica: 𝑄 = 0 βˆ†π‘ˆ = βˆ’πΏ Trasformazione isocora: 𝐿 = 0 βˆ†π‘ˆ = 𝑄 Trasformazione isoenergetica: βˆ†π‘ˆ = βˆ†π» = 0 𝑄 = 𝐿 Trasformazione isobara: 𝑄 = βˆ†π» = 0

Gas ideali

Formule generiche Formule massiche

---

Relazione fondamentale: 𝑝𝑉 = π‘€π‘…βˆ—π‘‡ 𝑝𝑣 = π‘…βˆ—π‘‡

Costante specifica dei gas: π‘…βˆ—=π‘€π‘šπ‘… =8,314π‘€π‘š

Energia interna: βˆ†π‘ˆ = π‘€π‘π‘£βˆ†π‘‡ βˆ†π‘’ = π‘π‘£βˆ†π‘‡ Entalpia: βˆ†π» = π‘€π‘π‘βˆ†π‘‡ βˆ†β„Ž = π‘π‘βˆ†π‘‡ Entropia: βˆ†π‘† = 𝑀𝑐𝑝ln 𝑇2 𝑇1βˆ’ 𝑀𝑅 βˆ—ln𝑃2 𝑃1 βˆ†π‘  = 𝑐𝑝ln 𝑇2 𝑇1βˆ’ 𝑅 βˆ—ln𝑃2 𝑃1 βˆ†π‘† = 𝑀𝑐𝑝ln 𝑉2 𝑉1+ 𝑀𝑐𝑝ln 𝑃2 𝑃1 βˆ†π‘  = 𝑐𝑝ln 𝑉2 𝑉1+ 𝑐𝑝ln 𝑃2 𝑃1 βˆ†π‘† = 𝑀𝑐𝑣ln 𝑇2 𝑇1+ 𝑀𝑅 βˆ—ln𝑉2 𝑉1 βˆ†π‘  = 𝑐𝑣ln 𝑇2 𝑇1+ 𝑅 βˆ—ln𝑉2 𝑉1 Trasformazione a P costante: βˆ†π‘ˆ = π‘€π‘π‘£βˆ†π‘‡ βˆ†π‘’ = π‘π‘£βˆ†π‘‡ (𝑉 𝑇 = π‘π‘œπ‘ π‘‘) 𝑄 = βˆ†π» = π‘€π‘π‘βˆ†π‘‡ π‘ž = βˆ†β„Ž = π‘π‘βˆ†π‘‡ 𝐿 = π‘€π‘ƒβˆ†π‘£ 𝑙 = π‘ƒβˆ†π‘£ βˆ†π‘† = 𝑀𝑐𝑝ln 𝑇2 𝑇1 βˆ†π‘  = 𝑐𝑝ln 𝑇2 𝑇1 Trasformazione a V costante: 𝐿 = 0 𝑙 = 0 (𝑃 𝑇 = π‘π‘œπ‘ π‘‘) 𝑄 = βˆ†π‘ˆ = π‘€π‘π‘£βˆ†π‘‡ π‘ž = βˆ†π‘’ = π‘π‘£βˆ†π‘‡ βˆ†π‘† = 𝑀𝑐𝑣ln 𝑇2 𝑇1 βˆ†π‘  = 𝑐𝑣ln 𝑇2 𝑇1 Trasformazione a T costante: βˆ†π‘ˆ = βˆ†π» = 0 βˆ†π‘’ = βˆ†β„Ž = 0 (𝑃𝑉 = π‘π‘œπ‘ π‘‘) 𝑄 = 𝐿 = βˆ’π‘€π‘…βˆ—π‘‡ ln𝑃2 𝑃1= 𝑀𝑅 βˆ—π‘‡ ln𝑉2 𝑉1 π‘ž = 𝑙 = 𝑅 βˆ—π‘‡ ln𝑃2 𝑃1= 𝑅 βˆ—π‘‡ ln𝑉2 𝑉1 βˆ†π‘† = βˆ’π‘€π‘…βˆ—ln𝑃2 𝑃1= 𝑀𝑅 βˆ—ln𝑉2 𝑉1 βˆ†π‘  = βˆ’π‘… βˆ—ln𝑃2 𝑃1= 𝑅 βˆ—ln𝑉2 𝑉1 Trasformazione adiabatica: 𝑄 = 0 π‘ž = 0 (𝑃𝑉𝛾 = π‘π‘œπ‘ π‘‘) βˆ†π‘ˆ = π‘€π‘π‘£βˆ†π‘‡ βˆ†π‘’ = π‘π‘£βˆ†π‘‡ βˆ†π» = π‘€π‘π‘βˆ†π‘‡ βˆ†β„Ž = π‘π‘βˆ†π‘‡

