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9 Esercitazione del 18/01/2011

Def: Uno spazio complesso Y si dice taut se Hol(D, Y ) `e normale, ovvero se, data una successione {fn}n∈N ⊂ Hol(D, Y ) si ha una delle due situazioni

seguenti:

i. esiste una sottosuccessione {fnk}k∈Nconvergente in Hol(D, Y ), oppure

ii. per ogni K ⊂ D, L ⊂ L compatti esiste n0 tale che per ogni n > n0, fn(K) ∩ L = ∅.

Rem 9.1 Y è taut se Hol(D, Y ) ∪ {∞} è compatto in C(D, Y∗_{), dove Y}∗ _{è la}

compattificazione di Alexandrov di Y .

Il concetto di spazio taut ha legami stretti con l’iperbolicit`a, come si com-prende dal seguente enunciato.

Thm 9.1 Y iperbolico completo ⇒ Y taut ⇒ Y iperbolico.

Dim: Dimostriamo la prima implicazione. Sia X un qualunque spazio comples-so e sia {fn} ⊂ Hol(X, Y ) ⊂ D(X, Y ), dove D(X, Y ) sono le funzioni continue

da (X, dX) in (Y, dY) che decrescono la (pseudo-)distanza; supponiamo che la

successione non sia divergente sui compatti, allora, fissati dei compatti K in X e L in Y , a meno di sottosuccessioni possiamo supporre che fn(K) ∩ L '= ∅ per

ogni n. Sia δ = diamK rispetto alla pseudo-distanza dX, allora il diametro di

fn(K) `e al pi`u δ e dunque tutti gli insiemi fn(K) sono contenuti in un δ−intorno

chiuso V di L rispetto alla distanza dY. Sia x ∈ K, allora {fn(x)} `e contenuto

in V , che `e compatto, e dunque per ogni x#_{∈ X, posto d = d}

X(x, x#), si ha che

{fn(x#)} `e contenuto nell’insieme {y ∈ Y : dY(y, V ) ≤ d} che `e compatto.

Dunque {fn(x)} `e relativamente compatto per ogni x ∈ X; inoltre, la

fami-glia fn`e ovviamente equicontinua, essendo in D(X, Y ). Quindi per Ascoli-Arzel`a

si ha che fn ha una sottosuccessione convergente, ovvero Hol(X, Y ) `e normale,

da cui segue, nel caso X = D, che Y `e taut.

Per dimostrare la seconda implicazione, serve il seguente lemma, di cui ometteremo la dimostrazione (tecnica e noiosa).

Prp 9.2 Siano U, U# _{aperti di Y con chiusure disgiunte; siano poi V, W aperti}

tali che W _{! V ! U. Supponiamo che U sia ipebolico e che esista δ > 0 tale} che f(Dδ) ⊂ U per ogni f ∈ Hol(D, Y ) con f(0) ∈ V . Allora dY(W, U#) > 0.

Se Y non `e iperbolico, siano p, q tali che dY(p, q) = 0 e sia U un intorno

iperbolico completo di p tale che q '∈ U; sia V un intorno di p relativamente compatto in U. Allora, per ogni n > 0 esiste fn ∈ Hol(D, Y ) con f(0) ∈ V ma

f (_D1/n) '⊂ U. Allora fn non ha una sottosuccessione convergente e non diverge

sui compatti, quindi Y non `e taut. "

Thm 9.3 (Kobayashi, Barth) Se Y `e taut, allora Hol(X, Y ) `e normale per

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Dim: Se Y `e taut, allora `e iperbolico. Sia {fn}n∈N⊂ Hol(X, Y ) non divergente

sui compatti, allora esistono K ⊂ X, L ⊂ Y compatti tali che fn(K) ∩ L '= ∅

per infiniti n; dunque esistono xn ∈ K tali che fn(xn) ∈ L. A meno di passare

a sottosuccessioni, xn→ p in K; sia V un intorno relativamente compatto di L,

allora poich´e

dY(fn(xn), fn(p)) ≤ dX(xn, p)→ 0

e poich´e dY `e una distanza, si ha che per n > n0, fn(p) ∈ V . Dunque {fn(p)}

`e relativamente compatto.

