1. Integrazione di funzioni razionali fratte
Si supponga di voler calcolare un integrale del tipo: dxx Q x P ⌡ ⌠ ) ( ) (
(ove P(x) e Q(x) sono polinomi nell’indeterminata x di grado assegnato). Supponiamo che:
P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
Q(x) = bkxk+ bk−1xk−1 + … + b1x + b0
I coefficienti aie b i appartengano al campo reale e an e bk siano diversi da zero in modo da non
abbassare il grado dei polinomi. Si possono presentare tre casi:
gr(P(x)) > gr(Q(x)); gr(P(x)) = gr(Q(x)); gr(P(x)) < gr(Q(x)).
1.1. I Caso: gr(P(x)) > gr(Q(x))
Per poter calcolare l'integrale si esegue la divisione tra i polinomi P(x) e Q(x) e si sostituisce il risultato nell’integrale stesso.
Esistono due metodi per eseguire la divisione tra polinomi: - I metodo: si esegue l’usuale divisione.
- II metodo: si utilizza il principio di identità dei polinomi. Esempio Sia
⌡ ⌠ + + dx x x x 1 3 2 2 3
Si noti che gr(P(x)) = 3 (grado del polinomio al numeratore) e che gr(Q(x)) =2 (grado del polinomio a denominatore).
Si può eseguire la divisione:
x3 + 3x2 x2 + 1 −x3 −x x + 3 quoziente 0 + 3x2 −x − 3x2 −3 −x −3 resto e risulta: 1 3 3 1 3 2 2 2 3 + − − + + = + + x x x x x x e quindi : c x x x x x dx x xdx x x dx x x dx x dx x x x + − + − + = = ⌡ ⌠ + − ⌡ ⌠ + − + = ⌡ ⌠ + − − + + = ⌡ ⌠ + +
∫
arctg 3 ) 1 log( 2 1 3 2 1 3 1 2 2 1 3 2 1 3 ) 3 ( 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3Si perviene al medesimo risultato utilizzano il principio di identità dei polinomi.
(
( ))
(
( ))
( 3 ) ( 1) 3 2 1 ) ( ) ( = − = 3− 2 − 2− = − = x gr x x gr x Q gr x P gr x Q x P gril polinomio può essere riscritto nel modo seguente:
1 1 3 2 2 2 3 + + + + = + + x d cx b ax x x x
ove: ax + b è il polinomio quoziente e cx + d è il resto della divisione. Eguagliando ambo i membri, si ricava:
x3 +3x2 = (ax + b)(x2 + 1) + cx + d
Da cui si può determinare il valore di a, b, c, e d, imponendo l’eguaglianza tra il polinomio del I membro e quello del II membro. Si ricava:
x3 +3x2 = ax3 + ax + bx2 + b + cx + d ≡ ax3 + bx2 + (a + c)x + b + d Da cui: = + = + = = 0 0 3 1 d b c a b a − = − = = = 3 1 3 1 d c b a
Sostituendo i valori trovati si perviene allo stesso risultato ottenuto prima: 1 3 3 1 3 2 2 2 3 + − − + + = + + x x x x x x
1.2. II Caso: gr(P(x)) = gr(Q(x))
In questo caso non si segue una regola ben definita: le operazioni da eseguire dipendono dai polinomi in gioco; è comunque possibile eseguire ancora la divisione tra polinomi.
Esempio: c x x x dx dx x x dx x x dx x x dx x x + − + = = ⌡ ⌠ − + ⌡ ⌠ − − = ⌡ ⌠ − + − = ⌡ ⌠ − = ⌡ ⌠ − 1 2 log 4 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1.3. III Caso: gr(P(x))< gr(Q(x))
Va ricordato che il Teorema Fondamentale dell’Algebra afferma che un polinomio di grado n
ammette esattamente n radici nel campo complesso; tale proprietà verrà sfruttata per decomporre il polinomio Q(x) in fattori primi irriducibili.
