FORMULARIO DI MATEMATICA

1

FORMULARIO DI MATEMATICA

Sommario

ALGEBRA ... 2

DISEQUAZIONI ... 5

GEOMETRIA ... 6

GEOMETRIA ANALITICA ... 7

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ... 9

TRIGONOMETRIA ... 11

CALCOLO COMBINATORIO ... 12

PROBABILITA’ ... 12

PERCENTUALI ... 12

PROGRESSIONI ... 12

LOGICA ... 13

STATISTICA ... 13

2

ALGEBRA

INSIEMI NUMERICI

POTENZE

PRODOTTI NOTEVOLI

POTENZA DEL

BINOMIO n! = 1·2· … ·n

SCOMPOSIZIONI

3 EQUAZIONI

DI 1° GRADO

DISEQUAZIO NI DI 1°

GRADO

SISTEMI LINEARI

VALORE

ASSOLUTO

OPERAZIONI CON I RADICALI

RAZIONALIZ ZAZIONI

0 0





 

a a se a

se a a

a a b a

a a

b a

b   

a a b a

a a

b a

b ^{n n m}

n n m

n n m

n m

n m





 





0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile

4 RADICALI

DOPPI

EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE ax

²

+bx+c=0

EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE

Relazione tra coefficienti e

radici e scomposizio

ne ax

²

+bx+c=0

Equazioni binomie

ax

ⁿ

+ c=0

Equazioni

trinomie ax

²ⁿ

+bx

ⁿ

+ c=0 t = x

ⁿ

at

²

+ bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie

a

ac b

b a

x b

2 4 2

2





 





 

a b ac b

a b x

 



 



 





 

 

2

2 4 2

2

a x b

x b

ax x bx

ax  

 







2 2 1

0 0

) (

a x

²

  c

a

x    c se –c/a < 0 

Spuria

Pura

soluz a no

c

a x c

a

c

_n

















 0 0

n pari

n dispari ⁿ

a

x   c

5

DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

DISEQUAZIONI DI GRADO > 2

E FRATTE

Studiare i segni dei fattori ..

0 ) (

0 ) (



 x B

x A

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:

La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S 1 S 2  …

Grafico:

UNIONE DI DISEQUAZIONI

( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) Soluzione S = S 1 U S 2 Grafico:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA (C.E.: A(x)  0)

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO

0 ) (

0 ) ( ) (

) ) (

( 

 





 

x A

x A x A

x x A

A

Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti

Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0

Per le fratte ≥0 solo al Numeratore

6

GEOMETRIA

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di

..)

Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni POLIGONO

DI n LATI

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n – 2)· 180°

ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) =

n n  2 )  180  (

CIRCONFERENZA

Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .

CONVERSIONI MISURE ANGOLI

AREE DI FIGURE PIANE

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

APPLICAZIONI

DEL TEOREMA DI

PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

SOLIDI

L’asse di un corda passa per il centro.

Raggio e retta tangente sono perpendicolari.

L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà dell’angolo al centro corrispondente

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

AH = (AB·AC)/BC

TEOREMA DI PITAGORA:

AB

²

+ AC

²

= BC

²

I° TEOREMA DI EUCLIDE:

AB

²

= BH·BC AC

²

= CH·BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE:

AH

²

= BH·HC

2 l

d  ₂ ³

h  l

Teorema di Eulero

Facce + Vertici – Spigoli = 2

7

GEOMETRIA ANALITICA

DISTANZA e PUNTO MEDIO

TRA 2 PUNTI A(x

1

; y

1

) B(x

2

; y

2

)

Equazione della

RETTA

Coefficiente

Angolare

Parallelismo e Perpendicolarità

Retta passante

per 2 punti A(x

1

; y

1

) B(x

2

; y

2

) Fasci

DISTANZA PUNTO - RETTA

CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA E RETTA

1

'

2

' '

' B y y

A  

1

'

2

' B x x

A  

  

2 1



²

2 1

2

x y y

x

AB    

 

 



  

; 2 2

2 1 2

1

x y y

M x

Intercetta a q   c a

m   b Coeff. angolare q

mx y   Forma esplicita Forma implicita

 0



 bx c ax

1 2

1 2

x x

y m y



 

m m 1 '   '

m m 

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 





)

; ( x

₀

y

₀

A

2

)

2

; (

b a

c by r ax

A

d

^{o o}





 

 0



 bx c ax

 

 



  

; 2 2

b C a

b c c a

r  



 



 

 

 



 







2 2 2

2

2

 2



8 PARABOLA

con asse //

asse y

PARABOLA con asse //

asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Altre equazioni dell’iperbole

a x b

a :   2 



 



    a a F b

4

; 1 2

 

 



 



 a a V b

; 4

2 d y a

4 :   1  

 

 



    a b F a

; 2 4 1 a

y b a :   2

x a

d 4

:   1  

 

 



    a b V a

; 2

4

9

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un solo elemento yB.”

Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :

f : A B ; f : xA  yB; oppure y = f (x)

L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione.

L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione.

FUNZIONI INVERTIBILI

Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A.

Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x  A  y  B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :

f

^-1

: y  B  x  A.

FUNZIONI COMPOSTE

Siano date due funzioni f: x  A  y  B e g: y  C  z  D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B  C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x)  I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD.

Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.

CLASSIFICAZI ONE

CALCOLO DEL DOMINIO

FUNZIONI MONOTONE

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2)

FUNZIONI PARI,

Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x)  x A

Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x)  x A

10 DISPARI

PERIODICHE

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

f(x) = f(x + kT)

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Equazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Disequazioni logaritmiche

) ( )

)

(

( )

(

a f x g x

a

^{f x}



^{g x}

 

0 0 log

) (

) (





 

 N

N N x

f

e impossibil N

a

a x

f

1 0

1 )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ) (

(

^{( )}

) (













 



 a

a x g x

f

x g x

a f a

^{f x g x}

)

0

(

 N  impossibil e N 

a

^{f x}

a

^f(x)

 N   x  R N  0

1 0

1 log

) ( ) (

log ) ( ) ) (

)

(

(













 



 a

a N N x

f x N f

a

a x a

f

 

 













) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( log

x g x f

x g

x f x

g x

f

_a



a

 



 



_N

a

f x a

x N f

x

f ( )

0 ) ) (

( log

 

























 









1 0

1 ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( log ) ( ) ( log

a a x g x f

x g x f

x g

x f x

g x

f

_a

a

 





































1 0

1 )

( ) (

) ( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( ) ( log

a a a x f

a x f

x g

x f N

x f

N N a

11

TRIGONOMETRIA

ANGOLI

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI ELEMENTARI

FORMULE GONIOMETRICHE

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Teorema dei Triangoli rettangoli e

della corda

a = c sen  = c cos 

b = c sen  = c cos  AB = 2r sen  a = b tg  = b cotg 

b = a tg  = c cotg 

Triangoli qualunque

AREA DEL TRIANGOLO A = 2

1 a b sen  = 2

1 a c sen  = 2

1 b c sen 

TEOREMA DEI SENI _r

sen c sen

b sen

a    2







TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT

a

²

= b

²

+ c

²

– 2bc cos  b

²

= a

²

+ c

²

– 2ac cos  c

²

= a

²

+ c

²

– 2ac cos 







_g

:

_r

 180  :





_g

 180 ^{ } 

^r



  180

g r



 

_g = 360-esima parte angolo giro

12

CALCOLO COMBINATORIO

n fattoriale n! = n·(n-1)·…·1

DISPOSIZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): D _n,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)

PERMUTAZIONI SEMPLICI

(CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): P _n = D _n,n = n!

COMBINAZIONI SEMPLICI

( NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI ): C _n,k =

DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE

(CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Dr _n,k = n ^k

COMBINAZIONI con RIPETEZIONE

( NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI ): C _n,k =

PROBABILITA’

Probabilità di un evento E p(E) =

Probabilità dell’evento contrario E p(E) = 1 – p(E)

Probabilità dell’unione di eventi p(E 1  E ₂ ) =

p(E 1 ) + p(E 1 ) – p(E 1  E ₂ )

Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E 1  E ₂ ) = p(E 1 ) + p(E 1 )

Probabilità composta di eventi indipendenti p(E ₁  E ₂ ) = p(E ₁ ) · p(E ₂ )

Probabilità condizionale p(E/F) =

Probabilità composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) · p(F)

Prova ripetuta n volte

Sia p la probabilità che E si verifichi una volta.

La probabilità che E si verichi k volte su n è

PERCENTUALI

VARIAZIONE PERCENTUALE

CALCOLO DEL VALORE FINALE

PROGRESSIONI

Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e

termine iniziale a

0

. a n = a 0 + (n-1)·d

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica S ^{n =}

Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e

termine iniziale a

0

. a n = a 0 ·r ⁿ

13

LOGICA

STATISTICA

CONNETTIVI LOGICI

REGOLE DI DEDUZIONE

Modus Ponens Modus Tollens

Leggi di De Morgan

Frequenza

relativa f = F / T (Frequenza / Totale dati)

Indici di posizione

centrale

Indici di

dispersione