INTRODUZIONE
La meccanica, la più antica delle scienze fisiche, ha come scopo lo studio del moto degli oggetti correlato con le sue cause, le forze
La parte della meccanica che si occupa della descrizione del moto, indipendentemente dalla sue cause, si chiama cinematica (dal greco movimento) L’analisi delle cause del moto è invece compito della dinamica (dal greco forza)
Verrà trattata la cinematica in una dimensione e verranno introdotte le grandezza necessarie a descrivere il moto, posizione, velocità, accelerazione.
Saranno illustrati il moto uniforme e quello uniformemente accelerato.
Cosa fa rabbrividire il pilota oltre al frastuono?
CINEMATICA DELLA PARTICELLA
La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente dalle cause che li provocano (le forze).
Lo studio della cinematica sarà per il momento limitato a :
(1) Moto di una particella (o punto materiale). Si considera una particella un corpo le cui dimensioni sono piccole rispetto alle dimensioni del suo moto. La particella è dotata di massa.
(2) Moto rettilineo, dove la traiettoria della particella, ossia l’insieme dei punti occupati dalla particella durante il moto, si trovi su una retta.
Lo studio del moto rettilineo consente di introdurre delle grandezze di base come velocità ed accelerazione senza le complicazioni dei moti in due o tre dimensioni
La cinematica studia anche il moto di corpi indeformabili (rigidi) e deformabili.
DESCRIZIONE DEL MOTO DELLA PARTICELLA
Elementi necessari per la descrizione del moto:
• Traiettoria (rettilinea)
• Sistema di riferimento (il moto è relativo)
• Una funzione che descriva la posizione della particella rispetto al tempo x(t) rispetto all’origine del sistema di riferimento adottato
Sistema tolemaico Sistema copernicano
SdR: la Terra SdR: il Sole
Il moto è relativo
METODO ANALITICO E METODO GRAFICO VELOCITÀ
Il metodo analitico è più preciso e più adatto per risolvere i problemi
Il metodo grafico (nel moto in una dimensione) consente una più immediata comprensione del fenomeno fisico
La VELOCITÀ descrive la rapidità con cui varia la posizione del punto
v>0 concorde con asse x v<0 discorde con asse x
|v| modulo della velocità
x y
0
Nessun moto
x t ( ) = A
Grafico spazio-tempo
x(t) = A + Bt
Se la velocità è costante
lo spazio percorso è proporzionale al tempo Moto a velocità costante
esprime la rapidità di variazione di x in funzione di t
METODO ANALITICO E METODO GRAFICO ACCELERAZIONE
Moto accelerato
In un moto accelerato la velocità non rimane costante
x(t) = A + Bt + Ct
2x(t) = A cos ω t
La pendenza cambia
L’accelerazione esprime la rapidità con cui cambia la velocità del punto materiale
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI
AccelerazioneVelocitàPosizione
Automobile che accelera e frena Disco da hockey che rimbalza
inversione istantanea della velocità
Attenzione. Questi grafici sono rappresentazioni del moto e non le effettive traiettorie
x(t) funzione continua
velocità funzione continua
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI
Palla lanciata in alto
Annullamento ed inversione della velocità Aumento di
velocità negativa
Arresto istantaneo
http://www.calculusapplets.com/motionline.html
LA VELOCITÀ MEDIA
La velocità media fornisce un indicazione del comportamento medio della particella, ma non del comportamento istante per istante
Il valore della velocità media dipende dall’intervallo Δt scelto Il segno della velocità media è quello di Δx
La velocità media è nulla se la particella ritorna al punto di partenza
Intervallo di tempo
Spostamento
Nei casi in cui il grafico spazio-tempo non sia una retta la velocità non è costante
Si definisce la velocità media:
v = x
2− x
1t
2− t
1= Δx
Δt ; [ ] v = L
T = m
s
Per descrivere i dettagli del moto è più utile costruire una funzione v(t) che rappresenti la velocità in un punto (velocità istantanea)
Si diminuisce progressivamente l’intervallo Δt fino a farlo diventare molto piccolo (dt)
La linea che congiunge i punti terminali dell’intervallo si approssima alla tangente al grafico spazio tempo
La pendenza della tangente al grafico spazio- tempo in un punto (istante) è la velocità istantanea della particella in quell’istante
LA VELOCITÀ ISTANTANEA
Matematicamente:
v = lim
Δt→0
Δx
Δt = lim
Δt→0
x(t
2) − x(t
1)
t
2− t
1→ v t ( ) = dx t ( )
dt
La velocità istantanea v(t) è la derivata prima di x(t)
ESEMPIO
Stai guidando una automobile per 5,2 km a 43 kmh-1 su una strada rettilinea.