Relazione tra entalpia ed energia interna: βˆ†π» = π›Ύβˆ†π‘ˆ 𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑣

(2)

Relazione di Mayer molare: π‘π‘βˆ—= π‘π‘£βˆ—+ π‘…βˆ— π‘π‘£βˆ—= π‘π‘βˆ—βˆ’ π‘…βˆ— π‘…βˆ—= π‘π‘βˆ—βˆ’ π‘π‘£βˆ—

Gas ideali monoatomici : 𝑐𝑣= 3 2𝑅 𝑐𝑝= 5 2𝑅 𝑐𝑣 βˆ—=3 2𝑅 βˆ— 𝑐 π‘βˆ—= 5 2𝑅 βˆ—

Gas ideali biatomici/poliatomici allineati:𝑐𝑣= 5 2𝑅 𝑐𝑝= 7 2𝑅 𝑐𝑣 βˆ—=5 2𝑅 βˆ— 𝑐 π‘βˆ—= 7 2𝑅 βˆ—

Gas ideali poliatomici: 𝑐𝑣= 3𝑅 𝑐𝑝= 4𝑅 π‘π‘£βˆ—= 3𝑅 π‘π‘βˆ—= 4𝑅

Volume molare: 𝑣 = 𝑉

𝑀

Portata volumetrica: 𝑉̇ = 𝐴𝑀 w: velocitΓ  media del fluido A: area del condotto

DensitΓ : 𝜌 =1𝑣=𝑅𝑇𝑃 β†’ 𝑇 =π‘…πœŒπ‘ƒ 𝑃 = π‘…π‘‡πœŒ Portata massica: π‘šΜ‡ = πœŒπ‘‰Μ‡ = πœŒπ΄π‘€ Numero di moli: 𝑛 =𝑃𝑉 𝑅𝑇= π‘š βˆ— π‘€π‘š π‘€π‘š: massa molecolare Pressione parziale: 𝑃𝑖 = 𝑛𝑖 π‘›π‘‘π‘œπ‘‘π‘ƒπ‘‘π‘œπ‘‘

Area del condotto: 𝐴 = πœ‹ (𝐷

2) 2

Politropiche

π‘π‘£π‘˜ = π‘π‘œπ‘ π‘‘ 𝑝1βˆ’π‘˜π‘‡π‘˜= π‘π‘œπ‘ π‘‘ π‘‡π‘£π‘˜βˆ’1 = π‘π‘œπ‘ π‘‘ π‘˜ =𝑐π‘₯βˆ’π‘π‘ 𝑐π‘₯βˆ’π‘π‘£ Trasformazione isoterma: 𝑇 = π‘π‘œπ‘ π‘‘ 𝑐π‘₯= ±∞ π‘˜ = 1 Trasformazione isocora: 𝑉 = π‘π‘œπ‘ π‘‘ 𝑐π‘₯= 𝑐𝑣 π‘˜ = ±∞ Trasformazione isobara: 𝑃 = π‘π‘œπ‘ π‘‘ 𝑐π‘₯= 𝑐𝑝 π‘˜ = 0 Trasformazione adiabatica: 𝑄 = 0 𝑐π‘₯= 0 π‘˜ = 𝑐𝑝 𝑐𝑣 Energia interna: βˆ†π‘ˆ = π‘›π‘π‘£βˆ†π‘‡ Entalpia: βˆ†π» = π‘›π‘π‘βˆ†π‘‡

Lavoro di una politropica (no isoterma): 𝐿 = 𝑀𝑃1𝑉1

π‘˜βˆ’1[1 βˆ’ ( 𝑃2 𝑃1) π‘˜βˆ’1 π‘˜ ] Calore di una politropica (no isoterma): 𝑄 = 𝑀𝑐π‘₯βˆ†π‘‡

Lavoro di una politropica (solo isoterma): 𝐿 = 𝑃1𝑉1ln 𝑉1

𝑉2 Calore di una politropica (solo isoterma): 𝑄 = 𝑀𝑇(𝑠2βˆ’ 𝑠1)

Liquidi ideali

Calore: 𝑄 = βˆ†π» = π»π‘“βˆ’ 𝐻𝑖 = π‘€β„Žπ‘“βˆ—βˆ’ π‘€β„Žπ‘–βˆ— Energia interna: 𝑑𝑒 = 𝑐𝑑𝑇 βˆ†π‘’ = βˆ†β„Ž = π‘βˆ†π‘‡ Entalpia: π‘‘β„Ž = 𝑐𝑑𝑇 + 𝑣𝑑𝑃 β‰… 𝑐𝑑𝑇 perchΓ© 𝑣𝑑𝑃 β‰ͺ 𝑐𝑑𝑇 Entropia: 𝑑𝑠 = 𝑐𝑑𝑇 𝑇 βˆ†π‘  = 𝑐 ln 𝑇𝑓𝑖𝑛 𝑇𝑖𝑛

