1
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Derivata di una funzione
Def. Sia f: (a,b)R, si definisce derivata di f nel punto x0(a,b) il numero, se finito,:
h
x f h x x f
f
h) ( ) lim (
)
(
0 00 0
) ( )
( , )
( )
( 0 0 0 0
0 0
x , Dy x
dx Df , dy dx ,df x , y' x
f
x x
Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta tangente
O
y
f(x0) f(x0+h)
x = h
f
a b
.
x0
.
x0+h
Sia x0 ∊ (a, b): x0 + h ∊ (a, b) h tgβ
) f(x h) f(x x
f
0 0
Derivata di una funzione
β α
B A
rapporto incrementale
coeff.
angolare di r
r
O X
Quando h0 :
tg ) (x h f
) f(x h) f(x
h
0
0 0
0
lim
Y
f(x0)
x0 h
.
h
f(x0+h)
x0+h retta
tangente
. Derivata di una funzione
Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta tangente
a b
t
r A B
retta secante
α
t di angolare coeff
tg .
Y
f(x0)
x0 retta tangente
Derivata di una funzione
Significato geometrico della derivata in un punto e equazione della retta tangente
a b
t
A
) ( ) )(
(x0 x x0 f x0 f
y
Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa x0:
Infatti tra tutte le rette del fascio proprio passanti per A(x0 , f(x0)) di eq.
per si ottiene l’equazione di t
) (
)
(x0 m x x0 f
y
) (x0 f m
t
f(x) è derivabile in [a,b], se è derivabile x(a,b) e ammette derivata destra in x = a e derivata sinistra in x = b
Se è definita x(a,b) allora f(x) è derivabile in (a,b) e risulta definita la funzione detta derivata prima di f(x)
Derivata di una funzione
siscrive f'(a)
siscrive f'(b)
) (x f
R b a f:( , )
) ) (
( )
lim ( 0 0 ' 0
0 f x
h x f h x f
h
Derivata destra
) ) (
( )
lim ( 0 0 ' 0
0
x h f
x f h x f
h
Derivata sinistra
) ( )
( '
' x f x
f
Se f è derivabile in x Derivata di una funzione
Definizione
Teorema.
Sia f: (a,b)R. Se f è derivabile in x0 (a, b) allora f è continua in x0.
Dimostrazione Sia
Derivata di una funzione
Continuità e derivabilità
: ) , ( ,
0ex0 x0 h a b
h
) 0 ( ) lim (
) ( ) (
lim 0 0
0 0
0 0
h
h
x f h x x f
f h x
f h
h
Da cui
Che è la continuità di f in x0 ) ( ) (
lim 0 0
0 f x h f x
h
Derivata di una funzione
Continuità e derivabilità
Quindi
derivabilità continuità Non è vero il viceversa
Es. y=|x| è continua ma non è derivabile in x=0.
Infatti e
0
0 x x
x x x
y
1 0
0 ' 1
x x x
y x
1 ) 0 ( 1 ) 0
(
f
f
Se e almeno una finita
x0 si dice punto angoloso, in quanto le rette tangenti alla f(x) nel punto di ascissa x0 formano un angolo.
) ( )
( 0 ' 0
' x f x
f
Es.
f(x)= |x|
Punti di non derivabilità
Derivata di una funzione
1 ) 0 ( 1 ) 0
(
f
f
x0 Y
X
Punto angoloso
Derivata di una funzione
f(x0)
Punti di non derivabilità
Se sono
x0 si dice punto cuspide; la retta tangente alla f(x) nel punto di ascissa x0 è verticale.
) ( )
( 0 ' 0
' x f x
f
x0 Y
X
'(x0)
f
'(x0) f
Derivata di una funzione
Punti di non derivabilità
Se sono
x0 si dice punto di flesso a tangente verticale; la retta tangente alla f(x) nel punto di ascissa x0 è verticale.
'(x0) f'(x0) f
x0 Y
X
'(x0) f'(x0) f
Derivata di una funzione
Punti di non derivabilità
Es.
( 0 ) f ( 0 ) f
Derivata di una funzione
3 x
y
Punti di non derivabilità
Es.
) 0 (
) 0 ( f f
Derivata di una funzione
x y
) 1
(xn nxn D
x e x
D a 1loga )
(log
x x
D 1
) (ln
a
a a
D (
x)
xln
D(ex) exx
x
D (sin ) cos x x
D (cos ) sin
0 ) (k D
Derivata delle funzioni elementari
Derivata di una funzione
x x tg
tgx
D 2 1 2
cos ) 1
(
1 2
) 1 (arcsin
x x
D
1 2
) 1
(arctgx x
D
1 2
) 1 (arccos
x x
D
Derivata di una funzione
Derivata delle inverse delle funzioni trigonometriche
Derivata di una funzione
Esercizio
Utilizzando la definizione calcolare la derivata di 1) f(x)=k.