Ad un certo punto resti senza benzina e percorri a piedi in 27 minuti la distanza di 1,2 km fino al distributore più vicino.
Qual è la tua velocità media?
Δx = 5, 2 km +1, 2 km = 6, 4 km
Δt = 5, 2 km
43kmh
-1+ 27min =
= 7, 3min+ 27min = 0, 57h
v = Δx
Δt = 6, 4 km
0,57h = 11, 2 kmh
-1ESEMPIO
La posizione di una particella in un moto rettilineo è data dalla espressione seguente:
x(t) = 3,000 m + 1,000 ms-1 t+ 2,000 ms-2 t2 dove t è in secondi.
Calcolare la velocità della particella al tempo t=1,000s.
Passaggio al limite della velocità media
convergenza
v = lim
Δt→0
Δx
Δt = lim
Δt→0
x(t
2) − x(t
1) t
2− t
1Processo di derivazione della funzione x(t)
v t = 1, 000 s
( )
= dxdt = d
dt
(
3, 000 m +1, 000 ms−1t + 2, 000 ms−2t2)
== 0 +1, 000 ms−1+ 2 2, 000 ms
(
−2t)
= 1, 000 ms−1+ 4, 000 ms−2t = 5, 000 ms−1ESEMPI DI MOTI RETTILINEI NESSUN MOTO
x t ( ) = A
POSIZIONE in funzione del tempo
VELOCITÀ in funzione del tempo
v t ( ) = dx
dt = 0
Diagramma spazio-tempo
Diagramma velocità-tempo
x t ( ) = A + Bt
v t
( )
= dxdt = d
dt
(
A + Bt)
= 0 + BPOSIZIONE in funzione del tempo
VELOCITÀ in funzione del tempo
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI
MOTO A VELOCITÀ COSTANTE
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI MOTO ACCELERATO
x t ( ) = A + Bt + Ct
2POSIZIONE in funzione del tempo
v t
( )
= dxdt = dtd(
A + Bt + Ct2)
= 0 + B + 2Ct VELOCITÀ in funzione del tempoLa velocità cresce con t
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI
AUTOMOBILE CHE ACCELERA E FRENA
Grafico spazio-tempo
Grafico velocità-tempo
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI
DISCO DA HOCKEY CHE RIMBALZA
Lo spigolo della x(t) corrisponde ad una discontinuità nella derivata prima
quindi nella velocità
ESEMPI DI MOTI RETTILINEI PALLA VERSO L’ALTO
La velocità decresce con continuità diventando negativa nella caduta
v(t)=B+2Ct con C<0 discontinuità nella velocità
velocità nulla
MOTO ACCELERATO
L’accelerazione descrive la rapidità con cui varia la velocità del punto
Accelerazione MEDIA
Accelerazione ISTANTANEA
a = v2 − v1
t2 − t1 = Δv
Δt;
[ ]
a = LT-1
T = L
T2 = m s2 a = lim
Δt→0
Δv
Δt = lim
Δt→0
v(t2) − v(t1)
t2 − t1 → a t
( )
= dv t( )
dt = d2x t
( )
dt2
L’accelerazione può essere positiva o negativa senza relazione con il segno della velocità
Se i segni di accelerazione e velocità sono opposti, il moto è decelerato
L’accelerazione è la pendenza del grafico velocità- tempo
Un moto ad accelerazione costante è detto UNIFORMEMENTE ACCELERATO
ESEMPIO
Record di massima velocità e minimo tempo: 631,60 km/h in 3,72 s.
Record di massima accelerazione: 117 km/h in 0,04 s.
Quale è stata l’esperienza più raccapricciante per il pilota?
accelerazione
decelerazione
a
1= Δv
Δt = 631, 60 kmh
−1− 0
3, 72s − 0 = 47, 2 m
s
2a = 4,8g a
2= 117kmh
−1− 0
0, 04s − 0 = 812 m s
2a = 83g
accelerazione di gravità
g = 9,80 m
s
2MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE
Moti con accelerazione costante si incontrano frequentemente (moto dei gravi, frenamento dei veicoli, ecc.)
a = costante a = a = Δv
Δt = v − v0
t − 0 → v t
( )
= v0 + atvelocità a tutti i tempi
Si possono determinare x(t) e v(t) a tutti i tempi data l’accelerazione e x0 e v0
v = 21
(
v + v0)
→ v = 12(
v0 + at + v0)
= v0 + 12 atv = Δx
Δt = x − x0
t − 0 = v0+ 12at
x t
( )
= x0 + v0t + 12at2 posizione a tutti i tempiv t ( ) = v
0+ at → t = v − v
0a
Eliminando il tempo da x(t) e v(t)
(sostituendo l’espressione trovata nelle equazioni di posizione e velocità):
v
2= v
02+ 2a x − x (
0)
x t ( ) = x
0+ v
0t +
12at
2x = x
0+ v
0v − v
0a +
12a v − v
0a
"
# $ %
&
'
2
MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE
VERIFICA DELLE EQUAZIONI OTTENUTE
x = x
0+ v
0t +
12at
2v = dx
dt = d
dt ( x
0+ v
0t +
12at
2) = v
0+ at
a = dv
dt = d
dt ( v
0+ at ) = a
a = dv
dt → dv = a dt → dv =
v0 v
∫ a dt
0 t
∫
v − v
0= a t → v = v
0+ a t
dx = v dt → dx =
x0 x
∫
v dt0 t
∫
=(
v0 + a t)
dt0 t
∫
x − x0 = v0t + 12a t2 → x = x0 + v0t +12 a t2
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
x = x 0 + v 0 t + 1 2 at 2 v = v 0 + at
x
0= posizione all'istante t = 0 v
0= velocità all'istante t = 0 a = costante
N.B. Una volta fissato il sistema di riferimento dare il segno giusto alle variabili
Tutti i corpi, indipendentemente dalla loro dimensione o composizione, lasciati andare nello stesso punto vicino alla superficie terrestre, cadono con la stessa accelerazione costante (ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ).
L’accelerazione di gravità varia di poco con la quota e con la latitudine.
Un valore medio è g=9,80 ms-2
La direzione dell’accelerazione di gravità determina la direzione della verticale
CORPI IN CADUTA LIBERA
EQUAZIONI DELLA CADUTA LIBERA
v = v
0− gt
y = y
0+ v
0t −
12gt
2Asse y verticale verso l’alto Accelerazione g negativa
v
2= v
02− 2g y − y (
0)
y = y
0+
12( v
0+ v ) t
y = y
0+ vt +
12gt
2CORPI IN CADUTA LIBERA
Un corpo è lasciato cadere liberamente da fermo. Determinare la sua posizione e la sua velocità dopo 1,0; 2,0; 3,0 e 4,0 s.
POSIZIONE
y = −12gt2; y 1, 0s( )
= −12(
9,80 ms−2) (
1, 0s)
2 = −4, 90 mVELOCITÀ
v = −gt; v 1, 0s( )
= − 9,80 ms(
−2) (
1, 0s)
= −9,80 ms−1y = y
0−
12gt
2y
0− y
( ) =
12gt
2g = 2 y (
0− y )
t
2g = 2d
2
MOTO IN UNA DIMENSIONE I. CONCINA – FISICA SPERIMENTALE
MISURA DELL’ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ
Esperimento di caduta 1. distanza di caduta d 2. tempo di caduta t
(Precisione raggiungibile 1%)
E’ possibile misurare g misurando il periodo di un pendolo oscillante
(Precisione raggiungibile 0,1%)
P = 2 π l
g → g = 4 π
2l
P
2MISURA DELL’ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ
Migliore precisione raggiunta con misure di periodo di un pendolo una parte su 10
6Misure di caduta utilizzando
interferometria laser raggiungono una precisione di una parte su 10
910-5ms-2
Valori di g sopra un giacimento di sale in
Olanda
