Equazione di Schrödinger (particella libera)

1

Meccanica Quantistica II

Prof. Mauro Villa

2

Dettaglio del corso - II

• Stati liberi e stati legati - Eq. di Schroedinger con potenziale

- Casi unidimensionali:

-- Stati stazionari;

-- buca di potenziale infinita -- buca di potenziale finito -- Oscillatore armonico -- barriera di potenziale (step singolo e doppio)

--effetto tunnel

Esempi: microscopia ad effetto tunnel, decadimenti beta, fusione nucleare

• L’atomo di idrogeno - Problemi in 3 dimensioni -- Livelli energetici, numeri quantici

• Spin e fisica atomica

– Spin ed elettroni in un campo B

– Spin e statistica

– Interazione spin orbita e doppietti spettrali

Materiale didattico e testi

• Quanto già presentato dal Prof. Massa

• Halliday-Resnik, Meccanica Quantistica, CEA

• Max Born, Fisica Atomica, Boringhieri

• Lucidi ed altro materiale in ISHTAR:

• http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/

/villa/stuff/2005/LS/FisicaModerna.html

4

Prima parte: Stati legati

• Equazione di Schrödinger con potenziale

• Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari

• Normalizzazione e continuità delle funzioni d’onda

• Esempio I: buca di potenziale infinita

• Grandezze fisiche: operatori ed incertezze; osservabili

• Esempio II: buca di potenziale finita

• Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico

• Sovrapposizione ed evoluzione di stati

• Principio di corrispondenza: M. Quantistica ÅÆM. Classica

5

Equazione di Schrödinger (particella libera)

   

2 2

2

, ,

2

x t x t

m x i t

\ \

w w

 w w

= =

Eq per la particella libera (1D):

Caratteristiche principali:

eq differenziale lineare su quantità energetiche

1; 2 soluzioni a 1 b 2 soluzione

\ \ Ÿ \ \  \

Vale il Principio di sovrapposizione:

La soluzione rappresenta un’onda piana.

Sostituendo nella equazione di Schrödinger, si ottiene

 

^{x t, Aei kx Zt}

\ ^

2 2

2 k

m Z

= =

 

2

e quindi, utilizzando

2

E p

K E

p k m

Z½

Ÿ {

¾¿

=

=

che rispecchia la proprietà della particella libera

(non soggetta a forze, e quindi senza energia potenziale). ⁶

Eq. di Schrödinger con potenziale

• In meccanica classica l’equazione energetica di riferimento e’

) 2 (

) 2 (

1 ₂ ²

x m U x p U mv

E  

In MC, il moto di un corpo è determinato sulla base delle equazioni cardinali della meccanica: eq. sulle forze e sui momenti delle forze.

In MQ, lo stato di un sistema (Ȍ) è determinato sulla base

dell’equazione di Schrödinger: trovare la Ȍ(x,y) conoscendo la U(x) ( ) ( , )

U x x t

 <

• Una naturale estensione dell’equazione di Schrödinger in presenza di potenziali è quindi:

• Il principio di corrispondenza MC ļ MQ è così soddisfatto

2 2

2

( , ) ( , )

2

x t x t

m x i t

w < w<

 w w

= =

7

Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari (I)

1

;

2

soluzioni a

1

b

2

soluzione

\ \ Ÿ \ \  \

L’eq. di Schrödinger è una eq lineare alle derivate parziali in Ȍ(x,t) che si risolve in diversi passi.

Conseguenze della linearità:

Come trovo una prima soluzione?

Ipotesi. Separazione delle variabili: Ȍ(x,t) = ȥ(x)ij(t)

Infine divido tutto per ȥ(x)ij(t):

costante )

( ) ( ) 1 ) ( ( ) ( 1

2 ²

2 2

w

 w w

 w C

t t i t

x x U

x x m

M M

\

\ ⁼

=

C non dipende da x o da t

t x t i t x x x U t x

m w

 w w

 w ()

) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (

2 ( ²

2

2 M

\ M

\ \

M =

= ( ) parte spaziale

( ) parte temporale x

t

\ M

8

Stati stazionari: II - parte temporale ij(t)

1 ( ) ( )

( ) ( )

t d t C

i C i t

t t dt

M M M

M

w o 

= w

=

Iniziamo ad analizzare la parte temporale.

