3^ Lezione
• Disequazioni algebriche .
• Disequazioni di 1° .
• Disequazioni di 2° .
• Disequazioni fattoriali .
• Disequazioni biquadratiche .
• Disequazioni binomie .
• Disequazioni fratte .
• Sistemi di disequazioni .
Corso di Analisi: Algebra di Base
• Allegato Esercizi .
DISEQUAZIONI DI 1° GRADO :
Per disequazione si intende una diseguaglianza tra due espressioni algebriche. I simboli che rappresentano tale diseguaglianza sono detti simboli di maggiorazione (>) e di minorazione (<).
Risolvere una disequazione significa determinare un insieme di valori da assegnare alla variabile x affinché risulti verificata la diseguaglianza data.
ax+b > 0 ⇒ ax > −b ⇒ x > −b a
Es. 2x−4 > 0 ⇒ x > 2
da notare che il valore di x=2 non fa parte dell’insieme delle soluzioni.
Equivalentemente potremo rappresentare l’insieme delle soluzioni trovate tramite la
definizione di intervallo ( insieme di numeri reali limitato da due estremi , inclusi o esclusi , dallo stesso) .
E quindi dire che x > 2 equivalentemente significa : ∀x∈ℜ: x∈
]
2,+∞[
(intervallo aperto) Es. 2x≥ 4 ⇒ x≥2in questo caso il valore di x=2 fa parte dell’insieme delle soluzioni.
E cioè saranno soluzioni della disequazione tutte le x∈ +∞
[
2,[
Sarà possibile comunque verificare se le soluzioni sono corrette considerando un valore dell’intervallo ( per es. x = 3 ) e sostituirlo alla diseguaglianza data :
0 4 ) 3 (
2 − ≥ ⇒ 6−4≥0 ⇒ 2≥0 che sicuramente verifica.
2
- +
2
- +
INDICE
Da notare che se avessimo −2x−4≥0 e quindi il coefficiente del termine incognito negativo, converrà cambiare segno a tutti i termini della disequazione ricordando che con essi cambierà necessariamente anche il verso.
Di qui allora si avrà : 2x+4≤0 ⇒ x≤−2
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO :
Es . 2x2−3x+ ≥1 0 ∆ = − = >9 8 1 0
2x2−3x+1=0 equaz. associata
=
= =
= ±
1 2 1 4
1 3
2 1
12
x x x
-2 - +
ax2+ + >bx c 0 a>0 ax2+ + <bx c 0
1) ∆ >0 x <x1 e x>x2 1) ∆ >0 x1< <x x2
2) ∆ =0
ℜ −
∈
∀ a
x b
\ 2 2) ∆ =0 /∀ ∈ ℜx
3) ∆ <0 ∀ ∈ ℜx 3) ∆ <0 /∀ ∈ ℜx
INDICE
da cui si ha :
2
≤ 1
x , x≥1
Es . 4x2+4x+ >1 0 ∆ =16 16− =0
∀ ∈ℜx \ x = − = −
4
8 1 2
Da ricordare che un polinomio di 2° grado il cui discriminante sia nullo rappresenta sempre il quadrato di un binomio.
Per cui 4x2 +4x+ =1 0 ⇒
(
2x+1)
2 =0 Es. x2 +4x+ ≥5 0 ∆ =16−20= − <4 0∀ ∈ℜx
Es. 3x2 +5x+ <1 0 ∆ =25 12− =13>0
3x2 +5x+ =1 0 x1 2
5 13
= − ±6
+ - +
1
2 1
2
−1
INDICE
− −
< < − +
5 13
6
5 13
x 6
Es. 9x2 +6x+ <1 0 ∆ =36−36=0
/∀ ∈ ℜx
e infatti ricordiamo che :
∆=0 ⇒ 9x2 +6x+1=
(
3x+1)
2 <0+ < 0 non può mai essere vero !
Es. 9x2 −6x+ ≤1 0 ∆ =0
/∀ ∈ ℜx \ x b
a x
= − ⇒ =
2
1 3
Es. 4x2 +2x+ <2 0 ∆ <0 /∀ ∈ ℜx
3 1
6 13 5 6
13
5− − +
−
INDICE
Ricordiamo come fatto importante che un’equazione di 2° grado del tipo :
il cui discriminante sia ∆ ≥0 è sempre scomponibile
nella forma :
E quindi se abbiamo 2x2 −3x+ ≥1 0 ∆ = − = >9 8 1 0
possiamo scrivere equivalentemente : 2 1
( )
2 1
x− x
⋅ − ≥0
DISEQUAZIONI FATTORIALI :
Derivano da tutte le disequazioni di grado uguale o superiore al 2°.
