Progetto di controllori di volo mediante l'uso delle Guardian Maps.

1

CAPITOLO 1

GUARDIAN MAPS

1.1 Guardian maps

1.1.1 Definizioni

Le seguenti definizioni riguardanti le Guardian Maps sono utilizzabili per risolvere problemi di

stabilità generalizzata di matrici e polinomi dipendenti da parametri (nel nostro caso riguarda

principalmente il posizionamento dei poli all’interno di regioni assegnate).

Lo scopo di questi strumenti è la ricerca di insiemi di matrici

1

tali che:

Ω =

∈ ℝ :

⊂ Ω ,

dove

Ω è un sottoinsieme aperto del piano complesso e

l’insieme di tutti gli autovalori della

matrice , quadrata di ordine .

Ω è detto “insieme di stabilità generale”, cioè l’insieme di

matrici stabili rispetto alla regione assegnata

2

,

Ω.

Le Guardian Maps sono polinomi a coefficienti reali, basati su matrici reali.

Definizione: assumendo che

ν

crei una mappa di

ℝ all’interno del piano complesso, possiamo

affermare che

ν

“custodisce”

3

Ω se, per tutte le matrici ∈ ̅ Ω , sussiste la seguente

equivalenza:

= 0 ⟺ ∈

Ω .

Essendo

il bordo dell’insieme e

̅ la sua chiusura.

4

1

Tutte le definizioni sono riferite al caso matriciale, tenendo conto che possono essere analogamente

applicate ai polinomi.

2

Tutti i loro autovalori contenuti nella regione Ω.

3

Traduzione dall’inglese “to guard”.

4

Cfr. D.SAUSSIÉ,O.AKHRIF,C.BÉRARD,L.SAYDY,Longitudinal Flight Control Synthesis with Guardian Maps, AIAA,

CAPITOLO 1 - GUARDIAN MAPS

2

1.1.2 Esempi

Di seguito si danno alcuni esempi di guardian maps

5

, relativi a regioni del piano complesso

generalmente utilizzate (vedi fig. 1.1).

o

Stabilità di Hurwitz: consiste nella parte sinistra del piano complesso, rappresentata dalla

seguente mappa:

=

∘

;

o

Margine di stabilità: dato dalla parte sinistra del piano complesso traslata di una quantità

pari ad , cioè tutti i numeri complessi tali che

; la corrispondete mappa è:

!

=

∘ " ∘

"

;

o

Settore conico di angolo

#: indicando con $ = cos # il relativo rapporto di smorzamento

minimo, si ottiene la mappa:

₍

=

)

∘ * 1 " 2$

)

∘

;

o

Stabilità di Schur relativa ad un cerchio di raggio

- . 0 con mappa:

/

∘ " -

)

∘

)

" -

)

.

Avendo indicato con

∘ il prodotto bialterno (vedi Appendice A).

Fig. 1.1

1.2 Tecniche per determinare le guardian maps

Di seguito si riassumono alcune proprietà che permettono una facile costruzione delle guardian

maps riferite a regioni

Ω più complesse, partendo da situazioni più semplici come quelle degli

esempi del par. 1.1.2.

6

Assumendo

,

₁

,

_{) come sottoinsiemi di}

:

Se ad è associata la mappa , all’insieme

" ≔ " : ∈ corrisponde la mappa

3

: ↦

" . Ciò vale per esempio per "Ω , dove "Ω ≔ "5: 5 ∈ Ω .

Se ad è associata la mappa , prendendo un numero ∈ , all’insieme *

≔

*

: ∈

corrisponde la mappa

₆

: ↦

"

. Analogamente a sopra vale

per

7Ω

6

8, dove Ω

6

≔ 5 * : 5 ∈ Ω .

5

Ibidem

6 _{Cfr. L.S}

AYDY,A.TITS,H.ABED,Guardian Maps and the Generalized Stability of Parametrized Families of Matrices and Polinomials, Technical Research Report, University of Maryland, 1988, pp. 22-23

3

Se ad è associata la mappa , prendendo un numero

9

∈ ℝ\ 0 , all’insieme 9 ≔

9 : ∈ corrisponde la mappa

;

: ↦ <

=_;

>. (Esempio: ρΩ ).

Se a

₁

e

₎

sono associate rispettivamente le mappe

₁

e

₎

, all’insieme

1⋂ ₎

corrisponde

: ↦

_{1 )}

. In particolare, se

₁

= Ω1

e

₎

= Ω)

, all’insieme

Ω1⋂Ω)

corrisponde la mappa sopra citata.

1.3 Stabilità robusta

Prendiamo ora in considerazione una famiglia di matrici

× dipendenti da un vettore di

parametri

B ≔ B

1, … , B_D

, i cui estremi di variazione sono assegnati:

B : B ∈ E ⊂ ℝ

D

. L’analisi

di stabilità robusta consiste nel verificare che, variando il vettore

B, gli autovalori di rimangano

confinati nella regione

Ω assegnata.

Sussiste il seguente teorema

7

: se a

Ω corrisponde la mappa

_F

, la famiglia

B : B ∈ E è

stabile in relazione a

Ω se e solo se:

1.

è nominalmente stabile, cioè

B̅ ∈ Ω per alcuni B̅ ∈ E e,

2.

F7 B 8 ≠ 0 ∀B ∈ E.

Risulta quindi che l’insieme

I = JB ∈ ℝ

D

:

F7 B 8 = 0K divide lo spazio k-dimensionale (ℝD

) in

“componenti” (regioni dello spazio dei guadagni k-dimensionale) che sono stabili o instabili

(condizione da verificare valutando, per ogni vettore appartenente ad uno di questi componenti,

il valore degli autovalori di ).

1.3.1 Esempio

Si riporta un esempio applicativo, tratto da [9], della creazione delle guardian maps e della

divisione dello spazio dei guadagni in componenti.

Assegnato il polinomio

L 5 = 5

M

* N15

)

* N)5 * 1, dove N1

e

N

₎

sono parametri, si vogliono

determinare le possibili coppie di essi che assicurano il confinamento delle radici del polinomio

all’interno di una regione con rapporto di smorzamento

$ ≥

0.707.

La guardian map corrispondente alla regione in oggetto è:

(

=

)

∘ + 1 − 2$

)

∘

che, applicata alla matrice compagna A del polinomio

p

( )

s

dà il seguente risultato:

F

L = 2N

)M

− N

1)

N

))

− 4N

1

N

)

+ 2N

1M

+ 1

Graficamente, ponendo

_F

L = 0, la mappa appare come in fig. 1.2 e divide lo spazio dei

guadagni (in questo caso è il piano, essendo due i parametri) in 3 regioni.

7 _{Cfr. D.S}

CAPITOLO 1 - GUARDIAN MAPS

4

Fig. 1.2

Effettuando una verifica, solo la zona in alto a destra risulta essere quella corretta per il

posizionamento dei poli in

Ω (es: N1

, N

₎

5,5 ).

1.4 Famiglie di matrici dipendenti da un parametro

Sono qui introdotte le matrici polinomiali dipendenti da un singolo parametro

B reale:

B

_T

* B

₁

*. . . *B

D

D

(con

U

matrici

A costanti).

L’utilizzo di tale forma matriciale è legata al fatto che il prodotto bialterno e le operazioni tra

matrici del par. 1.1.2 danno come risultato forme come sopra:

_F

7 B 8

7V B 8 (con

V B

V

T

* BV

1

*. . . *B

!

