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FORMULARIO DI MATEMATICA

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

1

FORMULARIO DI MATEMATICA

Sommario

ALGEBRA ... 2

DISEQUAZIONI ... 5

GEOMETRIA ... 6

GEOMETRIA ANALITICA ... 7

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ... 9

TRIGONOMETRIA ... 11

CALCOLO COMBINATORIO ... 12

PROBABILITA’ ... 12

PERCENTUALI ... 12

PROGRESSIONI ... 12

LOGICA ... 13

STATISTICA ... 13

(2)

2

ALGEBRA

INSIEMI NUMERICI

POTENZE

PRODOTTI NOTEVOLI

POTENZA DEL

BINOMIO n! = 1·2· … ·n

SCOMPOSIZIONI

(3)

3 EQUAZIONI

DI 1° GRADO

DISEQUAZIO NI DI 1°

GRADO

SISTEMI LINEARI

VALORE

ASSOLUTO

OPERAZIONI CON I RADICALI

RAZIONALIZ ZAZIONI

0 0

 

a a se a

se a a

a a b a

a a

b a

b   

a a b a

a a

b a

b n n m

n n m

n n m

n m

n m

 

0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile

(4)

4 RADICALI

DOPPI

EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE ax

2

+bx+c=0

EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE

Relazione tra coefficienti e

radici e scomposizio

ne ax

2

+bx+c=0

Equazioni binomie

ax

n

+ c=0

Equazioni

trinomie ax

2n

+bx

n

+ c=0 t = x

n

at

2

+ bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie

a

ac b

b a

x b

2 4 2

2

 

 

a b ac b

a b x

 

 

 

 

 

2

2 4 2

2

a x b

x b

ax x bx

ax  

 

2 2 1

0 0

) (

a x

2

  c

a

x    c se –c/a < 0 

Spuria

Pura

soluz a no

c

a x c

a

c

n

 0 0

n pari

n dispari n

a

x   c

(5)

5

DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

DISEQUAZIONI DI GRADO > 2

E FRATTE

Studiare i segni dei fattori ..

0 ) (

0 ) (

x B

x A

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:

La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S 1 S 2  …

Grafico:

UNIONE DI DISEQUAZIONI

( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) Soluzione S = S 1 U S 2 Grafico:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA (C.E.: A(x)  0)

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO

0 ) (

0 ) ( ) (

) ) (

( 

 

 

x A

x A x A

x x A

A

Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti

Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0

Per le fratte ≥0 solo al Numeratore

(6)

6

GEOMETRIA

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di

..)

Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni POLIGONO

DI n LATI

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n – 2)· 180°

ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) =

n n  2 )  180  (

CIRCONFERENZA

Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .

CONVERSIONI MISURE ANGOLI

AREE DI FIGURE PIANE

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

APPLICAZIONI

DEL TEOREMA DI

PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

SOLIDI

L’asse di un corda passa per il centro.

Raggio e retta tangente sono perpendicolari.

L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà dell’angolo al centro corrispondente

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

AH = (AB·AC)/BC

TEOREMA DI PITAGORA:

AB

2

+ AC

2

= BC

2

I° TEOREMA DI EUCLIDE:

AB

2

= BH·BC AC

2

= CH·BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE:

AH

2

= BH·HC

2 l

d2 3

hl

Teorema di Eulero

Facce + Vertici – Spigoli = 2

(7)

7

GEOMETRIA ANALITICA

DISTANZA e PUNTO MEDIO

TRA 2 PUNTI A(x

1

; y

1

) B(x

2

; y

2

)

Equazione della

RETTA

Coefficiente

Angolare

Parallelismo e Perpendicolarità

Retta passante

per 2 punti A(x

1

; y

1

) B(x

2

; y

2

) Fasci

DISTANZA PUNTO - RETTA

CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA E RETTA

1

'

2

' '

' B y y

A  

1

'

2

' B x x

A  

  

2 1

2

2 1

2

x y y

x

AB    

 

 

  

; 2 2

2 1 2

1

x y y

M x

Intercetta a q   c a

m   b Coeff. angolare q

mx y   Forma esplicita Forma implicita

 0

bx c ax

1 2

1 2

x x

y m y

 

m m 1 '   '

m m

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y

 

)

; ( x

0

y

0

A

2

)

2

; (

b a

c by r ax

A

d

o o

 

 0

bx c ax

 

 

  

; 2 2

b C a

b c c a

r  

 

 

 

 

 

2 2 2

2

2

 2

(8)

8 PARABOLA

con asse //

asse y

PARABOLA con asse //

asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Altre equazioni dell’iperbole

a x b

a :   2 

 

    a a F b

4

; 1 2

 

 

 

a a V b

; 4

2 d y a

4 :   1  

 

 

    a b F a

; 2 4 1 a

y b a :   2

x a

d 4

:   1  

 

 

    a b V a

; 2

4

(9)

9

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un solo elemento yB.”

Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :

f : A B ; f : xA  yB; oppure y = f (x)

L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione.

L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione.

FUNZIONI INVERTIBILI

Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A.

Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x  A  y  B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :

f

-1

: y  B  x  A.

FUNZIONI COMPOSTE

Siano date due funzioni f: x  A  y  B e g: y  C  z  D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B  C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x)  I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD.

Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.

CLASSIFICAZI ONE

CALCOLO DEL DOMINIO

FUNZIONI MONOTONE

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2)

FUNZIONI PARI,

Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x)  x A

Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x)  x A

(10)

10 DISPARI

PERIODICHE

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

f(x) = f(x + kT)

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Equazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Disequazioni logaritmiche

) ( )

)

(

( )

(

a f x g x

a

f x

g x

 

0 0 log

) (

) (

 

N

N N x

f

e impossibil N

a

a x

f

1 0

1 )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ) (

(

( )

) (

 

a

a x g x

f

x g x

a f a

f x g x

)

0

(

Nimpossibil e N

a

f x

a

f(x)

N   xR N  0

1 0

1 log

) ( ) (

log ) ( ) ) (

)

(

(

 

a

a N N x

f x N f

a

a x a

f

 

 

) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( log

x g x f

x g

x f x

g x

f

a

a

 

 

N

a

f x a

x N f

x

f ( )

0 ) ) (

( log

 



 

1 0

1 ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( ) ( log

a a x g x f

x g x f

x g

x f x

g x

f

a

a

 



1 0

1 )

( ) (

) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( ) ( log

a a a x f

a x f

x g

x f N

x f

N N a

(11)

11

TRIGONOMETRIA

ANGOLI

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI ELEMENTARI

FORMULE GONIOMETRICHE

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Teorema dei Triangoli rettangoli e

della corda

a = c sen  = c cos 

b = c sen  = c cos  AB = 2r sen  a = b tg  = b cotg 

b = a tg  = c cotg 

Triangoli qualunque

AREA DEL TRIANGOLO A = 2

1 a b sen  = 2

1 a c sen  = 2

1 b c sen 

TEOREMA DEI SENI r

sen c sen

b sen

a    2

TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT

a

2

= b

2

+ c

2

– 2bc cos  b

2

= a

2

+ c

2

– 2ac cos  c

2

= a

2

+ c

2

– 2ac cos 

g

:

r

 180  :

g

 180

r

  180

g r

 

g = 360-esima parte angolo giro

(12)

12

CALCOLO COMBINATORIO

n fattoriale n! = n·(n-1)·…·1

DISPOSIZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): D n,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)

PERMUTAZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): P n = D n,n = n!

COMBINAZIONI SEMPLICI

( NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI ): C n,k =

DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE

(CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Dr n,k = n k

COMBINAZIONI con RIPETEZIONE

( NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI ): C n,k =

PROBABILITA’

Probabilità di un evento E p(E) =

Probabilità dell’evento contrario E p(E) = 1 – p(E)

Probabilità dell’unione di eventi p(E 1  E 2 ) =

p(E 1 ) + p(E 1 ) – p(E 1  E 2 )

Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E 1  E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 1 )

Probabilità composta di eventi indipendenti p(E 1 E 2 ) = p(E 1 ) · p(E 2 )

Probabilità condizionale p(E/F) =

Probabilità composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) · p(F)

Prova ripetuta n volte

Sia p la probabilità che E si verifichi una volta.

La probabilità che E si verichi k volte su n è

PERCENTUALI

VARIAZIONE PERCENTUALE

CALCOLO DEL VALORE FINALE

PROGRESSIONI

Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e

termine iniziale a

0

. a n = a 0 + (n-1)·d

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica S n =

Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e

termine iniziale a

0

. a n = a 0 ·r n

(13)

13

LOGICA

STATISTICA

CONNETTIVI LOGICI

REGOLE DI DEDUZIONE

Modus Ponens Modus Tollens

Leggi di De Morgan

Frequenza

relativa f = F / T (Frequenza / Totale dati)

Indici di posizione

centrale

Indici di

dispersione

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