• Allegato Esercizi . • Ruffini . • Scomposizioni di polinomi in fattori . • M.C.D e m.c.m . • Operazioni tra monomi e polinomi . • Monomi e polinomi . • Nozioni generali. Insiemi. Unione ed intersezione. Concetto di numeri reali. 1^ Lezione

(1)

1^ Lezione

• Monomi e polinomi .

• Operazioni tra monomi e polinomi .

• M.C.D e m.c.m .

• Scomposizioni di polinomi in fattori .

• Ruffini .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .

• Nozioni generali. Insiemi. Unione ed intersezione. Concetto di numeri reali.

(2)

NOZIONI GENERALI

Introduzione

Il linguaggio della matematica, come ogni altro linguaggio, si articola in proposizioni. Alcune di esse servono a formulare nuovi concetti ( oltre a quelli assunti come primitivi ) e sono dette definizioni mentre altre proposizioni vengono dedotte dalle definizioni e dagli assiomi e sono dette teoremi.

INSIEMI

Una nozione primitiva fondamentale è la nozione di insieme di oggetti ( di natura qualsiasi).

A volte invece di insieme si usano dei sinonimi come collezione, famiglia, classe, sistema, ecc.. Anziché oggetto si usa anche il termine ente e con significato più tecnico punto.

Di solito, ma non necessariamente, indichiamo gli insiemi con lettere maiuscole e i loro elementi con lettere minuscole.

Per indicare che un oggetto a è elemento dell’insieme A scriveremo a ∈ A ( si legge : a appartiene ad A ) .

Il simbolo ∈ è detto simbolo di appartenenza.

Se l’oggetto b non è elemento dell’insieme A scriveremo b ∉ A ( si legge b non appartiene ad A ).

Per indicare che l’insieme A ha come elementi a, b, c, ... scriveremo A =

{

a, b, c, ...

}

In particolare

{

^a

}

è l’insieme avente come unico elemento a.

L’insieme i cui elementi sono a e b può essere indicato indifferentemente con

{

^{a , b}

}

oppure con

{

^{b , a}

}

^.

Considerando insiemi formati da due elementi a e b , se teniamo conto dell’ordine in cui gli elementi si considerano, parleremo di coppia ordinata ( a , b ) se si vuole che il “ primo elemento ” sia a e il “secondo” b e ( b , a ) in caso contrario.

(3)

Oltre la nozione di insieme un’altra nozione che assumeremo come primitiva è la nozione di numero naturale che deriva dal procedimento intuitivo del contare e che porta poi alla nozione di numero reale.

Ricorderemo per gli insiemi numerici fondamentali :

N è l’insieme dei numeri naturali 1,2,3,4,5,....

Z è l’insieme di tutti i numeri (relativi) interi Q è l’insieme di tutti i numeri razionali R è l’insieme di tutti i numeri reali C è l’insieme di tutti i numeri complessi

Se A e B sono due insiemi e ogni elemento dell’insieme A appartiene anche all’insieme B, e cioè :

a ∈ A ⇒ a ∈ B ( ⇒ significa implica che , ne consegue che )

si dice che A è contenuto in B o che A è un sottoinsieme di B e si scrive A ⊆ B

e allo stesso modo si può dire che B contiene A e scrivere : B ⊇ A

⊆ , ⊇ sono detti simboli di inclusione.

E’ evidente che qualunque sia l’insieme A A ⊆ A

Molto spesso la rappresentazione di un insieme è caratterizzata nel seguente modo :

A è sottoinsieme di un insieme B e i suoi elementi sono tutti e solo quelli che godono di una certa proprietà p :

A =

{

x ∈ B : p(x)

}

che significa : l’insieme A composto da tutti gli elementi appartenenti all’insieme B tali che soddisfino alla proprietà p.

(4)

Introduciamo la nozione di insieme vuoto : insieme privo di elementi. L’insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme e viene rappresentato dal simbolo ∅.

Esempi :

1) L’insieme

{

^x^∈^{N x}^: ^≥⁴

}

è l’insieme dei numeri naturali 4,5,6,....

2) L’insieme

{

^x ^∈^{Z x}^: ² ⁼¹

}

⁼^{⁻^{1 ,}¹

}

3) L’insieme {x ∈ Z : x²= 3

}

⁼^∅

Se due insiemi A e B sono costituiti dagli stessi elementi diremo che sono uguali e scriveremo :

A = B

E’ peraltro ovvio che :

A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊇ A.

La negazione di A = B si scrive A ≠ B .

Se A ⊆ B e A ≠ B esiste almeno un elemento appartenente a B e non appartenente ad A ; diremo allora che A è un sottoinsieme proprio di B e scriveremo A ⊂ B o B ⊃ A .

⊂ , ⊃ sono simboli di inclusione propria .

