parzialeII 20151130 soluzione

Università degli Studi dell’Aquila

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Industriale, A.A. 2015-2016 II prova parziale di Fisica Generale II – 30/11/2015

Nome Cognome Matricola Crediti

Nel circuito in Figura determinare, in condizioni di regime, a) la carica depositata su ciascun condensatore C1, C2 e C3 (3 punti) e b) la differenza di potenziale VA – VB (2 punti). Ad un certo istante viene aperto

l’interruttore T, dopo quanto tempo la carica su C3 risulta dimezzata? (3 punti). Sapendo che la resistenza

R1 ha sezione S e lunghezza L e che è costituita di un materiale di resistività variabile con la lunghezza x con

legge 𝜌(𝑥) = 𝐾𝑥2+ 𝑍, determinare d) la costante K (2 punti).

Dati: Vo = 1 kV; R1 = 7 k; R2 =3 k; C1 = 1 nF; C2 = 3 nF; C3 =2 nF; S = 0.5 cm2, L = 1 cm, Z = 1 Ωm.

Soluzione

a) In condizione di regime, la d.d.p. ai capi del gruppo di condensatori è 𝑉𝐶 = 𝑖𝑅2= 𝑉0

𝑅1+ 𝑅2 𝑅2 . Il gruppo di condensatori è dato da 2 condensatori in serie, di cui uno è formato da 2 in parallelo.

𝐶 = 𝐶3 𝐶12 𝐶3 + 𝐶12 𝐶12= 𝐶1 + 𝐶2 𝐶 = 4 3 𝑛𝐹 Q = C Vc = 0.4 C Q è la stessa su C3 e C12 Q = Q3 = Q1 + Q2

Inoltre per condensatori in parallelo 𝑄1

𝐶₁ = 𝑄₂ 𝐶₂ cioè 𝑄₁ 𝑄₂= 𝐶₁ 𝐶₂= 1 3 𝑄1 = 1 3 𝑄2 𝑄3 = 𝑄2+ 1 3 𝑄2 = 4 3 𝑄2 Quindi Q3 = 0.4 C Q2 = ¾ Q3 =0.3 C e Q1 = 1/3 Q2 = 0.1 C b) La d.d.p. tra A e B è 𝑉𝐴− 𝑉𝐵 = 𝑖𝑅1+ 𝑄 𝐶12 = 800 V oppure 𝑉𝐴− 𝑉𝐵= 𝑉0− 𝑄3 𝐶3 = 800 V c) Dopo l’apertura dell’interruttore i condensatori si scaricano su R2, con costante di tempo pari a 𝜏 =

𝑅2𝐶 = 4 μs. La legge di scarica del condensatore è:

𝑄′(𝑡) = 𝑄𝑒−𝑡/𝜏

Quindi il tempo t1 in cui si dimezza Q, che è la carica iniziale anche sul singolo condensatore C3, è

dato da: 1 2𝑄 = 𝑄𝑒 −𝑡1/𝜏_{⇒ 𝑡} 1= −𝜏 log 1 2= 2.8 μs.

d) Infine, è possibile ricavare la costante K dalla generica relazione tra R1 e la resistività:

𝑅 = ∫ 𝜌(𝑥) 𝐿 0 𝑑𝑥 𝑆 = ∫ (𝐾𝑥 2_{+ 𝑍)} 𝐿 0 𝑑𝑥 𝑆 = 𝐾𝐿3 3𝑆 + 𝑍𝐿 𝑆 da cui: 𝐾 =3𝑆 𝐿3(𝑅 − 𝑍𝐿 𝑆) =1.02 10 6 _Ω/m