APPUNTI DI COSTRUZIONI
MURI DI SOSTEGNO A GRAVITA’
ING. EMANUELE SPADARO
MURI DI SOSTEGNO
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso senza presenza d’acqua e di sovraccarico) 1) si calcola: 2 2 2 A ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( 1 ) sin( sin ) ( sin K dove:
KA = coefficiente di spinta attiva;
= angolo di attrito interno della terra (vedi Tabella TER 2 pag. 85 e Tab. materiali
insilabili pag. 14 del manuale tecnico di C. Farroni e R. Zedda);
= angolo d’inclinazione della superficie del terreno, da contenere, rispetto all’orizzontale; = angolo d’inclinazione della parete interna del muro rispetto all’orizzontale;
= angolo di attrito fra terra e muro (1/2 2/3).
N.B. nel caso particolare in cui = = 0°00’00” e = 90°00’00” per il calcolo di KAsi
utilizza la seguente formula:
) 2 45 ( tg k 2 A 2) si calcola: S = ½ h2 tKA dove:
t = peso specifico della terra (vedi Tab. Ter 2/3 pag. 85);
h = altezza del muro.
fig. 1
La spinta si applica all’altezza h* dalla base del muro. In assenza di sovraccarico h* = 1/3 h.
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza d’acqua)
1) si calcola KAcome sopra;
2) si calcola:
t* =
t- acqua
3) si calcola: S* = ½ h2 t*KA; 4) si calcola: 2 h S 2 acqua acqua ; 5) infine si calcola: S = S* + S acqua.
Calcolo della spinta della terra con il metodo di COULOMB (caso con presenza di sovraccarico)
1) si calcola KAcome sopra;
2) si calcola: t q ' h
dove: h’ = altezza di terra corrispondente al sovraccarico q; 3) si calcola: ) h ' h 2 1 ( K h 2 1 S 2 t A
La spinta si applica all’altezza h* dalla base del muro. In presenza di sovraccarico:
) ' h 2 h ' h 3 h ( 3 h h* .
Metodo grafico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra
scala 1 : m
si procede nel seguente modo:
1. si disegna il paramento interno del muro e la superficie del terrapieno; 2. si traccia il segmento AC che formi con l’orizzontale;
3. si trova il punto medio O del segmento AC e si traccia il semicerchio che va da A a C;
4. si traccia il segmento BF che formi l’angolo + con AB, paramento interno del
muro;
5. si traccia FG perpendicolare ad AC;
6. si punta il compasso in A e con apertura AG si traccia l’arco di cerchio GE; 7. si traccia ED (di lunghezza J) parallelo a BF;
8. si traccia DH (di lunghezza n) perpendicolare ad AC;
9. si misurano J ed n in centimetri del disegno e moltiplicandoli per m (denominatore della scala del disegno) e dividendoli per 100 si ottengono valori reali espressi in metri;
10. applicando la seguente formula si trova la spinta S:
S = ½ Jnt.
N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette htot = h + h’
dove come gia detto
t
q ' h
. Mentre la spinta si applica ad ) ' h 2 h ' h 3 h ( 3 h h*
Metodo numerico di PONCELET per il calcolo della spinta della terra
fig. 3 1) si calcola:
2) applicando il teorema dei seni al triangolo ABF si calcola: ) sin( ) sin( AB AF ;
3) applicando il teorema dei seni al triangolo ABC si calcola:
) sin( ) sin( AB AC ;
4) applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo AGC (un cateto è medio proporzionale fra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa):
AC AF
AE ;
5) per differenza si calcola:
CE = AC –AE;
6) applicando il teorema dei seni al triangolo CDE si calcola:
) sin( ) sin( CE CD ;
7) applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDC si calcola:
n = CDsin( - );
8) applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo HDE si calcola:
) sin( n J ; 9) infine si calcola: S = ½ Jnt.
N.B. se siamo in presenza di sovraccarico sul terrapieno al posto di h si mette htot = h + h’
dove come gia detto
t
q ' h
. Mentre la spinta si applica ad ) ' h 2 h ' h 3 h ( 3 h h* .