Le radici di Q(x) possono essere o reali o complesse coniugate (a due a due), con molteplicità maggiore o uguale a uno.
Supponiamo che il polinomio Q(x) ammetta la seguente decomposizione:
(
) (
)
(
)
(
) (
)
j k r j j r m k m m q x p x q x p x x x x k x Q( )= −α1 1 −α2 2... −α 2+ 1 + 1 1... 2+ +dove α1, ..., αk sono radici reali e i polinomi x2 +ph x + qh corrispondono alle coppie di radici
complesse coniugate.
Gli “ordini di molteplicità” sono: m1, m2,…, mkper le radici reali, r1, r2,…, rjper le radici complesse
coniugate, e devono soddisfare alla relazione:
m1 + m2 +…+ mk + 2r1 +2r2 +…+ 2rj = n (grado di Q(x)).
Per semplicità considereremo in modo differente i casi relativi a radici reali distinte, a radici complesse coniugate e i casi con radici reali o complesse coniugate con molteplicità maggiore di uno.
1.3.1. Radici reali distinte
Si cercano le radici di Q(x). Il denominatore della frazione si può decomporre nel seguente modo:
(
x)(
x) (
x k)
k x
Q( )= −α1 −α2 ... −α Le radici: α1, ..., αk sono per ipotesi reali e distinte di molteplicità uno.
Si cerca di scrivere la funzione integranda nel seguente modo:
k k k x A x A x x x P x Q x P α − + + α − = α − α − = ... ) )...( ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1
ove A1, A2,…, Ak sono costanti reali da determinare in base ai polinomi assegnati.
Per determinare il valore delle costanti A1, A2,…, Ak ci si avvale di due metodi distinti e fra di loro equivalenti:
I Metodo: Passaggio al limite.
Moltiplicando di volta in volta ambo i membri per x − αh(h = 1, 2, …, k), si ottiene:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k h k h h h h h k h x x A x x A x x A x x A x x x P x α − α − + + α − α − + α − α − + α − α − = α − α − α − ... ... ) )...( ( ) ( 2 2 1 1 1Ripetendo questa operazione per tutte le radici si ottengono k limiti da calcolare separatamente:
(
)
h h x A x Q x P x h = α − α → ( ) ) ( limTale relazione deve valere per ogni scelta di h = 1, 2, …, k. Si osservi che di volta in volta al denominatore manca il termine x − αh.
Dal calcolo dei limiti così ottenuti, si ricava il valore delle costanti
A1, A2,…, Ak.
Esempio 1 Calcolare il seguente integrale: ⌡ ⌠ + − + dx x x x 6 5 3 2
Si cercano le radici del polinomio a denominatore
Q(x) = x2 − 5x + 6 = 0 x1 = 3 e x2 = 2 x2 − 5x + 6 =(x − 2)(x − 3) Quindi si identifica la funzione integranda con la seguente:
2 3 6 5 3 2− + = − + − + x B x A x x x
Moltiplicando ambo i membri per (x − 3) si ottiene:
(
)
2 ) 3 ( 3 ) 3 ( 6 5 3 ) 3 ( 2 − − + − − = + − + − x x B x x A x x x x 2 ) 3 ( 2 3 − − + = − + x x B A x xEseguendo il passaggio al limite, si ricava:
− − + = − + → → 2 ) 3 ( lim 2 3 lim 3 3 x x B A x x x x ossia: A = 6.
Moltiplicando ora per (x − 2) ambo i membri si ricava:
(
)
2 ) 2 ( 3 ) 2 ( 6 5 3 ) 2 ( 2 − − + − − = + − + − x x B x x A x x x x B x x A x x + − − = − + 3 ) 2 ( 3 3Eseguendo il passaggio al limite, si ottiene:
+ − − = − + → → x B x A x x x x 3 ) 2 ( lim 3 3 lim 2 2 ossia: B = – 5.
