Formulario di Elettromagnetismo
Universit ˜
A
dell’Aquila
− → F12= 1 4πεo q1 q2 |r12|3 − →r 12 εo = 8.85 · 10−12 F/m µo = 4π · 10−7 H/m e = 1.602 · 10−19 C λ = dq dl σ = dq dS ρ = dq dτ Teorema di Gauss in forma integrale: ΦS( ~E) =Z S ~ E ·−→ds = Qint εo Differenza di potenziale: VB− VA= − Z B A ~ E · d~l Energia elettrostatica in un campo elettrostatico: ∆Ue = q∆V
Energia complessiva di formazione di un sistema di cariche: Ue =
1 2 1 4πεo X i6=j qiqj rij ~ ∇ = ( ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z) ~ E = −−−→gradV = −−→∇V Campi Elettrostatici ∇ ∧−→E = 0
Dipolo elettrico: ~p = q~a
Potenziale approssimato di un dipolo elettrico nell’origine (V (∞) = 0): V (~r) = 1 4πεo
~ p · ~r
r3
Campo elettrico approssimato di un dipolo elettrico: E =~ 1 4πεor5
[3(~p · ~r)~r − r2p]~
Momento agente su un dipolo elettrico: M = ~~ p ∧ ~E
Energia potenziale elettrostatica di un dipolo elettrico: Ue= −~p · ~E [J ]
Forza di trascinamento agente su un dip. elet. : Fx = −|p|
∂Ex
∂x orientato lungo l’asse delle x Equazione di Poisson: ∇2V (~r) = −ρ
ε0
Capacit ˜A di una sfera: C = 4πεoR
Condensatore a facce piane e parallele : C = Q
V = εoεr S d Condensatori in parallelo: Cp = n X i=1 Ci 1
Condensatori in serie: Cs = 1 Pn i=1 1 Ci Energia elettrostatica: W = 1 2 Q2 C = 1 2CV 2 = 1 2QV Energia elettrostatica per unit´a di volume: uE =
1 2εoE 2 Vettore di polarizzazione : −→P = εo(εr− 1) − → E Vettore di induzione dielettrica: −→D = εoεr
− → E − → D = εo − → E +−→P
La densit´a di corrente, con n numero dei portatori per unit´a di volume: J = nq ~~ vd
I = Z
S
~ J · d ~S
La legge di Ohm in forma microscopica: E = ρ ~~ J La legge di Ohm in forma macroscopica: V = IR
R = Z l
0
ρ(x) dx S(x)
Resistenza di un cilindro uniforme: R = ρl S Resistenze in serie: Rs = n X i=1 Ri Resistenze in parallelo: Rp = 1 Pn i=1 1 Ri
Legge di Joule macroscopica: P = V I Legge di Joule microscopica: Pu = ~E · ~J
leggi di Kirchhoff: n X i=1 Ii = 0 sui nodi N X 1=1 fi = M X j=1 RiIisulle maglie II legge di Laplace: −dF = I→ −→dl ∧−→B La forza di Lorentz: −→F = q(−→E + ~v ∧−→B ) Dipolo magnetico: m = I ~~ S
Momento della forza agente su un dipolo magnetico: ~M = ~m ∧ ~B
Energia meccanica di un dipolo magnetico in un campo magnetico: Um = − ~m · ~B
I legge di Laplace: −dB =→ µ◦I 4π − → dl ∧ ~r r3
La legge di Biot Savart: ~B = µ◦ 4πI I L − → dl ∧ ~r r3 2
Campo di induzione magnetica di un filo: |B| = µ◦I 2πR
Campo di induzione magnetica di una spira circolare sull’asse (z): ~B = µ◦iR
2uˆ n
2(R2+ z2)3/2
Campo di induzione magnetica approssimato di un dipolo magnetico: ~B = µ◦
4πr5[3( ~m·~r)~r−r 2m]~
Forza per unit ˜A di lung. tra fili rettilinei, paralleli distanti d: |F |
l = I1I2 µo
2πd La legge di Amp`ere in forma integrale:
I l ~ B · ~dl = µ◦ N X i=1 Ii
La legge di Amp`ere in forma locale: −→∇ ×−→B = µ◦
− →
J
Campo di induzione magnetica di un solenoide nel vuoto: |B| = µonI
Campo di induzione magnetica di un solenoide in un mezzo di permeabilit`a relativa µr:
|B| = µrµonI − → B = µrµo − → H −→ M = (µr− 1) − → H Riluttanza: R = I ` d` µoµr(l)S(l) La legge di Faraday-Newman-Lentz: Ei = − dΦc(B) dt L’induttanza: L = Φc(B) I Energia magnetostatica: W = Em = 1 2LI 2
per unit´a di volume: um=
1 2 |B|2 µ◦ Impedenza Z: ZR= R ZL = jωL ZC = − j ωC V = ZI
Sfasamento tra corrente e tensione in a.c: ϕ = −arctan(Zim Zre ) Z2 = Zre2 + Zim2 Zim= −|Z| sin ϕ Zre = |Z| cos ϕ Impedenze in serie: Zs = n X i=1 Zi Impedenze in parallelo: Zp = 1 Pn i=1 1 Zi
Potenza media assorbita nei circuiti in corrente alternata Pm = IeVecos ϕ
Corrente di spostamento i = εo
dΦ(E) dt
Densit´a di corrente di spostamento −→J = εo
d−→E dt Equazioni di Maxwell nel vuoto:
~ ∇ · ~E = ρ εo ~ ∇ ∧ ~E = ∂ ~B ∂t ~ ∇ · ~B = 0 ∇ ∧ ~~ B = µoJ + µ~ oεo ∂ ~E ∂t Equazione delle onde e.m. in 1 D 1
c2
∂2E
∂t2 =
∂2E
∂x2
Soluzione dell’eq. delle onde E(x ± vt)
ω = kc λ = 2π k ω = 2πν T = 2π ω Ey = ±cBz Vettore di Poynting ~S = 1 µo ~ E × ~B Pressione di radiazione |S| c 4
