Dai diagrammi di Bode alla F.d.T.

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Controlli Automatici

Esercizi - Problemi Riportare la soluzione di ciascun problema nello spazio apposito. 1. Dato il seguente diagramma di Bode

10−2 10−1 100 101 102 103 −150 −100 −50 0 ampiezza rad/sec db 10−2 10−1 100 101 102 103 −200 −100 0 100 200 fase rad/sec gradi

trovare la funzione di trasferimento corrispondente. SOLUZIONE:

Il sistema `e di tipo 0.

Dal diagramma delle ampiezze si vede immediatamente che il guadagno statico vale circa −75db. Per l’esattezza kdb = −74, 89db ovvero k = 10

kdb

20 = 0.00018 Dal diagramma delle

ampiezze e delle fasi si riscontra la presenza di: - uno zero stabile in z1= 0.9

- una coppia di poli complessi coniugati (p1, p2) con ωn = 10 e δ = +0.3 (si osservi il

diagramma delle ampiezze) - un polo stabile in p3= 100 Da cui risulta: G(s) = 0.00018 (1 + 1 0.9s) (1 + 1 100s)(1 + 6 100s+ 1 100s 2₎ ovvero G(s) = 2 (s + 0.9) (s + 100)(s2_{+ 6s + 100)}

(2)

2. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze 10−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 ampiezza rad/sec db

tracciare il corrispondente diagramma asintotico delle fasi (sapendo che il sistema `e a fase minima e il guadagno statico positivo).

SOLUZIONE:

Dal diagramma delle ampiezze si trova: - uno zero in z1= 0.2

- un polo in p2= 10

- un polo in p3= 500

Il diagramma delle fasi risulta perci`o:

10−2 10−1 100 101 102 103 104 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 fase rad/sec gradi

La funzione di trasferimento corrispondente `e:

G(s) = 5 (s + 0.2) (s + 10)(s + 500)

(3)

3. Dato il seguente diagramma di Bode 10−2 10−1 100 101 102 103 104 −80 −60 −40 −20 0 20 ampiezza rad/sec db 10−2 10−1 100 101 102 103 104 −300 −250 −200 −150 −100 −50 fase rad/sec gradi

trovare la funzione di trasferimento corrispondente. SOLUZIONE:

Il sistema `e di tipo 0.

Dal diagramma delle ampiezze si vede immediatamente che il guadagno statico vale in valore assoluto −10db (esso vale esattamente kdb= −10.45db ) ma `e negativo (il diagramma delle

fasi parte da −180o

). Quindi k = −10kdb20 = −0.3 Dal diagramma delle ampiezze e delle fasi

si riscontra la presenza di:

- un polo instabile in p1= 0.2

- uno zero positivo z1= 10

- un polo stabile in p2= 500 Da cui risulta: G(s) = −0.3 (1 − 1 10s) (1 − 1 0.2s)(1 + 1 500s) ovvero G(s) = −3 (s − 10) (s − 0.2)(s + 500)

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4. Graficare i diagrammi di Bode asintotici della seguente funzione di trasferimento: G(s) = 5 (s + 1) s(s2_{+ 30s + 900)} SOLUZIONE: 10−1 100 101 102 103 −150 −100 −50 0 50 ampiezza rad/sec db 10−1 100 101 102 103 −200 −150 −100 −50 0 fase rad/sec gradi

(5)

5. Graficare i diagrammi di Bode asintotici della seguente funzione di trasferimento: G(s) = 7 (s + 0.5) s2_{(s + 20)} SOLUZIONE: 10−2 10−1 100 101 102 103 −150 −100 −50 0 50 100 ampiezza rad/sec db 10−2 10−1 100 101 102 103 −180 −160 −140 −120 −100 −80 fase rad/sec gradi

(6)

6. Graficare i diagrammi di Bode asintotici della seguente funzione di trasferimento: G(s) = −0.4 (s + 0.1) s2_{(s + 20)} SOLUZIONE: 10−2 10−1 100 101 102 103 −150 −100 −50 0 50 ampiezza rad/sec db 10−2 10−1 100 101 102 103 −360 −340 −320 −300 −280 −260 fase rad/sec gradi

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7. Graficare i diagrammi di Bode asintotici della seguente funzione di trasferimento: G(s) = 9s 2 + 4473s − 13500 s2_{+ 100.1s + 10} SOLUZIONE:

Cercando poli/zeri del sistema si vede immediatamente che si pu`o scrivere:

G(s) = 9 (s − 3)(s + 500) (s + 0.1)(s + 100) da cui (K = −1350): 10−2 10−1 100 101 102 103 104 −20 0 20 40 60 80 ampiezza rad/sec db 10−2 10−1 100 101 102 103 104 −500 −400 −300 −200 −100 fase rad/sec gradi