Si può ora procedere al calcolo dell’integrale:
⌡ ⌠ − − ⌡ ⌠ − = ⌡ ⌠ − + − = ⌡ ⌠ + − + dx x dx x dx x B x A dx x x x 2 5 3 6 2 3 6 5 3 2
Si ottengono così due integrali che ammettono come primitive delle funzioni di tipo logaritmico.
II Metodo: Mediante il principio di identità dei polinomi.
Questo metodo permette di calcolare tutte le costanti A1, A2,…, Ak in blocco, senza ricorrere al
calcolo di k limiti separatamente, ma mediante la risoluzione di un sistema lineare di k equazioni in
k incognite.
Supponiamo che la funzione integranda si possa scrivere nel seguente modo:
k k x A x A x A x Q x P α − + + α − + α − = ... ) ( ) ( 2 2 1 1
Si esegue la somma dei termini a secondo membro e si ricava:
(
) (
)
[
]
[
(
) (
)
]
(
) (
k)
k k x x x x A x x A x Q x P α − α − + α − α − + α − α − = ... .... ... ... ) ( ) ( 1 1 2 2 1È possibile eliminare i denominatori in quanto uguali. Si ottiene:
(
) (
)
[
]
(
)(
) (
)
[
]
(
)(
) (
)
[
1 2 1]
3 1 2 2 1 ... ... ... ... ) ( − α − α − α − + + + α − α − α − + + α − α − = k k k k x x x A x x x A x x A x PPer il principio di identità dei polinomi, si ottiene un sistema di k equazioni nelle k incognite A1, A2,…, Ak.
Esempio 2: Metodo alternativo per calcolare il valore dell’integrale presentato nell’esempio 1.
x1 = 3 e x2 = 2 x2 − 5x + 6 =(x − 2)(x − 3) Quindi si cerca di soddisfare alla relazione:
2 3 6 5 3 2− + = − + − + x B x A x x x
Svolgendo la somma al secondo membro, e eliminando i denominatori si ottiene:
x + 3 = A(x − 2) + B(x − 3)
da cui, applicando il principio di identità dei polinomi, si costruisce il seguente sistema lineare di due equazioni nelle due incognite A e B:
= − − = + 3 3 2 1 B A B A = − + − − = 3 3 2 2 1 B B B A − = − = 5 1 B B A − = = 5 6 B A
Come era da aspettarsi, si ottengono gli stessi valori per le costanti A e B.
Una volta calcolati A e B, si può procedere al calcolo dell’integrale come nell’esempio 1.
1.3.2. Radici complesse coniugate
Come nel caso precedente si decompone il denominatore Q(x) in fattori primi irriducibili, andando a cercare le radici del polinomio.
Il denominatore della frazione si può decomporre nel seguente modo:
(
x p x q) (
x pjx qj)
k x
Q( )= 2+ 1 + 1... 2+ +
Il polinomio Q(x) ammette, in tal caso, j radici complesse e le j radici complesse coniugate del tipo:
β − α = β + α = 1 1 1 1 1 1 i x i x ; … ; β − α = β + α = j j j j j j i x i x
La funzione integranda diventa si può scrivere nella forma:
(
)
(
)
+ + + + + + + + = j j j j q x p x B x A q x p x B x A k x Q x P 2 1 1 2 1 1 ... ) ( ) (ove le Ah e Bh sono costanti reali da determinare utilizzando il principio di identità dei polinomi.
Si osservi che a numeratore appaiono polinomi di I grado e non più delle costanti come nel caso precedente.
