Allegato Esercizi . • • Sistemi di disequazioni . • Disequazioni fratte . • Disequazioni binomie . • Disequazioni biquadratiche . • Disequazioni fattoriali . • Disequazioni di 2° . • Disequazioni di 1° . • Disequazioni algebriche . 3^ Lezione

3^ Lezione

• Disequazioni algebriche .

• Disequazioni di 1° .

• Disequazioni di 2° .

• Disequazioni fattoriali .

• Disequazioni biquadratiche .

• Disequazioni binomie .

• Disequazioni fratte .

• Sistemi di disequazioni .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .

DISEQUAZIONI DI 1° GRADO :

Per disequazione si intende una diseguaglianza tra due espressioni algebriche. I simboli che rappresentano tale diseguaglianza sono detti simboli di maggiorazione (>) e di minorazione (<).

Risolvere una disequazione significa determinare un insieme di valori da assegnare alla variabile x affinché risulti verificata la diseguaglianza data.

ax+b > 0 ⇒ ax > −b ⇒ x > −b a

Es. 2x−4 > 0 ⇒ x > 2

da notare che il valore di x=2 non fa parte dell’insieme delle soluzioni.

Equivalentemente potremo rappresentare l’insieme delle soluzioni trovate tramite la

definizione di intervallo ( insieme di numeri reali limitato da due estremi , inclusi o esclusi , dallo stesso) .

E quindi dire che x > 2 equivalentemente significa : ^{∀x∈ℜ: x∈}

]

^2,+∞

[

(intervallo aperto) Es. 2x≥ 4 ⇒ x≥2

in questo caso il valore di x=2 fa parte dell’insieme delle soluzioni.

E cioè saranno soluzioni della disequazione tutte le ^x∈ +∞

[

2,

[

Sarà possibile comunque verificare se le soluzioni sono corrette considerando un valore dell’intervallo ( per es. x = 3 ) e sostituirlo alla diseguaglianza data :

0 4 ) 3 (

2 − ≥ ⇒ 6−4≥0 ⇒ 2≥0 che sicuramente verifica.

2

- +

2

- +

INDICE

Da notare che se avessimo −2x−4≥0 e quindi il coefficiente del termine incognito negativo, converrà cambiare segno a tutti i termini della disequazione ricordando che con essi cambierà necessariamente anche il verso.

Di qui allora si avrà : 2x+4≤0 ⇒ x≤−2

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO :

Es . 2x²−3x+ ≥1 0 ∆ = − = >9 8 1 0

2x²−3x+1=0 equaz. associata







=

= =

= ±

1 2 1 4

1 3

2 1

12

x x x

-2 - +

ax²+ + >bx c 0 a>0 ax²+ + <bx c 0

1) ∆ >0 x <x₁ e x>x₂ 1) ∆ >0 x₁< <x x₂

2) ∆ =0





 ℜ −

∈

∀ a

x b

\ 2 2) ∆ =0 /∀ ∈ ℜx

3) ∆ <0 ∀ ∈ ℜx 3) ∆ <0 /∀ ∈ ℜx

INDICE

da cui si ha :

2

≤ 1

x , x≥1

Es . 4x²+4x+ >1 0 ∆ =16 16− =0

∀ ∈ℜx \ x = − = −





 4

8 1 2

Da ricordare che un polinomio di 2° grado il cui discriminante sia nullo rappresenta sempre il quadrato di un binomio.

Per cui 4x² +4x+ =1 0 ⇒

(

²x+¹

)

² =⁰ Es. x² +4x+ ≥5 0 ∆ =16−20= − <4 0

∀ ∈ℜx

Es. 3x² +5x+ <1 0 ∆ =25 12− =13>0

3x² +5x+ =1 0 x1 2

5 13

= − ±6

+ - +

1

2 1

2

−1

INDICE

− −

< < − +

5 13

6

5 13

x 6

Es. 9x² +6x+ <1 0 ∆ =36−36=0

/∀ ∈ ℜx

e infatti ricordiamo che :

^{∆=0 ⇒ 9x2 +6x+1=}

(

^3x+1

)

^{2 <0}

+ < 0 non può mai essere vero !