Si tratta di una eq differenziale lineare al primo ordine:

t C

Ae i

t) ^{( / )}

( ^{ =}

La cui soluzione è facile: I

Si tratta della parte temporale dell’equazione delle onde.

Questa soluzione ha una pulsazione data da:

Z

C/= E quindi una energia E data da : E =Z C

La costante C ha le dimensioni dell’energia (verificare!) e

rappresenta l’energia associata ad una determinata funzione d’onda.

Nel processo di separazione delle variabili abbiamo imposto che l’energia del sistema sia ben definita!

Notare il cambio

˜ ĺ d

9

Stati stazionari: III – definizione ed energia

Proprietà principale degli stati ad energia E definita:

( , )x t \( ) ( )xM t \( )x e^iEt/

< ⁼ Notare l’assenza di A

La densità di probabilità non dipende dal tempo:

* * / / *

( , ) ( , ) ( , ) [ ( ) ^iEt ][ ( ) ^iEt ] ( ) ( ) ( ) P x t < x t < x t \ x e^{ =} \ x e^{ =} \ x\ x P x

Poiché la probabilità P(x,t) non varia con t, lo stato osservabile del sistema non varia nel tempo. Tali stati quantistici sono detti

stati stazionari

.

Per tali stati l’energia E è nota con precisione. Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, in tali stati il tempo è una quantità non determinabile: _{' ' ! =E t / 2}

10

Stati stazionari: IV – parte spaziale ȥ(x)

Riprendiamo l’eq di Schrödinger e sostituiamo la ij(t):

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

2

d x

U x x E x

m dx

\ \ \

 = 

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

x t

t U x x t x i E x t

m x t

\ M

M ^w \ M \ ^w \ M

 

w w

= =

Dopo alcuni passaggi si perviene all’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

Caratteristiche: eq differenziale lineare alle derivate seconde (no derivate parziali in 1D) senza termini complessi. La ȥ(x) può essere reale (ma ricordate che se ȥ(x) è una soluzione allora anche aȥ(x) con a costante complessa lo è!)

11

Normalizzazione delle funzioni d’onda

Che significato fisico diamo all’ampiezza della funzione d’onda?

• Certezza di trovare la particella da qualche parte:

*( , ) ( , )x t x t dx \*( ) ( )x\ x dx 1

f

f

< <

³ ³

L’eq definisce la costante moltiplicativa della funzione d’onda.

Solitamente si tratta di un numero definito a meno di una fase ininfluente. Se ȥ(x) è soluzione norm. ĺ anche ȥ(x) e^iș lo è

( , ) *( ) ( ) P x t dx \ x\ x dx

• Probabilità di trovare la particella in un intervallo di ampiezza dx:

( )x e^ikx/ V

\

o si normalizza in un “volume” (lunghezza) arbitrario (V) P(V)=1 ĺ

Eccezione: onde piane. O non si fa la normalizzazione o\( )x e^ikx

12

Continuità della funzione d’onda (I)

• Riscriviamo l’equazione di Schrödinger nella forma:

2

2 2

( ) 2

( ( ) ( ) ( ))

d x m

U x x E x

dx

\ \  \

=

• Se U(x) è una funzione continua e ȥ(x) è almeno una funzione C₀, Æȥ''(x) è continua, ȥ(x) è una funzione almeno C₂

• In generale, se U(x) è una funzione C_n, allora ȥ(x) è una funzione C_n+2

• Se U(x) presenta un salto finito,

allora la ȥ''(x) sarà discontinua, ma la ȥ'(x) sarà continua e così anche la ȥ(x)

13

Continuità della funzione d’onda (II)

2

2 2

( ) 2

( ( ) ( ) ( ))

d x m

U x x E x

dx

\ \  \

=

• Se U(x) presenta un salto infinito, allora la ȥ''(x) sarà discontinua, così anche la ȥ'(x),

ma la ȥ(x) sarà ancora continua.