V

!

cioè la matrice polinomiale legata ad

B secondo l’espressione

della mappa associata a

Ω).

Segue un lemma fondamentale per le applicazioni nei successivi capitoli:

se

B

_T

è nominalmente stabile,

B è stabile relativamente a Ω per B ∈ WB

3

, B

X

Y, essendo:

•

B

3

_{≔ 5ZL7B B}

T

:

F

7 B 8

08 (oppure "∞ se non c’è soluzione)

•

B

X

_{≔ \ ]7B . B}

T

:

F

7 B 8

08 (oppure *∞ se non c’è soluzione).

Si determina in questo modo il massimo intervallo di stabilità attorno ad un dato valore del

parametro, calcolando gli estremi di perturbazione di

B rispetto al valore nominale B

_T

.

Operando con il determinante di

V B si giunge ad un risultato fondamentale, utile per introdurre

l’algoritmo di ricerca descritto nel successivo capitolo:

5

•

B

3

_≔

1

^_{_`a}b _c

•

B

X

_≔

1

^_defg _c

Dove c è una matrice h × h costruita nel seguente modo:

c =

i

j

j

j

k

0

₀

₀

0

⋯

_⋯

0

₀

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

0

0

0

⋯

−V

_T31

_V

!

−V

T31

V

!31

−V

T31

V

!3)

⋯ −V

T31

V

1

o

p

p

p

q

r

_!U3

_{c è il minimo autovalore negativo (r}

!U

3

_{c = 0}

3

_{se non esistono autovalori reali}

positivi),

r

_s=tX

c il massimo autovalore positivo (r

X_s=t

c = 0

X

se non esistono autovalori

reali negativi).

8

6

CAPITOLO 2

SINTESI DI UN CONTROLLORE CON IL

METODO DELLE GUARDIAN MAPS

2.1 Introduzione

Viene presentato di seguito l’algoritmo su cui si basa la sintesi di un controllore ad architettura

fissa, in modo da soddisfare alcuni requisiti, posti sui poli in ciclo chiuso da parte del progettista.

Tale metodo si basa sulle definizioni e sui teoremi esposti nel precedente capitolo ed è stato

implementato in Matlab per le applicazioni descritte in seguito, riguardanti un controllore di volo

longitudinale ed uno laterodirezionale.

2.2 La Target Region

Ponendo alcuni requisiti, nel caso della dinamica del velivolo imposti dalle Qualità di Volo, è

definita una regione del piano di Gauss in cui devono trovarsi i poli in ciclo chiuso dopo la sintesi

del controllore. Tale regione viene denominata “regione di stabilità” o “Target Region” ed è

determinata dall’intersezione di alcune parti del piano complesso, legate ad altrettanti vincoli.

Si fa dunque riferimento a quanto esposto nel par. 1.1.2 per determinare una regione tale che:

Ω = Ω , ,

=

∈ ℂ:

≤ ,

≥ , | | ≤

1

Essendo

,

,

| | rispettivamente la parte reale, il rapporto di smorzamento e il modulo

del numero complesso (nel nostro caso ci riferiremo agli autovalori della matrice in ciclo chiuso).

Vedi fig. 2.1 per una rappresentazione grafica di

Ω .

1

7

Fig. 2.1

Tali vincoli, applicati ai poli di un sistema dinamico, permettono di ottenere una risposta

temporale rapida e con adeguato smorzamento.

Si tratta della tipologia di regione che sarà utilizzata anche nelle successive applicazioni.

2.3 La regione degli autovalori

Consideriamo ora una matrice (

), il cui insieme di autovalori è dato da:

Λ =

, , … ,

,

contenuti in una regione del piano di Gauss denominata

Ω!

Ω!

!, !, _!

, essendo:

•

!

"#$

%

,

•

!

"&

%

,

•

!

"#$ |

%

| .

La forma di tale regione sarà simile a quella di figura 2.1.

Prima di presentare l’algoritmo vero e proprio è necessario definire un’altra regione, chiamata

“Regione unione”, essendo appunto:

Ω'

Ω ⋃Ω!

. Tale sottoinsieme del piano complesso sarà

caratterizzato dai seguenti parametri,

Ω'

Ω'

), ), ₎

:

•

)

"#$

*, !

,

•

)

"&

,

!

,

•

)

"#$

,

!

.

Per gestire anche il caso di una matrice con poli instabili, viene definito un secondo tipo di

regione:

CAPITOLO 2 – SINTESI DI UN CONTROLLORE CON IL METODO DELLE GUARDIAN MAPS

8

Fig. 2.2

In questo caso la regione dell’insieme degli autovalori,

Γ

_!

= Γ

_! !, _!

(

Λ è sempre l’insieme

degli autovalori di ), avrà la forma della precedente figura e sarà caratterizzata da:

•

!

"#$

%

,

•

!

"#$ |

%

,

!| .

Avremo quindi una regione unione

Γ

_'

Γ

_{' )}

,

₎

con:

•

_{) !}

•

₎

"#$

-

!, !

.

Tale formulazione verrà utilizzata nell’algoritmo quando i poli del sistema avranno

. 0,

tralasciando nello step di calcolo il vincolo sullo smorzamento (sarà ad esempio il caso dell’F16

con instabilità di corto periodo, Matlab restituisce il valori

,1 quando si presenta un polo

reale appartenente a RHP).

2.4 L’algoritmo di sintesi

2.4.1 Iterazione di confinamento dei poli in una Target Region

Consideriamo ora un sistema dinamico, che in variabili di stato è caratterizzato dalle matrici A, B,

C, D e per il quale si deve sintetizzare un controllore ad architettura fissa

1 2 , descritto dal

vettore dei guadagni

3 41

56: tale vettore permetterà di avere i poli del sistema in ciclo chiuso

all’interno di una data regione

Ω .

9

Sia

3

7

la scelta iniziale del vettore, totalmente arbitraria

2

, che determina un insieme di poli in

ciclo chiuso

Λ

8

=

8

,

8

, … , posizionati in una regione del piano complesso che determina

un’area di unione

3

Ω

₈

= Ω

_{8 8}

,

₈

,

₈

(oppure

Γ

₈

= Γ

_{8 8}

,

₈

nel caso di poli instabili).

Si possono presentare due casi:

1.

Ω ⊆ Ω8

: alcuni (o tutti) poli del sistema in ciclo chiuso si trovano al di fuori della Target

Region.

2.

Ω = Ω8

: le due regioni coincidono, i poli del sistema sono tutti all’interno della Target

Region. In questo caso la scelta iniziale del vettore dei guadagni porta già al risultato

finale richiesto, quindi l’algoritmo si conclude senza ulteriori iterazioni.

Nel

primo

caso

invece

avremo,

associata

alla

regione

Ω8

,

la

mappa

:;

_<

=

>?

3 @ = :;

<

=1 , 1 , … 1A@, funzione delle componenti del vettore dei guadagni, tramite la

matrice degli stati in ciclo chiuso.

Per definizione (vedi par. 1.1.1)

:;

_<

B

_>?