A x( )⋅B x( )⋅C x( )⋅...⋅Z x( )≥0
Risolveremo tali tipi di disequazioni discutendo la positività di ogni singolo fattore ; quindi schematicamente avremo :
A x B x C x
Z x ( ) ( ) ( ) . . . . . . . .
( )
≥
≥
≥
≥ 0 0 0
0
ax2+bx+ =c 0
( ) ( )
a x− x1 ⋅ −x x2 = 0
INDICE
Riprendendo l’esempio di sopra abbiamo che :
(
x− 12)
⋅ − ≥(
x 1)
0 Risolveremo quindi come segue :(
x− 12)
≥0 ⇒ x≥12(
x− ≥1)
0 ⇒ x≥1e cioè sarà verificata per valori esterni alle due soluzioni.
Dobbiamo infine unire tramite prodotto i risultati finali della disequazione :prenderemo come risultati che verificano la disequazione quelli che sono concordi con il segno iniziale della stessa. E quindi in questo caso abbiamo che :
x ≤1
2 , x ≥1
DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE
Così come già affrontato per le equazioni , anche per le disequazioni di 4° grado mancanti dei termini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA.
Simbolicamente si avrà : ax4 +bx2+ >c 0
La risoluzione di tale tipo di disequazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :
dopo aver posto x2 =t andremo a risolvere una semplice disequazione di 2° grado nella variabile t per riportarci infine , dopo una ulteriore sostituzione , alle corrispondenti disequazioni pure nella variabile x .
2 1 1
+ - +
2 1 1
INDICE
Es. ax4 +bx2 +c>0 posto x2 =t ⇒ at2+bt+c>0
t b b ac a
t
1 t
2
2
1
2
4
= − ± 2 − = =
=
. . . .
. . . .
=
⇒ =
2 2
1 2
t x
t x
4x4 −3x2 − ≤1 0 ⇒ posto x2 =t ⇒ 4t2 −3t−1≤0
e quindi risolvendo in t troviamo − ≤ ≤ +1
4 t 1 il che porta a :
− ≤1 ≤ + 4 x2 1
+
≤
≤
− ℜ
∈
⇒ ∀
+
≤
−
⇒ ≥
1 1 1
4 1
2 2
x x x
x
le soluzioni finali saranno date dalla unione delle singole soluzioni;
E quindi avremo che −1≤x≤+1 .
Ricordiamo che la soluzione poteva essere trovata anche in altra maniera :
4x4 −3x2 − ≤1 0 ⇒ x2 =t ⇒ 4t2−3t−1≤0 e poiché ∆ ≥0
ricordando che 0
(
1) (
2)
02 +bt+c= ⇒ at−t ⋅ t−t =
at allora avremo :
( )
4 1
4 1 0
t+ t
⋅ − ≤ da risolvere come disequazione fattoriale :
INDICE
( )
4 1
4 1 0
2 2
x + x
⋅ − ≤ ⇒
+
≥
−
≤
⇒
≥
−
ℜ
∈
∀
⇒
≥ +
1
; 1 0
1 4 0 1
2 2
x x
x
x x
E quindi avremo che : −1≤x≤+1 .
Es. 2x4−3x2 +1≥0
(
1)
02
2 2 1⋅ 2 − ≥
−
⇒ x x
≥
−
≥
⇒ −
0 1
2 0 1
2 2
x x
+
≥
−
≤
+
≥
−
≤
1
; 1
2
; 1 2 1
x x
x x
e quindi x≤−1 ;
2 1 2
1 ≤ ≤+
− x ; x≥−1
DISEQUAZIONI BINOMIE
Come visto per le equazioni anche per le disequazioni di grado superiore al 2° costituite da un polinomio di soli due termini ( binomio ) si parla di disequazione binomia .
La forma sarà del tipo axn +b>0
La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazione fattoriale .
