CA 05 Sistemi Elementari

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di Laurea in Ingegneria

Meccatronica

SISTEMI ELEMENTARI DEL 1

o

E 2

o

SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 E 2

ORDINE

CA – 05 Sistemi Elementari

Cesare Fantuzzi (

[email protected]

)

Sistemi elementari

Sistemi elementari del 1

_{e 2}

_ordine:

סּ _{La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può}

essere vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad esempio:

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

סּ _{Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario}

1 u(t)

G(s)

U(s)

Y(s)

סּ _{Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza}

K

stessa moltiplicata per

K

Marzo - Giugno 2011

t

Y

(s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s)

3 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

סּ _{Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all’impulso,}

alla rampa e a tuti i “segnali canonici” (con trasformata di Laplace del tipo

1/s

, i = 1, 2, 3,

סּ Dato: סּ Dato:

Allora la risposta all’integrale di u(t) è data dall’integrale di y(t)

Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via.

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

סּ _{Inoltre, se}

u(0

) = 0, y(0

) = 0

u(t)

la derivata di

y(t)

Quindi ad esempio la risposta all’impulso è la derivata della risposta al gradino (l’impulso può essere interpretato come la derivata del gradino).

Sistemi elementari –

Primo ordine

סּ _{Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di} trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo

τ

סּ La risposta al gradino unitario è data da Marzo - Giugno 2011 00 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y (t ) 6 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari –

Primo ordine

סּ _{Sistema elementare del primo ordine}

סּ _{Per la risposta a gradino, si ha:}

1

סּ _{Cioè il valore iniziale è nullo e la} pendenza (tangente) vale 1/

τ

Marzo - Giugno 2011 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempo (t/tau) y (t ) 7 CA-05-Sistemi Elementari

Risposta di un sistema del

Primo ordine

סּ _{per t =} τ _{la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,} סּ per t = 2 τ il valore è pari all'86,5% del valore di regime,

סּ _{per t = 3}τ _{si raggiunge il 95,0% del valore di regime.}

0.865 0.95 1 0.63 0.865

τ

τ

τ

Sistemi elementari –

Primo ordine

סּ _{Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il}

5% del valore finale.

Per t = 5 τ si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7τ si raggiunge il 99,91

1 0.95

Marzo - Giugno 2011

Per t = 7τ si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille.

0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempo (t/tau) y (t ) 9 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari –

Primo ordine

סּ Al variare di τ varia la velocità di risposta del sistema

סּ _Se τ _T a 0.7 0.8 0.9 1 x x x x x x

σ

ω

σ

Poli più a “sinistra” (

ττττ

corrispondono a

Sistemi elementari –

Primo ordine con zero

סּ _{Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)}

סּ La risposta a gradino è data da

αααα

= 1.5

αααα

= 0.5

Essendo α = T/τ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo

(p = α z) Marzo - Giugno 2011

αααα

= -1

αααα

= 0.5

α

σ

ω

α

α

Sistemi elementari – Secondo ordine

risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine.

Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico è

caratterizzata dalla presenza di una coppia di

poli “dominanti” complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse

x x

j

ω

una coppia di poli (i più vicini all'asse

immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante

di quello degli altri poli. x

x x

Sistemi elementari – Secondo ordine

La risposta al gradino unitario è data dalla relazione

1.4 1.6 1.8 2 dove: Marzo - Giugno 2011 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo (w n * t) y (t ) 13 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _{Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a}

meno di un fattore costante, si può porre nella forma

2

I parametri definiti in precedenza

Marzo - Giugno 2011 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 y (t )

I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:

del

coefficiente di smorzamento

δ

pulsazione naturale

ω

n

δδδδ

δδδδ

14 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _{Posizione dei poli della f.d.t. al variare di}

δ

= cos(

φ

)

Re(s) Im(s) 0

P

= P

p

φ

P

P

P

= P

p

p

p

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ

Caratteristiche della risposta

⇔

poli della f.d.t.

Re(s)

Im(s)

0

p

ω

-

δω

δ

>1

δ

<1

Risposte al gradino

Re(s)

0

p

-

δω

instabile

veloce

lento

transitorio

transitorio

δ

=1

δω

δ

>1

δω

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _{I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità}

del transitorio di un sistema del secondo ordine sono:

0.8 1 1.2 1.4

•Massima sovraelongazione (o massimo

sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale;

normalmente si esprime in % del valore finale.