( ) 0

0 U x x

u x

f 

®­

¯ !

Regola generale: la ȥ(x) è sempre continua La nostra prima soluzione: ȥ(x)=0 per x<0

2

2 2

( ) 2

per 0 : d x m( ) ( ) ( ) sen( ) cos( )

x u E x x A kx B kx

dx

\ \ \

!  o 

=

La continuità in x=0 ci impone:\^{(0) 0 Asin 0}^{Bcos 0 B}o^{B 0}

per x!0 : \( )x Asen( ) con kx k 2 (m E u ) /= 14

Esempio I: buca di potenziale infinita (I)

La nostra prima soluzione: ȥ_I(x)=0 per x<0 e ȥ_III(x)=0 per x>L

La particella non può mai trovarsi a x negative, né a x>L

Soluzione: ²

2 2

( ) 2

( ( ) ( ) ( ))

d x m

U x x E x

dx

\ \  \

=

2

2 2

( ) 2

per 0 : ( )

( ) sen( ) cos( )

II

d x mE

x L x

dx

x A kx B kx

\ \

\

  

o 

=

2

con 2mE

k = 0 ( )

( ) 0 0 ( )

( )

x I

U x x L II

x L III

f 

­°

®  

°f !

¯

Determiniamo la funzione d’onda per un potenziale dato da:

(buca di potenziale)

L x

0

15

Esempio I: buca di potenziale infinita (II)

A, B, E(k), incogniti. Richiedo la continuità per x=0:

per x 0, \_I(0) \_II(0)o 0 B \_II( )x Asen( )kx Richiedo la continuità per x=L:

per , ( ) ( ) sin 0

0 oppure con intero

II III

x L L L A kx

A kL n n

\ \

S o o

2 2 2

2 2

k n E n

L mL

S S

o = Solo certi valori di energia sono permessi;

L’energia è quantizzata

Normalizzazione: ^{* * *}

0

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 / 2 1

L

II II

x x dx x x dx A AL

\ \ \ \

f

f

o o

³ ³

Posso scegliere A reale: \_II( ) sen( ) 2 /x kx L ( ) sen( ) cos( )

II x A kx B kx

\ 

Nella regione II:

16

Esempio I: buca di potenziale infinita (III)

• Soluzione completa all’eq. Indipendente da t:

0 ( ) 0 0 ( )

( ) 0 0 ( ) ( ) sen( ) 2 / 0 ( )

( ) 0 ( )

x I x I

U x x L II x kx L x L II

x L III x L III

\

f  ­ 

­ °

°   o  

® ®

°f ! ° !

¯ ¯

Dove con n intero >0^{2 2}₂ ²

n n 2

k k n E E n

L mL

S S

o =

Reintroduciamo il tempo:

( , ) sen( ) ^{iE tn} / 2 /

n x t k x en ^ L

< ⁼

Soluzione con energia E_ndefinita Usiamo il principio di sovrapposizione per trovare la soluzione più generale:

/ 2

1 1 1

( , )x t ^fc_{n n}( , )x t ^fc_nsen(k x e_n ) ^{iE tn} 2 /L con ^f c_n 1

<

¦

<

¦

⁼

¦

I coefficienti c_nsono determinati dalle condizioni iniziali.