0 ) lim
( ) lim (
)
( 0 0
h
k k h
x f h x x f
f h h
2) f(x)=ex
x h
x
h
h e
h e e h
x f h x x f
f
) 1 lim (
) ( ) lim (
)
( 0 0
Derivata di una funzione
3) f(x)=lnx.
x h
h
x h
x h
x f h x x f
f
x h
h
h h
1 ) 1 limln(
ln ) limln(
) ( ) lim (
) (
0
0 0
Derivata di una funzione
4) f(x)=cosx
h
x h
x h
x f h x x f
f h h
cos ) limcos(
) ( ) lim (
)
( 0 0
h
h x
h
x h
x h
x
h h
) 1 (cos limcos
cos sin
sin cos
limcos
0 0
h x h x
h sin sin sin
lim0
Derivata di una funzione
5) f(x)=sinx
h
h x h
x x
h h
x
h h
) 1 (cos limsin
sin cos
sin cos
limsin
0 0
h
x h
x h
x f h x x f
f
h h
sin ) limsin(
) ( ) lim (
) (
0 0
h x x h
h sin cos cos
lim
0
Algebra delle derivate
Se f e g sono derivabili in x, allora sono derivabili in x anche la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente (con il denominatore 0) e si ha:
0 ,
)
' '
b)
' '
a)
2
g g
g' f g f g
c f
g f g f ) g (f
g f ) g (f
Derivata di una funzione
Algebra delle derivate
Dimostriamo la b)
(f g ) f' g f g'
Derivata di una funzione
h
x g h x g x f h
x f h x f h x g
h h
) ( ) (
) lim ( )
( ) (
) lim (
0 0
h
x g x f h x g h x ) f
g (f
h
) ( ) ( ) (
) lim (
0
h
x g x f h x g x f h x g h x f
h
) ( ) ( ) (
) ( ) (
) lim (
0
Algebra delle derivate
Per ipotesi f e g sono derivabili, quindi continue in x, perciò:
Derivata di una funzione
), ( ) (
lim0 g x h g x
h
) ( ) ( ) ( ) (
(f g) f x g x f x g x
Esercizio.
1) Calcolare la derivata di Derivata di una funzione
x x x
f( )sin ln x
x x x x
f sin
ln cos ) (
'
2)Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di eq nel punto di ascissa x=1
2 3
)
(x e x
f x
3 2
3
23 2
)
( x
x e e x f
x
x
Teorema di derivazione della funzione composta
Sia g(x) una funzione derivabile in x, e se f(x) è una funzione derivabile nel punto g(x), allora la funzione composta f(g(x)) è derivabile in x, e si ha:
) ( ' )) ( ( ' ]
)) ( (
[ f g x f g x g x
Derivata di una funzione
Dimostrazione. Se si ha Derivata di una funzione
Teorema di derivazione della funzione composta
h
x g f h x g f
h
)) ( ( )) (
lim (
0
in quanto se allora
con essendo g(x) continua in x.
Se h=0, il teorema continua a valere.
0
h k 0
), ( )
(x h g x
g
k
0 h
h
x g h x g x
g h x g
x g f h x g f
h
) ( ) ( )
( ) (
)) ( ( )) (
lim (
0
) ( )) (
(g x g x
f
Esercizio.
1) Calcolare la derivata di Derivata di una funzione
).
ln(sin )
(x x
f
x x x x
f cotg
sin ) cos
(
2) Calcolare la derivata di f(x)e 2x3x. x
x e x
x
f x x
2 2 3 2 2
1 ) 6
( 3
Esercizio.
3)Calcolare la derivata di Derivata di una funzione
).
sin(ln )
(x x
f
x x x
f cos(ln )
)
(
Eq. retta tang. a f(x) in x = x0 : Per noi x0=0
Esercizio.
Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva di equazione nel punto di ascissa x=0
Derivata di una funzione
3
2 1)
( )
(x xe x f
) ( ) )(
(x0 x x0 f x0 f
y
3 ) 0 ( )
2 (
) 1 (
3 )
( 2 2 2 2
x xe e xe f
f x x x
1 ) 0 ( f
Teorema di derivazione della funzione inversa
Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in [a,b]. Se f è derivabile in x0(a,b) e se , allora anche la funzione inversa f-1 è derivabile nel punto y0=f(x0), e la derivata vale:
) ( ' ] 1 ) ( [
0 0
1
x y f
f
0 ) ( 0
x f Derivata di una funzione
Y
y0=f(x0)
x0 y0+k=f(x0+h)
x0+h
X k
h
) ( '
1 )
( ) (
) ( )
(
0 0
0 0
0 1 0
1
x f x
f h x f
h k
y f k y f
h
Se anche in quanto f-1 è continua
Derivata di una funzione
Teorema di derivazione della funzione inversa Dimostrazione. Si ha
0
k h0
Esercizio. Utilizzando il teorema di derivazione della funzione inversa, calcolare la derivata della funzione inversa di
y x
x
ysin arcsin x x
f( )sin Derivata di una funzione
,2 2
2
2 1
sin 1
cosx x y
y
In si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione inversa si ha
Derivata di una funzione
1
21 ) 1 (arcsin )
( ) 1
( y y
x y f
f
) 1 (arcsinx
Scambiando x con y:
Per , si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione inversa si ha
Es. Calcolare la derivata della funzione , vista come funzione inversa di
Derivata di una funzione
x x f x x
f 1
) ( ln
)
(
ex
y . ln )
(x x
f
0 x
ey x eyx y f
f
) ) (
( ) 1
1(
ey
y f
x 1( )
x
x
e
e )
Quindi
(
Sia in si ha
Perciò, per il teorema della derivata della funzione inversa si ha
Es. Utilizzando il teorema di derivazione della funzione inversa, dimostrare che
Derivata di una funzione
x tg x
f tgx x
f ( ) ( )1 2
, )
(x tgx
f
,2
2
x
1
2 21 1 1
) 1 ) (
( ) 1
( arctgy tg x y
x y f
f
arctgy y
f
x 1( ) 1 .
) 1
( 2
arctgx x