2 1 1 2
1 − 1 + +
−
+ - + - +
11 +
−
+ - +
INDICE
Es: risolvere : x4 −1<0
(
1)(
1)
0 1 10
1 2 2
4 − < ⇒ x − x + < ⇒ − <x<+
x
Es: risolvere : x3 −8≥0
(
2) (
2 4)
0 20
8 2
3 − ≥ ⇒ x− x + x+ ≥ ⇒ x ≥
x
Es: risolvere : x6 −64>0
( ) ( )
2 0(
4)(
4 16)
0 2 , 20
26 2 3 2 3 2 4 2
6 − > ⇒ x − > ⇒ x − x + x + > ⇒ x<− x >+
x
Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi , possiamo risolvere una disequazione binomia in maniera più semplice:
a) come una disequazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,
b) come una disequazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice ,( se di indice n-dispari ).
Sinteticamente :
Riesaminando gli esempi precedenti si ha :
Es: risolvere : x4 −1<0 ⇒ x4 <1 ⇒ −1< x<+1
) (
0
) (
0
) (
, 0
dispari a n
x b a
x b b
ax
pari a n
x b a b a
x b b
ax
pari a n
x b a
x b a
x b b
ax
n n n
n n n
n
n n n
n
−
−
>
⇒
−
>
⇒
>
+
−
− +
<
<
−
−
⇒
−
<
⇒
<
+
−
− +
>
−
−
<
⇒
−
>
⇒
>
+
INDICE
Es: risolvere : x3 −8≥0 ⇒ x3 ≥8 ⇒ x≥3 8 ⇒ x≥3 23 ⇒ x≥2
Es: risolvere : x6 −64>0 ⇒ x6 >64 ⇒ x<−2 , x>+2
Es: risolvere : x3 +3≤0 ⇒ x3 ≤−3 ⇒ x ≤3 −3 ⇒ x ≤−3 3
Es: risolvere : x8 +5>0 ⇒ x8 >−5 ⇒ ∀x∈ℜ
DISEQUAZIONI FRATTE
Così come le equazioni fratte , le disequazioni si presentano nella forma :
) 0 (
)
( ≥
x B
x
A opp. 0
) (
)
( ≤
x B
x A
La loro risoluzione ricalca identicamente il metodo usato per le fattoriali :quindi indipendentemente dal segno si discuterà la positività del singolo numeratore e del singolo denominatore.
E quindi sarà :
0 ) (
0 ) (
>
≥ x B
x
A di qui ci comporteremo come per le fattoriali
N.B. come si può notare per la realtà di una frazione il denominatore non può essere mai nullo ( quindi B x( )> 0 e non B x( )≥0 ).
Es. 0
1 6
2 5
− ≥ +
− x
x x
INDICE
1 0
1 0
3
; 2 0
6 5
0 2
>
⇒
>
−
⇒
>
≥
≤
⇒
≥ +
−
⇒
≥
x x
D
x x
x x N
quindi il risultato finale sarà + < ≤1 x 2 , x ≥3
Es.
( )
7 0 3
4 2
2 ≤
−
− x x
x x
( )
3
; 7 0 0
7 3 0
4 0 0
4 2
0
2 − > ⇒ < >
⇒
>
≥
⇒ ≥
≥
−
⇒
≥
x x
x x D
x x x
x N
per cui avremo :
3
; 7 0 0
4
; 0 0
>
<
⇒
>
≥
≤
⇒
≥
x x
D
x x
N
da cui i risultati finali che sono : 7
3< ≤x 4
0 3 7 0 4 3
2 1
- + - +
0 3
7 4
+ + - +
INDICE
SISTEMI DI DISEQUAZIONI :
Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di due o più disequazioni . Risolvere tale sistema significa determinare quell’insieme di valori da attribuire alla incognita x affinché le singole diseguaglianze siano contemporaneamente verificate ( valuteremo le intersezioni della linea continua).
Es.
2 4 0
3 2 0
1
1 0
2
x x x x
− <
− + ≥
+
− >
andiamo a risolvere singolarmente ogni disequazione ;
+
>
−
<
+
≤
≤
−
<
1
; 1
3 2 3
2 2
x x
x x
e quindi non essendo la linea continua presente contemporaneamente per le tre disequazioni, concluderemo che il sistema non ha soluzioni.
-1
3 2 3
2 +
− +1 +2
INDICE
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Esercizi della 3°lezione di Algebra di base
GUIDA
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?