(3)

Aria umida

Γ¨ una miscela di aria secca e vapore UmiditΓ  assoluta: π‘₯ = 𝑀𝑣 π‘€π‘Ž= 0,622 𝑃𝑣 π‘ƒβˆ’π‘ƒπ‘£= 0,622 πœ‘π‘ƒπ‘ π‘Žπ‘‘ π‘ƒβˆ’πœ‘π‘ƒπ‘ π‘Žπ‘‘

Pressione parziale aria secca: π‘ƒπ‘Žπ‘  = 𝑃 βˆ’ 𝑃𝑣

UmiditΓ  relativa: πœ‘ = 𝑃𝑣

π‘ƒπ‘ π‘Žπ‘‘(𝑇) π‘ƒπ‘ π‘Žπ‘‘(𝑇) = 611,2 βˆ— 10

7,5𝑇 237,7+𝑇

Massa totale miscela: 𝑀 = 𝑀𝑣+ π‘€π‘Ž

Entalpia acqua: β„Žπ‘Žβˆ— = π‘π‘π‘Žπ‘‘ = 1,005𝑑 Entalpia vapore: β„Žπ‘£βˆ— = π‘₯𝑐𝑝𝑣𝑑 + π‘₯π‘Ÿ = π‘₯(𝑐𝑝𝑣𝑑 + π‘Ÿ) = π‘₯(2501,6 + 1,86𝑑) Entalpia massica: β„Žβˆ—= β„Žπ‘Žβˆ— + π‘₯β„Žπ‘£βˆ— = 1,005𝑑 + π‘₯(2501,6 + 1,86𝑑) Entalpia: 𝐻 = π»π‘Ž+ 𝐻𝑣= π‘€π‘Žβ„Žπ‘Žβˆ— + π‘€π‘£β„Žπ‘£βˆ— = π‘€π‘Žβ„Žπ‘Žβˆ— + π‘₯π‘€π‘Žβ„Žπ‘£βˆ— Miscelazione adiabatica: π‘šπ΄+ π‘šπ΅= π‘šπ‘š π‘šπ΄π‘₯𝐴+ π‘šπ΅π‘₯𝐡 = π‘šπ‘šπ‘₯π‘š π‘šπ΄β„Žπ΄+ π‘šπ΅β„Žπ΅ = π‘šπ‘šβ„Žπ‘š

Passaggi di stato

Evaporazione e condensazione al di sotto della curva limite

Titolo di vapore saturo: π‘₯ =π‘š π‘šπ‘£π‘Žπ‘

π‘£π‘Žπ‘+ π‘šπ‘™π‘–π‘ž

Volume massico della miscela: π‘£π‘šπ‘–π‘ π‘ = (1 βˆ’ π‘₯)𝑣𝑙𝑠+ π‘₯𝑣𝑣𝑠

Entalpia miscela: β„Žπ‘šπ‘–π‘ π‘ = (1 βˆ’ π‘₯)β„Žπ‘™π‘ + π‘₯β„Žπ‘£π‘ 

Energia interna miscela: π‘’π‘šπ‘–π‘ π‘= (1 βˆ’ π‘₯)𝑒𝑙𝑠+ π‘₯𝑒𝑣𝑠

Entropia miscela: π‘ π‘šπ‘–π‘ π‘ = (1 βˆ’ π‘₯)𝑠𝑙𝑠+ π‘₯𝑠𝑣𝑠

Liquido a sinistra della curva limite

Entalpia liquido sottoraffreddato β„Ž = β„Žπ‘™π‘ + 𝑣𝑙𝑠(𝑃 βˆ’ 𝑃𝑙𝑠)

Entropia liquido sottoraffreddato 𝑠 = π‘π‘π‘šβˆ—ln

𝑇 𝑇𝑙𝑠

Vapori surriscaldati a destra della curva limite

Calore specifico medio entalpico: π‘π‘π‘š =

1 𝑇 βˆ’ 𝑇𝑠

∫ 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 𝑇𝑠

Calore specifico medio entropico: π‘π‘π‘šβˆ—= ∫ 𝑐𝑝

𝑑𝑇 𝑇

𝑇 𝑇𝑠

Entalpia vapore surriscaldato: β„Ž = β„Žπ‘£π‘ + π‘π‘π‘š(𝑑 βˆ’ 𝑑𝑠)