Esempio 3: Calcolare il valore del seguente integrale:
⌡ ⌠ + + + dx x x x x ) 1 ( 3 2 2 2
Le radici del polinomio a denominatore sono:
x1 = 0; x2,3 = ±i; Cerchiamo di scrivere il rapporto nella forma:
1 ) 1 ( 3 2 2 2 2 + + + = + + + x C Bx x A x x x x
x2 + 3x + 2 = A(x2 + 1) + x(Bx + C) da cui: x2 + 3x + 2 = Ax2 + A + Bx2 + Cx = (A + B) x2 + Cx + A = = = + 2 3 1 A C B A = − = = 3 1 2 C B A
e quindi la funzione integranda si scrive:
1 1 3 2 1 3 2 ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 2 + − + + = + + − + = + + + x x x x x x x x x x x
Tornando all’integrale di partenza si ottiene:
⌡ ⌠ + − ⌡ ⌠ + + ⌡ ⌠ = ⌡ ⌠ + + + 1 1 3 2 ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 x xdx x dx dx x dx x x x x
Si ottengono così tre integrali facilmente calcolabili. 1.3.3. Radici dotate di molteplicità
Si decompone ancora in fattori primi il polinomio Q(x) al denominatore. Si cercano le radici del polinomio:
(
) (
)
(
)
(
) (
)
j k r j j r m k m m q x p x q x p x x x x k x Q( )= −α1 1 −α2 2... −α 2+ 1 + 1 1... 2+ + dove r1, r2, …, rj, m1, m2,…, mkrappresentano gli “ordini di molteplicità” delle radici trovate (reali o complesse coniugate). La funzione integranda si può riscrivere nel seguente modo:
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
...(
)
... ... ... ... ) ( ) ( 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 12 12 1 1 2 11 11 2 2 2 2 22 2 21 1 1 2 1 12 1 11 + + + + + + + + + + + + + + + + α − + + α − + α − + α − + + α − + α − = r r r m m m m q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B x A x A x A x A x A x A x Q x Pdove le varie costanti reali Ah, Bt, Cs vanno determinate mediante il principio di identità dei
polinomi. Esempio 4: Calcolare
(
)
⌡ ⌠ −12 x x dxLe radici del polinomio al denominatore sono 3:
x =0 ; e x =1 con molteplicità 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + = − x x Cx x Bx x A x C x B x A x xLe potenze del denominatore (x−1) si ripetono fino a raggiungere l'ordine di molteplicità. Quindi: 1 = (A + B) x2+ (−2A−B + C) x + A = = − − = + 1 0 2 0 A B A C B A = − = = 1 1 1 C B A
quindi l’integrale si può riscrivere nel seguente modo
(
)
⌡(
)
⌠ − + ⌡ ⌠ − − ⌡ ⌠ = ⌡ ⌠ −12 1 x 12 dx x dx x dx x x dx Esempio 5: Calcolare ⌡ ⌠ + + + dx x x x x 3 5 2 4 4 2 È gr(Q(x)) > gr(P(x)).Per decomporre tale frazione bisogna determinare le radici del polinomio al denominatore 0 4 4x5+ x3+x= x(4x4 + 4x2 + 1) = 0 x(2x2 + 1)2 = 0 Le radici sono : x =0 ; e 2 2 i
x=± ognuna con ordine di molteplicità 2
si hanno 4 radici complesse e 1 radice reale.
Per il teorema di decomposizione dei polinomi la funzione integranda si può scrivere nel modo seguente:
(
2)
2 2 3 5 2 1 2 1 2 4 4 2 + + + + + + = + + + x E Dx x C Bx x A x x x x x2 + 2 = A(2x2 + 1)2 + (Bx + C)x(2x2 + 1) + (Dx + E)x x2 + 2 = (4A + 2B) x4+ 2Cx3 + (4A +B +D) x2+ (C + E) x + Ada cui si ricava il sistema lineare nelle incognite A, B, C, D, E:
= = + = + + = = + 2 0 1 4 0 2 0 2 4 A E C D B A C B A = − = = − = = 0 3 0 4 2 E D C B A
Quindi la frazione si può scrivere come somma di frazioni, nel modo seguente:
(
2)
2 2 3 5 2 1 2 3 1 2 4 2 4 4 2 + − + − = + + + x x x x x x x x x1.4. Teorema di decomposizione dei polinom
i
N.B. La tecnica di decomposizione dei polinomi non è finalizzata all’integrazione, ma può essere usata ogni volta che si ha a che fare con il quoziente di due polinomi che rispettino le ipotesi esposte.