=3

7

@C = 0, quindi, tramite il procedimento descritto nel

successivo par. 2.4.2, sarà determinato un nuovo vettore

3

D

che porterà i poli nel sottoinsieme

del piano complesso

Ω , tale che: Ω ⊆ Ω ⊆ Ω8

, quindi all’interno della regione iniziale.

Iterando il procedimento di verifica della posizione dei poli e ricerca di un nuovo vettore dei

guadagni, l’algoritmo porterà i poli del sistema, nella migliore delle ipotesi, nella condizione

descritta al punto 1; altrimenti il risultato sarà una regione limite (riferimento al caso 2) dove non

saranno possibili ulteriori miglioramenti. Si tratta appunto di un caso “limite”, che nelle

applicazioni descritte in seguito difficilmente si è presentato

4

: in pratica, dopo un certo numero di

step iterativi, proseguendo nella ricerca del vettore guadagni, la regione dei poli rimane la stessa,.

Ciò è dovuto alla presenza di vincoli troppo stringenti rispetto alla configurazione poli-zeri in ciclo

aperto e all’architettura del controllore.

Un riassunto schematico del procedimento è il seguente:

•

Scelte iniziali: controllore ad architettura fissa con

E parametri da determinare (1

_{5,5F ,…A}

),

vettore dei guadagni iniziale

3

7

, Target Region, indice delle iterazioni

G.

•

Calcolo degli autovalori di

>?=37

@: se Λ

?

= =

?

,

?

, … @ ⊂ Ω non è necessario calcolare

un nuovo

3, altrimenti:

•

While

_?

< ∨

_?

< ∨

_?

>

o

Si definisce la regione unione

Ω'

, oppure

Γ

_'

in caso di poli instabili.

o

Applicando l’algoritmo descritto nel successivo par. 2.4.2, si determina

3

LMD

,

utilizzando come vettore iniziale

3

L

.

o

Sono calcolati così i nuovi poli del sistema in ciclo chiuso, gli autovalori di

>?

=3

LMD

@.

o

L’indice delle iterazioni scorre:

G = G + 1.

2

Vedremo nel cap. 10, trattando di ottimizzazione, che sarà proprio questo parametro ad essere variato per trovare una configurazione di ottimo del controllore.

3

Riferimento a Ω_' oppure Γ_' del par. 2.3.

4

È il caso della quota massima dell’inviluppo di volo per il controllo longitudinale di entrambi i velivoli presentati in seguito.

CAPITOLO 2 – SINTESI DI UN CONTROLLORE CON IL METODO DELLE GUARDIAN MAPS

10

•

End

2.4.2 Calcolo di un vettore dei guadagni all’interno di un componente attivo

In accordo con quanto detto nel par. 1.3, la mappa

:

_;

determina

5

delle suddivisioni dello spazio

dei guadagni p-dimensionale in componenti stabili o instabili relativamente alla regione

Ω.

Richiamando quindi le definizioni delle guardian maps del cap. 1, riferendoci ad esempio alla

scelta iniziale del vettore guadagni

3

7

e rispettivamente alla regione

Ω8

, avremo:

3

7

_{∈ NO}

_{⟺ :}

;<

=3

7

@

= 0 ⟺

QG

=3

7

@

∈ NR Ω

0

Dove

O è uno dei componenti stabili dello spazio dei guadagni, definito “componente attivo”, sul

cui bordo si trova

3

7

.

Se quindi scelgo un nuovo vettore

3

D

strettamente all’interno di

O , questo assicura che gli

autovalori di

>?=3D

@ si troveranno strettamente dentro la regione Ω8

. Risulterà quindi una

nuova posizione dei poli, tramite le definizioni del par. 2.2, in

Ω , tale che Ω ⊊ Ω8

.

L’algoritmo descritto in seguito, quindi, si basa sull’idea di scegliere

3

D

sufficientemente lontano

dal bordo del componente attivo, in modo da spostarsi sempre più all’interno della regione iniziale

dei poli.

Ricerca di un nuovo vettore guadagni all’interno di un componente attivo:

•

Fissato

3

7

si ha, come detto prima, che

:;

_<

=3

7

@ = 0; si seleziona inoltre il numero

massimo di iterazioni da effettuare, , cioè quante volte ripetere il seguente calcolo.

•

Si determina inoltre un’espressione analitica della matrice in ciclo chiuso tale che:

>?

=

8

+ 1

+ 1

+. . . +1

A A

•

While

" ≤

o

For

& = 1: E (dove E è la dimensione del vettore guadagni)

Tenendo fisse tutte le componenti di

3 tranne 1

_%

si esprime la matrice in

ciclo chiuso nel seguente modo:

_>?

=

₈5

+ 1% %

, dove in questo caso la

parte costante rispetto a

3, cioè

₈5

, è data da:

₈5

=

₈

+ ∑ =1

_5V% 5 5@

.

Utilizzando la metodologia spiegata al par. 1.4, si determinano i valori

W

XYA

e

W

_{% Z}6

di massima perturbazione del guadagno

1%

, rispetto al valore

nominale

1

_%[

.

Per determinare

\ W si fa riferimento alle espressioni delle Guardian

Maps del par. 1.1.2, in relazione ai vincoli imposti sui poli. Avendo a che

fare con il prodotto di determinanti di matrici si ha che:

: = ∏ :%

_%

=

∏ ^ _=\

5 5@ = ^ _=∏ \5 5

@

7

.

5

Tramite gli insiemi O = aW ∈ ℝc: :_;= W @ = 0d.

6

In riferimento al par. 1.4 W_XYA= WM e W_{% Z}= We.

7

L’indice “i” è riferito in questo caso alle guardian maps considerate nel problema in esame, dipendenti dai vincoli sui poli: si ricorda, a proposito, che l’intersezione tra più zone del piano di Gauss dà origine al prodotto delle relative mappe (par. 1.2).

11

Si ottiene quindi:

1

_%[M

= 1

_%[

+

=fghiMfjkl@

: è come se considerassi

W

₈

come un’origine e determinassi

W

_XYA

e

W

_{% Z}

valutando una perturbazione

rispetto ad essa.

o

End: si ottiene un nuovo vettore

3

mMD

•

Se

n3

m

− 3

meD

n ≤ o 1 + ‖3

m

‖ , con o una tolleranza piccola a piacere, il calcolo

termina, altrimenti l’indice delle iterazioni scorre:

" = " + 1.

•

End

2.5 Esempio: controllore proporzionale integrale (P.I.)

È proposto di seguito un esempio, tratto da [9], utilizzato a titolo di test per l’algoritmo, in modo

da applicarlo poi a casi più elaborati come quello del velivolo.

In questo esempio si fa riferimento alla sintesi effettuata tramite calcolo simbolico in Matlab, che

consente di visualizzare i grafici delle mappe, nello spazio dei guadagni, che in questo caso è 2D

8

.

Il risultato finale è del tutto analogo al procedimento “matriciale”, anche se più lungo come

tempo computazionale.

Consideriamo dunque un sistema che ha la seguente funzione di trasferimento in ciclo aperto:

q 2 =

_{2 + 2 + 9}

2 + 5

Inizialmente i poli si trovano nelle seguenti posizioni (fig. 2.3):

•

= 0 (dovuto alla presenza dell’integratore)

•

_,t

= −0.5 ± 2.96&, con = 0.1666 e = 3.