Esempi :

1) A =

{

^{1 , 2}

}

1 ∈ A ,

{

¹

}

^⊆^A

2) C =

{ {

¹

}

^,

{

^{1 , 2}

} }

1 ∉ C ,

{

¹

}

^{∈ C ,}

3) D =

{

^{1 ,}

{

¹

}

^{, 3}

}

1 ∈ D ,

{

¹

}

^{∈ D ,}

(5)

UNIONE E INTERSEZIONE

Si dice unione di due insiemi A e B l’insieme che ha per elementi sia quelli di A che quelli di B ; viene indicato col simbolo :

A U B ( A unione B )

Si dice intersezione di due insiemi A e B l’insieme che ha per elementi quelli che appartengono sia ad A che a B ; viene indicato col simbolo

A I B ( A intersezione B )

Se A e B non hanno elementi in comune si dicono insiemi disgiunti ; in tal caso

A I B = ∅

Riassumendo abbiamo :

implicazione : P ⇒ Q si legge P implica Q, oppure se P allora Q equivalenza logica : P ⇔ Q si legge P equivale a Q

quantificatori : ∀ , ∃ si legge “ per ogni “ ed “ esiste “

Ricordiamo che la negazione di tali concetti avviene mediante lo sbarramento ( / ) . Quindi avremo che :

P non implica Q , P /⇒ Q P non equivale a Q, P ⇔/ Q per nessun, non esiste, ∀/ , /∃

(6)

CONCETTO DI NUMERI REALI .

Uno dei concetti di tutta la matematica è quello di numero.

In aritmetica si introducono prima di tutto i numeri interi, 1, 2, 3, ... e si definiscono poi le operazioni elementari di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione da eseguirsi tra essi.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione con numeri interi sono sempre possibili ; invece quelle di sottrazione e divisione non si possono sempre eseguire e ciò porta poi alla introduzione , come estensione del concetto di numero, dello zero ( elemento neutro ), dei numeri frazionari e dei numeri relativi ( positivi e negativi ).

I numeri interi e frazionari, positivi e negativi e lo zero si dicono numeri razionali e il loro insieme prende il nome di campo razionale.

La proprietà principale dei numeri razionali consiste nel poter eseguire tutte le operazioni elementari possibili ( ad eccezione della divisione per lo zero ) che portano poi come risultato ad un ulteriore numero razionale.

Per questo motivo le operazioni elementari si dicono anche operazioni razionali.

Ora i problemi nascono quando si vanno a considerare altre operazioni oltre a quelle elementari . Come esempio si può prendere l’estrazione di radice quadrata , operazione che non rientra nel campo razionale.

Infatti la radice quadrata di 2 non è un numero razionale, cioè non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2 . Se esistesse infatti tale numero razionale, lo potremo rappresentare sotto forma di frazione r

s con r ed s primi fra loro. Allora evidentemente avremmo r

s

2

2 = 2 , il che chiaramente è assurdo , in quanto essendo r e s primi fra loro anche r² ed s² lo sono e ciò porta alla non divisibilità di r² per s².

Da tutte queste considerazioni risulta evidente la necessaria introduzione di nuove operazioni , oltre quelle razionali che necessitano altresì di nuovi numeri.

Diremo allora che si esegue una sezione o un taglio nel campo razionale quando si distribuiscono tutti i numeri razionali in due classi A₁, A₂ in modo che :

1) Ogni numero razionale appartenga all’una o all’altra classe ;

2) Ogni numero della prima classe sia minore di ogni numero della seconda.

(7)

La sezione viene rappresentata col simbolo ( A₁, A₂ ).

Quando nella classe A₁ vi è un numero maggiore di tutti gli altri della stessa classe, esso si dice il massimo della classe A₁ ; e quando nella classe A₂ vi è un numero minore di tutti gli altri di A₂, esso si dice il minimo della classe A₂.

Non può mai verificarsi il caso che contemporaneamente la classe A₁ possegga il massimo e la classe A₂ possegga il minimo ; infatti, se in A₁vi fosse un massimo m₁ e in A₂ un minimo m₂, sarebbe per la proprietà 2) m₁< m₂ e allora un numero razionale qualunque compreso fra m₁ ed m₂ non troverebbe posto nella classe A₁ poiché maggiore di m₁ e neppure nella classe A₂ perché minore di m₂, contrariamente all’ipotesi che le due classi contengano tutti i numeri razionali.

Ecco allora che le sezioni del campo razionale possono essere soltanto di due specie : 1) la prima classe possiede il massimo oppure la seconda possiede il minimo

2) né la prima classe possiede il massimo, né la seconda possiede il minimo

Quando la classe A₁ di una sezione del campo razionale ammette il massimo oppure la classe A₂ ammette il minimo, questo massimo o questo minimo è un numero razionale maggiore di tutti i rimanenti numeri della classe A₁ e minore di tutti i rimanenti numeri della classe A₂ ; esso si dice perciò elemento di separazione delle due classi.

Quando invece la classe A₁ non ammette il massimo e la classe A₂ non ammette il

minimo, non esiste alcun numero razionale che sia maggiore di tutti i numeri di A₁ e sia minore di tutti i numeri di A₂ : in questo caso si dice che le due classi definiscono un numero irrazionale , che si assume come elemento di separazione delle due classi.

Con questa definizione, ad ogni sezione del campo razionale corrisponde un elemento di separazione, il quale è un numero razionale se la classe A₁ ha il massimo o la classe A₂ ha il minimo ed è un numero irrazionale se la classe A₁ non ha il massimo e la classe A₂ non ha il minimo.

Tanto i numeri razionali che irrazionali si dicono numeri reali e il loro insieme costituisce il campo dei numeri reali, che si dice anche campo reale .

Possiamo dunque concludere che i numeri reali sono quelli individuati dalle sezioni del campo razionale come elementi di separazione delle coppie di classi determinate dalle sezioni stesse.