•Tempo di ritardo T_r: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.

S Marzo - Giugno 2011 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (t) y (t )

il 50% del valore finale.

•Tempo di salita T_s: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.

•Tempo di assestamento T_a: tempo

occorrente perché l'uscita rimanga entro il §

5% del valore finale.

•Istante di massima sovraelongazione T_m: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. T_r T_s T_a T_m 17 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _{Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello}

della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la

Si ottiene

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha

Sistemi elementari –

Secondo ordine

סּ _{Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi}

1.4 1.6 1.8 2 1+e-ππππδδδδ/(1-δδδδ 2 )1/2 Marzo - Giugno 2011 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y (t ) 1+e(-δ ωt) 1-e(-δ ωt) ππππ/(1-δδδδ2)1/2 2ππππ/(1-δδδδ2)1/23ππππ/(1-δδδδ2)1/24ππππ/(1-δδδδ2)1/2 1-e-2ππππδδδδ/(1-δδδδ 2 )1/2 19 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:

In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione

unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale

coefficiente è nullo. 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 δδδδ S %

Sistemi elementari – Secondo ordine

a. Un

limite superiore per T_a si può ricavare da

da cui

Perché il tempo di assestamento sia

Marzo - Giugno 2011

Il prodotto δ ωn è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale σ dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale.

Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato

T

21 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ Il coefficiente di smorzamento δ dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. סּ Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo

assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b’.

Sistemi elementari – Secondo ordine

SISTEMI DEL

SECONDO ORDINE (0 ·

δδδδ

< 1)

Al variare di ω_n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:

1.2 1.4 Risposta al variare di ωωωω n (0.5 - 5) Marzo - Giugno 2011 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (sec) y (t ) NB: il coefficiente di smorzamento è costante (δ = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.

23 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

1.2 1.4 1.6 1.8 2 Risposta (ωωωω = ππππ/2; T = 4) 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Tempo (sec) y (t ) CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _{Se infine si considerano poli:}

1.5 2 2.5 Risposta (ωωωω n = ππππ/2) Marzo - Giugno 2011 0 5 10 15 20 -0.5 0 0.5 1 Tempo (sec) y (t ) 25 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (

δδδδ

¸ 1)

Re(s) Im(s) 0

P

P

x

-

δδδδ ω

ωω

ω

Sistemi elementari – Secondo ordine

סּ _L'equazione

fornisce la risposta per 0 · δ < 1, cioè nel caso in cui il sistema presenti poli complessi coniugati.

Per δ = 1 (poli reali coincidenti) si ha:

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione

Marzo - Giugno 2011 data dalla relazione

Per δ = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo.

0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (w n* t) y (t ) 27 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione

con con Marzo - Giugno 2011 00 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (w * t) y (t ) 28 CA-05-Sistemi Elementari

Sistemi elementari – Secondo ordine

Risposta all’impulso di:

p

= -25

p

= -2

K

= -2.1739

p

= 2.1739

p

p

x

Sistemi elementari – Secondo ordine

Risposta al gradino di:

p

= -25

K

= -0.087

p

_p

x

p

= -25

p

= -2

p

= 0

p

K

= -0.087

K

= -1.087

K

= 1

Sistemi elementari – Secondo ordine

con zero

Sia data la funzione

Si può scrivere:

Da cui

Sistemi elementari – Secondo ordine

con zero

T = 0.2, 1, -0.5

Sommario

סּ

Abbiamo visto:

–

Relazione tra la risposta dei sistemi elementari (primo e

secondo ordine) e locazione dei poli sul piano complesso.

–

Come esercizio alla lavagna abbiamo visto come utilizzare

la retroazione per modificare la posizione dei poli (per

sistemi del primo ordine e del secondo ordine).

sistemi del primo ordine e del secondo ordine).

Assignment 5.1

סּ

Siano date le seguenti specifiche:

–

Ta < 0,3 sec. (sistema del primo ordine)

–

Ta < 0,5 sec. S < 10% (sorpasso percentuale).

סּ

Scrivere in una tabella le specifiche nel domino dei tempi

relativamente a sistemi del primo ordine (tempo di

assestamento) e del secondo ordine (tempo di

assestamento) e del secondo ordine (tempo di

assestamento e massima sovraelongazione) in relazione

ai poli del sistema.

סּ

Disegnare il luogo dei poli nel piano di gauss di un