Es. 9x² −6x+ ≤1 0 ∆ =0

/∀ ∈ ℜx \ x b

a x

= − ⇒ =







 2

1 3

Es. 4x² +2x+ <2 0 ∆ <0 /∀ ∈ ℜx

3 1

6 13 5 6

13

5− − +

−

INDICE

Ricordiamo come fatto importante che un’equazione di 2° grado del tipo :

il cui discriminante sia ∆ ≥0 è sempre scomponibile

nella forma :

E quindi se abbiamo 2x² −3x+ ≥1 0 ∆ = − = >9 8 1 0

possiamo scrivere equivalentemente : ^{2 1}

( )

2 1

x− x



 

 ⋅ − ≥0

DISEQUAZIONI FATTORIALI :

Derivano da tutte le disequazioni di grado uguale o superiore al 2°.

A x( )⋅B x( )⋅C x( )⋅...⋅Z x( )≥0

Risolveremo tali tipi di disequazioni discutendo la positività di ogni singolo fattore ; quindi schematicamente avremo :

A x B x C x

Z x ( ) ( ) ( ) . . . . . . . .

( )

≥

≥

≥

≥ 0 0 0

0

ax²+bx+ =c 0

( ) ( )

a x− x₁ ⋅ −x x₂ = 0

INDICE

Riprendendo l’esempio di sopra abbiamo che :

(

^{x− 12}

)

^{⋅ − ≥}

⁽

^{x 1}

⁾

0 Risolveremo quindi come segue :

(

^{x− 12}

)

^{≥0 ⇒ x≥1}₂

(

^x− ≥1

)

0 ⇒ x≥1

e cioè sarà verificata per valori esterni alle due soluzioni.

Dobbiamo infine unire tramite prodotto i risultati finali della disequazione :prenderemo come risultati che verificano la disequazione quelli che sono concordi con il segno iniziale della stessa. E quindi in questo caso abbiamo che :

x ≤1

2 , x ≥1

DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE

Così come già affrontato per le equazioni , anche per le disequazioni di 4° grado mancanti dei termini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA.

Simbolicamente si avrà : ax⁴ +bx²+ >c 0

La risoluzione di tale tipo di disequazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :

dopo aver posto x² =t andremo a risolvere una semplice disequazione di 2° grado nella variabile t per riportarci infine , dopo una ulteriore sostituzione , alle corrispondenti disequazioni pure nella variabile x .

2 1 1

+ - +

2 1 1

INDICE

Es. ax⁴ +bx² +c>0 posto x² =t ⇒ at²+bt+c>0

t b b ac a

t

1 t

2

2

1

2

4

= − ± 2 − = =

=



 . . . .

. . . .







=

⇒ =

2 2

1 2

t x

t x

4x⁴ −3x² − ≤1 0 ⇒ posto x² =t ⇒ 4t² −3t−1≤0

e quindi risolvendo in t troviamo − ≤ ≤ +1

4 t 1 il che porta a :

− ≤1 ≤ + 4 x² 1





+

≤

≤

− ℜ

∈

⇒ ∀





 +

≤

−

⇒ ≥

1 1 1

4 1

2 2

x x x

x

le soluzioni finali saranno date dalla unione delle singole soluzioni;

E quindi avremo che −1≤x≤+1 .

Ricordiamo che la soluzione poteva essere trovata anche in altra maniera :

4x⁴ −3x² − ≤1 0 ⇒ x² =t ⇒ 4t²−3t−1≤0 e poiché ∆ ≥0

ricordando che ⁰

(

1

) (

2

)

⁰

2 +bt+c= ⇒ at−t ⋅ t−t =

at allora avremo :

( )

4 1

4 1 0

t+ t







 ⋅ − ≤ da risolvere come disequazione fattoriale :

INDICE

( )

4 1

4 1 0

2 2

x + x







 ⋅ − ≤ ⇒







+

≥

−

≤

⇒

≥

−

ℜ

∈

∀

⇒

≥ +

1

; 1 0

1 4 0 1

2 2

x x

x

x x

E quindi avremo che : −1≤x≤+1 .

Es. 2x⁴−3x² +1≥0

(

¹

)

⁰

2

2 ² 1⋅ ² − ≥



 



 −

⇒ x x







≥

−

≥

⇒ −

0 1

2 0 1

2 2

x x







+

≥

−

≤

+

≥

−

≤

1

; 1

2

; 1 2 1

x x

x x

e quindi x≤−1 ;

2 1 2

1 ≤ ≤+

− x ; x≥−1

DISEQUAZIONI BINOMIE

Come visto per le equazioni anche per le disequazioni di grado superiore al 2° costituite da un polinomio di soli due termini ( binomio ) si parla di disequazione binomia .

La forma sarà del tipo axⁿ +b>0

La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazione fattoriale .