Siano P(x) e Q(x) polinomi reali con coefficienti reali e tali che
gr(P(x))< gr(Q(x)).
Se il polinomio Q(x) si può fattorizzare nel seguente modo:
(
) (
)
(
)
k(
) (
)
rj j j r m k m m q x p x q x p x x x x k x Q( )= −α1 −α2 ... −α 2+ 1 + 1 1... 2+ + 2 1 risulta che :r1, r2,…, rj, m1, m2,…, mk sono gli ordini di molteplicità delle radici del polinomio Q(x).
m1 + m2 +…+ mk +2(r1 + r2 +…+ rj) = gr(Q(x)).
α1 ,α2 ,...,αk sono le radici reali dell’equazione Q(x)=0
x2 + p1x + q1, …, x2 + pjx + qj sono polinomi di secondo grado irriducibili nel campo reale,
ossia ammettono due radici complesse coniugate. Il rapporto ) ( ) ( x Q x P
si può esprimere come somma di frazioni parziali nel seguente modo:
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
coniugate complesse radici di coppia ogni per 2 2 2 2 2 2 1 1 reale radice ogni per 2 2 1 ... .... ... ) ( ) ( + + + + + + + + + + + + + + + α − + + α − + α − = k k k h h r k k kr kr k k k k k k k k m h hm h h h h q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B x A x A x A x Q x Pove le costanti reali A, B, C si determinano mediante il principio di identità dei polinomi.
Esempio. Calcolare la primitiva del seguente integrale: dx x x x ⌡ ⌠ + + 2 2 2 2 ) 1 ( 2 .
Siccome gr(x2 + 2)=2 e gr[x2(x2 + 1)2] =6, siamo nelle condizioni di poter applicare il teorema precedente.
I passo. Calcolo delle radici di x2(x2 + 1)2 = 0. Si ricava:
x1 = 0 con molteplicità 2,
x2 = i con molteplicità 2,
x3 = −i con molteplicità 2.
II passo. Cerchiamo di scrivere la funzione integranda nella seguente forma:
coniugate radicicomplesse alle corrispondente parte 2 2 2 reali radici alle ente corrispond parte 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 + + + + + + + = + + x F Ex x D Cx x B x A x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) ( ) 1 )( ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 + + + + + + + + + = + + x x x F Ex x D Cx x x B x Ax x x x
III passo: uguaglianza tra i numeratori;
x2 + 2 = x5(A + C) + x4(B + D) + x3(2A + C + E)+x2(2B + D + F)+ Ax + B IV passo: per il principio di identità dei polinomi si ottiene il sistema
= = = + + = + + = + = + 2 0 1 2 0 2 0 0 B A F D B E C A D B C A − = = − = = = = 1 0 2 0 2 0 F E D C B A
quindi la funzione integranda si può scrivere nella forma:
2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 1 2 2 ) 1 ( 2 + − + − = + + x x x x x x
pertanto l'integrale di partenza diviene:
⌡ ⌠ + − ⌡ ⌠ + − ⌡ ⌠ = ⌡ ⌠ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 2 ) 1 ( 2 x dx x dx x dx dx x x x
I primi due integrali sono facilmente calcolabili e corrispondono rispettivamente alle funzioni
x 2 − e
−2arctg x, mentre per il terzo integrale bisogna dapprima ricorrere al metodo di sostituzione e poi all'integrazione per parti, infatti posto x = tg u si ricava
u du dx 2 cos = per cui: ⌡ ⌠ + 2 2 1) (x dx 2 cos sen 2 1 ) sen ( cos cos2udu= ud u = us u+u
