generalità sulle funzioni

(1)

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- p. 1/24

(2)

Definizioni

Definizione di funzione Rappresentazione e osservazioni Grafico di una funzione Esempio

Immagine Controimmagine Esempi

Funzione composta e inversa Funzioni reali

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- p. 2/24

Definizione di funzione

Siano

A e B due insiemi non vuoti. Una

funzione

(o

mappa

o

applicazione

)

f di A

in

B è una legge che ad ogni elemento di A

fa corrispondere un unico elemento di

B:

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B : y = f (x)

Notazione:

f : A→ B

x7→ f (x)

A

dominio

B

codominio

x

variabile

y

valore

di

f in x

(3)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 3/24

Rappresentazione

Utilizzando i diagrammi di Venn

x

b

c

f

(x)

f

(b)

f

(c)

d

A

f

B

(4)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 3/24

Rappresentazione

Utilizzando i diagrammi di Venn

x

b

c

f

(x)

f

(b)

f

(c)

d

A

f

B

(5)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 4/24

Grafico di una funzione

Sia

f : A → B una funzione

L’insieme

G = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

(6)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 4/24

Grafico di una funzione

Sia

f : A → B una funzione

L’insieme

G = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

si chiama

grafico

di

f

b b b

Esempio di grafico

(7)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 4/24

Grafico di una funzione

Sia

f : A → B una funzione

L’insieme

G = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

si chiama

grafico

di

f

x

f

(x)

(x, f (x))

b b b

Esempio di grafico

(8)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

(9)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

(10)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

Grafico di

f (x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2

(11)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

Grafico di

f (x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

(12)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

Grafico di

f (x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

(13)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

Grafico di

f (x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

0.5

0.25

(14)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 5/24

Esempio

Grafico di

f (x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

0.5

0.25

(15)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

(16)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di

C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

f

B

(17)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di

C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

C

= {a, b}

(18)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di

C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

C

= {a, b}

(19)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di

C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

(C)

f

C

= {a, b}

f (C)

= {f (a), f (b)}

(20)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 6/24

Immagine

Sia

f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f (C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di

C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

(C)

f

C

= {a, b}

f (C)

= {f (a), f (b)}

L’

immagine di

f

è

f (A)

(21)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

(22)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(23)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

■

si considera il dominio

A

(24)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

■

si considera il dominio

A

■

si traccia il grafico di

f

(25)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

f

(A)

■

si considera il dominio

A

■

si traccia il grafico di

f

■

si proietta il grafico sull’asse delle ordinate

(26)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(27)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(28)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

(29)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 7/24

Come si trova l’immagine di una funzione

f : A 7→ R conoscendone il grafico?

f

(A)

(30)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 8/24

Controimmagine

Sia

f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di

D

mediante

f il sottoinsieme di A

(31)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 8/24

Controimmagine

Sia

f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di

D

mediante

f il sottoinsieme di A

f

−1

(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}

a

b

c

d

y

z

w

A

f

B

(32)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 8/24

Controimmagine

Sia

f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di

D

mediante

f il sottoinsieme di A

f

−1

(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

D

f

D

= {y, z}

(33)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 8/24

Controimmagine

Sia

f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di

D

mediante

f il sottoinsieme di A

f

−1

(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

D

f

D

= {y, z}

(34)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 8/24

Controimmagine

Sia

f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di

D

mediante

f il sottoinsieme di A

f

−1

(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

f

−1

(D)

D

f

−1

(D)

= {a, b, d}

D

= {y, z}

(35)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

(36)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

(37)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

conoscendo il grafico di

f : A 7→ R ?

D

(38)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

conoscendo il grafico di

f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme

D nel codominio

(39)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

conoscendo il grafico di

f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme

D nel codominio

■

si proietta

D orizzontalmente

(40)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

conoscendo il grafico di

f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme

D nel codominio

■

si proietta

D orizzontalmente

■

si prende la parte di grafico di

f nella striscia

(41)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 9/24

Come si trova la controimmagine di

D

conoscendo il grafico di

f : A 7→ R ?

D

f

−

1 (D)

■

si considera l’insieme

D nel codominio

■

si proietta

D orizzontalmente

■

si prende la parte di grafico di

f nella striscia

■

la si proietta sull’asse delle ascisse

(42)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

(43)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(44)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(45)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(46)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(47)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(48)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di

f (x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(49)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

_A

: A → A definita da

(50)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

_A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

Esempio: grafico di

idR

x

y

idR : R → R

x

7→

x

(51)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

_A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

successioni in

A: sono le funzioni

a : N → A

Si indicano con

a

₁

,

a

₂

, . . . , a

_n

, . . .