17

Buca di potenziale infinita: riassunto

• Abbiamo visto:

1) Come passare dall’eq di Schrödinger completa a quella indipendente dal tempo (separazione delle variabili);

2) Come risolvere la parte temporale (energia definita);

3) Come risolvere la parte spaziale (per regioni omogenee) 4) Come usare la continuità della funzione d’onda per

determinare alcune caratteristiche della ȥ(x)

5) Come ottenere la quantizzazione dell’energia imponendo la continuità:

con n intero;

6) Come ricomporre la funzione d’onda completa Ȍ_n(x,t) 7) Come ottenere la soluzione più generale

2 2 2

2 2

En n

mL S =

/ 2

1 1

( , )x t ^fc_nsen(k x e_n ) ^{iE tn} 2 /L con ^f c_n 1

<

¦

⁼

¦

18

Buca di potenziale infinita

Primi stati stazionari:

Livello di minima energia (n=1, ground state):

1/ 1( , ) sen(x t Sx L e/ ) ^{iE t} 2 /L

< ⁼

2 2

1 2 2

E mL

S = Secondo livello energetico (n=2):

4 1/ 2( , ) sen(2x t Sx L e/ ) ^{i E t} 2 /L

< ⁼

2 2

2 2

2 2 1 4 1

E 2 n n E E

mL S =

19

Applet Java

20

Grandezze fisiche: operatori ed incertezze

• Ma come si determina la posizione, l’impulso, la velocità e l’energia di una particella conoscendo la funzione d’onda?

Generalizzando il concetto di probabilità:

( ) *( ) ( )

P x dx \ x\ x dx è la probabilità di trovare la particella nell’intervallo x, x+dx. La probabilità di misurare un valore x in un intorno di x, x+dx è quindi: ^{P x dx( )} \^{*( ) ( )x}\ ^{x dx}

Calcolo il valore medio della quantità x attraverso l’espressione della media pesata:

( ) *( ) ( ) x

³

xP x dx

³

\ x x\ x dx

• Abbiamo una soluzione completa all’equazione di Schrödinger. Ormai sappiamo tutto del nostro sistema quantistico….

21

Incertezze

( ) *( ) ( ) x

³

xP x dx

³

\ x x\ x dx

Posizione:

Potenze della posizione: xⁿ

³

x P x dxⁿ ( )

³

\^*( )x xⁿ\( )x dx

2 3

0 1 2 3

( ( )U x U U x U x U x...)

Incertezza sulla posizione: ^{' x x x2 x2  x2} Stati stazionari:

Stati non stazionari:

Posizione: ^{x t( )}

³

^{xP x t dx( , ) <}

³

^{*( , )x t x<( , )x t dx}

Incertezza sulla posizione: ^{'x t( )}



^{x x}



^{2 x2  x2}

Per gli stati non stazionari le grandezze fisiche osservabili (e le

loro incertezze) sono funzione del tempo t ²²

Generalizzando….

2 3

0 1 2 3

( ) ...

f x f  f x f x f x

( ) ( ) ( ) ( , ) *( , ) ( ) ( , ) f x t

³

f x P x t dx <

³

x t f x < x t dx Possiamo facilmente generalizzare per funzioni generiche della posizione:

^ `

* *

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

O t <

³

x t O x t dx< <

³

x t O x tª¬ < º¼ dx

L’operatore funzionale è una operazione sulla funzione Ȍ(x,t)

In MQ, tutte le quantità fisiche misurabili (posizione, energia) sono operatori funzionali. I valori medi di tali operatori sono detti

“

osservabili

” (quantità osservabile, misurabile), per distinguerli dalla funzione d’onda che non è osservabile né misurabile.

Generalizziamo ulteriormente utilizzando il concetto di operatore funzionale ƿ: O<( , )x t f x t( , )

23

Principali osservabili fisiche

• Posizione. Operatore

( ) *( ) ( ) x

³

xP x dx

³

\ x x\ x dx

Osservabile:

• Impulso. Operatore O p i x  w

=w

Osservabile: _p ^*_{( , )x t i} ^{( , )x t} _dx ^*_{( )x i} ^{d ( )x} _dx

x dx

\ \ w<

 < 

³

⁼ w

³

⁼

• Energia. Operatore ^{O E i w}_t

=w



²



*( , ) ( , )x t _{n n}

E x t i dx c E

t w<

<

w

¦

³

⁼

Nota bene

: l’equazione di Schrödinger è tra operatori:

2 2 2

2

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

2 2

x t x t p

U x x t i U x x t E x t

m x t m

§ ·

w < w<

 w  < w o ¨©  ¸¹< <

= =

O x

24

Esercizio sulla buca di potenziale infinita

• Calcolare le osservabili posizione e impulso e le loro incertezze per la funzione d’onda di minima energia

1/ 1( , ) sen(x t Sx L e/ ) ^{iE t} 2 /L

< ⁼

2 2

1 2 2

E mL

S =

* 2

1 1 1

0

( ) ( ) sen ( ) (2 / ) / 2

L

x

³

\ x x\ x dx

³

x k x dx L L

Posizione:

2 * 2 2 2 2

1 1 1 2

0 2 2

1 1

( ) ( ) sen ( ) (2 / )

3 2 0,181

L

x x x x dx x k x dx L L

x x x L

\ \

S

§ ·

¨  ¸

© ¹

' 

³ ³



Impulso: 1^{* 1} 1 1 1

0

( ) ( ) sen( ) cos( ) (2 / ) 0

d x L

p x i dx i k k x k x dx L

dx

\ \



³

⁼ ⁼

³

2 2

2 2 * 1 2

1 2 1

( )d ( )x 2

p x dx mE p p p

dx L

\ S

\

⁼

³

'  ^{ =}

Principio di indeterminazione: ^{' ˜ ' x p 0.568=} Rifare l’esercizio per Ȍ₂(x,t)

25

Esempio II: buca di potenziale finita

Soluzione:

Il sistema sarà caratterizzato da stati liberi e da stati legati.

Gli stati liberi (E>0) saranno simili ad onde piane (quando U_oÆ0), Gli stati legati (E<0) saranno simili a quelli per la buca di potenziale Infinita (quando UoÆ-’)

Limitiamoci agli stati legati: E<0 Nella regione I (x<0) si ha:

2

2 2 2

( ) 2 2

( ) ( ) ^{x x}con

d x mE mE

x x Ce De

dx

D D

\  \ o \  ^ D 

= =

0

0 0 ( )

( ) 0 ( )

0 ( )

x I

U x U x L II

x L III

­ 

°®  

° !

¯

Determiniamo la funzione d’onda dello stato fondamentale per un potenziale dato da:

L 0 x

U(x) I

II III

Soluzione non normalizzabile: D=0

26

Buca di potenziale finita (II)

• Ricerchiamo una soluzione nella forma

2

0 2

0 ( ) 2

( ) sen( ) cos( ) 0 ( ) con

2 ( )

( )

x

x

Ce x I mE

x A kx B kx x L II

m U E

Ge x L III k

D

D

D

\





­  

°   

® 

° !

¯

=

=

Imponiamo la continuità di ȥ e di ȥ' in 0 e in L (0) (0)

I II C B

\ \ o \Ic⁽⁰⁾ \IIc⁽⁰⁾ oCD kA

( ) ( ) sin( ) cos( ) ^L

II L III L A kL B kL Ge ^D

\ \ o  ^

( ) ( ) cos( ) sin( ) ^L

II L III L Ak kL kB kL Ge ^D

\^c \^c o  D ^

Fisso A e B Fisso G

Sostituendo e riarrangiando i termini: ^{2cot( )kL k}

k D D^ E’ una relazione di quantizzazione!

27

Buca di potenziale finita (III)

Notare le differenze tra la buca di potenziale finita (sinistra), l’analogo classico e la buca a potenziale infinito (destra).