INDIETRO
RISOLVI
NASCONDI
INDICE ESERCIZI
Risolvere le seguenti disequazioni di primo e di secondo grado :
1. 3x− ≥7 0
3 7 7
3 0
7
3x− ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥
2. 3x−27≤0
3x−27 ≤ 0 ⇒ 3x ≤ 27 ⇒ x ≤ 9
3. − +4x 16≥0
−4x+16 ≥ 0 ⇒ 4x−16 ≤ 0 ⇒ x ≤ 4
4. −3x−6≥0
−3x−6 ≥ 0 ⇒ 3x+6 ≤ 0 ⇒ x ≤ −2
5. 5x−13≥0
5 0 13
13 5 0
13
5x− ≥ ⇒ x− ≤ ⇒ x ≥
6. 3x2 −4x+ <1 0
3 1 1
1 3 1 3
1 0 2
4 1 0
1 4 3
0 1
4 3 .
' 0
1 4 3
2 1 12
2
2 2
<
<
⇒
⇒
=
= =
= ±
⇒
>
∆ =
= +
−
⇒
= +
−
<
+
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x
x x associata equaz
l risolvendo x
x
3 7
9
4
-2
5 13
?
?
?
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
7. 2x2 +3x− >2 0
2 , 1
2
2 1 2 4
25 0 3
25 0
2 3 2
0 2
3 2 .
' 0
2 3 2
2 1
12 2
2 2
>
−
<
⇒
⇒
=
−
=
± =
= −
⇒
>
=
∆
=
− +
⇒
=
− +
>
− +
x x
ni disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x
x x associata equaz
l risolvendo x
x
8. x2 +6x− >3 0
3 2 3 ,
3 2 3
3 2 3
3 2 12 3
3 0
4 12 0
3 6
0 3
6 .
' 0
3 6
2 1 12
2
2 2
+
−
>
−
−
<
⇒
⇒
+
−
=
−
−
= =
±
−
=
⇒
>
∆ =
=
− +
⇒
=
− +
>
− +
x x
ni disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x
x x associata equaz
l risolvendo x
x
3
1 1
-2 2 1
3 2 3−
− −3+2 3
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
9. x2 −4x− ≤5 0
5 1
5 9 1
2 0
4 9 0
5 4
0 5
4 .
' 0
5 4
2 1 12
2
2 2
≤
≤
−
⇒
⇒
=
−
= =
±
=
⇒
>
∆ =
=
−
−
⇒
=
−
−
≤
−
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x
x x associata equaz
l risolvendo x
x
10. − − + <x2 x 3 0
2 13 , 1
2 13 1
2 13 1
2 13 1 2
13 0 1
13 0
3
0 3
. ' 0
3
2 1
12 2
2 2
+
> −
−
< −
⇒
⇒
+
= −
−
= −
± =
= −
⇒
>
=
∆
=
− +
⇒
= +
−
−
<
+
−
−
x x
ni disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x
x x associata equaz
l risolvendo x
x
11. (− −x 2)2 − − +( 2x 1)2 >8x
(
−x−2) (
2 − −2x+1)
2 >8x ⇒ x2 +4x+4−(
4x2 −4x+1)
> 8x-1 5
2 13 1−
− 2
13 1+
−
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
( )
1 1
1 0
3 3 '
0 3
3
0 3
3 0
8 3 8 3 8
1 4 4 4 4
12 2
2
2 2
2 2
+
<
<
−
⇒
⇒
±
=
⇒
=
−
<
−
⇒
<
−
⇒
>
− + +
−
⇒
>
+
−
− + +
⇒
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x x
associata equazione
l risolvendo x
x x
x x x
x x x
x
12. x2 +12 <0
ℜ
∈
∀/
⇒
⇒
<
−
=
∆
= +
<
+
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
poichè x
associata equaz
l risolvendo
x2 12 0 ' . 2 12 0 48 0
13. 9x2 −25>0
3 , 5
3 5 3
5
0 900 0
25 9
. ' 0
25 9
12
2 2
>
−
<
⇒
⇒
±
=
⇒
>
=
∆
=
−
>
−
x x
ni disequazio le
relativa tabella
la per e x
poichè x
associata equaz
l risolvendo x
-1 +1
3
−5 3 +5
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
14. −4x2 − <6 0
ℜ
∈
∀
⇒
⇒
<
−
=
∆
= +
<
−
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
poichè x
associata equaz
l risolvendo
x 6 0 ' . 4 6 0 96 0
4 2 2
15. 16x2 + >5 0
ℜ
∈
∀
⇒
⇒
<
−
=
∆
= +
>
+
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
poichè x
associata equaz
l risolvendo
x 5 0 ' . 16 5 0 320 0
16 2 2
16. 1
5x2 −2x+ ≤5 0
{ }
5 2 5
0 0
25 10 .
' 0
5 5 2
1
2 1
2 2
=
− ℜ
∈
∀/
⇒
−
=
=
⇒
=
∆
= +
−
≤ +
−
x anche o
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per a e
x b x
poichè x
x associata equaz
l risolvendo x
x
5
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
17. 7x−3(x− +4) x2 ≥2x+1
( )
ℜ
∈
∀
⇒
⇒
<
−
∆ =
⇒
= + +
>
+ +
⇒
>
+ +
⇒ +
>
+ +
−
⇒ +
≥ +
−
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x x associata equazione
l risolvendo x
x
x x x
x x
x x
x x
x
0 4 10
0 11
2 '
0 11
2
0 11 2 1
2 12
3 7 1
2 4
3 7
2 2
2 2
2
18. 8−3x2 ≥2(x+ −3) 1
( )
3 10 1 3
10 1
3 10 1
3 10 1 3
10 0 1
4 10 0
3 2 3
. ' 0
3 2 3 0
3 2 3 1
3 2 3
8
2 1
12 2
2 2
2
+
≤ −
− ≤
⇒ −
⇒
+
= −
−
=−
± =
= −
⇒
>
∆ =
=
− +
⇒
≤
− +
⇒
≥ +
−
−
⇒
− +
≥
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x x x
poichè x
x associata
equaz l risolvendo x
x x
x x
x
3 10 1−
− 3
10 1+
−
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
19. − −
≤ −
2 2 1 2 3
4 x 2
x
ℜ
∈
∀
⇒
⇒
<
−
=
∆
⇒
= +
≥ +
⇒
−
≤
− +
−
⇒
−
≤
− +
−
⇒
−
≤
−
−
x ni
disequazio le
relativa tabella
la per e
x associata equazione
l risolvendo x
x x x
x x x
x x
0 40 0
5 2 '
0 5
2
4 2 3 2
2 2 4
2 3 4 1
4 2 2 3 2 1
2
2 2
2 2 2
20.
( )
−
−
>
−
− 8
3 2 3 1 2 3
2x 2 x x
( ) ( )
ℜ
∈
∀/
⇒
⇒
<
−
∆ =
⇒
= +
−
⇒
<
+
−
⇒ +
>
− +
−
⇒
+
−
>
+
−
−
⇒
−
−
>
−
−
x
ni disequazio le
relativa tabella
la per e x
x
associata equazione
l risolvendo x
x x
x x
x x x
x x
x x
0 4 956
0 153
188 64
' 0
153 188
8 64 9 2 18 1
24 8
8 9 2 2 3 9
12 4 8 2
3 2 3 1 2 3
2 2
2
2 2
2 2
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo :
21. x3 −4x2 +7x− ≥4 0
x3 −4x2 +7x−4 ≥ 0 tramite Ruffini
(
x−1) (
x2 −3x+4)
≥ 0⇒
(
−) (
− +)
≥ ⇒ −− ≥+ ≥⇒ ⇒≥ ∆ =− < ⇒ ∀ ∈ℜx x
x
x x x
x
x 3 4 0 7 0
1 0
0 1 4
3
1 2
2
per cui si ha :
x ≥ 1
22. − −x3 2x2 +5x+ ≤6 0
−x3 −2x2+5x+6 ≤ 0 tramite Ruffini
(
x+1) (
−x2 −x+6)
≤ 0
( ) ( )
2 3
0 25
0 6
0 6
1 0
1 0
6
1 2 2 2
+
≤
≤
−
⇒
>
=
∆
⇒
≤
− +
⇒
≥ +
−
−
−
≥
⇒
≥ +
⇒
≤ +
−
− +
⇒
x x x x
x
x x
x x x
per cui si ha :
2 ,
1
3 ≤ ≤ − ≥ +
− x x
+ 1
- +
+ 1 - 4 + 7 - 4 x = +1 + 1 - 3 + 4 + 1 - 3 + 4 0
- 1 - 2 + 5 + 6 x = - 1 + 1 + 1 - 6 - 1 - 1 + 6 0
- 3 - 1 + 2
+ - + -
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