(52)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 10/24

Esempi

applicazione costante: ogni funzione

definita in

A con la proprietà

f (x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

_A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

successioni in

A: sono le funzioni

a : N → A

Grafico: ad esempio

a : N → R

a(n) =

_n+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

b b b b b b b b b b

(53)

Definizioni

Funzione composta e inversa Funzione composta Funzione inversa

Proprietà della funzione inversa Grafico della funzione inversa Funzioni reali

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- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

(54)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(55)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(56)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(57)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) := g f (

x

)

A

f

B

g

C

(58)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) := g

f (x)

A

f

B

g

C

(59)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A→ C

x7→ g ◦ f (x) :=

g f (x)

A

f

B

g

C

(60)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 11/24

Funzione composta

Siano

f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di

f e g la

funzione

g ◦ f : A

→

C

x

7→

g ◦ f (x)

:= g f (x)

A

f

B

g

C

x

f

(x)

g(f (x))

g ◦ f

(61)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 12/24

Funzione inversa

Se ogni elemento di

B è il corrispondente di

esattamente un elemento di

A, cioè se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

(62)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 12/24

Funzione inversa

Se ogni elemento di

B è il corrispondente di

esattamente un elemento di

A, cioè se

∀

b ∈ B

∃ ! a ∈ A : f (a) = b

A

f

B

(63)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 12/24

Funzione inversa

Se ogni elemento di

B è il corrispondente di

esattamente un elemento di

A, cioè se

∀ b ∈ B ∃ !

a ∈ A

: f (a) = b

A

f

B

a

(64)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 12/24

Funzione inversa

Se ogni elemento di

B è il corrispondente di

esattamente un elemento di

A, cioè se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A :

f (a) = b

A

f

B

a

(65)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 12/24

Funzione inversa

Se ogni elemento di

B è il corrispondente di

esattamente un elemento di

A, cioè se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

si può considerare la

funzione inversa di

f

−1

: B 7→ A

che associa ad ogni

b quell’unico elemento

a ∈ A tale che f (a) = b

A

f

B

f

−

1 a

= f

−

1 (b)

(66)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 13/24

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

(67)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 13/24

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x = f

−1

(y)

⇐⇒

f (x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f ◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

(68)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 13/24

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x = f

−1

(y)

⇐⇒

f (x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f ◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

(69)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 13/24

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x = f

−1

(y)

⇐⇒

f (x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f ◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

■

anche

f

−1

è biiettiva

(70)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

b b b b b b b b b b b b

(71)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi

(72)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

(73)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Consideriamo

ad

esempio

il

grafico

della

seguente

(74)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Consideriamo

ad

esempio

il

grafico

della

seguente

fun-zione

invertibile

e

operiamo la simmetria

rispetto alla bisettrice

(75)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

(76)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

gra-fico di

f individuiamo il

suo simmetrico rispetto

all’asse di simmetria

(77)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

gra-fico di

f individuiamo il

suo simmetrico rispetto

all’asse di simmetria

(78)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(79)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(80)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(81)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(82)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(83)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(84)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

(85)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

b b b b b b b b b b b

b

Se facciamo questo per

ogni punto del grafico

di

f otteniamo il grafico

della funzione inversa

(86)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 14/24

Grafico della funzione inversa

Se

f è invertibile allora

y = f (x) ⇐⇒ x = f

−1

(y)

quindi il grafico di

_f

−1

si può ottenere da

quello di

f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di

f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

y

x

= f

−1

(y)

Grafico di

f

−1

(87)

Definizioni

Funzioni reali di variabile reale Somma, prodotto e quoziente Funzioni pari

Funzioni dispari Funzioni monotone

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 15/24

Funzioni reali di variabile reale

Le

funzioni reali di una variabile reale

f : A 7→ R

hanno come dominio e codominio dei

sottoinsiemi di R

(88)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 16/24

Somma, prodotto e quoziente

Siano

f : A → R e g : B → R

Si definiscono le funzioni

somma di

f e g

e

prodotto di

f e g

nel seguente modo

f + g : A ∩ B → R

x 7→ (f + g)(x) := f (x) + g(x)

f · g : A ∩ B → R

(89)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 17/24

Nel caso del

quoziente di

f e g

dobbiamo

(90)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 17/24

Nel caso del

quoziente di

f e g

dobbiamo

assicurarci che

g(x) sia diverso da 0

La funzione quoziente sarà allora definita

come

f /g : A ∩ B ∩

x : g(x) 6= 0 → R

x 7→

f

g

(x) :=

f (x)

g(x)

(91)

Definizioni

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- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

(92)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

(93)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Esempio:

f (x) = x

4 − 4x

2 + 3

(94)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Esempio:

f (x) = x

4 − 4x

2 + 3

(95)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Esempio:

f (x) = x

4 − 4x

2 + 3

f (−x) = (−x)

4 − 4(−x)

2 + 3

= x

4 − 4x

2 + 3

(96)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Esempio:

f (x) = x

4 − 4x

2 + 3

f (−x) = (−x)

4 − 4(−x)

2 + 3

= x

4 − 4x

2 + 3 = f (x)

(97)

Definizioni

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Generalità sulle funzioni

- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Esempio:

f (x) = x

4 − 4x

2 + 3

f (−x)

= (−x)

4 − 4(−x)

2 + 3

= x

4 − 4x

2 + 3 =

f (x)

(98)

Definizioni

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- p. 18/24

Funzioni pari

Una funzione

f : R → R si dice

pari

se

f (−x) = f (x) per ogni x ∈ R

Se

f è pari i punti

(x, f (x))

e

(−x, f (x))

appartengono entrambi al grafico

(99)

Definizioni

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