In questo caso, la particella NON è confinata nella buca, ma può Essere trovata anche nelle regioni I e III, non permesse classicamente

Lunghezza di penetrazione į: ȥ(x) = e^{-Įx 1}

2 (m U E)

G D 

=

28

Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico

Caso classico:

Legge di Hooke:

Potenziale:

Equazione del moto:

Moto oscillatorio tra x=-A e x=+A

x x

F kx F ma mx

1 2

( ) 2

U x k x

( ) cos( 0) con /

x t A ZtM Z k m

Caso quantistico:

Potenziale: U x( ) ¹₂k x² Eq. di Schrödinger:

2 2

2 2

( ) 1

( ) ( )

2 2

d x

k x x E x

m dx

\ \ \

 = 

Quantizzazione: esistono soluzioni solo quando

0( 12) con 0 / , 0,1, 2,...

E =Z n Z k m n

Lunghezza caratteristica: l=1/bÆ ^b



^mk=2



¹⁴

29

Le soluzioni per l’oscillatore armonico

12 2 2

2 2 12

12 2 2

12 2 2

2 2 1 2

1 0

2

3 0 2

5 2 2 0 2

7 3 3 2 0

1 0 2

( )

0

1 (2 )

2

2 (4 2)

8

3 (8 12 )

48

( ) ( )

2 !

n

b x

b x

b x

b x

b x n n

n E x

b e b bx e

b b x e

b b x bx e

n n b H bx e

n

\

Z S

Z S

Z S

Z S

Z S

















=

=

=

=

=

H_n(bx) : polinomi di Hermite

* 1 per

( ) ( )

0 per

n m nm

x x dx n m

\ \ G ­ n m

® z

³

¯ Vale per ogni insieme di soluzion

stazionarie ₃₀

Lo stato fondamentale

^{\0( )x b}_S^{e12b x2 2}

Posizione media: <x>=0

Incertezza su x: ^{' x x x2 1}_b Impulso medio: <p>=0

Incertezza sull’impulso: ^{' p p p2 =}₂^b

Relazione di indeterminazione di Heisenberg: ' ' =x p / 2 Energia: E ¹2=Z0 con Z0 k m/

Regola generale(su tutti gli stati QM): l’energia minima NON è mai 0 il corpo appare sempre in moto (ǻp0), anche se non si sposta (p!=0) Per questo comportamento non esiste un analogo classico.

(notare: x _n 0 n)

(notare: p _n 0 n)

31

Sovrapposizione di stati

Supponiamo di avere un oscillatore armonico in una sovrapposizione di stati stazionari (n=0, n=1):

2 2 2 2 3

1 1 1

0 0

2 2 2 2

1 1 1 1

0 1

2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) (2 )

2

b x i t b x i t

b b

x t x t x t e ^Z bx e ^Z

S S

   

< <  < 

   

* 1 * 1 * 1 1

0 1 0 1

2 2 2 2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x t <

³

x t x< x t dx

³

< x t  < x t x < x t  < x t dx

* * *

0 0 1 1 0 1

* *

1 0 0 1

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2 2 2

1 ( , ) ( , ) 0 0 Re ( , ) ( , )

2

x t x x t dx x t x x t dx x t x x t dx

x t x x t dx x t x x t dx

< <  < <  < < 

ª º

 < <   ¬ < < ¼

³ ³ ³

³ ³

2 2 2 2

3

1 1 1

0 0

2 2 2 2

0

Re (2 ) 1 cos( )

2

i t i t b x b x

b b

e e x bx e dx t

b

Z Z

S Z

S S

   

ª º

« »

¬

³

¼

Determiniamo l’osservabile posizione:

La sovrapposizione degli stati produce il moto nel sistema! AppletÆ t

32

Esempi di oscillatori armonici: molecole, nuclei

MC: dato un potenziale arbitrario U(x) con un minimo, in prossimità del minimo il sistema ha delle oscillazioni (piccole oscillazioni) MQ: per minimi sufficientemente profondi, il sistema si comporta come un oscillatore armonico: livelli energetici equispaziati

Esempi:

molecole biatomiche, nuclei

x U(x)

33

Principio di Corrispondenza MQ ļ MC

Meccanica Classica: FG maG, F_x mx o x t( )



