09_esercizi_integrali_1.pdf

Integrali indefiniti

1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di sostituzione: 1) Z sin x cos x dx 2) Z _{sin x} 1 + cos2_xdx 3) Z ₁ x q 1 − log2_xdx 4) Z x√1 − x2_dx 5) Z sin3x dx

2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di decomposizione: 1) Z _x3_{+ x}2_{+ 1} x2 dx 2) Z √_{1 + x} √ 1 − xdx 3) Z Ã_{3 + 2x}2 x !₂ dx 4) Z tan2x dx

3. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di integrazione per parti: 1) Z x2_ex_dx 2) Z x log x dx 3) Z arctan x dx 4) Z x arctan x dx 5) Z log2x dx 6) Z log(x2+ 1) dx 1

7) Z ex_{sin x dx} 8) Z sin2x dx 9) Z x sin2_{x dx} 10) Z sin3_{x cos}2_{x dx} 11) Z _x cos2_3xdx 12) Z sin4x dx

4. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 1) Z ₁ x√2x − 1dx 2) Z _√ ex_{− 1 dx} 3) Z _{sin 2x} 1 + sin xdx 4) Z x3_log2_{x dx} 5) Z arctan√x dx 6) Z cos(log x) dx Soluzioni. 1. 1) 1 2sin 2_{x + c} 2) − arctan cos x + c 3) arcsin log x + c 4) −1 3 q (1 − x2₎3_{+ c} 5) − cos x + 1 3cos 3_{x + c} 2. 2

1) 1 2x 2_{+ x −} 1 x+ c 2) arcsin x −√1 − x2 _{+ c} 3) −9 x+ 4x + 12 log |x| + c 4) = Z (1 + tan2_{x − 1) dx = tan x − x + c} 3. 1) ex_(x2_{− 2x + 2) + c} 2) 1 2x 2_{(log x −} 1 2) + c 3) x arctan x −1 2log(1 + x 2_{) + c} 4) 1 2arctan x − 1 2(x − arctan x) + c 5) x log2x − 2x log x + 2x + c 6) x log(x2 _{+ 1) − 2x + 2 arctan x + c} 7) 1 2e x_{(sin x − cos x) + c} 8) 1 2(− sin x cos x + x) + c 9) 1 2x(x − sin x cos x) − 1 4x 2₊ 1 4sin 2_{x + c, N. B. sin}2_{x =} µ_{x − sin x cos x} 2 ¶0 10) −1 3cos 3_{x +}1 5cos 5_{x + c} 11) 1 3x tan 3x + 1 9log | cos 3x| + c 12) 1 4 · − cos x sin3_{x +}3 2(x − sin x cos x) ¸ + c 4. 1) 2 arctan√2x − 1 + c 2) 2√ex_{− 1 − 2 arctan}√_ex_{+ 1 + c}

3) 2 sin x − log(1 + sin x)2 + c

4) 1 4x 4_log2_{x −} 1 8x 4_{log x +} 1 32x 4_{+ c}

5) x arctan√x −√x + arctan√x + c, si pone √x = t.

6) 1

2x(cos(log x) + sin(log x)) + c, si pone log x = t.