Lezione 8 - L’equazione di Schr¨
odinger
Unit`
a 8.2 Onde di materia: da de Broglie a
Schr¨
odinger
Luca Salasnich
Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova
Relazione di dispersione: luce vs materia (I)
Abbiamo visto varie volte la relazione di dispersione per la luce monocromatica:
ω = c k , (1)
dove ω `e la frequenza angolare, k `e il vettore d’onda, mentre k = |k| il numero d’onda.
Moltiplicando questa relazione per la costante di Planck ridotta ~ otteniamo
~ω = c ~k , (2)
ovverosia
E = c p , (3)
dove E = ~ω = hν `e l’energia di una particella di luce (il fotone) e p = ~k = h/λ `e il modulo della sua quantit`a di moto p, con h la costante di Planck non ridotta, ν = ω/(2π) la frequenza lineare e λ = 2π/k la lunghezza d’onda.
Relazione di dispersione: luce vs materia (II)
L’energia E di una particella non relativistica di massa m non soggetta a forze esterne `e data da
E = p
2
2m , (4)
dove p `e la quantit`a di moto della particella e p = |p| `e il suo modulo. Seguendo le ipotesi del 1922 di Louis de Broglie, assumiamo di poter scrivere
E = ~ω (5)
p = ~k (6)
dove ω e k sono rispettivamente la frequenza angolare e il vettore d’onda dell’onda quantistica monocromatica associata alla particella. Ne segue subito che la relazione di dispersione di questa onda monocromatica quantistica di materia di de Broglie risulta
ω =~k
2
2m . (7)
E’ importante sottolineare che, diversamente dal caso dell’onda di luce, nell’onda di materia quantistica la relazione di dispersione dipende esplicitamente dalla costante di Planck ridotta ~.
d’Alambert vs Schr¨
odinger (I)
Precedentemente abbiamo mostrato che la relazione di dispersione della luce monocromatica
ω = c k (8)
si ottiene facilmente a partire dall’equazione di d’Alambert del campo elettrico 1 c2 ∂2 ∂t2− ∇ 2 E(r, t) = 0 , (9)
nell’ipotesi che il campo elettrico sia un’onda piana
d’Alambert vs Schr¨
odinger (II)
La domanda che si pose Erwin Schr¨odinger fu la seguente: data la relazione di dispersione
ω = ~k
2
2m (11)
dell’onda quantistica di materia di de Broglie, assumendo che quest’onda sia descrivibile come un’onda monocromatica del tipo
ψ(r, t) = ψ0ei (k·r−ωt), (12)
qual’`e l’equazione differenziale che mi permette di ottenere la relazione di dispersione sopra indicata?
Nel 1926 Schr¨odinger trov`o risposta alla sua domanda. L’equazione differenziale da lui cercata risulta essere
i ~∂t∂ψ(r, t) = −~
2
2m∇
2ψ(r, t) . (13)
E’ infatti facile verificare che sostituendo l’Eq. (12) nella Eq. (13) si trova l’Eq. (11).
Regole di quantizzazione (I)
A partire dall’onda piana monocromatica, sia per l’equazione di
d’Alambert che per l’equazione di Schr¨odinger, la relazione di dispersione si ottiene tenendo conto che
∂
∂t ←→ −i ω , (14)
∇ ←→ i k , (15)
cio`e: applicando la derivata prima temporale alla funzione onda piana si ottiene la stessa funzione moltiplicata per −i ω, mentre applicando le derivate prime spaziali alla funzione onda piana si ottiene la stressa funzione moltiplicata per i k. Ricordiamo che i =√−1.
Queste espressioni si possono anche scrivere come
ω ←→ i ∂
∂t , (16)
k ←→ −i ∇ , (17)
Regole di quantizzazione (II)
Moltiplicando anche per ~ si ha allora
~ω ←→ i ~
∂
∂t , (18)
~k ←→ −i ~∇ . (19)
Ricordando che E = ~ω e che p = ~k si ottiene in definitiva
E ←→ i ~ ∂
∂t , (20)
p ←→ −i ~∇ . (21)
Queste espresioni sono note come regole di quantizzazione: dalla formula che lega l’energia E alla quantit`a di moto p di una particella con queste regole si ottiene l’equazione differenziale che descrive l’onda associata alla particella.
