Disequazioni logaritmiche AD

Testo completo

(1)www.matematicagenerale.it. Disequazioni logaritmiche 1. Si risolva la seguente equazione logaritmica: log 32 x  7 log 3 x  12  0. Poniamo log 3 x  t si ha: t 2  7t  12  0 da cui ricavando le radici si ha: t  3; t  4. Sostituendo al posto di t log3 x si ha: x  33 ; x  34. 2. Si risolva la seguente equazione logaritmica: log( x  1) 0 log 2 ( x  1)  4 La condizione di esistenza di tali logaritmi è:. x 1  0  x  1 Essendo una fratta poniamo numeratore e denominatore maggiore di 0:. log( x  1)  0 x  2 x  2  x 1  1     2  2 2 2 2 log ( x  1)  4  0 log( x  1)  2;log( x  1)  2  x  1  e ; x  1  e  x  e  1; x  e  1 Rappresentiamo :. 3. Si risolva la seguente equazione logaritmica:.  2 x2  x  3  log 1  0 x 1  2  Condizione di esistenza del logaritmo:.  2 x2  x  3   0  x 1  che metteremo a sistema con la disequazione:. info@matematicagenerale.it.

(2) www.matematicagenerale.it  2 x 2  x  3   2 x 2  x  3   0    0  x  1   x  1    0 2 2  2 x  x  3   1   2 x  x  3   1  x  1    2   x  1       2 x 2  x  3   2 x 2  x  3   2 x 2  x  3    0 0     0  x  1   x  1   x  1     2  2 x  x  3   1  0  2 x 2  x  3  x  1  2x2  2x  2  0 0  x  1    x 1 x 1  . Risolviamo la prima disequazione fratta. 2 x2  x  3 0 x 1. 3   2 x 2  x  3  0  x  1; x   2   x  1  0  x  1 . Rappresentiamo:. S1 : 1  x  1; x . Risolviamo la seconda disequazione fratta:. 3 2. 2x2  2x  2 0 x 1.  2 x2  2 x  2  0  x  1  5 ; x  1  5  2 2   x  1  0   x  1. S2 : x . 1 5 1 5 ;1  x  2 2. info@matematicagenerale.it.

(3) www.matematicagenerale.it. Mettiamo a sistema le due soluzioni ottenute. 3  1  x  1; x  2   x  1  5 ;1  x  1  5  2 2. Rappresentiamo il sistema:. Pertanto la soluzione è: S: 1  x . 1 5 3 1 5 ; x 2 2 2. 4. Si risolva la seguente equazione logaritmica: log 1 ( x  1  x 2 )  0 2. Condizione di esistenza del logaritmo: ( x  1  x2 )  0 che metteremo a sistema con la disequazione:. ( x  1  x 2 )  0   2 log 1 ( x  1  x )  0  2 ( x  1  x 2 )  0  1  x 2  x   2 2 ( x  1  x )  1  1  x  x  1. Ci troviamo davanti a due disequazioni irrazionali, risolviamole separatamenteLa prima:. 1  x2  x   1  x  1 1  x 2  0  1  x  1     x  0  x  0 x  0 1  x 2  x 2 2 x 2  1  0    x   2 ; x  2  2 2. info@matematicagenerale.it.

(4) www.matematicagenerale.it Rappresentiamo:. S1 :. 2  x 1 2. La seconda:. 1  x2  x  1 1  x 2  0  x  1  0  ;  2 2  x  1  0 1  x  x  2 x  1 1  x  1  x  1  2 ;  x  1 2 x  2 x  0 1  x  1  x  1   x  1 0  x  1 Banalmente si capisce che l’unica soluzione ci è dato dal primo sistema pertanto S 2 : 1  x  1 Mettiamo le due soluzioni a sistema:  2  x 1   2 1  x  1  Rappresentiamo il sistema:. Pertanto la soluzione è: S :. 2  x 1 2. info@matematicagenerale.it.

(5)