La Target region è invece caratterizzata dai seguenti vincoli (sempre fig. 2.3):

•

= −2

•

= 0.7

•

= 10

A cui sono rispettivamente associate le mappe

:[

,

:y

e

:A

(vedi par. 1.1.2).

(Continua nota 7) L’indice “j” è riferito alle matrici che si ottengono svolgendo i prodotti bialterni e le altre operazioni matriciali: se, ad esempio, considero :_[ avrò \ = ∘ { − { ∘ { e \ = − {.

NOTA: I pedici numerici delle matrici \₅ non corrispondono a quelli del par. 1.4, in cui si fa riferimento alla dipendenza dal parametro W.

8

L’utilità del calcolo simbolico sarà maggiormente chiara quando verrà trattato lo scheduling nel prossimo capitolo.

CAPITOLO 2 – SINTESI DI UN CONTROLLORE CON IL METODO DELLE GUARDIAN MAPS

12

Fig. 2.3

Di seguito si riporta lo schema del controllore (fig. 2.4):

Fig. 2.4

La matrice in ciclo chiuso, espressa in forma analitica è:

>?

= |

0

1

0

0

0

1

,51%

,=9 - 1

%

- 51A@ ,=1 - 1A@

}

Il calcolo simbolico prevede quindi di determinare le guardian maps

:, considerando 1%

e

1A

come variabili (in modo alternato, date le considerazioni espresse nel precedente par 2.4.2) e

risolvendo l’equazione

:=1

5@ 0. Si richiama il modo in cui vengono elaborate successivamente

tali soluzioni:

•

1

e

_{≔ 2•E=1 . 1}

[e

_{: :;= 1 @ 0@ (oppure ,∞ se non c’è soluzione)}

•

1

M

_{≔ & •=1 K 1}

[e

_{: :;= 1 @ 0@ (oppure -∞ se non c’è soluzione).}

In conclusione:

1

₅[M

1

e

- 1

M

‚ .

₂

13

Stabilito dunque

37

= ƒ0,0„ si riportano di seguito le iterazioni del processo di sintesi, tramite i

grafici delle mappe

9

e le posizioni dei poli, con i rispettivi guadagni calcolati, ad ogni iterazione

(fig. da 2.5 a 2.8).

2.5.1 Iterazione 1

Guardian map riferita alla regione

Ω8

= Ω 0, 0.1666, 10 , in questo caso la regione unione

relativa alla posizione iniziale dei poli.

Fig. 2.5

=3…, 3†@

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

(10.7114, 32.4614)

= −2.19

,t

= −4.76 ± 7.18&

1

0.553

2.19

8.61

2.5.2 Iterazione 2

Guardian map riferita alla regione

Ω = Ω −2, 0.55, 10 .

9

Nei grafici: 1 = 1_A, 1 = 1_%, la croce nera rappresenta la posizione dei poli all’inizio dell’iterazione e alla fine di quella precedente: si nota come, in riferimento al par. 2.4.2, tale punto si trova sul bordo di una delle linee chiamate NO, bordo del componente attivo.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 K₁ K 2 1 2 2 1 1 2 1 1

CAPITOLO 2 – SINTESI DI UN CONTROLLORE CON IL METODO DELLE GUARDIAN MAPS

14

Fig. 2.6

=3…, 3†@

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

(13.7957, 45.1004)

= −2.42

,t

= −6.19 ± 7.40&

1

0.641

2.42

9.65

2.5.3 Iterazione 3

Guardian map riferita alla regione

Ω = Ω −2, 0.64, 10 .

Fig. 2.7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 K 1 K 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 K 1 K 2

15

=3…, 3†@

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

(14.7729, 43.78)

= −2.28

,t

= −6.74 ± 7.10&

1

0.689

2.28

9.79

2.5.4 Iterazione 4

Guardian map riferita alla regione

Ω = Ω −2, 0.688, 10 .

Fig. 2.8

=3…, 3†@

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

(15.3411, 42.7130)

= −2.19

,t

= −7.07 ± 6.88&

1

0.717

2.19

9.87

Rappresentando in questo esempio i grafici delle guardian maps, si è potuto meglio visualizzare in

che modo l’algoritmo opera: esso ricerca una coppia di guadagni all’interno di una precisa area di

stabilità che si restringe progressivamente con il progredire delle iterazioni, finché non si

raggiunge la condizione in ciclo chiuso desiderata.

Nelle applicazioni successive, invece, sarà utilizzata la formulazione matriciale dell’algoritmo per

rendere più veloci i calcoli, risultando inoltre inutile una rappresentazione grafica per vettori di

guadagni di dimensione pari a tre o superiore.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 K 1 K2

16

CAPITOLO 3

SCHEDULING SECONDO UN PARAMETRO

3.1 Introduzione

Nelle tecniche di gain-scheduling tipiche i controllori sono progettati in differenti condizioni,

collegate poi a posteriori, ad esempio tramite interpolazione. Non vi è però certezza che tra i

differenti punti di sintesi sia conservata la stabilità, soprattutto se tali punti fanno parte di una

“griglia” non eccessivamente fitta.

I problemi legati al soddisfacimento dei requisiti di progetto ed al numero di punti di sintesi viene

risolto con l’utilizzo del metodo successivamente riportato, basato sulle guardian maps.

Fissata quindi l’architettura del controllore, esso viene progettato in una particolare condizione di

equilibrio, come descritto nel precedente cap. 2, ottenendo un primo vettore

. Le prestazioni

ottimali, relative alla condizione iniziale, presenteranno dei margini di stabilità robusta, rispetto

ad alcune variabili di trim

1

, quindi al vettore trovato sarà associato un certo intervallo

n-dimensionale

2

che indica i limiti di validità delle prestazioni della prima sintesi.

Ponendosi in una nuova condizione di equilibrio, sul bordo dell’intervallo precedente, sarà

determinato un nuovo vettore

, e così via, fino a coprire l’intero dominio operativo del sistema

in esame.

3.2 Algoritmo di scheduling secondo un parametro

Come premesso, l’algoritmo produrrà un insieme di controllori per i quali le regioni di prestazione

robusta copriranno l’interezza delle condizioni operative del sistema dinamico.

Prendiamo in esame il metodo di calcolo applicato ad un sistema dipendente da un solo

parametro, denominato in riferimento a quanto presentato nel cap. 1.

Fissata una Target Region, all’interno della quale posizionare i poli in ciclo chiuso, avremo:

, =

,

; la dipendenza della matrice in ciclo chiuso dal parametro e dal

vettore dei guadagni sarà polinomiale, così come lo sarà la risultante guardian map.

Stabilito l’intervallo di variazione del parametro

∈

,

, la sintesi ha inizio nella

condizione

=

3

.

1

Nel caso del velivolo, ad esempio, il Mach e la quota

2 _{Se n sono le variabili di trim.} 3

17

Tramite il procedimento spiegato nel cap. 2, si calcola il vettore

che assicura stabilità in tale

punto operativo: è necessario dunque determinare l’intervallo

, che garantisce la stabilità

determinata nella condizione nominale

, tramite il vettore

. Tale calcolo è effettuato in

modo analogo a quanto detto per

, secondo il lemma del par. 1.4, essendo

,

=

,

= 0, se i due estremi dell’intervallo hanno valore finito

4

, poiché

si trova sul bordo

di un componente stabile.

