Diagrammi Di Bode
Prof. Laura Giarré
Laura.Giarre@UNIMORE.IT
https://giarre.wordpress.com/ca/
Diagrammi di Bode e polari
• Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo:
Tre possibili rappresentazioni!
Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 2
40 50 60 70 80
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 -90
-45 0 45
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
|F()|
arg{F()}
Re{F()}
-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000
5000 Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary Axis
Im{F()}
|F()|
arg{F()}
-80 -60 -40 -20 0 20 40
45 50 55 60 65 70 75
80 Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-Loop Gain (dB)
arg{F()}
|F()|
()
|F()|
Diagrammi di Bode
• La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze.
• Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode.
• Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi:
• diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica;
• diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica.
• Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione .
Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré
Diagrammi di Bode
• Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo):
• Funzione di risposta armonica associata:
• 4 fattori elementari:
• Guadagno statico
• Poli/zeri origine
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• Poli/zeri reali
• Poli/zeri complessi coniugati
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Diagrammi di Bode
• Il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori
elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scala logaritmica.
•
Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha cheProprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
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Diagrammi di Bode
I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:
• Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi;
• Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi;
• Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi
elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré
Diagrammi di Bode
Frequenze (rad/sec)
Fase (gradi)Ampiezza (db)
Ampiezza espressa in decibel:
Diagramma logaritmico
Diagramma semi-logaritmico
Scala logaritmica
(possibilità di rappresentare con il dovuto dettaglio
grandezze che variano in campi molto estesi)
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Diagrammi di Bode
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Termini elementari
Termini elementari
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Termini elementari
• I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse)
• I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
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guadagno statico zero origine
zero reale
zeri c.c.
Ampiezza Fase
9
Guadagno statico
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se se se
se
se Ampiezza Fase
10
Zero nell’origine
Ampiezza Fase
Pendenza 20 db/decade
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Polo nell’origine
• Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei
diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Pendenza
-20 db/decade
Ampiezza Fase
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Zero reale
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Ampiezza Fase
Pendenza 20 db/decade se
se
(valore assoluto dello zero)
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Zero reale: fase
Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré
Caso
se se
Punto di flesso
Pendenza al punto di
flesso
14
Zero reale: fase
Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré
Caso
NB: il diagramma delle fasi è speculare
rispetto all’asse se
se
15
Polo reale
• Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Ampiezza FaseBode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 16
Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal
diagramma asintotico
dipendentemente dal valore di
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Ampiezza
Pendenza 40 db/decade
(pulsazione naturale della coppia di zeri cc)
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• Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione
• Il valore minimo è alla frequenza e vale
Zeri complessi coniugati:
ampiezza
Al calare di la frequenza di
picco tende verso
e il valore del picco tende a
Il diagramma non dipende dal segno di
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100 101 102 -10
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
• Per la curva presenta un minimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto
• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica.
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Zeri complessi coniugati: fase
Tangente al punto di flesso Caso
se se
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Zeri complessi coniugati: fase
Caso
se se
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• Poli complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene
semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Poli complessi coniugati
Ampiezza Fase
Il valore massimo è alla frequenza
e vale
Tracciamento dei diagrammi
asintotici analogo al caso precedente
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• Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il diagramma delle fasi
Poli complessi coniugati
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100 101 102 -40
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Poli complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
• Per la curva presenta un massimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto
• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica.
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Poli complessi coniugati: risonanza
Il valore di picco alla frequenza
viene detto picco di risonanza
Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione
massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
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Zeri complessi coniugati: risonanza
Il valore di minimo alla frequenza
viene detto picco di attenuazione
Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione
massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
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10-1 100 101 102 -60
-40 -20 0 20 40 60
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-60 -40 -20 0 20 40 60
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-60 -40 -20 0 20 40 60
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-60 -40 -20 0 20 40 60
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
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10-1 100 101 102 -40
-20 0 20 40
Ampiezza
10-1 100 101 102
-100 -50 0 50 100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-40 -20 0 20 40
Ampiezza
10-1 100 101 102
-100 -50 0 50 100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-40 -20 0 20 40
Ampiezza
10-1 100 101 102
-100 -50 0 50 100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-40 -20 0 20 40
Ampiezza
10-1 100 101 102
-100 -50 0 50 100
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
Bode CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 28
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
10-1 100 101 102
-50 0 50
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50 0 50
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50 0 50
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50 0 50
Ampiezza
10-1 100 101 102
-200 -100 0 100 200
Frequenza (rad/sec)
Fase
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Ritardo temporale
Modulo Argomento
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