Energia interna vapore surriscaldato: u= β„Žπ‘£π‘ + π‘π‘π‘š(𝑑 βˆ’ 𝑑𝑠) βˆ’ 𝑝𝑣

Entropia vapore surriscaldato: βˆ†π‘  = π‘π‘π‘šβˆ—ln

𝑇 𝑇𝑠 Interpolazione lineare: π‘‹βˆ’π‘‹1 𝑋2βˆ’π‘‹1= π‘Œβˆ’π‘Œ1 π‘Œ2βˆ’π‘Œ1 π‘Œ = π‘Œ1+ (π‘Œ2βˆ’ π‘Œ1) π‘‹βˆ’π‘‹1 𝑋2βˆ’π‘‹1 N.B.: se π‘‡π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–π‘Žπ‘‘π‘Ž> π‘‡π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘‘π‘’ si avrΓ  condensa N.B.: 𝑄𝐻2𝑂 = π‘„π‘£π‘šΜ‡ 𝑣

N.B.: sotto la curva limite si parla di trasformazioni isotermobariche, trasformazioni cioΓ¨ che hanno temperatura e pressione costante quindi si puΓ² genericamente scrivere che: βˆ†π‘† =π‘žπ‘‡=βˆ†π»

(4)

Sistemi aperti

Bilancio energetico (stazionario): π‘šΜ‡ [(β„Žβˆ—

1βˆ’β„Žβˆ—2) + 𝑔(𝑧1βˆ’ 𝑧2) + 𝑀1 Μ…Μ…Μ…Μ…2 2 βˆ’ 𝑀2 Μ…Μ…Μ…Μ…2 2 ] + 𝑄̇ βˆ’ 𝐿̇ = 0

Bilancio energetico generale: π‘šΜ‡ [(β„Žβˆ—

1βˆ’β„Žβˆ—2) + 𝑔(𝑧1βˆ’ 𝑧2) + 𝑀1 Μ…Μ…Μ…Μ…2 2 βˆ’ 𝑀2 Μ…Μ…Μ…Μ…2 2 ] + 𝑄̇ βˆ’ 𝐿̇ = ∫ π‘‡π‘‘π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ 2 1

Bilancio entropico (stazionario): π‘šΜ‡(π‘ βˆ—

1βˆ’π‘ βˆ—2) + 𝑆𝑄̇ + π‘†π‘–π‘Ÿπ‘ŸΜ‡ = 0 Scambiatore di calore: {𝑄𝑓̇ = π‘šπ‘“Μ‡ (β„Žπ‘œπ‘’π‘‘,π‘“βˆ’ β„Žπ‘–π‘›,𝑓) 𝑄𝑐̇ = π‘šΜ‡ (β„Žπ‘ π‘œπ‘’π‘‘,π‘βˆ’ β„Žπ‘–π‘›,𝑐) 𝑄𝑓̇ + 𝑄𝑐̇ = 0

Macchine termodinamiche

Macchine motrici bilancio energetico: π‘„π‘βˆ’ π‘„π‘“βˆ’ 𝐿 = 0 bilancio entropico: βˆ’π‘„π‘ 𝑇𝑐 +𝑄𝑓 𝑇𝑓 = π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ rendimento: πœ‚ = πΏπ‘‘π‘œπ‘‘ π‘„π‘Žπ‘ π‘  = 1 βˆ’π‘‡π‘“ 𝑇𝐢 βˆ’π‘‡π‘“π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ 𝑄𝐢 rendimento II: πœ‚πΌπΌ = πΏπ‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’ πΏπ‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™π‘’ = πœ‚ πœ‚π‘Ÿπ‘’π‘£ Macchine operatrici bilancio energetico: βˆ’π‘„π‘+ 𝑄𝑓+ 𝐿 = 0 bilancio entropico: 𝑄𝑐 𝑇𝑐 βˆ’π‘„π‘“ 𝑇𝑓 = π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ efficienza frigorifero: πœ€π‘“ = 𝑄𝑓 π‘Š = 𝑇𝑓 π‘‡π‘βˆ’ 𝑇𝑓+ π‘‡π‘π‘‡π‘“π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ 𝑄𝑓 efficienza pdc: πœ€π‘π‘‘π‘ = 𝑄𝑐 π‘Š= 𝑇𝑐 π‘‡π‘βˆ’ 𝑇𝑓+ π‘‡π‘π‘‡π‘“π‘†π‘–π‘Ÿπ‘Ÿ 𝑄𝑐 rendimento II: πœ‚πΌπΌ = πΏπ‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™π‘’ πΏπ‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’

Entropia generata irreversibilitΓ : π‘ π‘–π‘Ÿπ‘Ÿβˆ— = 𝑐𝑝ln

𝑇2

𝑇2𝑖𝑠

Rendimento isoentropico compressore: πœ‚π‘–π‘  = πΏπ‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™π‘’