2 1 1 2

1 − 1 + +

−

+ - + - +

1

1 +

−

+ - +

INDICE

Es: risolvere : x⁴ −1<0

(

¹

)(

¹

)

^{0 1 1}

0

1 ^{2 2}

4 − < ⇒ x − x + < ⇒ − <x<+

x

Es: risolvere : x³ −8≥0

(

²

) (

^{2 4}

)

^{0 2}

0

8 ²

3 − ≥ ⇒ x− x + x+ ≥ ⇒ x ≥

x

Es: risolvere : x⁶ −64>0

( ) ( )

^{2 0}

(

⁴

)(

^{4 16}

)

^{0 2 , 2}

0

2^{6 2 3 2 3 2 4 2}

6 − > ⇒ x − > ⇒ x − x + x + > ⇒ x<− x >+

x

Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi , possiamo risolvere una disequazione binomia in maniera più semplice:

a) come una disequazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,

b) come una disequazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice ,( se di indice n-dispari ).

Sinteticamente :

Riesaminando gli esempi precedenti si ha :

Es: risolvere : x⁴ −1<0 ⇒ x⁴ <1 ⇒ −1< x<+1

) (

0

) (

0

) (

, 0

dispari a n

x b a

x b b

ax

pari a n

x b a b a

x b b

ax

pari a n

x b a

x b a

x b b

ax

n n n

n n n

n

n n n

n

−

−

>

⇒

−

>

⇒

>

+

−

− +

<

<

−

−

⇒

−

<

⇒

<

+

−

− +

>

−

−

<

⇒

−

>

⇒

>

+

INDICE

Es: risolvere : x³ −8≥0 ⇒ x³ ≥8 ⇒ x≥³ 8 ⇒ x≥³ 2³ ⇒ x≥2

Es: risolvere : x⁶ −64>0 ⇒ x⁶ >64 ⇒ x<−2 , x>+2

Es: risolvere : x³ +3≤0 ⇒ x³ ≤−3 ⇒ x ≤³ −3 ⇒ x ≤−³ 3

Es: risolvere : x⁸ +5>0 ⇒ x⁸ >−5 ⇒ ∀x∈ℜ

DISEQUAZIONI FRATTE

Così come le equazioni fratte , le disequazioni si presentano nella forma :

) 0 (

)

( ≥

x B

x

A opp. 0

) (

)

( ≤

x B

x A

La loro risoluzione ricalca identicamente il metodo usato per le fattoriali :quindi indipendentemente dal segno si discuterà la positività del singolo numeratore e del singolo denominatore.

E quindi sarà :

0 ) (

0 ) (

>

≥ x B

x

A di qui ci comporteremo come per le fattoriali

N.B. come si può notare per la realtà di una frazione il denominatore non può essere mai nullo ( quindi B x( )> 0 e non B x( )≥0 ).

Es. 0

1 6

2 5

− ≥ +

− x

x x

INDICE

1 0

1 0

3

; 2 0

6 5

0 ²

>

⇒

>

−

⇒

>

≥

≤

⇒

≥ +

−

⇒

≥

x x

D

x x

x x N

quindi il risultato finale sarà + < ≤1 x 2 , x ≥3

Es.

( )

7 0 3

4 2

2 ≤

−

− x x

x x

( )

3

; 7 0 0

7 3 0

4 0 0

4 2

0

2 − > ⇒ < >

⇒

>





≥

⇒ ≥

≥

−

⇒

≥

x x

x x D

x x x

x N

per cui avremo :

3

; 7 0 0

4

; 0 0

>

<

⇒

>

≥

≤

⇒

≥

x x

D

x x

N

da cui i risultati finali che sono : 7

3< ≤x 4

0 3 7 0 4 3

2 1

- + - +

0 3

7 4

+ + - +

INDICE

SISTEMI DI DISEQUAZIONI :

Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di due o più disequazioni . Risolvere tale sistema significa determinare quell’insieme di valori da attribuire alla incognita x affinché le singole diseguaglianze siano contemporaneamente verificate ( valuteremo le intersezioni della linea continua).

Es.

2 4 0

3 2 0

1

1 0

2

x x x x

− <

− + ≥

+

− >











andiamo a risolvere singolarmente ogni disequazione ;











+

>

−

<

+

≤

≤

−

<

1

; 1

3 2 3

2 2

x x

x x

e quindi non essendo la linea continua presente contemporaneamente per le tre disequazioni, concluderemo che il sistema non ha soluzioni.