(8)

MONOMI E POLINOMI

Si dice monomio quell’espressione algebrica che esprime il prodotto tra una parte numerica, detta coefficiente, ed una parte letterale ( indicata per l’appunto da lettere minuscole

dell’alfabeto ).

Es.

(

⁻²x y z ; ² ³

) (

⁺⁵^xyt⁴

)

Due o più monomi si dicono simili se e solo se hanno la stessa parte letterale ( intesa anche come esponenti ).

Es.

(

⁺¹²x y ; ³

) (

⁻³x y monomi simili³

)

−

 



4 7

xyt4 ;

(

⁻²xy t monomi non simili²

)

Per grado di un monomio intendiamo la somma algebrica degli esponenti della sua parte letterale.

Es.

(

⁴^{x y z}⁴ ² ⁵

)

^→ monomio di 11° grado ( 4+2+5 )

(

⁻²y z ⁶

)

→ monomio di 7° grado ( 6+1 )

Ricordiamo che una lettera priva di esponente è da considerarsi di esponente 1. ( z¹ = z )

L' espressione algebrica ( intesa come somma o differenza ) definita da due o più monomi costituisce quello che chiamiamo polinomio.

Es.

(

⁺⁴^xy³⁻³^{y z}⁴ ⁺⁵^x²

)

;

(

⁵^xy⁺⁴¹^yz⁻¹²^{x y}² ³

)

Nota : la mancanza del segno davanti al coefficiente sottintende la positività del monomio.

(9)

Per grado di un polinomio si intende il grado massimo definito tra i suoi monomi.

Es.

(

⁻²^{x y}³ ⁴ ⁺⁷^abc³⁻^{a x y}³ ² ⁴

)

→ polinomio di 9° gr.

OPERAZIONI TRA MONOMI E POLINOMI

1) Somma e sottrazione.

La somma e la sottrazione tra monomi è possibile se e solo se i monomi sono simili fra loro.

Es.

(

⁻²^x³^y

)

⁺

(

⁺⁵^x³^y

)

⁼

(

⁺³^{x y}³

)

come si può notare qui sopra, la somma tra i due monomi simili , ha per risultato un monomio simile ai dati , che ha per coefficiente la somma o la differenza ( se essi sono di segno discorde ) tra i singoli coefficienti , mantenendo nel secondo caso il segno del coefficiente maggiore , in valore assoluto.

Es.

(

⁻⁴^a²^y³

)

⁺

(

⁻²^a²^y³

)

⁼

(

⁻⁶^{a y}² ³

)

in questo caso la somma tra i due monomi dà ancora un monomio simile ai dati, che ha come coefficiente la somma dei singoli coefficienti ( se essi sono di segno concorde ).

Es.

(

⁺³^{x y}³ ²

)

^-

(

⁻⁵^{x y}³ ²

)

⁼

(

⁺⁸^{x y}³ ²

)

la differenza tra due monomi simili, sostanzialmente , è una somma algebrica tra il primo monomio e l’opposto del secondo.

(

⁻⁵^{x y}³ ²

)

^→

(

⁺⁵^{x y}³ ²

)

è il suo opposto ( cambia solo il segno del coefficiente.)

(

⁻⁵^{x y}³ ²

)

^→ _^− 3 2 _^

5 1

y

x è il suo reciproco ( numeratore e denominatore si scambiano )

(10)

( si ricordi che ogni numero intero esprime una frazione di denominatore unitario 1 5=5 ) .

Quindi riassumendo, per la sottrazione :

(

⁻⁸^xy

)

⁻

(

⁺⁶^xy

)

⁼

(

−14xy infatti

)

→

(

⁻⁸^xy

)

⁺

(

⁻⁶^xy

)

⁼

(

⁻^14xy

) (

⁺⁷^x²^y

)

⁻

(

⁻⁵^x²^y

)

⁼

(

⁺¹²x y infatti ²

)

^→

(

⁺⁷^x²^y

)

⁺

(

⁺⁵^x²^y

)

⁼

(

⁺¹²^{x y}²

)

E’ del tutto evidente che se i monomi non sono simili le operazioni di somma e di sottrazione non si possono eseguire e il tutto rimane indicato come semplice polinomio :

(

⁻²^xy²

)

⁺

(

⁺³^xz³

)

⁻

(

⁻²^x²^by

)

⁼

(

⁻²^xy² ⁺³^xz³⁺²^{x by}²

)

Si faccia presente che l’uso delle parentesi è indispensabile quando si debba evidenziare l’operazione algebrica dal segno del singolo termine ( monomio ) ; diventa comunque inutile ( nel caso di somma e di sottrazione ) se teniamo presenti le osservazioni fatte in

precedenza.

Es.

(

⁻²^xyz

)

⁻

(

⁺³^abx

)

⁺

(

⁻⁵^x³^z

)

⁼

(

⁻²^xyz⁻³^abx⁻⁵^{x z}³

)

2) Moltiplicazione.

La moltiplicazione tra due o più monomi è sempre possibile, dando come risultato ancora un monomio avente come coefficiente il prodotto dei rispettivi coefficienti e come parte letterale il prodotto delle rispettive parti letterali ( avvalendosi evidentemente delle proprietà delle potenze ) .

Es.