πΏπ‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’ si lavora con le temperature

Rendimento isoentropico turbina: πœ‚π‘–π‘  = πΏπ‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’

πΏπ‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™π‘’ si lavora con le entalpie

Se ciclo o trasformazione ideale: βˆ†π‘† = 0

(5)

Cicli termodinamici

Ciclo Otto È simmetrico: 𝑇1𝑇3= 𝑇2𝑇4 𝑃1𝑃3= 𝑃2𝑃4 𝑉1𝑉3= 𝑉2𝑉4 Rapporto di compressione: 𝜌 =π‘‰π‘šπ‘Žπ‘₯ π‘‰π‘šπ‘–π‘›= 𝑉1 𝑉2= 𝑣1 𝑣2

1-2) Compressione adiabatica reversibile: π‘ž12= 0 𝑀12= βˆ’βˆ†u12= 𝑐𝑣(𝑇1βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 12= 0

2-3) Riscaldamento isocoro: 𝑀23= 0 π‘ž23= βˆ†u23= 𝑐𝑣(𝑇3βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 23= 𝑐𝑣ln 𝑇3

𝑇2 3-4) Espansione adiabatica reversibile: π‘ž34= 0 𝑀34= βˆ’βˆ†u34= 𝑐𝑣(𝑇3βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 34= 0

4-1) Raffreddamento isobaro: 𝑀41= 0 π‘ž41= βˆ†u41= 𝑐𝑣(𝑇1βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 41= 𝑐𝑣ln 𝑇1 𝑇4 Calore entrante: π‘žπ‘’= π‘ž23= 𝑒3βˆ’ 𝑒2= 𝑐𝑣(𝑇3βˆ’ 𝑇2) Calore uscente: π‘žπ‘’= βˆ’π‘ž41= βˆ’(𝑒1βˆ’ 𝑒4) = 𝑐𝑣(𝑇4βˆ’ 𝑇1) Rendimento: πœ‚π‘œπ‘‘π‘‘π‘œ= π‘Šπ‘›π‘’π‘‘π‘‘π‘œ π‘žπ‘’ = π‘žπ‘’βˆ’π‘žπ‘’ π‘žπ‘’ = 1 βˆ’ (𝑇4βˆ’π‘‡1) (𝑇3βˆ’π‘‡2)= 1 βˆ’ 𝑇1 𝑇2= 1 βˆ’ 𝑇4 𝑇3= 1 βˆ’ 1 πœŒπ‘˜βˆ’1= 1 βˆ’ 𝜌1βˆ’π‘˜ Ciclo Diesel Rapporto volumetrico: 𝜏 =𝑉1 𝑉2= 𝑉4 𝑉3

1-2) Compressione adiabatica reversibile: π‘ž12= 0 𝑀12= βˆ’βˆ†u12= 𝑐𝑣(𝑇1βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 12= 0

2-3) Riscaldamento isobaro: 𝑀23= π‘…βˆ—(𝑇3βˆ’ 𝑇2) π‘ž23= 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 23= 𝑐𝑝ln 𝑇3

𝑇2 3-4) Espansione adiabatica reversibile: π‘ž34= 0 𝑀34= βˆ’βˆ†u34= 𝑐𝑣(𝑇3βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 34= 0

4-1) Raffreddamento isobaro: 𝑀41= 0 π‘ž41= βˆ†u41= 𝑐𝑣(𝑇1βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 41= 𝑐𝑣ln 𝑇1 𝑇4 Calore entrante: π‘žπ‘’= π‘ž23= β„Ž3βˆ’ β„Ž2 = 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’ 𝑇2) Calore uscente: π‘žπ‘’= βˆ’π‘ž41= βˆ’(𝑒1βˆ’ 𝑒4) = 𝑐𝑣(𝑇4βˆ’ 𝑇1) Rendimento: πœ‚π‘‘π‘–π‘’π‘ π‘’π‘™ = π‘Šπ‘›π‘’π‘‘π‘‘π‘œ π‘žπ‘’ = π‘žπ‘’βˆ’π‘žπ‘’ π‘žπ‘’ = 1 βˆ’ 𝑐𝑣(𝑇4βˆ’π‘‡1) 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’π‘‡2)= 1 βˆ’ 1 πœŒπ‘˜βˆ’1[ πœπ‘˜βˆ’1 π‘˜(πœβˆ’1)]

(6)

Ciclo Joule-Brayton

È simmetrico: 𝑇1𝑇3= 𝑇2𝑇4 𝑃1𝑃3= 𝑃2𝑃4 𝑉1𝑉3= 𝑉2𝑉4

Rapporto manometrico di compressione: 𝛽 =π‘ƒπ‘šπ‘Žπ‘₯

π‘ƒπ‘šπ‘–π‘› = 𝑃2 𝑃1=

𝑃3 𝑃4

1-2) Compressione adiabatica reversibile: π‘ž12= 0 𝑀12= 𝑐𝑝(𝑇1βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 12= 0