Ora, sia q ∈ X e si consideri una catena olomorfa di dischi da p a q, ovvero il dato di p = p0, . . . , pk= q ∈ X, a1, b1, . . . , ak, bk∈ D, h1, . . . , hk ∈ Hol(D, X).

Ora, l’insieme {fn ◦ h1(a1)} = {fn(p)} `e relativamente compatto, quindi la

successione {fn ◦ h1} ⊂ Hol(D, Y ) non pu`o divergere sui compatti e dunque

converge, perché Y è taut, ma allora anche {fn◦ h1(b1)} = {fn◦ h2(a2)} è

relativamente compatto; procedendo con simili ragionamenti, si giunge a dire che {fn(q)} `e relativamente compatto per ogni q ∈ X, dunque Hol(X, Y ) `e

normale. "

Il seguente risultato, di cui omettiamo la dimostrazione, chiarisce in qualche senso il legame tra iperbolicit`a e tautness.

Thm 9.4 (Kobayashi, Abate) Y `e iperbolico se e solo se Hol(D, Y ) `e

relati-vamente compatto in C(D, Y∗_{). Y `e taut se e solo se Hol(D, Y )∪{∞} `e compatto}

in C(D, Y∗_).

Esempio (Barth) Sia Z = D×{1, 2, . . .} un’unione disgiunta di infiniti dischi; sia an ∈ D tale che d(0, an) = 2−n e definiamo la relazione di equivalenza

(an, n)∼ (0, n + 1). Lo spazio Y = Z/ ∼ `e taut, ma non iperbolico completo.

Esso `e taut in quanto ogni mappa f ∈ Hol(D, Y ) ha immagine contenuta in D×{i} per qualche i e dunque, data una successione {fn} senza sottosuccessioni

convergenti, sia {fi,j} la sottosuccessione formata dalle mappe a valori in D×{i}.

Tale successione deve essere divergente sui compatti, poiché Hol(D, D × {i}) è normale. Inoltre un compatto L di Y è contenuto in D1∪. . .∪Dk per qualche k;

quindi per ogni K ⊂ D e per ogni n ≤ k, le mappe fn,j tali che fn,j(K) ∩ L '= ∅

sono in numero finito. D’altra parte, se n > k ,fn,j(K) non incontra mai L.

Dunque fndiverge sui compatti. Quindi Y `e taut; per`o la successione {(an, n)}

`e un esempio di successione di Cauchy non convergente. Rosay ha fornito un esempio di dominio di C3 _{taut e non iperbolico completo.}

Esempio Definiamo φ1(t) = ∞ ! k=2 γklog " " " "t− k −1 2 " " " "

dove le costanti γk < 0 sono scelte in modo che la serie converga per ogni

t_{∈ D \ {2}−1, 3−1, . . ._{} e di modo che φ}1(0) = 1. Ora, sia φ(t) = min{φ1(t), 4},

questa funzione `e superarmonica e continua in D∗_{; poniamo}

D ={z ∈ C2 _{: |z}

1| < 1, |z2| < φ(z1)}

Tale dominio `e iperbolico in quanto limitato, ma non taut. Infatti la famiglia di funzioni

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non converge, in quanto fn(1/2) = (1/n, 2) si accumula sul punto (0, 2), non

appartenente a D, ma nemmeno diverge sui compatti, in quanto fn(0) = (1/n, 0)

`e un insieme relativamente compatto in D, avendo come punto limite (0, 0) ∈ D.

9.1 Automorfismi degli spazi iperbolici

Uno spazio complesso iperbolico connesso, munito della distanza di Kobayashi, è uno spazio metrico localmente compatto connesso e l’insieme Aut(X) dei bio-lomorfismi di X in sé è un sottogruppo del gruppo delle isometrie di X, I(X). Dunque si applica il seguente teorema di carattere generale.

Thm 9.5 (Dantzig - Van der Waerden) Sia X uno spazio metrico

connes-so localmente compatto, allora I(X) è localmente compatto e per ogni x ∈ X e per ogni compatto K ⊂ X l’insieme {f ∈ I(X) : f(x) ∈ K} è compatto. In particolare, Ix(X), gruppo di isotropia di x, è compatto.

Ricordiamo inoltre il seguente teorema dalla teoria dei gruppi di Lie. Thm 9.6 (Bochner - Montgomery) Un gruppo localmente compatto di

tra-sformazioni differenziabili di una variet`a reale `e un gruppo di Lie.

Possiamo ora enunciare un risultato fondamentale nella teoria degli auto-morfismi degli spazi iperbolici.

Thm 9.7 (Kaup) Sia X uno spazio complesso di dimensione n, allora

i. Aut(X) `e un gruppo di Lie reale di dimensione ≤ n2_{+ 2n} ii. Autx(X) `e un sottorguppo compatto per ogni x ∈ X

iii. l’algebra di Lie aut(X) `e formata da campi vettoriali olomorfi completi (ovvero, integrabili) e se v ∈ aut(X), allora iv '∈ aut(X).

Idea di dim: i. Se X# _{`e l’insieme dei punti regolari, allora Aut(X) `e un}

sot-togruppo chiuso di Aut(X#_{) e questo `e di Lie per i risultati precedenti. Inoltre,}

la rappresentazione di isotropia lineare di Autx(X) nelle trasformazioni unitarie

di TxX (possibile per la compattezza dei gruppi di isotropia) `e fedele e quindi

dim AutxX ≤ n2. Dunque

dim Aut(X) ≤ dimRX + dim Autx(X) ≤ 2n + n2

ii. Ovvio dal primo teorema.

iii. Se v e iv fossero completi, genererebbero un gruppo a un parametro con

un’azione non banale su X, ma questo `e impossibile se X `e iperbolico. _" In contrasto con questo risultato, troviamo il seguente teorema.

Thm 9.8 (Bochner-Montgomery) Se X `e uno spazio complesso compatto, Aut(X) `e un gruppo di Lie complesso.

Cor 9.9 Se X `e uno spazio iperbolico complesso compatto, il suo gruppo di

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Per approfondire il legame tra iperbolicit`a e automorfismi, introduciamo il concetto di spazio immobile. Uno spazio complesso X si dice immobile se ogni mappa olomorfa f : D × X → X tale che f(0, x) = x per ogni x ∈ X soddisfa

f (t, x) = x per ogni x_{∈ X e t ∈ D.}

Rem 9.2 Se X `e immobile, dato uno spazio complesso Y , ogni mappa f : Y ×

X → X tale che f(y0,·) sia un automorfismo di X soddisfa f(y, x) = f(y0, x) per ogni y ∈ Y , x ∈ X.

Thm 9.10 (Royden) Ogni spazio complesso iperbolico `e immobile

Dim: Sia f ∈ Hol(D × X, X) tale che f(0, x) = x per ogni x ∈ X. Sia

x0_{∈ X}reg e poniamo

h1(t) = f(x0, t) hn(t) = f(hn−1(t), t) t∈ D

Allora hm(0) = x0. Inoltre, poiché X è iperbolico, {hm} è equicontinua e per

ogni k > 0 c’`e una costante positiva Ak tale che

# # # #d k_h m(0) dtk # # # # ≤ Ak m = 1, 2, . . .

(stime di Cauchy sulle derivate) dove / · / `e definita in termini di coordinate locali. Sviluppando f in t attorno a (x0, 0) si ha

f (t, x) = x + a(x)tk+ O(tk+1) e dunque hm(t) = x0+ ma(x0)tk+ O(tk+1) in 0 ∈ D. Allora k!m/a(x0)/ = # # # #d k_h m(0) dtk # # # # ≤ Ak m = 1, 2, . . .

che implica a(x0) = 0. Variando il punto x0, otteniamo che a(x) ≡ 0, dunque f (t, x) = x. "

Cor 9.11 I fibrati complessi con fibra iperbolica F su una base B sono in

corri-spondenza biunivoca con le rappresentazioni di π1(B) in Aut(F ). In particolare,

se la base `e semplicemente connessa, un tale fibrato `e banale.

Inoltre abbiamo la seguente caratterizzazione per gli spazi compatti. Prp 9.12 Uno spazio complesso compatto X `e immobile se e solo se Aut(X) `e

discreto.

Dim: Aut(X) è aperto in Hol(X, X), in quanto consiste delle mappe di grado 1. Se Aut(X) è discreto, l’identità è isolata e dunque una famiglia olomorfa di automorfismi che coincida in un punto con l’identità deve essere costante. Dunque X è immobile. Se d’altra parte ci fosse un intorno dell’identità in Aut0_{(X), questo darebbe una mappa non banale da Aut}0

× X → X e poich´e X

è compatto, Aut(X) è uno spazio complesso e dunque X non è immobile. ". Uno spazio complesso si dice primario se non ha fattori diretti di dimensione positiva diversi da se stesso. Gli spazi immobili possono essere decomposti in modo unico in spazi primari.

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Thm 9.13 (Urata) Ogni spazio immobile X `e isomorfo a un prodotto X1× . . ._{× X}m di spazi primari, unico a meno dell’ordine.

Ed inoltre si ha

Cor 9.14 Se X = V1× . . . × Vk con Vi = (Xi)ni e X1, . . . , Xk sono primari e

non isomorfi, allora

Aut(X) = Aut(V1) × . . . × Aut(Vk)

e per ogni i la successione

1 → Aut(Xi)ni→ Aut(Vi) → Sni → 1

`e esatta, dove Sn `e il gruppo delle permutazioni su n elementi.

9.2 Una generalizzazione del lemma di Schwarz

Nell’ambito dei sistemi dinamici olomorfi, lo studio degli automorfismi e in ge-nerale delle mappe da uno spazio complesso in sé, riguardo soprattutto alle condizioni di normalità e quindi di convergenza delle iterate, è indirizzato in un primo momento alla generalizzazione in più dimensioni della teoria della dinamica in D. Un primo risultato è il seguente.

Thm 9.15 Siano X uno spazio complesso iperbolico, o ∈ X un punto non

singolare e f : X → X una mappa olomorfa. Allora i. gli autovalori di dfo hanno modulo ≤ 1;

ii. se dfo `e l’identit`a di ToX, allora f ≡ IdX;

iii. se | det df0| = 1, allora f `e un biolomorfismo.

Dim: i. Sia B una palla attorno ad o per la metrica di Kobayashi la cui chiu-sura sia compatta, allora l’insieme D delle mappe da B in s´e che diminuiscono la distanza `e compatto. In particolare, le iterate f(k)

|B stanno in D, ma d’altra

parte df(k)

o = (dfo)k e dunque, se c’`e un autovalore maggiore di 1 in modulo,

tale successione diverge, il che `e impossibile.

ii. Sia m il minimo intero ≥ 2 tale che almeno una derivata m−esima non sia

nulla in o. Allora, se dfo = I, si ha dmfo(k) = kdmfo, ma dunque, poich´e D `e

compatto, dm_f

o = 0, il che `e assurdo. Dunque tutte le derivate oltre le prime

sono nulle in o, da cui segue che f `e l’identit`a su X.

iii. Tutti gli autovalori di dfoavranno modulo 1 e si vede facilmente, portando il

differenziale in forma di Jordan e iterando, che dfo deve essere diagonalizzabile.

Dunque esiste una sottosuccessione {(dfo)kj} che converge all’identit`a; per la

compattezza di D, possiamo trovare un’ulteriore sottosuccessione di modo che

f(kj) converga su un intorno di o. Dovr`a allora convergere all’identit`a, per il

punto precedente. Sia ora W il pi`u ampio insieme su cui una sottosuccessione di

f(k)_{converge all’identit`a di W ; tale insieme massimale esiste in quanto dati degli}

aperti Wα su cui si ha tale convergenza, la loro unione W = $ Wα pu`o essere

ricoperta da una quantit`a numerabile di loro e dalle rispettive sottosuccessioni se ne pu`o estrarre una per W con procedimento diagonale.

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Supponiamo che W '= X e sia x ∈ bW . Allora possiamo costruire una piccola palla attorno ad x di modo che in essa una opportuna sottosuccessione converga all’identità, contraddicendo la massimalità di W . Dunque una sot-tosuccessione converge all’identità su tutto X. Poniamo che sia f(kj). Ora,

considerando la successione f(kj−1), e con lo stesso argomento mostriamo che

ha una sottosuccessione convergente ad una funzione g. Si ha che

f_{◦ g = f ◦ lim f}(kj−1)= lim f(kj)= Id

X