2 2

2

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

2

x t x t

U x x t i x t

m x t

w < w<

  < o <

w w

= =

Meccanica Quantistica:

( ) *( , ) ( , ) x t <

³

x t x< x t dx

Osservabile fisica: ^{O t( ) <}

³

^{*( , )x t O<( , )x t dx}

Esempio: osservabile posizione

La Ȍ(x,t) descrive completamente lo stato QM ma non è misurabile

Usando l’eq di Schrödinger si può verificare che:

Gli osservabili accelerazione e forza verificano: x

dU F m x

dx 

La base della MC è una relazione tra valori medi sugli stati quantistici

 

2 2

* *

2 2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) _x

d x t d dU dU

m m x t x x t dx x t x t dx F

dt dt dx dx

§ ·

< < < ¨ ¸< 

© ¹

³ ³

34

Riassumendo

35

Esercizio I: condizione di normalizzazione

• Un sistema quantistico è soggetto ad un potenziale U(x) che produce solo stati legati. Siano con n=0,1,2,…. le soluzioni normalizzate degli stati stazionari.

Verificare che per uno stato arbitrario

Vale la condizione di normalizzazione

/

0 0

( , )x t c_{n n}( , )x t c_n\_n( )x e ^{iE tn}

f f

<

¦

<

¦

 ⁼

( , ) ( ) ^{iE tn}/

n x t \n x e^

< ⁼

* 1 per

( ) ( )

0 per

n m nm

x x dx n m

\ \ G ^­_® n m

¯ z

³

2 0

n 1

f c

¦

36

Esercizio 2: Energia di un sistema

• Un sistema quantistico è soggetto ad un potenziale U(x) che produce solo stati legati. Siano con n=0,1,2,…. le soluzioni normalizzate degli stati stazionari.

Verificare che per uno stato arbitrario

l’energia media vale:

/

0 0

( , )x t c_{n n}( , )x t c_n\_n( )x e ^{iE tn}

f f

<

¦

<

¦

 ⁼

* ( , ) 2

( , ) x t _{n n}

E x t i dx c E

t w<

<

w

¦

³

⁼

( , ) ( ) ^{iE tn}/

n x t \n x e^

< ⁼

37

Esercizio 3: Evoluzione di un sistema

• Al tempo t=0, un sistema quantistico è descritto da una

funzione d’onda data ij(x) . Sapendo che con n=0,1,2,…. sono le soluzioni normalizzate degli stati

stazionari, determinare l’evoluzione futura (t>0) della funzione d’onda.

( , ) ( ) ^{iE tn}/

n x t \n x e^

< ⁼

Soluzione: devo trovare i c_nper cui

Sapendo che:

/

0 0

( , )x t c_{n n}( , )x t c_n\_n( )x e ^{iE tn}

f f

<

¦

<

¦

 ⁼

( ,x t 0) M( )x

<

/ /

* *

0

/ / * / /

0 0

( , ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( )

n m

n m n m

iE t iE t

n n m m

iE t iE t iE t iE t

m n m m nm n

x t x t dx x e c x e dx

c e e x x dx c e e c

\ \

\ \ G

 f 

f f

   

§ ·

< < ¨ ¸

©

¦

¹

³ ³

¦ ³ ¦

= =

= = = =

38

Esercizio 3: Evoluzione di un sistema II

• Soluzione:

*_n( ,0) ( )x M x dx \_n*( ) ( )xM x dx c_n

³

<

³

/

0 0

( , )x t c_{n n}( , )x t c_n\_n( )x e ^{iE tn}

f f

<

¦

<

¦

 ⁼

In questo modo sono sicuro che:

( ,x t 0) M( )x

<

39

Seconda parte: stati liberi

• Stati liberi e stati legati

• Prototipo di stato libero

• Salti di potenziale

• Stati liberi per la buca di potenziale finita

• Barriera finita di potenziale

• Effetto tunnel: riflessione e trasmissione

• Effetto tunnel: microscopia ad effetto tunnel

• Effetto tunnel: altri esempi

• Livelli energetici nei conduttori

40

Stati liberi

Stati legati: la particella è confinata in una zona finita di spazio.