2-3) Riscaldamento isocoro: 𝑀23= 0 π‘ž23= 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’ 𝑇2) βˆ†π‘ 23 = 𝑐𝑝ln 𝑇3

𝑇2 3-4) Espansione adiabatica reversibile: π‘ž34= 0 𝑀34= 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 34 = 0

4-1) Raffreddamento isobaro: 𝑀41= 0 π‘ž41= 𝑐𝑣(𝑇1βˆ’ 𝑇4) βˆ†π‘ 41= 𝑐𝑝ln 𝑇1 𝑇4 Calore entrante: π‘žπ‘’= π‘ž23= β„Ž3βˆ’ β„Ž2= 𝑐𝑝(𝑇3βˆ’ 𝑇2) Calore uscente: π‘žπ‘’= βˆ’π‘ž41= βˆ’(β„Ž1βˆ’ β„Ž4) = 𝑐𝑝(𝑇4βˆ’ 𝑇1) Rendimento: πœ‚Jouleβˆ’Brayton = π‘Šπ‘›π‘’π‘‘π‘‘π‘œ π‘žπ‘’ = π‘žπ‘’βˆ’π‘žπ‘’ π‘žπ‘’ = 1 βˆ’ 𝑇4 𝑇3= 1 βˆ’ 𝑇1 𝑇2= 1 βˆ’ 𝛽 1βˆ’π‘˜ π‘˜ = 1 βˆ’ 1 𝛽 π‘˜βˆ’1 π‘˜

Rigenerazione: per aumentare il rendimento del ciclo Γ¨ possibile ricorrere alla rigenerazione, attuabile se 𝑇4 > 𝑇2. Il gas uscente dal compressore a temperatura 𝑇2 viene preriscaldato, prima

di essere immesso nel combustore, fino alla temperatura 𝑇2β€²> 𝑇2, utilizzando il calore

che esce dalla turbina 𝑇4> 𝑇2. Nella rigenerazione ideale 𝑇4= 𝑇2β€² e 𝑇4β€²= 𝑇2. Il

rendimento diventa: πœ‚Jouleβˆ’Brayton = 1 βˆ’ 𝑇2 𝑇3

Ciclo Rankine diretto

È un ciclo a fluido bifase (liquido + vapore)

1-2) Compressione adiabatica reversibile (pompa): 𝑀𝑝,𝑒= β„Ž2βˆ’ β„Ž1 β‰… 𝑣1(𝑃2βˆ’ 𝑃1)

2-3) Riscaldamento isobaro (caldaia): π‘žπ‘’ = β„Ž3βˆ’ β„Ž2

3-4) Espansione adiabatica reversibile (turbina): 𝑀𝑑,𝑒= β„Ž3βˆ’ β„Ž4

4-1) Raffreddamento isobaro (condensatore): π‘žπ‘’ = β„Ž4βˆ’ β„Ž1

Lavoro netto del ciclo: π‘€π‘›π‘’π‘‘π‘‘π‘œ = 𝑀𝑑,π‘’βˆ’ 𝑀𝑝,𝑒= π‘žπ‘’βˆ’ π‘žπ‘’

Rendimento: πœ‚π‘… = π‘€π‘›π‘’π‘‘π‘‘π‘œ π‘žπ‘’ = π‘žπ‘’βˆ’π‘žπ‘’ π‘žπ‘’ = 1 βˆ’ π‘žπ‘’ π‘žπ‘’

Surriscaldamento: il vapore puΓ² essere surriscaldato al fine di concludere l’espansione in turbina con un titolo π‘₯ > 0,9 poichΓ© la presenza di fase liquida in percentuale maggiore causerebbe danni tali da rendere la turbina inservibile in breve tempo

(7)

Ciclo Rankine inverso

È un ciclo a fluido bifase (liquido + vapore)

1-2) Compressione isoentropica 𝑀𝑝,𝑒= β„Ž2βˆ’ β„Ž1β‰… 𝑣1(𝑃2βˆ’ 𝑃1) 2-3) Raffreddamento isobaro: π‘žπ‘’= β„Ž2βˆ’ β„Ž3 3-4) Laminazione isoentalpica: 𝑀𝑑,𝑒 = β„Ž3βˆ’ β„Ž4 4-1) evaporazione isotermobarica: π‘žπ‘’= β„Ž1βˆ’ β„Ž4 Rendimento pdc: πœ€π‘π‘‘π‘ = π‘žπ‘’ π‘Šπ‘,𝑒= β„Ž2βˆ’β„Ž3 β„Ž2βˆ’β„Ž1 Rendimento f: πœ€π‘“ = π‘žπ‘’ π‘Šπ‘,𝑒= β„Ž1βˆ’β„Ž4 β„Ž2βˆ’β„Ž1