-1

3 2 3

2 +

− +1 +2

INDICE

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Esercizi della 3°lezione di Algebra di base

GUIDA

Torna all'indice degli esercizi Nasconde le soluzioni

Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi Visualizza solo la soluzione dell'esercizio USO DEI PULSANTI

Torna all'indice della lezione

?

INDIETRO

RISOLVI

NASCONDI

INDICE ESERCIZI

Risolvere le seguenti disequazioni di primo e di secondo grado :

1. 3x− ≥7 0

3 7 7

3 0

7

3x− ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥

2. 3x−27≤0

3x−27 ≤ 0 ⇒ 3x ≤ 27 ⇒ x ≤ 9

3. − +4x 16≥0

−4x+16 ≥ 0 ⇒ 4x−16 ≤ 0 ⇒ x ≤ 4

4. −3x−6≥0

−3x−6 ≥ 0 ⇒ 3x+6 ≤ 0 ⇒ x ≤ −2

5. 5x−13≥0

5 0 13

13 5 0

13

5x− ≥ ⇒ x− ≤ ⇒ x ≥

6. 3x² −4x+ <1 0

3 1 1

1 3 1 3

1 0 2

4 1 0

1 4 3

0 1

4 3 .

' 0

1 4 3

2 1 12

2

2 2

<

<

⇒

⇒







=

= =

= ±

⇒

>

∆ =

= +

−

⇒

= +

−

<

+

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x

x x associata equaz

l risolvendo x

x

3 7

9

4

-2

5 13

?

?

?

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

7. 2x² +3x− >2 0

2 , 1

2

2 1 2 4

25 0 3

25 0

2 3 2

0 2

3 2 .

' 0

2 3 2

2 1

12 2

2 2

>

−

<

⇒

⇒







=

−

=

± =

= −

⇒

>

=

∆

=

− +

⇒

=

− +

>

− +

x x

ni disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x

x x associata equaz

l risolvendo x

x

8. x² +6x− >3 0

3 2 3 ,

3 2 3

3 2 3

3 2 12 3

3 0

4 12 0

3 6

0 3

6 .

' 0

3 6

2 1 12

2

2 2

+

−

>

−

−

<

⇒

⇒







+

−

=

−

−

= =

±

−

=

⇒

>

∆ =

=

− +

⇒

=

− +

>

− +

x x

ni disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x

x x associata equaz

l risolvendo x

x

3

1 1

-2 2 1

3 2 3−

− −3+2 3

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

9. x² −4x− ≤5 0

5 1

5 9 1

2 0

4 9 0

5 4

0 5

4 .

' 0

5 4

2 1 12

2

2 2

≤

≤

−

⇒

⇒





=

−

= =

±

=

⇒

>

∆ =

=

−

−

⇒

=

−

−

≤

−

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x

x x associata equaz

l risolvendo x

x

10. − − + <x² x 3 0

2 13 , 1

2 13 1

2 13 1

2 13 1 2

13 0 1

13 0

3

0 3

. ' 0

3

2 1

12 2

2 2

+

> −

−

< −

⇒

⇒









+

= −

−

= −

± =

= −

⇒

>

=

∆

=

− +

⇒

= +

−

−

<

+

−

−

x x

ni disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x

x x associata equaz

l risolvendo x

x

11. (− −x 2)² − − +( 2x 1)² >8x

(

^−x−2

) (

^{2 − −2x+1}

)

^{2 >8x ⇒ x2 +4x+4−}

(

^{4x2 −4x+1}

)

^{> 8x}

-1 5

2 13 1−

− 2

13 1+

−

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

( )

1 1

1 0

3 3 '

0 3

3

0 3

3 0

8 3 8 3 8

1 4 4 4 4

12 2

2

2 2

2 2

+

<

<

−

⇒

⇒

±

=

⇒

=

−

<

−

⇒

<

−

⇒

>

− + +

−

⇒

>

+

−

− + +

⇒

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x x

associata equazione

l risolvendo x

x x

x x x

x x x

x

12. x² +12 <0

ℜ

∈

∀/

⇒

⇒

<

−

=

∆

= +

<

+

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

poichè x

associata equaz

l risolvendo

x² 12 0 ' . ² 12 0 48 0

13. 9x² −25>0

3 , 5

3 5 3

5

0 900 0

25 9

. ' 0

25 9

12

2 2

>

−

<

⇒

⇒

±

=

⇒

>

=

∆

=

−

>

−

x x

ni disequazio le

relativa tabella

la per e x

poichè x

associata equaz

l risolvendo x

-1 +1

3

−5 3 +5

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

14. −4x² − <6 0

ℜ

∈

∀

⇒

⇒

<

−

=

∆

= +

<

−

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

poichè x

associata equaz

l risolvendo

x 6 0 ' . 4 6 0 96 0

4 ^{2 2}

15. 16x² + >5 0

ℜ

∈

∀

⇒

⇒

<

−

=

∆

= +

>

+

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

poichè x

associata equaz

l risolvendo

x 5 0 ' . 16 5 0 320 0

16 ^{2 2}

16. 1

5x² −2x+ ≤5 0

{ }

5 2 5

0 0

25 10 .