Calcolo della spinta col metodo di Rankine (winkler e Levy)
Si usa per:
terreni incoerenti ( = 0 e quindi la spinta S è orizzontale); paramento interno sempre verticale ( = 90°);
il calcolo della spinta S è analogo a quello di Poncelet, con la differenza che
VERIFICHE SUI MURI DI SOSTEGNO
La circolare Ministeriale L.L. P.P. n°30483/88 prevede per i muri di sostegno le seguenti verifiche:
Ribaltamento; schiacciamento;
traslazione sul piano di posa (o verifica allo scorrimento); stabilità globale.
Delle quali le prime tre sono obbligatorie.
La circolare Ministeriale prevede. inoltre, opportune opere di drenaggio e giunti tecnici.
Verifica al ribaltamento
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica al ribaltamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro ruoti intorno al punto “O” più a valle del muro), si debba avere:
5 , 1 M M r S dove: = grado di stabilità; Ms = momento stabilizzante; Mr = momento ribaltante. fig. 4 Per il calcolo del momento ribaltante la formula, ricavata dalla precedente figura 4 è la seguente:
Per il calcolo del momento stabilizzante la formula, ricavata dalla figura 5 è la seguente: Ms= Pe be + P1 b1 + Pi bi + Pt bt (2) fig.5 dove: Pe = ½seh1c be = 2/3se P1 = ah1c b1 = se+ ½a Pi = ½sih1c bi = se+ a + 1/3si Pt ½sih1t bt = se+ a + 2/3si
t = peso specifico della terra
c = peso specifico del materiale con cui è fatto il muro (di norma calcestruzzo)
Verifica allo schiacciamento
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo schiacciamento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro sprofondi), si debba avere:
2 v max , t lim dove: v = grado di stabilità;
lim = tensione ammissibile del terreno; t,max = tensione massima sul terreno.
La procedura operativa per effettuare la verifica si può riassumere nei seguenti punti: 1. si calcola: P = Pe + P1 + Pi + Pt + Scos( - ) (3) 2. si calcola: P M M
u s r (u è la distanza fra il punto O e il centro di pressione,
che è il punto d’intersezione fra la retta d’azione della risultante P-S e la base del muro.)
2a. se: u bo/3 si ha che il centro di pressione è esterno al nocciolo centrale
d’inerzia, questo è un caso da evitare perché non tutto il terreno sotto il muro reagisce.
si calcola: 100 u 3 P 2 max , t
2b. se: u = bo/3 si ha che il centro di pressione è sul nocciolo centrale d’inerzia, questo è un caso accettabile.
si calcola: 100 b P 2 o max , t (4)
2c. se: bo/3 u 2/3bo si ha che il centro di pressione è interno al
nocciolo centrale d’inerzia, questo è il caso migliore. si calcola: ) b e 6 1 ( 100 b P o o max , t (6) dove: e = bo/2 – u (6)
N.B. u, e, bo nelle formule 2a 2b 2c vanno messi in cm.
Verifica allo scorrimento
La norma prevede che affinché sia soddisfatta la verifica allo scorrimento (cioè che sia scongiurato il pericolo che il muro trasli sul piano di posa), si debba avere:
3 , 1 ) sin( S f P dove: = grado di stabilità;
f = tang coefficiente di attrito.