(cum grano salis)

Stati liberi: la particella può essere ovunque nello spazio.

Caratteristiche generali in MQ:

- Assenza di onde stazionarie - Assenza di quantizzazione

41

Prototipo di stato libero

• Richiami di onde piane:

t t i x

t x x x U

t x

m w

<

< w w 

<

 w ( , )

) , ( ) ) ( , (

2 ²

2 2

= =

Se U(x)=0 allora:

( )

( , )x t e^{i kxZt} è un'onda piana progressiva ( p k )

<  =

( )

( , )x t e^ikxZt è un'onda piana regressiva ( p k )

<  =

Entrambe di energia ^{2 2}

2 E k

Z ⁼m

=

Se U(x) 0 allora avrò soluzioni diverse, ma vicine a queste, o combinazioni di queste….

42

Salto di potenziale

• Iniziamo con il caso più semplice:

x U(x)

u₀

Supponiamo di sapere che vi è una sorgente di particelle (elettroni) che provengono da sinistra con E>u₀e che nel loro percorso incontrano il salto di potenziale.

( )

( , )x t e^{i kxZt} è l'onda iniziale (x 0), con E Z,k 2mE/

<  = =

( ) ( )

( )

0

In generale per 0 : ( , )

Per 0, ( , ) con / , 2 ( ) /

i kx t i kx t

I i k x t II

x x t Ae Be

x x t Ce E k m E u

Z Z

Z Z Z

  

c c

 < 

c c

! < =  =

Oss: per x>0 manca l’onda regressiva per le nostre condizioni iniziali!

Se richiedo la continuità a x=0, ogni t, trovo:A B C , k A B k C(  ) c In generale: B0 Æ ho SEMPRE un’onda riflessa dal salto di potenzial C0 Æ ho un’onda trasmessa dopo il salto di potenziale (E>u₀)

43

Stati liberi per la buca di potenziale

Consideriamo ora quanto avviene nel caso precedente (sorgente di Elettroni a sinistra) nel caso della buca di potenziale:

0

0 0 ( )

( ) 0 ( )

0 ( )

x I

U x U x L II

x L III

­ 

°®  

° !

¯

L 0 x

U(x) I

II III

( ) ( )

( ) ( )

( ) 0

0 ( )

2 /

( , ) 0 ( ) con

2 ( ) /

( )

i kx t i kx t

i k x t i k x t

i kx t

Ae Be x I

k mE

x t Ce De x L II

k m E U

Fe x L III

Z Z

Z Z

Z

    

c c

    

 

­  

< °®   

c 

° !

¯

=

=

Le soluzioni ad E fissata sono:

Condizioni al contorno in 0 e in L Æ 4 relazioni: fisso B,C,D,F Non ho alcuna relazione di quantizzazione!

Definisco: probabilità di riflessione Probabilità di trasmissione

2 2

1 0

2 2

2 0

/ ( , , )

/ ( , , )

R B A f k L U

T F A f k L U ⁴⁴

Barriera finita di potenziale

Caso analogo (uguale!!) al precedente ma diverso dal caso classico:

0

0 0 ( )

( ) 0 ( )

0 ( )

x I

U x U x L II

x L III

­ 

°®  

° !

¯ 0 L x

U(x)

I II III

U₀

Supponiamo di avere a sinistra una sorgente di elettroni con E<U₀:

( )

( , )x t e^{i kxZt} è l'onda iniziale (x 0), con E Z,k 2mE/

<  = =

Classicamente la particella rimarrebbe nella zona I (rimbalza in x=0) Quantisticamente il sistema è descritto dalle stesse equazioni di prima:

Unica differenza: -U₀Æ^+U₀

0 0

( ) ^{ik x ik x} con 2 ( ) / ( se )

II x Ce De k m E U E U

\ ^{ c}  ^{ c} c  = ^