' 0

5 5 2

1

2 1

2 2

=

− ℜ

∈

∀/

⇒

−

=

=

⇒

=

∆

= +

−

≤ +

−

x anche o

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per a e

x b x

poichè x

x associata equaz

l risolvendo x

x

5

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

17. 7x−3(x− +4) x² ≥2x+1

( )

ℜ

∈

∀

⇒

⇒

<

−

∆ =

⇒

= + +

>

+ +

⇒

>

+ +

⇒ +

>

+ +

−

⇒ +

≥ +

−

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x x associata equazione

l risolvendo x

x

x x x

x x

x x

x x

x

0 4 10

0 11

2 '

0 11

2

0 11 2 1

2 12

3 7 1

2 4

3 7

2 2

2 2

2

18. 8−3x² ≥2(x+ −3) 1

( )

3 10 1 3

10 1

3 10 1

3 10 1 3

10 0 1

4 10 0

3 2 3

. ' 0

3 2 3 0

3 2 3 1

3 2 3

8

2 1

12 2

2 2

2

+

≤ −

− ≤

⇒ −

⇒









+

= −

−

=−

± =

= −

⇒

>

∆ =

=

− +

⇒

≤

− +

⇒

≥ +

−

−

⇒

− +

≥

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x x x

poichè x

x associata

equaz l risolvendo x

x x

x x

x

3 10 1−

− 3

10 1+

−

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

19. −  −

 

 ≤ −

2 2 1 2 3

4 x 2

x

ℜ

∈

∀

⇒

⇒

<

−

=

∆

⇒

= +

≥ +

⇒

−

≤

− +

−

⇒

−

 ≤

 

 − +

−

⇒

−

 ≤



 

 −

−

x ni

disequazio le

relativa tabella

la per e

x associata equazione

l risolvendo x

x x x

x x x

x x

0 40 0

5 2 '

0 5

2

4 2 3 2

2 2 4

2 3 4 1

4 2 2 3 2 1

2

2 2

2 2 2

20.

( )





 



 −

−

>

−

− 8

3 2 3 1 2 3

2x ² x x

( ) ( )

ℜ

∈

∀/

⇒

⇒

<

−

∆ =

⇒

= +

−

⇒

<

+

−

⇒ +

>

− +

−

⇒

+

−

>

+

−

−

 ⇒



 



 −

−

>

−

−

x

ni disequazio le

relativa tabella

la per e x

x

associata equazione

l risolvendo x

x x

x x

x x x

x x

x x

0 4 956

0 153

188 64

' 0

153 188

8 64 9 2 18 1

24 8

8 9 2 2 3 9

12 4 8 2

3 2 3 1 2 3

2 2

2

2 2

2 2

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo :

21. x³ −4x² +7x− ≥4 0

x³ −4x² +7x−4 ≥ 0 tramite Ruffini

(

^x−1

) (

^{x2 −3x+4}

)

^{≥ 0}

^⇒

(

⁻

) (

^{− +}

)

^{≥ ⇒ −}₋ ^≥_{+ ≥}^⇒ _⇒^≥ _{∆ =− < ⇒ ∀ ∈ℜ}

x x

x

x x x

x

x 3 4 0 7 0

1 0

0 1 4

3

1 2

2

per cui si ha :

x ≥ 1

22. − −x³ 2x² +5x+ ≤6 0

−x³ −2x²+5x+6 ≤ 0 tramite Ruffini

(

^x+1

) (

^{−x2 −x+6}

)

^{≤ 0}

( ) ( )

2 3

0 25

0 6

0 6

1 0

1 0

6

1 ^{2 2 2}

+

≤

≤

−

⇒

>

=

∆

⇒

≤

− +

⇒

≥ +

−

−

−

≥

⇒

≥ +

⇒

≤ +

−

− +

⇒

x x x x

x

x x

x x x

per cui si ha :