Per esso si assumono di norma i seguenti valori: f = 0,70 muratura su muratura f = 0,60 muratura su sabbia
VERIFICHE SU MURI AVENTI FONDAZIONE
La figura di riferimento è la seguente n. 6. La procedura è identica a quella esposta per i muri senza fondazione, alla quale si apportano le modifiche di seguito indicate:
la (1) diventa: Mr= S h* sin( - ) – bo + ze– (h*- z)cotgcos( - ); la (2) diventa: Ms= Pebe + P1b1 + Pibi + Ptbt + Pfbf; dove: Pe = ½se(h-z)1c be = ze+ 2/3se P1 = a(h-z)1c b1 = ze+ se+ ½a Pi = ½si(h-z)1c bi = ze+ se+ a + 1/3si Pt ½si(h-z)1t Pf = bz1c bt = zebf = b/2+ se+ a + 2/3si
t = peso specifico della terra
c = peso specifico del materiale con cui è fatto il muro (di norma calcestruzzo);
la (3) diventa:
P = Pe + P1 + Pi + Pt + Pf + Scos( - )
nella (4), (5) e (6) al posto di bo si mette b dove:
b = ze + se + a + si + zi
PROGETTO A RIBALTAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO
fig. 6
Di norma si porrà che:
si ed se = (0,1 0,2)h
ed inoltre che:
z al doppio del maggiore fra zi e ze
risolvendo la quale si ottiene la dimensione per il muro. Operativamente si procede come segue:
1. si calcola: A = ch; 2. si calcola: B = (h – z)c(2se + 2ze + si) + 2sit + 2zc(si + se + zi + ze) + 3Scos( - ); 3. si calcola: C = (h – z) sic( si/3 + se + ze) + sec( 2/3se + ze) + 2sit( 2/3si + se + ze) + 3S(se + ze)cos( - ) + h*sin( - ) + zc(si + se + zi + ze)2; 4. si calcola: A 2 C A 4 B B x 2
si accetta naturalmente il solo risultato positivo e lo si approssima, sempre per eccesso, come indicato dalla seguente tabella 1:
Dimensioni minime per la testa del muro
Materiale del muro Dimensione minima in testa Approssimazione dei calcoli
calcestruzzo 30cm ai 5cm superiori
muratura in mattoni
pieni di laterizio 25cm
a partire dalle configurazioni di disposizioni degli elementi di laterizio note da tecnologia
delle costruzioni muratura in elementi di
pietra naturale 40cm ai 5cm superiori
PROGETTO A SCHIACCIAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO (senza fondazione)
Dalla relazione 2c di pag. 8 (condizione ideale bo/3 u 2/3bo) considerando la prima
disequazione (bo/3 u) che darà il valore minimo di bo possiamo scrivere:
3 b P M M u s r o
si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l’incognita:
Ax2 + Bx + C 0
risolvendo la quale si ottiene x1.
Operativamente si procede come segue: 1. si calcola: A = ch/2;
2. si calcola: B = hc(2se- si) + 2Pi + 2Pt– Pe- 3Scos( - ); 3. si calcola: C = 2Pise + Pt(2se + si) - Pe(si- se) - 3Sh*sin( - ) - (se + si- h*cotg)cos( - ); 4. si calcola: A 2 C A 4 B B x1 2
N.B. se h, si ed se sono in metri anche x sarà in metri.
Dalla condizione di verifica allo schiacciamento:
2 v max , t lim
si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l’incognita, risolvendo la quale si ottiene x2.
fig. 7 Operativamente: 1. si calcola: h 2500 ) s s ( 2500 P P P x c lim e i lim t e i 2 .
N.B. per le unità di misura mettere: Pi in daN, lim in daN/cm2, si se h in metri.
2. in definitiva si assumerà come dimensione del muro la maggiore fra x1 e x2 sempre
PROGETTO A SCHIACCIAMENTO DEI MURI DI SOSTEGNO (con fondazione)
fig. 8
Di norma si porrà che:
si ed se = (0,1 0,2)h
ed inoltre che:
z al doppio del maggiore fra zi e ze
Per semplicità di calcolo si suppone una fondazione a sezione rettangolare di peso:
Pf = (zi + si + 1 + ze + se)zc Dalla relazione: 3 b P P M M u f r s
si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l’incognita:
Ax2 + Bx + C 0
risolvendo la quale si ottiene x1.
Operativamente si procede come segue: 1. si calcola: A = ch/2; 2. si calcola: B = hc(2se- si) + 2Pi + 2Pt– Pe- 3Scos( - ) - Pf; 3. si calcola: C = 2Pise + Pt(2se + si) - Pe(si- se) - 3Sh*sin( -) - (se + si- h*cotg)cos( -) - Pf(si+ se) 4. si calcola: A 2 C A 4 B B x1 2
Dalla condizione di verifica allo schiacciamento:
2 v max , t lim
si ricava una disequazione di secondo grado in cui x è l’incognita, risolvendo la quale si ottiene x2. Operativamente: 5. si calcola: h 2500 ) s s ( 2500 P P P P x c lim e i lim f t e i 2 .
N.B. per le unità di misura mettere: Pi in daN, lim in daN/cm2, si se h in metri.
6. in definitiva si assumerà come dimensione del muro la maggiore fra x1 e x2 sempre