23. x3 −5x+ ≥2 0
x3 −5x+2 ≥ 0 tramite Ruffini
(
x−2) (
x2+2x−1)
≥ 0
( ) ( )
2 1 ,
2 1
0 4 2
0 1
2
2 0
2 0
1 2
2 2 2
+
−
≥
−
−
≤
⇒
>
∆ =
⇒
≥
− +
+
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
− +
−
⇒
x x
x x
x x
x x x
per cui si ha :
2 ,
2 1 2
1− ≤ ≤ − + ≥ +
− x x
24. x3 −2x2 − + ≤x 2 0
x3 −2x2 −x+2 ≤ 0 tramite Ruffini
(
x−1) (
x2 −x−2)
≤ 0
( ) ( )
2 ,
1
0 9 0
2
1 0
1 0
2
1 2 2
+
≥
−
≤
⇒
>
=
∆
⇒
≥
−
−
≥
⇒
≥
−
⇒
≤
−
−
−
⇒
x x
x x
x x
x x x
per cui si ha :
x ≤ −1 , +1 ≤ x ≤ +2
−1− 2 −1+ 2 + 2
- + - +
- 1 + 1 + 2
- + - +
+ 1 - 2 - 1 + 2 x = + 1 + 1 - 1 - 2 + 1 - 1 - 2 0 + 1 0 - 5 + 2 x = + 2 + 2 + 4 - 2 + 1 + 2 - 1 0
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
25. x3 −8x− <8 0
x3−8x−8 < 0 tramite Ruffini
(
x+2) (
x2 −2x−4)
< 0
( ) ( )
5 1 ,
5 1
0 4 5
0 4
2
2 0
2 0
4 2
2 2 2
+
>
−
<
⇒
>
∆ =
⇒
>
−
−
−
>
⇒
>
+
⇒
<
−
− +
⇒
x x
x x
x x
x x x
per cui si ha :
x < −2 , 1− 5 ≤ x ≤ 1+ 5
26. x4 +7x3 +17x2 ≤0
x4 +7x3 +17x2 ≤ 0 ⇒ x2
(
x2 +7x+17)
≤ 0⇒
(
+ +)
≤ ⇒ +≥ + ⇒≥ ∀ ∈⇒ℜ ∆=− < ⇒ ∀ ∈ℜx x
x
x x x
x
x 7 17 0 19 0
0 0 17
7 2
2 2
2
per cui si ha :
{ }
0 =0− ℜ
∈
∀/x o anche x
-2 1− 5 1+ 5
- + - +
0
+ +
+ 1 0 - 8 - 8 x = - 2 - 2 + 4 + 8 + 1 - 2 - 4 0
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
27. x4 −3x2 + ≤2 0
x4−3x2 +2 ≤ 0 tramite Ruffini
( ) ( ) ( ) ( [ ) ( ) ]
(
1)(
1) (
2)
00 1
2 1 1
. 0
2 2 1
2
2 2
3
≤
− +
−
⇒
≤ +
− +
−
⇒
⇒
≤
−
− +
−
x x x
x x
x x te
parzialmen racc
e x
x x x
( )( ) ( )
2 ,
2 0
8 0
2
1 0
1
1 0
1 0
2 1
1
2 2
≥
−
≤
⇒
>
=
∆
⇒
≥
−
−
≥
⇒
≥ +
≥
⇒
≥
−
⇒
≤
− +
−
⇒
x x
x
x x
x x
x x x
per cui si ha :
2 1
, 1
2 ≤ ≤ − ≤ ≤ +
− x x
Potevamo risolvere anche la disequazione come biquadratica :
( )( ) ( )( )
2 ,
2
1 ,
1
2 0 1
2 1
0 2
1
2 om 1 2
1 0 3
2 3
' 0
1 0
2 3 0
2 3
2 2 2
2 2
2 1 12
2
2 2
2 4
+
≥
−
≤
+
≥
−
⇒ ≤
≥
⇒ ≥
≤
−
−
⇒
=
≤
−
−
⇒
=
= =
= ±
⇒
= +
−
>
=
∆
⇒
≤ +
−
⇒
=
⇒
≤ +
−
x x
x x
x x x
x t
x ndo risostitue e
t t
notevole io
trin il per t e
t t t
t associata
equazione dall
e t
t t
x posto x
x
− 2 -1 +1 + 2
+ - + - +
+ 1 0 -3 0 + 2 x = + 1 + 1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 - 2 - 2 0
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
per cui si ha :
2 1
, 1
2 ≤ ≤ − ≤ ≤ +
− x x
28. x4 −7x2 +12>0
( )( ) ( )( )
2 ,
2
3 ,
3
4 0 3
4 3
0 4
3
4 om 3 2
1 0 7
12 7
' 0
1 0
12 7 0
12 7
2 2 2
2 2
2 1 12
2
2 2
2 4
+
>
−
<
+
>
−
⇒ <
>
⇒ >
>
−
−
⇒
=
>
−
−
⇒
=
= =
= ±
⇒
= +
−
>
=
∆
⇒
>
+
−
⇒
=
⇒
>
+
−
x x
x x
x x x
x t
x ndo risostitue e
t t
notevole io
trin il per t e
t t t
t associata
equazione dall
e t
t t
x posto x
x
per cui si ha :
2 ,
3 3
,
2 − < < + > +
−
< x x
x
− 2 -1 +1 + 2
+ - + - +
-2 − 3 + 3 +2
+ - + - +
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
29. 4x4 −3x2 −1≥0
( ) ( )
1 ,
1 1 4 1
0 4 1
4 1 0
4 1 4 1
om 1
4 1 8
25 0 3
1 3 4
' 0
25 0
1 3 4 0
1 3 4
2 2
2 2
2 2 1 12
2
2 2
2 4
+
≥
−
≤ ℜ
∈
⇒ ∀
≥
−
⇒ ≥
≥
−
+
⇒
=
≥
−
+
⇒
=
−
= =
= ±
⇒
=
−
−
>
=
∆
⇒
≥
−
−
⇒
=
⇒
≥
−
−
x x
x x
x
x x
t x ndo risostitue e
t t
notevole io
trin il per e t
t t t
t associata
equazione dall
e t
t t
x posto x
x
per cui si ha :
x ≤ −1 , x ≥ +1
30. 3x4 −8x2 +5≤0
( ) ( )
3 , 5
3 5
1 ,
1 3
5 1
3 0 1 5
3 3 0
1 5 3
om 3
5 1 3
1 0 4
5 8 3
' 0
4 1 0
5 8 3 0
5 8 3
2 2
2 2
2 2 1
12 2
2 2
2 4
+
≥
−
≤
+
≥
−
≤
≥ ⇒
≥
⇒
≤
−
−
⇒
=
≤
−
−
⇒
=
=
± =
=
⇒
= +
−
>
∆ =
⇒
≤ +
−
⇒
=
⇒
≤ +
−
x x
x x
x x
x x
t x ndo risostitue e
t t
notevole io
trin il per t e
t t
t t associata
equazione dall
e t
t t
x posto x
x
-1 +1
+ - +
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
per cui si ha :
3 1 5
, 3 1
5 ≤ ≤ − + ≤ ≤ +
− x x
31. x5 −1≥0
x5 −1 ≥ 0 tramite Ruffini
(
x−1) (
x4 +x3+ x2 +x+1)
≥ 0ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :
(
x−1) (
x4 +x3 +x2 +x+1)
≥ 0 ⇒ x−1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1quindi più direttamente si avrà che se :
1 1
1 0
1 5 5
5 − ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥
x
3
− 5 -1 +1 3 + 5
+ - + - +
+1 0 0 0 0 - 1 x = +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
32. x5 +32<0
x5 +32 < 0 tramite Ruffini
(
x+2) (
x4 −2x3 +4x2 −8x+16)
< 0ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :
(
x+2) (
x4 −2x3+4x2−8x+16)
< 0 ⇒ x+2 < 0 ⇒ x < −2quindi più direttamente si avrà che se :
( )
2 232 32
0
32 5 5 5 5
5 + < ⇒ x < − ⇒ x < − ⇒ x < − ⇒ x < −
x
33. x7 −13≥0
direttamente si avrà che : x7 +13 ≥ 0 ⇒ x7 ≥ −13 ⇒ x ≥ 7 −13
34.
(
x+6)
3 ≥0ora poiché :
(
x+6)
3 ≥ 0 ⇒(
x+6)(
x+6)(
x+6)
≥ 0da cui per l'esponente dispari ( n° dispari di fattori ) :
(
x+6)
≥ 0 ⇒ x ≥ −6 +1 0 0 0 0 +32 x = -2 - 2 +4 -8 +16 -32 +1 -2 +4 -8 +16 0?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
35 . x3−27 ≤ 0 tramite Ruffini
(
x−3) (
x2 +3x+9)
≤ 0ora poiché il polinomio di secondo grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione associata non ha soluzioni reali , ∆<0 ) ed esprime una quantità sempre positiva ,∀x∈ℜ , si ha che :
(
x−3) (
x2+3x+9)
≤ 0 ⇒ x−3 ≤ 0 ⇒ x ≤ 3quindi più direttamente si avrà che se :
3 3
27 27
0
27 3 3 3 5
3 − ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x ≤
x
36. −x11−13≥0
direttamente si avrà che : −x11−13 ≥ 0 ⇒ x11 ≤ −13 ⇒ x ≤ 11−13
37.
(
−x+4)
4 ≥0ora poiché :
(
−x+4)
4 ≥ 0 ⇒(
−x+4)(
−x+4)(
−x+4)(
−x+4)
≥ 0da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) :
(
x+6)
≥ 0 ⇒ ∀x∈ℜ +1 0 0 -27 x = +3 +3 +9 +27 +1 +3 +9 0?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
38. x6 −1≥0
( ) ( ) ( )( ) ( )
(
11)
00 110 1
1 0
1 3
3 3
2 3 2 3 3
−
≥
⇒
≥ +
≥
⇒
≥
≥ − +
−
⇒
≥
− x x
x x x
x x
e quindi :
1 ,
1 ≥
−
≤ x
x
più semplicemente si poteva procedere in questo modo :
1 ,
1 1
, 1 :
1 ,
1 0
1 0
1
3 3
2 3
6
≥
−
≤
⇒
≥
−
≤
≥
−
≤
⇒
≥
−
⇒
=
≥
−
x x
x x
qui di e
t t
t t
x posto x
39. x4−1<0
( ) ( ) ( )( ) ( )
(
+−)
>> ⇒⇒ ∀ <∈ℜ− ><
+
−
⇒
<
− x x
x x
x x x x
0 1
1 ,
1 0
0 1 1
1 0
1 2
2 2
2 2 2 2 2
e quindi : −1 < x < 1
-1 +1
+ - +
-1 +1
+ - +
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
40.
(
2x−3)
6 ≤0ora poiché :
(
2x−3)
6 ≤ 0 ⇒(
2x−3)(
2x−3)(
2x−3)(
2x−3)(
2x−3)(
2x−3)
≤ 0da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : ⇒ ∀/x∈ℜ:2x−3=0
o meglio la disequazione è verificata da :
2 0 3
3
2x− = ⇒ x =
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA
Risolvere le seguenti disequazioni fratte :
41. x
x
x x
−
−1 − < −
2 2 3 3
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 , 11 ,
2 0
2 0 0
1 2 2
3
1 2
6 3 3 1
2 0 1
2
2 2 6 6 1
2
6 6
1 2
1 3
2 1
2
1 6 1 3 3
2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
>
<
⇒
>
−
⇒
>
>
−
<
⇒
>
− +
⇒
⇒ >
− >
−
⋅ +
⇒
−
−
< +
⇒ −
− +
−
< −
− +
−
⇒ −
−
−
< −
−
−
−
⇒ −
< −
− −
−
x x
x x D
x x
x x N
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
e quindi :
1 0
,
2 > ≠
−
< x con x
x
42. x x
− x
> +
3 5 6
2
( ) ( )
0 0
2 0
0 6
2 5 0 0
2 6 2 5
2 6 2 5 2
0 2
6 5 2
6 6 2
2 6 5 2
3 2 2
6 5 3
2 2
2 2
>
⇒
>
⇒
>
ℜ
∈
∀
⇒
>
+
−
⇒
⇒ >
+ <
⇒ −
+
> − + ⇒
+ >
⇒ −
> +
⇒ −
> +
−
x x
D
x x
x N
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
-2 0 +1
+ - + +
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI
GUIDA