2 ,

1

3 ≤ ≤ − ≥ +

− x x

+ 1

- +

+ 1 - 4 + 7 - 4 x = +1 + 1 - 3 + 4 + 1 - 3 + 4 0

- 1 - 2 + 5 + 6 x = - 1 + 1 + 1 - 6 - 1 - 1 + 6 0

- 3 - 1 + 2

+ - + -

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

23. x³ −5x+ ≥2 0

x³ −5x+2 ≥ 0 tramite Ruffini

(

^x−2

) (

^x2+2x−1

)

^{≥ 0}

( ) ( )

2 1 ,

2 1

0 4 2

0 1

2

2 0

2 0

1 2

2 ^{2 2}

+

−

≥

−

−

≤

⇒

>

∆ =

⇒

≥

− +

+

≥

⇒

≥

−

⇒

≥

− +

−

⇒

x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

2 ,

2 1 2

1− ≤ ≤ − + ≥ +

− x x

24. x³ −2x² − + ≤x 2 0

x³ −2x² −x+2 ≤ 0 tramite Ruffini

(

^x−1

) (

^{x2 −x−2}

)

^{≤ 0}

( ) ( )

2 ,

1

0 9 0

2

1 0

1 0

2

1 ^{2 2}

+

≥

−

≤

⇒

>

=

∆

⇒

≥

−

−

≥

⇒

≥

−

⇒

≤

−

−

−

⇒

x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

x ≤ −1 , +1 ≤ x ≤ +2

−1− 2 −1+ 2 + 2

- + - +

- 1 + 1 + 2

- + - +

+ 1 - 2 - 1 + 2 x = + 1 + 1 - 1 - 2 + 1 - 1 - 2 0 + 1 0 - 5 + 2 x = + 2 + 2 + 4 - 2 + 1 + 2 - 1 0

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

25. x³ −8x− <8 0

x³−8x−8 < 0 tramite Ruffini

(

^x+2

) (

^{x2 −2x−4}

)

^{< 0}

( ) ( )

5 1 ,

5 1

0 4 5

0 4

2

2 0

2 0

4 2

2 ^{2 2}

+

>

−

<

⇒

>

∆ =

⇒

>

−

−

−

>

⇒

>

+

⇒

<

−

− +

⇒

x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

x < −2 , 1− 5 ≤ x ≤ 1+ 5

26. x⁴ +7x³ +17x² ≤0

^{x4 +7x3 +17x2 ≤ 0 ⇒ x2}

(

^{x2 +7x+17}

)

^{≤ 0}

^⇒

(

^{+ +}

)

^{≤ ⇒} ₊^≥ ₊ ^⇒_≥ ^{∀ ∈}_⇒^ℜ _{∆=− < ⇒ ∀ ∈ℜ}

x x

x

x x x

x

x 7 17 0 19 0

0 0 17

7 2

2 2

2

per cui si ha :

{ }

⁰ =⁰

− ℜ

∈

∀/x o anche x

-2 1− 5 1+ 5

- + - +

0

+ +

+ 1 0 - 8 - 8 x = - 2 - 2 + 4 + 8 + 1 - 2 - 4 0

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

27. x⁴ −3x² + ≤2 0

x⁴−3x² +2 ≤ 0 tramite Ruffini

( ) ( ) ^{( ) (} [ ^{) ( )} ]

(

¹

)(

¹

) (

²

)

⁰

0 1

2 1 1

. 0

2 2 1

2

2 2

3

≤

− +

−

⇒

≤ +

− +

−

⇒

⇒

≤

−

− +

−

x x x

x x

x x te

parzialmen racc

e x

x x x

( )( ) ( )

2 ,

2 0

8 0

2

1 0

1

1 0

1 0

2 1

1

2 2

≥

−

≤

⇒

>

=

∆

⇒

≥

−

−

≥

⇒

≥ +

≥

⇒

≥

−

⇒

≤

− +

−

⇒

x x

x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

2 1

, 1

2 ≤ ≤ − ≤ ≤ +

− x x

Potevamo risolvere anche la disequazione come biquadratica :

( )( ) ( )( )

2 ,

2

1 ,

1

2 0 1

2 1

0 2

1

2 om 1 2

1 0 3

2 3

' 0

1 0

2 3 0

2 3

2 2 2

2 2

2 1 12

2

2 2

2 4

+

≥

−

≤

+

≥

−

⇒ ≤

≥

⇒ ≥

≤

−

−

⇒

=

≤

−

−

⇒





=

= =

= ±

⇒

= +

−

>

=

∆

⇒

≤ +

−

⇒

=

⇒

≤ +

−

x x

x x

x x x

x t

x ndo risostitue e

t t

notevole io

trin il per t e

t t t

t associata

equazione dall

e t

t t

x posto x

x

− 2 -1 +1 + 2

+ - + - +

+ 1 0 -3 0 + 2 x = + 1 + 1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 - 2 - 2 0