Conduzione

Legge di Fourier: π›Όβˆ‡2𝑇 =πœ•π‘‡ πœ•π‘‘ π‘žπ‘₯= βˆ’π‘˜π΄ 𝑑𝑇 𝑑π‘₯ Equazione di Laplace: βˆ‡2𝑇 = βˆ… πœ•2𝑇 πœ•π‘₯2= βˆ… Resistenza conduttiva parete piana indefinita: 𝑅𝑐𝑑=

𝐿 π‘˜π΄=

𝑇𝑠1βˆ’π‘‡π‘ 2

π‘žΜ‡π‘₯ Resistenza conduttiva cilindro indefinito: 𝑅𝑐𝑑=

1 2π‘˜πœ‹πΏln 𝑅2 𝑅1 Potenza termica: 𝑄̇ =π‘‡βˆž1βˆ’π‘‡βˆž2 π‘…π‘‘π‘œπ‘‘

Conduzione parete piana: 𝑇(π‘₯) =𝑇𝑠2βˆ’π‘‡π‘ 1

𝑠 π‘₯ + 𝑇𝑠1 π‘žΜ‡π‘₯= π‘˜π΄ 𝑆 (𝑇𝑠1βˆ’ 𝑇𝑠2) Conduzione cilindri: 𝑇(π‘Ÿ) =𝑇𝑠1βˆ’π‘‡π‘ 2 lnπ‘Ÿ1 π‘Ÿ2 lnπ‘Ÿ π‘Ÿ1+ 𝑇𝑠1 π‘žπ‘₯= π‘˜ π‘Ÿπ‘’βˆ’π‘Ÿπ‘–π΄Μ…βˆ†π‘‡ Area media aritmetica 𝐴̅ ≅𝐴𝑒+𝐴𝑖

2

Lunghezza caratteristica: 𝐿𝑐 =

𝑉𝑐

𝐴𝑐 nei tubi si sceglie il diametro equivalente Diametro idraulico equivalente: 𝐷𝑒= 4

𝐴 𝑝= πœ‹ 𝐷𝑖4 4 A = area p = perimetro Numero di Biot: 𝐡𝑖 =β„ŽπΏπ‘ π‘˜ = β„Žπ‘‰

π‘˜π΄π‘< 0.1 𝐴𝑐 = area a contatto con il fluido

Numero di Fourier: πΉπ‘œ = 𝛼𝑑

𝐿𝑐2

DiffusivitΓ  termica: 𝛼 = π‘˜

πœŒπ‘π‘βˆ— Metodo dei parametri concentrati: π‘‡βˆ’π‘‡π‘“

𝑇0βˆ’π‘‡π‘“= 𝑒

βˆ’π‘‘

𝜏= π‘’βˆ’π΅π‘–βˆ—πΉπ‘œ 𝜏 = 𝑅𝐢 = 1

β„Žπ΄βˆ— πœŒπ‘π‘‰

Convezione

Potenza termica scambiata: 𝑄̇ = π΄β„Ž(π‘‡π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’βˆ’ π‘‡π‘“π‘™π‘’π‘–π‘‘π‘œ)

Potenza termica areica: π‘ž = β„Ž(π‘‡π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’βˆ’ π‘‡π‘“π‘™π‘’π‘–π‘‘π‘œ)

Resistenza convettiva parete piana indefinita: 𝑅𝑐𝑣= 1 β„Žπ΄=

π‘‡π‘ βˆ’π‘‡βˆž

π‘žΜ‡π‘₯ Resistenza convettiva cilindro indefinito: 𝑅𝑐𝑣=

1 2π‘˜πœ‹πΏln

𝐷𝑒 𝐷𝑖

(8)

Numero di Nusselt: 𝑁𝑒 =β„ŽπΏ

π‘˜ h = coefficiente di convezione k = conducibilitΓ 

Numero di Reynolds: 𝑅𝑒 =π‘€πœŒπΏ

πœ‡ w = velocitΓ  media πœ‡ = viscositΓ 

Numero di Prandtl: π‘ƒπ‘Ÿ =π‘π‘πœ‡

π‘˜ cp = calore specifico

Numero di Grashoff: πΊπ‘Ÿ =𝜌2π‘”π›½βˆ†π‘‡πΏ3

πœ‡2

Numero Nusselt per convezione forzata: 𝑁𝑒 = π‘π‘œπ‘ π‘‘ βˆ— π‘…π‘’π›Όβˆ— π‘ƒπ‘Ÿπ›½ Numero Nusselt per convezione naturale: 𝑁𝑒 = π‘π‘œπ‘ π‘‘(πΊπ‘Ÿ βˆ— π‘ƒπ‘Ÿ)π›Όβˆ—