L’algoritmo di scheduling ha termine qualora

>

, altrimenti la procedura continua

ponendo

= e, calcolato un nuovo vettore , definendo l’intervallo , .

Questi step vengono ripetuti finché non è coperto l’interno intervallo di variazione del parametro,

quindi, fin quando non è determinata una sequenza di controllori

, … , , … , " che soddisfa

i requisiti imposti nei rispettivi intervalli

#

, , … , , , … , ,

$

5

.

Di seguito si riassume schematicamente quanto finora detto:

•

Si pone

=

; si sceglie

& come indice delle iterazioni di scheduling.

•

While

<

o

Ponendo

=

₍

(per l’iterazione 0 vedi sopra), si calcola

)

, avendo come

vettore iniziale

)(

.

o

Viene determinato il massimo intervallo di stabilità

, , contenente

₍

.

o

L’indice delle iterazioni scorre:

& = & + 1.

•

End

3.3 Esempio: controllore proporzionale derivativo (P.D.)

La procedura descritta nel par. 3.2 viene ora applicata ad un caso simile al P.I. del par. 2.5.

In questo caso viene scelto un proporzionale derivativo per controllare un sistema del secondo

ordine dipendente da un parametro

,

6

; la funzione di trasferimento in ciclo aperto è:

- ., , =

_.

_/

_{+ 0.2, , − 10 . + ,}

1

_/

Con

, ∈ 0,10 : nella seguente fig. 3.1 sono rappresentati, sul piano complesso, i poli di - ., , al

variare di

,

7

.

4

Nel caso in cui e/o abbiano valore infinito, l’intervallo è aperto e illimitato inferiormente e/o superiormente.

5 _{Per costruzione si avrà che:}

4 < . 6

Cfr. D.SAUSSIÉ,O.AKHRIF,C.BÉRARD,L.SAYDY,Gain Scheduling with Guardian Maps for Longitudinal Flight Control, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 34, n. 2, Luglio-Agosto 2011, pp. 1049-1050

7

CAPITOLO 3 – SCHEDULING SECONDO UN PARAMETRO

18

Fig. 3.1

Il controllore ha funzione di trasferimento

. =

₅

, +

₆

, . e struttura descritta in fig.

3.2.

Fig. 3.2

La Target Region è determinata dai seguenti vincoli (in modo del tutto analogo alla fig. 2.3):

•

78

= −5

•

98

0.707

•

:8

12

Si determina infine la matrice in ciclo chiuso:

_;<

,, 5, 6

* , * ,

/ _/

, dove:

= 0

₂

₅

₂

1

₆

>,

0 0

_{0 2}

e

_/

0

0

21 20.2

.

Si può scrivere anche

_;<

,,

₅

,

₆

? *

_{5 5}

*

_{6 6}

in cui:

?

0

1

2,

/

_{2, 2 0.2,}

/

,

5

_{21 0}

0 0

e

6

0 0

_{0 21}

.

Il calcolo del vettore dei guadagni è effettuato in modo matriciale con la seconda formulazione di

;<

, considerando ad ogni iterazione come parametro

5 o

₆

.

Lo scheduling è, invece, realizzato tramite calcolo simbolico, nonostante la facilità di esprimere la

matrice in ciclo chiuso con relazione polinomiale con

,, in quanto tale forma dell’algoritmo sarà

-15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 15

19

applicata anche al caso più complesso del velivolo, in cui è più difficile scrivere in modo esplicito

;<

B

8

.

Di seguito si riassumono i risultati di ogni step di calcolo

&.

Step 1

C, D

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

Intervallo di stabilità

(103.955,

17.539)

E

,/

= −8.77 ± 5.20H

0.86

10.2

−1.4405,1.7661

Step 2

C, D

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

Intervallo di stabilità

(103.097,

20.636)

E

,/

= −8.86 ± 5.27H

0.859

10.3

0.0223,4.4767

Step 3

C, D

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

Intervallo di stabilità

(86.166, 22.665)

E

_,/

= −8.86 ± 5.27H

0.859

10.3

1.9686,7.6049

Step 4

C, D

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

Intervallo di stabilità

(48.34, 21.353)

E

_,/

= −8.86 ± 5.27H

0.859

10.3

3.3425,9.7806

Step 5

C

,

D

Poli in ciclo chiuso

Smorzamento

Pulsazione

Intervallo di stabilità

(10.4801,

18.131)

E

,/

= −8.86 ± 5.28H

0.859

10.3

5.5176,11.5551

L’insieme dei cinque controllori può essere dunque sfruttato per determinare un’interpolazione

polinomiale dei guadagni: nelle seguenti fig. 3.3 e 3.4 sono riportati i grafici di

5 e 6

in funzione

di

,.

8 _{Sarà invece più facile trovare una forma analitica polinomiale di}

;< in funzione dei guadagni del controllore.

CAPITOLO 3 – SCHEDULING SECONDO UN PARAMETRO

20

Fig. 3.3

Fig. 3.4

Le espressioni interpolate dei guadagni sono:

•

5

, = −1.7636,

/

+ 3.9316, + 103.6395

•

6

, = −0.2626,

/

+ 2.3832, + 16.9953

Si riporta infine la verifica dei poli in ciclo chiuso per coppie di guadagni

₅

e

₆

non coincidenti

con i punti calcolati nello scheduling. Utilizzando, quindi, le espressioni interpolate, si ricavano,

per un certo numero di valori del parametro

,

9

, i guadagni ed i poli in ciclo chiuso (fig. 3.5).

9 , = 0: 0.5: 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 Scheduled K_p a Kp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 18 19 20 21 22 23 Scheduled K d a Kd

21

Si nota come i poli risultino sempre all’interno della regione obiettivo, anche per i punti all’interno

di un intervallo di stabilità del parametro, non analizzati nella sintesi.

-15 -10 -5 0 5 -15 -10 -5 0 5 10 15 Re Im

22

CAPITOLO 4

LE QUALITA’ DI VOLO ED I CONTROLLORI

SCELTI PER IL VELIVOLO

4.1 Sommario

Saranno ora applicati gli algoritmi finora descritti al velivolo in modo specifico, introducendo

quindi dati, schemi e modelli necessari per impostare il problema di sintesi del controllo.

Verranno di seguito presentate le qualità di volo, cioè i requisiti che, tramite il progetto del

controllore, dovranno essere soddisfatti e le due architetture scelte per i sistemi di controllo

rispettivamente longitudinale e laterodirezionale. I modelli in ciclo aperto dei due velivoli

selezionati per il presente lavoro, il Boeing 747 e l’F16, saranno introdotti invece nei successivi

capitoli.

4.2 Le qualità di volo

4.2.1 Introduzione

Come premesso nel par. 2.2, stabilire dei margini per la prestazione del sistema in ciclo chiuso

significa considerare dei vincoli da porre sulla posizione dei poli nel piano di Gauss, la Target

Region. Tali vincoli sono posti, nel caso di un velivolo, sulla base delle Qualità di volo (Handling

Qualities), requisiti che il progettista ricava spesso dall’esperienza aziendale, utilizzando come

supporto per redigere le specifiche, il manuale “MIL-HDBK-1797 A”.

Si tratta di una guida per la stesura di un elenco di caratteristiche che l’aereo dovrà possedere,

affinché il giudizio che il pilota darà del comportamento dinamico della macchina sia

soddisfacente.