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

per cui si ha :

2 1

, 1

2 ≤ ≤ − ≤ ≤ +

− x x

28. x⁴ −7x² +12>0

( )( ) ( )( )

2 ,

2

3 ,

3

4 0 3

4 3

0 4

3

4 om 3 2

1 0 7

12 7

' 0

1 0

12 7 0

12 7

2 2 2

2 2

2 1 12

2

2 2

2 4

+

>

−

<

+

>

−

⇒ <

>

⇒ >

>

−

−

⇒

=

>

−

−

⇒





=

= =

= ±

⇒

= +

−

>

=

∆

⇒

>

+

−

⇒

=

⇒

>

+

−

x x

x x

x x x

x t

x ndo risostitue e

t t

notevole io

trin il per t e

t t t

t associata

equazione dall

e t

t t

x posto x

x

per cui si ha :

2 ,

3 3

,

2 − < < + > +

−

< x x

x

− 2 -1 +1 + 2

+ - + - +

-2 − 3 + 3 +2

+ - + - +

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

29. 4x⁴ −3x² −1≥0

( ) ( )

1 ,

1 1 4 1

0 4 1

4 1 0

4 1 4 1

om 1

4 1 8

25 0 3

1 3 4

' 0

25 0

1 3 4 0

1 3 4

2 2

2 2

2 2 1 12

2

2 2

2 4

+

≥

−

≤ ℜ

∈

⇒ ∀

≥

−

⇒ ≥

≥

 −



 



 +

⇒

=

≥

 −



 

 +

⇒







=

−

= =

= ±

⇒

=

−

−

>

=

∆

⇒

≥

−

−

⇒

=

⇒

≥

−

−

x x

x x

x

x x

t x ndo risostitue e

t t

notevole io

trin il per e t

t t t

t associata

equazione dall

e t

t t

x posto x

x

per cui si ha :

x ≤ −1 , x ≥ +1

30. 3x⁴ −8x² +5≤0

( ) ( )

3 , 5

3 5

1 ,

1 3

5 1

3 0 1 5

3 3 0

1 5 3

om 3

5 1 3

1 0 4

5 8 3

' 0

4 1 0

5 8 3 0

5 8 3

2 2

2 2

2 2 1

12 2

2 2

2 4

+

≥

−

≤

+

≥

−

≤

≥ ⇒

≥

⇒

 ≤



 



 −

−

⇒

=

 ≤



 

 −

−

⇒







=

=

± =

=

⇒

= +

−

>

∆ =

⇒

≤ +

−

⇒

=

⇒

≤ +

−

x x

x x

x x

x x

t x ndo risostitue e

t t

notevole io

trin il per t e

t t

t t associata

equazione dall

e t

t t

x posto x

x

-1 +1

+ - +

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

per cui si ha :

3 1 5

, 3 1

5 ≤ ≤ − + ≤ ≤ +

− x x

31. x⁵ −1≥0

x⁵ −1 ≥ 0 tramite Ruffini

(

^x−1

) (

^{x4 +x3+ x2 +x+1}

)

^{≥ 0}

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :

(

^x−1

) (

^{x4 +x3 +x2 +x+1}

)

^{≥ 0 ⇒ x−1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1}

quindi più direttamente si avrà che se :

1 1

1 0

1 ^{5 5}

5 − ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥

x

3

− 5 -1 +1 3 + 5

+ - + - +

+1 0 0 0 0 - 1 x = +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

32. x⁵ +32<0

x⁵ +32 < 0 tramite Ruffini

(

^x+2

) (

^{x4 −2x3 +4x2 −8x+16}

)

^{< 0}

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :

(

^x+2

) (

^{x4 −2x3+4x2−8x+16}

)

^{< 0 ⇒ x+2 < 0 ⇒ x < −2}

quindi più direttamente si avrà che se :

( )

^{2 2}

32 32

0

32 ^{5 5 5 5}

5 + < ⇒ x < − ⇒ x < − ⇒ x < − ⇒ x < −

x

33. x⁷ −13≥0

direttamente si avrà che : x⁷ +13 ≥ 0 ⇒ x⁷ ≥ −13 ⇒ x ≥ ⁷ −13

34.