(

⁻²^x²^y³

) (

^⋅ ⁺³^x³^yz

)

⁼

(

⁻⁶^x⁵^y⁴^z

)

(

⁻⁵^abx⁴

)

^⋅

⁽

⁻²^xyzt

⁾

⁼

(

⁺¹⁰^abx⁵^yzt

)

(11)

3) Divisione.

Anche la divisione tra due o più monomi è sempre possibile, dando come risultato ancora un monomio avente come coefficiente il quoziente dei rispettivi coefficienti e come parte letterale il quoziente delle rispettive parti letterali ( utilizzando sempre le proprietà delle potenze ).

Vogliamo ricordare comunque che la divisione si può, più semplicemente ricondurre ad un prodotto tra il primo monomio e il reciproco del secondo.

Es.

(

⁻⁸^x²^y³^z

)

^:

⁽

⁺²^xyz

⁾

⁼

(

⁻⁴^xy²

)

( ) ( )





 

−

=

−

+ ⁴ ² ³ ⁻¹ ⁻¹ ⁻¹

3 3 5

:

5abx a cx z a bc xz

( ) ( ) ( )





 

−

 =



 

−

⋅ +

=

−

+ acz

bx z

cx abx a

z cx a

abx 3

5 3

5 1 3

:

5 ⁴ ² ³ ⁴ ₂ ₃

4) Potenza ( di un monomio ).

Per potenza di un monomio si intende ancora un monomio che si ottiene dal precedente elevando a potenza sia il coefficiente sia la parte letterale. ( evidentemente valendo sempre le proprietà delle potenze ).

Es.

(

⁻²^x²^y³^z

)

² ⁼

(

⁺⁴^x⁴^y⁶^z²

)

(

⁺³^ab²^y

)

³ ⁼

(

⁺⁹^a³^b⁶^y³

)

(12)

Ricordiamo ora quelle che sono le PROPRIETA’ DELLE POTENZE

M.C.D e m.c.m

Per massimo comune divisore di due o più monomi si intende il più grande tra i comuni divisori.

Per minimo comune multiplo di due o più monomi si intende il più piccolo tra i comuni multipli.

Per calcolare il M .C. D di due o più monomi si prendono i fattori primi comuni , presi una sola volta , con il minimo esponente.

Per calcolare il m.c.m di due o più monomi si prendono i fattori primi , comuni e non comuni , presi una sola volta , con il massimo esponente.

( ) ( )

n ma n

m a

an a n

m b m a m b a

b m m a

m b a

n am m n

a

n am an

am

n am an

am a a a

=

− =

=

⋅

=

⋅

= ⋅

= −

= +

⋅

=

 

 





1 : : 1

0 1

(13)

Per essere più chiari faremo prima degli esempi tra semplici numeri interi.

Es. Calcolare il M.C.D e il m.c.m tra i numeri 64 e 16.

Scriviamo inizialmente i divisori e quindi i multipli dei due numeri

64 =

{

^±¹^,^±²^,^±⁴^,^±⁸^,^±¹⁶^,^±³²^,^±⁶⁴

}

ricordiamo che i divisori di un numero sono tutti quei numeri per i quali si può dividere il numero stesso.

16 =

{

^±¹^,^±²^,^±⁴^,^±⁸^,^±¹⁶

}

come si può notare il M.C.D tra i due numeri è 16. ( è consuetudine considerare il segno positivo )

64 =

{

^±⁶⁴^,^±¹²⁸^,^±¹⁹²^,^±²⁵⁶^,...

}

16 =

{

^±¹⁶^,^±³²^,^±⁴⁸^,^±⁶⁴^,^±⁸⁰^,...

}

allo stesso modo si nota che il più piccolo tra i multipli comuni è 64.

Ora seguendo quelle che sono le indicazioni che abbiamo definito per determinare il M.C.D e il m.c.m vediamo di ritrovare i risultati ottenuti.

Ricordiamo innanzitutto che per fattori primi intendiamo quei termini ( siano essi numerici o letterali ) divisibili solamente per 1 e per sé stessi.

Quindi se riscriviamo i numeri 16 e 64 espressi mediante fattori primi abbiamo :

16 = 2⁴

64 = 2⁶ da cui M.C.D = 2⁴ e m.c.m = 2⁶

che rappresentano gli stessi risultati trovati sopra.

(14)

Altro Es. determinare il M.C.D e il m.c.m tra i monomi :

(

⁻¹²^x³^y²^zt³

) (

^; ⁺⁶^y²^z⁴^t⁵

) (

^; ⁻¹⁸^xy²^z⁴^t²

)

2 4 2 2 2

4 2

5 4 2 5

4 2

3 2 3 2 3

2 3

3 2 18

3 2 6

3 2 12

t z xy t

z xy

t z y t

z y

zt y x zt

y x

⋅

−

=

−

⋅ +

= +

⋅

−

=

−

quindi il M.C.D è 2 3⋅ y zt mentre il m.c.m è 2² ² ²⋅3²x y z t³ ² ⁴ ⁵ ( il segno del coefficiente può assumersi sia positivo sia negativo ).

Per polinomio si intende l’insieme di due o più monomi addizionati o sottratti fra loro.

Es.