N.B.: nel numero di Reynolds e nel numero di Nusselt la lunghezza caratteristica non Γ¨ il rapporto tra il volume area. Generalmente per i condotti di sceglie come lunghezza caratteristica il diametro, mentre per le lastre la lunghezza stessa

Scambiatore di calore

Potenza complessiva scambiata: 𝑄𝑓̇ + 𝑄𝑐̇ = 0

Singole potenze scambiate: {𝑄𝑓̇ = π‘šπ‘“Μ‡ (β„Žπ‘œπ‘’π‘‘,π‘“βˆ’ β„Žπ‘–π‘›,𝑓) = π‘šΜ‡ 𝑐𝑓 𝑝𝑓(π‘‡π‘œπ‘’π‘‘,π‘“βˆ’ 𝑇𝑖𝑛,𝑓) = 𝐢𝑓(π‘‡π‘œπ‘’π‘‘,π‘“βˆ’ 𝑇𝑖𝑛,𝑓) 𝑄𝑐̇ = π‘šΜ‡ (β„Žπ‘ π‘œπ‘’π‘‘,π‘βˆ’ β„Žπ‘–π‘›,𝑐) = π‘šΜ‡ 𝑐𝑐 𝑝𝑐(π‘‡π‘œπ‘’π‘‘,π‘βˆ’ 𝑇𝑖𝑛,𝑐) = 𝐢𝑐(π‘‡π‘œπ‘’π‘‘,π‘βˆ’ 𝑇𝑖𝑛,𝑐)

CapacitΓ  termica di portata: 𝐢𝑓 = π‘šπ‘“Μ‡ 𝑐𝑝𝑓 𝐢𝑐 = π‘šΜ‡ 𝑐𝑐 𝑝𝑐

Metodo della differenza media logaritmica: dato che la potenza termica complessiva scambiata risulta essere nulla analizzando la potenza uscente dal fluido caldo e quella entrante nel fluido freddo, per calcolarla si ricorre alla variazione di tempo medio logaritmico che tiene conto del fatto che la differenza di temperatura tra fluido caldo e fluido freddo varia lungo lo scambiatore

Differenza media logaritmica: βˆ†π‘‡π‘šπ‘™=

βˆ†π‘‡π‘’βˆ’βˆ†π‘‡π‘– lnβˆ†π‘‡π‘’

βˆ†π‘‡π‘–

βˆ†π‘‡π‘’ = π‘‡β„Žπ‘œπ‘‘,π‘’βˆ’ π‘‡π‘π‘œπ‘™π‘‘,𝑒

βˆ†π‘‡π‘– = π‘‡β„Žπ‘œπ‘‘,π‘–βˆ’ π‘‡π‘π‘œπ‘™π‘‘,𝑖

Potenza complessiva scambiata: 𝑄̇ = π‘ˆπ΄π‘‘π‘œπ‘‘βˆ†π‘‡π‘šπ‘™ π΄π‘‘π‘œπ‘‘: area totale

Area totale di scambio: π΄π‘‘π‘œπ‘‘= 𝑛𝑑𝑒𝑏𝑖° βˆ— π΄π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’,π‘‘π‘’π‘π‘œ

Area laterale tubo: π΄π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘’,π‘‘π‘’π‘π‘œ= 2πœ‹π‘ŸπΏ

Fattore di correzione: βˆ†π‘‡π‘šπ‘™= πΉβˆ†π‘‡π‘šπ‘™,π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’

Irraggiamento

Legge di Wien: π‘‡πœ†π‘šπ‘Žπ‘₯ = 2898 πœ‡π‘šπΎ

Potere emissivo corpo nero /Legge Stefan-Boltzmann: 𝐸𝐢𝑁 = πœŽπ‘‡4

Radiazione atmosferica: πΊπ‘π‘–π‘’π‘™π‘œ = πœŽπ‘‡π‘π‘–π‘’π‘™π‘œ4

Scambio termico tra sup. nere: 𝑄12Μ‡ = 𝐴𝐹𝜎(𝑇14βˆ’ 𝑇24)

Scambio termico sup. grigie lastre piane: 𝑄12Μ‡ =

𝐴𝜎(𝑇14βˆ’π‘‡24) 1

πœ€1βˆ’1+ 1 πœ€2 Scambio termico complessivo: 𝑄̇ = 𝐴𝜎(𝑇14βˆ’ 𝑇24)

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