Nonostante la difficoltà di standardizzare i giudizi ed i limiti dei parametri che concorrono ad essi,

in relazione al tipo di aereo e di missione, nel manuale MIL si effettua una classificazione di tipo di

velivolo, fase di volo e livello di qualità di volo. Si riportano di seguito tali elenchi, mantenendo la

forma inglese originale.

1

1

23

4.2.1.1 Classe di velivolo

I.

Small, light airplanes such as:

•

Light utility

•

Primary trainer

•

Light observation

II.

Medium weight, low-to-medium maneuverability airplanes such as:

•

Heavy utility/search and rescue

•

Light to medium transport/cargo/tanker

•

Early warning/electronic countermeasures/airborne command, control or

communications relay

•

Antisubmarine

•

Assault transport

•

Reconnaissance

•

Tactical bomber

•

Heavy attack

•

Trainer for Class II

III.

Large, heavy, low-to-medium maneuverability airplanes such as:

•

Heavy transport/cargo/tanker

•

Heavy bomber

•

Patrol/early warning/electronic countermeasures/airborne command, control or

communications relay

•

Trainer for Class III

IV.

High-maneuverability airplanes such as:

•

Fighter/interceptor

•

Attack

•

Tactical reconnaissance

•

Observation

•

Trainer for Class IV

4.2.1.2 Fasi di volo

A.

Those nonterminal Flight Phases that require rapid maneuvering, precision tracking, or

precise flight-path control:

a.

Air-to-air combat

b.

Ground attack

c.

Weapon delivery/launch

d.

Reconnaissance

e.

In-flight refueling (receiver)

f.

Terrain following

g.

Antisubmarine search

h.

Close formation flying

CAPITOLO 4 – LE QUALITA’ DI VOLO ED I CONTROLLORI SCELTI PER IL VELIVOLO

24

B.

Those nonterminal Flight Phases that are normally accomplished using gradual maneuvers

and without precision tracking, although accurate flight-path control may be required:

a.

Climb

b.

Cruise

c.

Loiter

d.

In-flight refueling (tanker)

e.

Descent

f.

Emergency descent

g.

Emergency deceleration

h.

Aerial delivery

C.

Terminal Flight Phases are normally accomplished using gradual maneuvers and usually

require accurate flight-path control:

a.

Takeoff

b.

Catapult takeoff

c.

Approach

d.

Wave-off/go-around

e.

Landing

4.2.1.3 Livelli di qualità di volo

1.

Flying qualities clearly adequate for the mission Flight Phase

2.

Flying qualities adequate to accomplish the mission Flight Phase, but some increase in

pilot workload or degradation in mission effectiveness, or both, exist

3.

Flying qualities such that the airplane can be controlled safely, but pilot workload is

excessive or mission effectiveness is inadequate, or both. Cat. A Flight Phases can be

terminated safely, and Cat. B and Cat. C Flight Phases can be completed.

4.2.2 Qualità di volo longitudinali

Nel caso della dinamica longitudinale, consideriamo solamente i vincoli relativi alla risposta

dell’aereo in corto periodo, in quanto, per motivi legati all’assegnazione dei poli, saremo

interessati a posizionare i poli di alta frequenza in una certa regione, trascurando in modo

approssimato

2

il lungo periodo (vedi cap. 5).

Il manuale MIL-HDBK-1797 A prevede i seguenti limiti per lo smorzamento di corto periodo

:

Livello HQ

Fasi di volo A e C

Fasi di volo B

Minimo

Massimo

Minimo

Massimo

1

0.35

1.30

0.30

2.00

2

0.25

2.00

0.20

2.00

3

0.15

-

0.15

-

2 _{Ritenendo valida l’approssimazione di alta frequenza con una separazione tra corto e lungo periodo tale}

25

Prenderemo in esame un livello di Qualità di volo pari ad 1, considerando inoltre un margine

rispetto al minimo imposto:

•

= 0.7

Verrà dunque imposto un vincolo sulla risposta temporale, in particolare sul tempo di

assestamento (Settling time), che viene tradotto in una condizione sulla parte reale massima

3

dei

poli in ciclo chiuso, supponendo un comportamento simile ad un secondo ordine. Si pone quindi:

•

= −0.8

L’ultimo vincolo, che permetterà di ottenere una Target Region con forma analoga ai casi visti

finora, è quello sulla massima pulsazione dei poli in ciclo chiuso

4

:

•

Boeing 747:

= 10 rad/s

•

F16:

= 20 rad/s

I vincoli sullo smorzamento e sulla parte reale saranno utilizzati per entrambi i velivoli descritti nel

seguito

5

.

4.2.3 Qualità di volo laterodirezionali

Considerando la dinamica laterodirezionale del velivolo, si procede nuovamente ad

un’approssimazione di alta frequenza per riuscire a posizionare i poli in ciclo chiuso nella Target

Region desiderata, tramite la sintesi del controllo, senza l’influenza del polo spirale, che, come

noto, è molto vicino all’origine (vedi cap. 5). Tale scelta è quindi legata al fatto che, conservando il

modello completo, non sarebbe possibile soddisfare il vincolo sulla parte reale massima.

Il controllore scelto agirà, dunque, su Dutch Roll e rollio, quindi su e su

6

, come nel caso

longitudinale, a patto di verificare a posteriori il comportamento in ciclo chiuso del sistema

completo, verificando cioè come variano la posizione dei poli e le risposte del velivolo

considerando nel modello anche la spirale.

Sempre in riferimento al MIL-HDBK-1797 A, si riportano i seguenti vincoli per il Dutch Roll:

Livello HQ

Fase di volo

Classe di

velivolo

Minimo

Minimo

Minimo

1

A (C.O. and

G.A.)

IV

0.4

-

1.0

A

I, IV

0.19

0.35

1.0

II, III

0.19

0.35

0.4

3 _{È un valore massimo ma minimo in valore assoluto, in quanto, cercando anche la stabilità dei poli, le parti}

reali saranno negative, quindi il vincolo è, nel piano di Gauss, una retta verticale che seleziona la parte alla sua sinistra.

4 _{Il vincolo su varia tra i due velivoli a causa della differente posizione del polo di attuazione (vedi par.}

6.4 e 7.4)

5

I vincoli su e per l’F16, alla quota ℎ = 45000 ft dell’inviluppo di volo longitudinale saranno portati ai seguenti valori, per non capitare nella condizione limite (vedi par.2.4.1): = 0.6, = −0.6.

6

CAPITOLO 4 – LE QUALITA’ DI VOLO ED I CONTROLLORI SCELTI PER IL VELIVOLO

26

B

All

0.08

0.15

0.4

C I, II-C, IV

0.08

0.15

1.0

II-L, III

0.08

0.10

0.4

2 All All

0.02

0.05

0.4

3

All

All

0

-

0.4

In questo caso è necessario distinguere tra le scelte di Qualità di Volo fatte per il Boeing 747 e

quelle per l’F16:

•

Boeing 747 (aereo di classe III, con fasi di volo di categoria B):

o

= 0.1

o

= −0.1

o

= 12

•

F16 (aereo di classe IV, con fasi di volo molteplici):

o

= 0.25

7

o

= −0.35

o

= 20

Si fa notare che non viene espressamente imposto un vincolo sulla minima pulsazione dei poli:

sarà visibile dai risultati finali che esso sarà in linea di massima soddisfatto considerando infatti la

spirale molto inferiore agli altri poli, quasi nell’origine.

4.3 I controllori

4.3.1 Introduzione

Generalmente i controllori di volo utilizzano semplici architetture derivanti dall’esperienza

acquisita in tale ambito; tali strutture, come quelle descritte in seguito, sono state studiate e

testate in modo da lavorare bene in molteplici applicazioni pratiche.

4.3.2 L’Attitude hold control system

4.3.2.1 L’architettura

L’architettura scelta per il caso longitudinale è quella dell’”Attitude hold control system”, un

sistema di controllo applicato alla velocità angolare di beccheggio (Pitch Rate),

&, tramite l’utilizzo

di 2 parti

8

:

•

SAS (Stability augmentation system), il sistema di aumento stabilità che retroaziona la

misura di

& tramite un Filtro di Wash-out e di '(

tramite un Noise Filter. Il primo si

comporta come un guadagno statico alle alte frequenze, mentre a quelle basse filtra il

7

Tralasciando le fasi Air-to-air Combat e Ground Attack, per poter sintetizzare più facilmente il controllore: il rischio è infatti quello di imporre vincoli troppo stringenti che portano, per alcune quote ed alcuni Mach ad una situazione “limite” come descritto nel par. 2.4.1.

8

27

segnale: il polo della sua funzione di trasferimento è posizionato in -3; ha poi uno zero

nell’origine:

)*+ℎ. ,-./+0

_{+ 1 3}

+

Il secondo, invece, è utile per evitare rumori di alta frequenza nel segnale ed ha una

funzione di trasferimento del primo ordine con polo in 10:

2,3+4. 536.47/+0

_{+ 1 10}

10

•

CAS (Control augmentation system), un sistema che, considerando la retroazione di

&,

introduce un controllo P.I. più un’azione di feedforward.

(Vedi fig. 4.1, con l’attuatore dell’elevatore per il caso del Boeing 747)

Fig. 4.1

I parametri variabili sono i guadagni del SAS,

8

₉

e

8

_:

, e quelli del CAS,

8

_;

e

8 , oltre al guadagno

di feedforward

8

_<<

. Come spiegato sotto, quest’ultimo non ha influenza sui poli in ciclo chiuso,

quindi verrà determinato con una formula analitica, dopo aver calcolato il vettore:

=

>89

, 8

_:

, 8;, 8 @ ed i relativi poli in ciclo chiuso.

4.3.2.2 Le matrici in ciclo chiuso

Il modello in ciclo chiuso combina il vettore degli stati in ciclo aperto (

A) ai tre stati aggiuntivi

dovuti ai filtri (

B9

,

B

_:

) e all’integratore (

B ). Le matrici in ciclo aperto, ricavate con i modelli

descritti nei successivi capitoli e comprensive degli attuatori, sono denominate

CDE

,

FDE

,

G9

,

G

_:

e

HDE

9

. L’uscita scelta

I è il Pitch Rate, &.

Il comando è quello di equilibratore

JK

, trascurando quindi la spinta del motore, che, come noto,

ha poca influenza sul corto periodo.

9

G9 e G : sono rispettivamente le matrici di collegamento uscita-stati di ciclo aperto, considerando

CAPITOLO 4 – LE QUALITA’ DI VOLO ED I CONTROLLORI SCELTI PER IL VELIVOLO

28

Di seguito si riporta il modello in variabili di stato in ciclo chiuso:

L

M

M

N A

_BO9

O

BO

_:

BO P

Q

Q

R

=

L

M

M

M

NC

DE

1 S89

− 8

;TFG9

−89F 8

:

F 8 F

3G9

3

0

0

10G

_:

0

10

0

G9

0

0

0 P

Q

Q

Q

R

U

A

B

9

B

_:

B

V 1 U

S8

;

1 8

<<

TF

0

0

1

V JK

& WG9

0 0 0X U

A

B

9

B

_:

B

V (

10

)

4.3.2.3 Il Dropback di Gibson

Come si vede dall’espressione di

CYE

nel par. 4.3.2.2, non vi è influenza di

8

_<<

, che verrà pertanto

determinato imponendo il vincolo sul Dropback di Gibson

11

. Si tratta di un parametro calcolato

appunto tramite il modello approssimato di alta frequenza per

Z (angolo di Pitch) e determina la

forma della risposta di tale angolo ad un gradino di equilibratore tolto dopo pochi secondi.

Nella seguente fig. 4.2 è illustrato il modo di calcolare tale parametro, detto

H7[.

Fig. 4.2

10

HYE risulta essere anch’essa nulla. 11

Cfr. D.SAUSSIÉ,O.AKHRIF,C.BÉRARD,L.SAYDY,Longitudinal Flight Control Synthesis with Guardian Maps,

AIAA, Agosto 2009, p. 17 e 20; IDEM,Gain Scheduling with Guardian Maps for Longitudinal Flight Control,

29

Se scriviamo:

&

JK

=

+ 1. . . 1*\+ 1 *]

+ 1. . . 1[\+ 1 []

= G/+^ − C0

_\

F

Si ricava che il Dropback, per il caso dell’Attitude hold control, è dato da:

H7[

&``

=

*\

*]

−

[]

[\

=

8

8 1

<<

1 1 8

:

G

:

CDE

_\

_FDE

8 G9C

DE_\

FDE

Avere un Dropback nullo significa avere un integratore puro in

Z dopo un brevissimo arco di

tempo; sono in ogni caso da preferire valori positivi di tale parametro, in quanto permettono di

ridurre picchi significativi nella risposta in

& rispetto al caso di Dropback negativo.

Scegliendo

H7[ = 0 si ricava il guadagno di feedforward:

8

<<

= −

1 1 8

:

G

:

CDE

_\

_FDE

G9C

_\DE

FDE

4.3.3 Lo Yaw damper con Wash-out e Roll damper

4.3.3.1 L’architettura

Per la dinamica laterodirezionale viene scelto un controllore MIMO, con retroazione su due stati e

due comandi diversi:

•

Yaw damper con filtro di Wash-out: si tratta di un SAS che retroaziona la velocità angolare

di imbardata,

7, agendo sul comando di timone, Ja

, con il fine principale di incrementare

lo smorzamento di Dutch Roll. Il filtro di Wash out ha la funzione di tagliare le basse

frequenze, aprendo virtualmente il feedback quando

7 è quasi costante, cioè dopo

l’esaurimento del Dutch Roll: lo scopo è quello di evitare effetti indesiderati sul velivolo,

quali:

o

Eccessiva stabilizzazione del polo spirale, quindi un raddrizzamento troppo rapido

del velivolo, con conclusione prematura della virata (quando considero un gradino

finito di alettone come input).

o

Eccessivo carico di lavoro sul pilota che, per ottenere una virata corretta, deve

contrastare anche il

Ja

imposto dal controllo.

Il filtro ha funzione di trasferimento:

)*+ℎ. ,-./+0 =

<sub>`b(</sub>` cd

.

•

Roll damper: si tratta di un altro SAS che retroaziona la velocità angolare di rollio,

e,

agendo sul comando di alettone,

J , incrementando il valore del polo di rollio, oltre a

CAPITOLO 4 – LE QUALITA’ DI VOLO ED I CONTROLLORI SCELTI PER IL VELIVOLO

30

modificare gli zeri della funzione di trasferimento

7 Ja

⁄ , per facilitare il compito dello Yaw

damper di modifica dello smorzamento del D.R.

12

Nella seguente fig. 4.3 lo schema del controllore, sempre relativo agli attuatori del Boeing 747.

Fig. 4.2

I parametri variabili sono il guadagno dello Yaw Damper,

8

_a

, il polo del filtro di Wash-Out,

ghD

, ed

il guadagno del Roll Damper,

8;

. Il vettore guadagni risulta essere quindi:

= = >8a, ghD, 8;@.

4.3.3.2 Le matrici in ciclo chiuso

Il modello in ciclo chiuso combina il vettore degli stati in ciclo aperto (

A) con gli stati relativi agli

attuatori (

B

_E

, Baij

) e, infine, con lo stato aggiuntivo dovuto al filtro di Wash out (

B(

_cd

).

Le matrici in ciclo aperto, non comprensive in questo caso degli attuatori, sono denominate

C

_kl

,

F

kl

,

G

kl

e

H

kl

. Vengono indicate con

C

Ym

,

F

Ym

,

G

Ym

e

H

Ym

le matrici di stato relative al

blocco attuatori in parallelo (vedi par. 8.3.1).

Le uscite scelte

I sono lo Yaw Rate, 7, ed il Roll Rate, e. I comandi sono quelli di alettone, J , e di

timone di direzione,

Ja

.

In variabili di stato avremo in ciclo chiuso:

L

M

M

N A

_BO

O

E

BO

aij

BO

(cdP

Q

Q

R

=

L

M

M

N

₈

_;G

C

kl_kl/;0

F

_C

kl

G

_YmYm

0

₀

8

a

G

kl/a0

⋮

g

hD

8

a

G

kl/;0

0

ghD

P

Q

Q

R

U

A

B

E

Baij

B(

_cd

V 1 o

F

0

Ym

…

0

0

0

q rJJ

a

s

(G_kl/;0 è la riga di G_kl relativa allo stato e, G_kl/a0 relativa allo stato 7.)

12

Il Roll damper agisce principalmente sulla derivata aerodinamica tu_;, che influenza il polo di rollio ed il numeratore di 7 J

⁄ .

₇

31

ve7w = WG

kl

0 0 0X U

A

B

E

Baij

B(

_cd

V

(Con H_YE =v0 0 0 0w)

I modelli descritti saranno applicati ai velivoli presentati nei prossimi capitoli, in modo da

ottenere, per un dato inviluppo di volo, un set di controllori che assicurano le giuste prestazioni

definite dalle Qualità di Volo (vedi par. 4.2.2 e 4.2.3).

32

CAPITOLO 5

MODELLO DELLA DINAMICA

5.1 Introduzione

Verranno ora illustrati i modelli della dinamica del velivolo in ciclo aperto, presentando

brevemente i sistemi di riferimento, le equazioni del moto e le formulazioni generali delle

derivate aerodinamiche. Tali modelli verranno poi specializzati nei successivi capitoli per gli aerei

scelti, illustrando i dati geometrici ed aerodinamici che concorrono a completare tale

formulazione.

5.2 Il modello linearizzato e disaccoppiato

5.2.1 I sistemi di riferimento

I sistemi di assi utilizzati nel presente lavoro sono:

•

Assi corpo (

, , ): sistema di assi solidale al velivolo con origine baricentrica e

direzione di

generalmente coincidente con l’asse longitudinale della fusoliera, quella di

verso il basso

•

Assi stabilità (

, , ): sistema di assi corpo nel quale l’asse è diretto secondo la

componente nel piano longitudinale del vettore velocità di trim.

I due sistemi differiscono solamente per una rotazione

, l’incidenza dell’aereo, attorno all’asse

(vedi fig. 5.1).

33

La matrice di trasformazione da assi corpo ad assi stabilità è la seguente:

→

cos

0 sin

0

1

0

sin

0 cos

5.2.2 Le equazioni del moto linearizzate

Partendo dalle ipotesi di velivolo rigido con massa e distribuzione di massa costanti, assi stabilità,

terra piana e non rotante e coppie giroscopiche delle masse rotanti trascurabili, si considerano le

seguenti condizioni di trim (vedi anche fig. 5.2):

o

Volo rettilineo uniforme e livellato con velocità

e pendenza della traiettoria

0;

1

o

Volo simmetrico:

0;

o

Ali livellate:

Φ

0.

Fig. 5.2

Tenendo conto che per aerei di architettura convenzionale con piano x-z di simmetria si può

assumere il disaccoppiamento aerodinamico ed inerziale, si ottengono le seguenti equazioni del

moto perturbato per la dinamica longitudinale:

!

"

!

#$%

&$ ' () ' *+

,-

'

*.

,/

)% 0 1

&$ ' () ' 21 ' (%)% ' *+

,-

'

*.

,/

1% 3&$ ' 3() ' 321 ' 3(%)% ' 3*

₊

,-

' 3*

_.

,/

% 1

Gli stati del sistema sono 4:

o

$: perturbazione longitudinale di velocità

o

): perturbazione verticale di velocità

o

1: perturbazione della velocità angolare di beccheggio

o

: perturbazione dell’angolo di beccheggio

I comandi sono 2:

o

,-

: comando di equilibratore

o

,/

: comando di spinta

1

CAPITOLO 5 – MODELLO DELLA DINAMICA

34

Per quanto riguarda la dinamica laterodirezionale abbiamo:

!!

"

!!

#

4% ' 0 5 67

84 ' 95 ' *:

,;

'

*<

,9

=%

>?@

>?

5% A84 ' AB= ' A95 ' A*

:

,;

' A*

<

,9

5%

>?@

>@

=% C84 ' CB= ' C

9

5 ' C

*:

,;

' C*

<

,9

D% =

E% 5

In questo caso gli stati del sistema sono 5:

o

4: perturbazione laterale di velocità

o

=: perturbazione della velocità angolare di rollio

o

5: perturbazione della velocità angolare di imbardata

o

D: perturbazione dell’angolo di rollio

o

E: perturbazione dell’angolo di imbardata

2

I comandi sono 2:

o

,;

: comando di alettone

o

,9

: comando di timone di direzione

I termini a secondo membro sono le perturbazioni di forza e momenti, divise per i termini inerziali

relativi:

o

Δ G

⁄

∑

_{M JK}

L

_M

o

Δ G

⁄

∑

_{M JK}

L

_M

o

Δ G

⁄

∑

_J K

L

M M

o

ΔA NO

⁄

∑ AJ

_{M K}

LM

o

Δ3 NP

⁄

∑ 3

_{M JK}

L

_M

o

ΔC NQ

⁄

∑ C

_{M JK}

L

_M

JK

,

JK

,

JK

,

AJ

K

,

3J

K

,

C

JK

sono dette derivate aerodinamiche di stabilità relative alla

perturbazione

LM

e nelle equazioni del moto sono state elencate quelle generalmente non

trascurabili.

Ulteriori semplificazioni sono le seguenti:

o

1 −

_(%

≃ 1

o

0 +

₂

≃ 0

o

0 −

₉

≃ 0

2

Questo stato dà origine ad un polo e ad uno zero nell’origine in ogni funzione di trasferimento, tranne in quella di

E

, quindi può essere in generale trascurato.