(

⁻⁵^abx²

)

⁺

(

⁻³^x³^y²^z

)

⁼ ⁻⁵^abx²⁻³^x³^y²^z

Le operazioni sopra definite per i monomi sono allo stesso modo valide anche per i polinomi.

SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI

Per scomposizione di un polinomio noi intendiamo l’equivalente riscrizione del polinomio stesso sottoforma di prodotto di fattori primi.

La scomposizione di un polinomio in fattori può essere possibile mediante diverse metodologie di procedimento : noi indicheremo sostanzialmente le più usate :

1) Prodotti notevoli

2) Raccoglimenti a fattor comune ( totali e parziali ) 3) Regola di Ruffini

(15)

Esaminiamo inizialmente quelli che vengono chiamati prodotti notevoli :

Per esempio se analizziamo la prima di tali forme ( differenza di due quadrati ) si vede chiaramente che eseguendo il prodotto dei due polinomi si ha :

(

^a−^b

) (

⋅ ^a+^b

)

= â² +âb−^ba−^b² =â² −^b²

+ab−ba=0 poiché il prodotto di due fattori gode della proprietà commutativa, trattandosi di monomi opposti essi si elidono.

Allo stesso modo si dimostra la bontà delle altre relazioni.

Per ciò che riguarda il raccoglimento a fattore comune noi intenderemo mettere in evidenza tra un gruppo di monomi un fattore ( M.C.D ) comune a essi , ( detto raccoglimento a fattore comune totale )

Es. ⁻⁶^xy² ⁺⁴^x³^z⁻¹²^x⁴ ⁼ ⁺²^x

(

⁻³^y² ⁺²^x²^z⁻⁶^x³

)

in questo caso il fattore 2x ( a prescindere dal segno ) rappresenta proprio l’elemento comune a tutti i singoli monomi che insieme vanno a costituire un polinomio. Come possiamo notare , esso, M.C.D tra i monomi , lo moltiplicheremo per un ulteriore polinomio che otterremo dividendo ogni singolo monomio per tale fattore.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

c a p b

a s con

b x a x p sx x

b x a x ab x b a x

b ab b a a b a b a b a b a

b ab a

b a b a b a

b ab a

b a b a b a

b b a a b a b a

b a b a b a

⋅

= +

=

+

⋅ +

= + +

+

⋅ +

= + + +

− +

−

=

−

⋅

−

⋅

−

=

−

+ +

+

= +

⋅ +

= +

+

−

=

−

⋅

−

=

−

+ +

= +

⋅ +

= +

+

⋅

−

⋅ +

= +

+

⋅ +

⋅

−

=

−

+

⋅

−

=

−

,

3 3

2 2

3 2 2

3 3

3 2 2

3 3

2 2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

(16)

Quindi riassumendo diremo semplicemente che il raccoglimento a fattore comune , tra due o più monomi , altro non è che il prodotto del M.C.D tra essi e un nuovo polinomio ottenuto dividendo il precedente per il M.C.D stesso.

Molto spesso può succedere che in un polinomio non vi sia un M.C.D diverso da 1, cioè in pratica tra tutti i monomi del polinomio non vi è un fattore comune diverso da 1, e quindi in questo caso il polinomio dato non lo si può esprimere come prodotto del M.C.D per il nuovo polinomio che si ottiene , in quanto rimarrebbe invariato.

Es. ⁺^ab² ⁻^ab⁺^b⁻¹ ⁼ ⁺¹^⋅

(

⁺^ab² ⁻^ab⁺^b⁻¹

)

In questo caso si procede cercando dei raccoglimenti a fattore comune solo tra singoli gruppi di monomi ( da cui il nome di raccoglimento parziale ) , per arrivare poi , in un secondo momento, ad un ulteriore raccoglimento comune.

Riprendendo l’esempio sopra avremo quindi :

+ab² −ab+b−1 = +ab⋅

(

b−1

)

+1⋅

(

b−1

)

abbiamo considerato ad esempio i primi due termini da cui si è raccolto +ab , e i rimanenti dai quali si è raccolto 1.

Possiamo notare che operando in questo modo si ha la possibilità di un ulteriore raccoglimento a fattore comune , (^b−1 , il quale conduce infine alla forma ultima) desiderata :

+ab⋅

(

b−¹

)

+¹⋅

(

b−¹

)

=

(

b−¹

) (

⋅ +ab+¹

)

questo tipo di raccoglimento parziale ( o successivo ) è stato eseguito in modo opportuno.

Consideriamo un ulteriore esempio che chiarisca meglio la distinzione tra raccoglimento parziale opportuno e non opportuno :

( ) ( ) ( ) ⁽ ⁾

(

² ²

) (

² ² ²

)

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

1

1 1

x z y y

x z x

z y z y z x

z x

z y x

z y z

y x z x

z y z y z x

+

⋅ +

−

⋅ +

= +

− +

−

− +

⋅

− +

=

− +

⋅

− +

−

⋅ +

= +

− +

−

il primo tipo di raccoglimento è opportuno in quanto ci porta al prodotto di due fattori ( abbiamo considerato i primi due termini e gli ultimi due ) ; mentre il secondo tipo di raccoglimento se pur corretto è inopportuno in quanto non rappresenta il prodotto di fattori bensì una somma ( abbiamo considerato il primo ed il terzo termine e il secondo ed il quarto ) .

(17)

RUFFINI

Vediamo ora come sia possibile arrivare ad una scomposizione tramite il 3° metodo , la regola di Ruffini , di un polinomio.

Nella fattispecie prenderemo in considerazione solo polinomi che dipendano da un solo fattore letterale ;

Es. vogliamo scomporre il polinomio

(

⁻^x³⁺³^x⁻²^x² ⁺^{10 .}

)

Se osserviamo , in questo caso , siamo di fronte ad un polinomio che non è possibile scomporsi con i due precedenti metodi ; ci chiediamo quindi se sia sempre possibile riscriverlo sottoforma di prodotto fattoriale.

Bene , ciò sarà possibile se e solo se esisterà un valore da attribuire al fattore letterale x tale che l’intero polinomio sia nullo ( tale considerazione porta all'applicazione del TEOREMA DI RUFFINI ).

Per verificare che esista quel valore che annulli il polinomio dato si procede per tentativi considerando di volta in volta numeri relativi interi partendo ovviamente da ±1.

Quindi per il polinomio, (−x³ +3x−2x² +10 ) , si parte esaminando il valore

x = +1 , sostituendolo al polinomio stesso, e verificando se tale valore annulli o meno lo stesso.

per

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

[

² ³ ² ² ² ¹⁰

]

⁰

2

0 6 10 1 2 1 3 1 1

0 10 10

1 2 1 3 1 1

2 3

= + +

⋅

− +

⋅ + +

−

⇒ +

=

≠ +

= + +

⋅

−

⋅ +

−

⇒

−

=

≠ +

= + +

⋅

− +

⋅ + +

−

⇒ +

= x x x

avendo verificato che , per x= +2 , il polinomio si annulla , si può usufruire del teorema di Ruffini con l’applicazione della relativa regola.

REGOLA DI RUFFINI ( o dell’abbassamento di grado di un polinomio). Tale regola consiste nel riportare tra due segmenti verticali paralleli i relativi coefficienti del polinomio ordinato e completo e , alla destra dell’ultimo segmento , il termine noto. Quindi , tracciato un ulteriore segmento orizzontale che intersechi perpendicolarmente i due precedenti , si riporta il valore che annulla il polinomio ( sopra quello orizzontale e a sinistra della primo verticale ) .

(18)

Si procede a questo punto con l’abbassamento ( sotto il segmento orizzontale ) automatico del primo coefficiente , il quale va moltiplicato per il termine che annulla il polinomio e il cui risultato viene incolonnato e sommato algebricamente con il secondo coefficiente . Di qui poi si ripetono le operazioni.

Se tutto è svolto correttamente il termine che è incolonnato con il termine noto deve essere il suo opposto in modo tale che la somma algebrica finale sia zero.

Ora faremo degli esempi in merito.

Scomporre mediante la regola di Ruffini ( se possibile ) i seguenti polinomi :

P(x) =

x x x

x x

3 2

2

4 3

3 5 1

2 3 21

4 3

+ − +

− +

− + +

P(x) = x³+3x² −5x+1 per x= +1 ⇒ P(x) = 0 per il teorema di Ruffini e applicando la regola si ha :

+1 +3 −5 +1

+1 +1 +4 −1

+1 +4 −1 0 R(x) chiamato resto

quindi il polinomio iniziale viene scomposto come segue :

(

¹

) (

⁴ ¹

)

1 5

3 ² ²

3 + x − x+ = x− ⋅ x + x−

x dove il fattore (x−1 è dato portando il)

termine +1 a sinistra del segno di = , e il rimanente polinomio è abbassato di un grado rispetto al polinomio iniziale, con i coefficienti ottenuti sotto la linea orizzontale.

(19)

Qualora fosse ancora possibile si potrebbe riapplicare Ruffini al polinomio di secondo grado.

Es. P(x) = 2x−3x²+21 il polinomio non è ordinato ( potenza decre- scente della lettera x ) ; quindi prima lo or- diniamo e poi procederemo come sopra.

P(x) = −3x²+2x+21 per x= + ⇒1 P(x) = +20 x= − ⇒1 P(x) = +16 x= + ⇒2 P(x) = +13 x= − ⇒2 P(x) = +5 x= + ⇒3 P(x) = 0

P(x) = −3x²+2x+21 per x= +3 ⇒ P(x) = 0 quindi procedendo si ha

−3 +2 +21

+3 −9 −21

−3 −7 0

D(x) = −3x−7 R(x) = 0

per cui si ha che P(x) = A(x)D(x) + R(x) con A(x) = (^x−3 ,) D(x) = (−3x +7) R(x) = 0

(

³

) (

³ ⁷

)

21 2

3 ²+ + = − ⋅ − −

− x x x x

(20)

Es. P

( )

x =−4+3x⁴ +x³ andiamo prima a ordinare il polinomio.

P(x) = +3x⁴ + + ⋅ + ⋅ −x³ 0 x² 0 x 4 (non è indispensabile in seguito riportare i coefficienti nulli delle potenze mancanti, purchè si faccia attenzione a ricordarsene).

P(x) = +3x⁴ +x³ −4 per x=+1 ⇒ P(x) = 0

A(x) = (x −1)

+3 +1 0 0 −4

+1 +3 +4 +4 +4

+3 +4 +4 +4 0

e quindi si ha ³^x⁴ ⁺^x³ ⁻⁴ ⁼

(

^x⁻¹

) (

⁺³^x³⁺⁴^x²⁺⁴^x⁺⁴

)

^.

N.B. Abbiamo indicato qual è il metodo generale per verificare se un polinomio sia scomponibile tramite Ruffini ; pur tuttavia possiamo indicare una regolina che ci consente di velocizzare le operazioni nel caso in cui il coefficiente del termine di grado massimo sia 1 .

Se il polinomio è esattamente scomponibile ( resto nullo ) secondo Ruffini , considereremo tutti i divisori del termine noto e tra essi ve ne sarà almeno uno che rende nullo il polinomio .

(21)

Es. P(x) = + −x³ 6x+9 come si può notare il coefficiente del termine di grado max. è 1

analizziamo quindi i divisori del termine noto

( )

{ }

D + = ± ± ±9 1 3 9, , se il polinomio è scomponibile esattamente (secondo Ruffini ) esso lo è per uno , almeno , di questi valori.

Infatti per x=−3 ⇒ P(x) = 0 di qui poi si procede normalmente.

(22)

ESERCIZI SUL M.C.D. E m.c.m.

ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE

ESERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DI FRAZIONI ALGEBRICHE ESERCIZI SU RUFFINI

ESERCIZI SUI PRODOTTI NOTEVOLI

(23)

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?

RISOLVI

NASCONDI

INDICE ESERCIZI

(24)

Applicando la formula ^a²⁻^b² ⁼

(

^a^{− ⋅ +}^b

) (

^a ^b

)

scomporre in fattori primi :

1. ^a²^b² ⁻¹ ^⇒

( )

^ab ² ⁻¹² ^⇒

(

^ab⁻¹

)(

^ab⁺¹

)

2. ⁴^x⁴ ⁻²⁵ ^⇒

( )

²^x² ² ⁻⁵² ^⇒

(

²^x² ⁻⁵

)(

²^x² ⁺⁵

)

3. ¹⁶^y² ⁻³⁶ ^⇒

( )

⁴^y ² ⁻⁶² ^⇒

(

⁴^y⁻⁶

)(

⁴^y⁺⁶

)

4. ⁻⁹^x⁴^y²⁺⁴ ^⇒ ²² ⁻

( )

³^x²^y ² ^⇒

(

²⁻³^x²^y

)(

²⁺³^x²^y

)

5. ⁶⁴^z⁶ ⁻⁸¹^a⁴^z² ^⇒

( ) ( )

⁸^z³ ² ⁻ ⁹^a²^z ² ^⇒

(

⁸^z³ ⁻⁹^a²^z

)(

⁸^z³ ⁺⁹^a²^z

)

6. ¹−⁴⁹^a²^b² ⇒ ¹² −

( )

⁷^ab ² ⇒

(

¹−⁷^ab

)(

¹+⁷^ab

)

7. ⁻¹⁶^a² ⁺²⁵^x⁴ ^⇒

( )

⁵^x² ² ⁻

^{( )}

⁴^a ² ^⇒

(

⁵^x² ⁻⁴^a

)(

⁵^x² ⁺⁴^a

)

8. ³⁶^a²^x²^y⁴ ⁻¹⁶ ^⇒

(

⁶^axy²

)

² ⁻

^{( )}

⁴ ² ^⇒

(

⁶^axy² ⁻⁴

)(

⁶^axy² ⁺⁴

)

9. ⁻²⁵⁺¹⁶^c⁴^a² ^⇒

( )

⁴^c²^a ²⁻

^{( )}

⁵ ² ^⇒

(

⁴^c²^a⁻⁵

)(

⁴^c²^a⁺⁵

)

10. ¹²¹^x²^a⁶^y⁸ ⁻¹⁶⁹ ^⇒

(

¹¹^xa³^y⁴

)

²⁻¹³² ^⇒

(

¹¹^xa³^y⁴ ⁻¹³

)(

¹¹^xa³^y⁴ ⁺¹³

)

?

(25)

Applicando la formula ^a³ ⁻^b³ ⁼

(

^a⁻^{b a}

) (

² ⁺^ab⁺^b²

)

11. ^a³⁻²⁷ ^⇒ ^a³ ⁻³³ ^⇒

(

^a⁻³

) (

^a² ⁺³^a⁺⁹

)

12. ^x³^a⁶ ⁻⁸^y³ ^⇒

( )

^xa² ³ ⁻

^{( )}

²^y ³ ^⇒

(

^xa² ⁻²^y

)(

^x²^a⁴ ⁺²^a²^xy⁺⁴^y²

)

13. ⁸⁻^b³^x⁶ ^⇒ ²³ ⁻

( )

^bx² ³ ^⇒

(

²⁻^bx²

)(

⁴⁺²^bx² ⁺^b²^x⁴

)

14. ⁻¹⁺^x³^y³ ^⇒

( )

^xy ³ ⁻¹³ ^⇒

(

^xy⁻¹

) (

^x²^y²⁺ ^xy⁺¹

)

15. ⁻⁶⁴^x³ ⁺^z³ ^⇒ ^z³ ⁻

( )

⁴^x ³ ^⇒

(

^z⁻⁴^x

) (

^z² ⁺⁴^xz⁺¹⁶^x²

)

16. 



 



 + +



 

 −

⇒

 −



 



⇒ 

− ³ ²

3 3

2 1 4 1 2

1 2

1 8

1 x x x x x

17. 



 



 + +



 



 −

⇒

 −



 



⇒ 

− 1

3 2 9 1 4 3 1 2

3 1 2

27

8 ₃ ³ ₃ ₂

x x x

x x

18. ⁻¹²⁵⁺ ^y³^x⁹ ^⇒

( )

^yx³ ³ ⁻⁵³ ^⇒

(

^yx³ ⁻⁵

)(

^y²^x⁶ ⁺⁵^yx³ ⁺²⁵

)

19. ⁸^a³ ⁻²⁷^x³ ^⇒

( ) ( )

²^a ³ ⁻ ³^x ³ ^⇒

(

²^a⁻³^x

) (

⁴^a² ⁺⁶^ax⁺⁹^x²

)

20. 



 



 + +



 



 −

 ⇒



 



−



 



⇒ 

− 9

4 3 1 4 1 3 2 2 1 3

2 2

1 27

8 8

1 ₃ ³ ³ ₂

z z z

z z

?

(26)

Applicando la formula ^a³⁺^b³ ⁼

(

^a⁺^{b a}

) (

² ⁻^ab⁺^b²

)

21. ⁸^x³ ⁺^a³ ^⇒

( )

²^x ³ ⁺^a³ ^⇒

(

²^x⁺^a

) (

⁴^x²⁻²^ax⁺^a²

)

22. ²⁷^z³ ⁺⁸ ^⇒

( )

³^z ³ ⁺²³ ^⇒

(

³^z⁺²

) (

⁹^z² ⁻⁶^z⁺⁴

)

23. ¹⁺⁶⁴^x³ ^⇒ ¹³ ⁺

( )

⁴^x ³ ^⇒

(

¹⁺⁴^x

) (

¹⁻⁴^x⁺¹⁶^x²

)

24. ²⁶ ⁺^x⁶ ^⇒

( ) ( )

²² ³ ⁺ ^x² ³ ^⇒

(

⁴⁺^x²

)(

¹⁶⁻⁴^x² ⁺^x⁴

)

25. ⁻²⁷⁻^y³^z⁹ ^⇒

( )

⁻³³ ⁺

(

⁻^yz³

)

³ ^⇒ ⁻

(

³⁺^yz³

)(

⁹⁻³^yz³ ⁺^y²^z⁶

)

26. ^a³^b³ ⁺¹ ^⇒

( )

^ab ³⁺¹³ ^⇒

(

^ab⁺¹

) (

^a²^b² ⁻^ab⁺¹

)

27. ⁻¹⁻²⁷^z⁶ ^⇒

( )

⁻¹³⁺

(

⁻³^z²

)

³ ^⇒ ⁻

(

¹⁺³^z²

)(

¹⁻³^z² ⁺⁹^z⁴

)

28. ⁸⁺^y⁶^z⁹^x³ ^⇒ ²³ ⁺

(

^y²^z³^x

)

³ ^⇒

(

²⁺^y²^z³^x

)(

⁴⁻²^y²^z³^x⁺ ^y⁴^z⁶^x²

)

29. ^b³^s³ ⁺²⁷^x³ ^⇒

( ) ( )

^bs ³⁺ ³^x ³ ^⇒

(

^bs⁺³^x

) (

^b²^s² ⁻³^bsx⁺⁹^x²

)

30. ⁻^x³ ⁻⁸^y³ ^⇒

( ) (

⁻^x ³ ⁺ ⁻²^y

)

³ ^⇒ ⁻

(

^x⁺²^y

) (

^x² ⁻²^xy⁺⁴^y²

)

?

(27)

Applicando la formula

(

a+b

)

² =a² +2ab+b² svolgere i seguenti quadrati :

31.

(

⁻²^x⁺³

)

² ^⇒

(

⁴^x² ⁻¹²^x⁺⁹

)

32.

(

⁴^yx⁺²

)

² ^⇒

(

¹⁶^y²^x² ⁺¹⁶^yx⁺⁴

)

33.

(

⁻^zx⁺⁴^a

)

² ^⇒

(

^z²^x² ⁻⁸^zxa⁺¹⁶^a²

)

34.

(

⁵^b⁺⁴^x

)

² ^⇒

(

²⁵^b² ⁺⁴⁰^bx⁺¹⁶^x²

)

35.

(

⁻⁸^xz⁺²

)

² ^⇒

(

⁶⁴^x²^z²⁻³²^xz⁺⁴

)

36.

(

^ab⁺⁶^y

)

² ^⇒

(

^a²^b² ⁺¹²^aby⁺³⁶^y²

)

37.

(

⁻⁷^z⁺⁵^ab

)

² ^⇒

(

⁴⁹^z² ⁻⁷⁰^zab⁺²⁵^a²^b²

)

38.

(

¹¹^x⁺⁴^t

)

² ^⇒

(

¹²¹^x² ⁺⁸⁸^xt⁺¹⁶^t²

)

39.

(

⁶^sr⁺⁵^x

)

² ^⇒

(

³⁶^s²^r²⁺⁶⁰^srx⁺²⁵^x²

)

40.

(

⁻¹²⁺³^axz

)

² ^⇒

(

¹⁴⁴⁻⁷²^axz⁺⁹^a²^x²^z²

)

?