(

x+⁶

)

³ ≥⁰

ora poiché :

(

^x+6

)

^{3 ≥ 0 ⇒}

(

^x+6

)(

^x+6

)(

^x+6

)

^{≥ 0}

da cui per l'esponente dispari ( n° dispari di fattori ) :

(

x+⁶

)

≥ ⁰ ⇒ x ≥ −⁶ +1 0 0 0 0 +32 x = -2 - 2 +4 -8 +16 -32 +1 -2 +4 -8 +16 0

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

35 . x³−27 ≤ 0 tramite Ruffini

(

^x−3

) (

^{x2 +3x+9}

)

^{≤ 0}

ora poiché il polinomio di secondo grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali , ∆<0 ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :

(

^x−3

) (

^x2+3x+9

)

^{≤ 0 ⇒ x−3 ≤ 0 ⇒ x ≤ 3}

quindi più direttamente si avrà che se :

3 3

27 27

0

27 ^{3 3 3 5}

3 − ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤

x

36. −x¹¹−13≥0

direttamente si avrà che : −x¹¹−13 ≥ 0 ⇒ x¹¹ ≤ −13 ⇒ x ≤ ¹¹−13

37.

(

^−x+4

)

^{4 ≥0}

ora poiché :

(

^−x+4

)

^{4 ≥ 0 ⇒}

(

^−x+4

)(

^−x+4

)(

^−x+4

)(

^−x+4

)

^{≥ 0}

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) :

(

x+6

)

≥ 0 ⇒ ∀x∈ℜ +1 0 0 -27 x = +3 +3 +9 +27 +1 +3 +9 0

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

38. x⁶ −1≥0

( ) ( ) ( )( ) ( )

(

¹¹

)

^{00 11}

0 1

1 0

1 3

3 3

2 3 2 3 3

−

≥

⇒

≥ +

≥

⇒

≥

≥ − +

−

⇒

≥

− x x

x x x

x x

e quindi :

1 ,

1 ≥

−

≤ x

x

più semplicemente si poteva procedere in questo modo :

1 ,

1 1

, 1 :

1 ,

1 0

1 0

1

3 3

2 3

6

≥

−

≤

⇒

≥

−

≤

≥

−

≤

⇒

≥

−

⇒

=

≥

−

x x

x x

qui di e

t t

t t

x posto x

39. x⁴−1<0

( ) ( ) ( )( ) ( )

(

⁺⁻

)

^{>> ⇒⇒ ∀ <∈ℜ− >}

<

+

−

⇒

<

− x x

x x

x x x x

0 1

1 ,

1 0

0 1 1

1 0

1 2

2 2

2 2 2 2 2

e quindi : −1 < x < 1

-1 +1

+ - +

-1 +1

+ - +

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

40.

(

^2x−3

)

^{6 ≤0}

ora poiché :

(

^2x−3

)

^{6 ≤ 0 ⇒}

(

^2x−3

)(

^2x−3

)(

^2x−3

)(

^2x−3

)(

^2x−3

)(

^2x−3

)

^{≤ 0}

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : ⇒ ∀/x∈ℜ:2x−3=0

o meglio la disequazione è verificata da :

2 0 3

3

2x− = ⇒ x =

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Risolvere le seguenti disequazioni fratte :

41. x

x

x x

−

−1 − < −

2 2 3 3

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0 , 1

1 ,

2 0

2 0 0

1 2 2

3

1 2

6 3 3 1

2 0 1

2

2 2 6 6 1

2

6 6

1 2

1 3

2 1

2

1 6 1 3 3

2 2

1

2 2 2

2 2

2 2

>

<

⇒

>

−

⇒

>

>

−

<

⇒

>

− +

⇒

⇒ >

− >

−

⋅ +

⇒

−

−

< +

⇒ −

− +

−

< −

− +

−

⇒ −

−

−

< −

−

−

−

⇒ −

< −

− −

−

x x

x x D

x x

x x N

x x

x x

x x

x x x

x x

x

x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x x x

x x

x x

x

e quindi :

1 0

,

2 > ≠

−

< x con x

x

42. x x

− x

> +

3 5 6

2

( ) ( )

0 0

2 0

0 6

2 5 0 0

2 6 2 5

2 6 2 5 2

0 2

6 5 2

6 6 2

2 6 5 2

3 2 2

6 5 3

2 2

2 2

>

⇒

>

⇒

>

ℜ

∈

∀

⇒

>

+

−

⇒

⇒ >

+ <

⇒ −

+

> − + ⇒

+ >

⇒ −

> +

⇒ −

> +

−

x x

D

x x

x N

x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

-2 0 +1

+ - + +

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA