13. Introduzione ai determinanti. Prodotto vettoriale

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Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

I determinanti. Il prodotto vettoriale. 10 Gennaio 2017

Indice

1 Determinanti di matrici 2 × 2 2

1.1 Calcolo del determinante. Interpretazione geometrica del metodo di eliminazione di Gauss. . . 2

2 Determinanti di matrici 3 × 3. 3

2.1 Calcolo del determinante. . . 4 2.2 Propriet`a del determinante . . . 5 2.3 Calcolo del determinante con la regola di Laplace . . . 5

3 _{Il prodotto vettoriale in R}3 5

3.1 Componenti del prodotto vettoriale . . . 6 3.2 Calcolo del prodotto vettoriale con il determinante formale . . . 8 3.3 Propriet`a del prodotto vettoriale . . . 8

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In questa lezione, diamo una rapida introduzione ai determinanti di matrici 2 × 2 e 3 × 3, che interpretiamo, rispettivamente, come aree orientate di parallelogrammi in R2 _{e volumi orientati di} parallelepipedi in R3_{. Defineremo anche il prodotto vettoriale, un’operazione che si definisce solo in} R3.

1 Determinanti di matrici 2 × 2

Dati due vettori a = (a1, a2) e b = (b1, b2) in R2, vogliamo trovare l’area del parallelogramma Par(a, b) generato da a, b.

1.1 Calcolo del determinante. Interpretazione geometrica del metodo di

eliminazione di Gauss.

Metodo di Eliminazione di Gauss (1809). Scriviamo i vettori a = (a1, a2) e b = (b1, b2) come righe di una matrice:

a1 a2 b1 b2 (1.1) Ora, supponendo a1 6= 0, sommiamo alla seconda riga un multiplo della prima, in modo tale che il primo elemento della seconda riga si annulli. A questo scopo, basta moltiplicare la prima riga per −b1/a1 e sommarla alla seconda. Si ottiene cos`ı:

a1 a2 0 b2− a2b_a1 1 (1.2)

Operando sulle righe in questo modo, le aree dei parallelogrammi non cambiano; cio`e, il parallel-ogramma generato dalle righe della matrice (1.2) ha la stessa area di quello generato dalla matrice iniziale (1.1). Infatti, il parallelogramma Par(a, b + λa) si ottiene dal parallelogramma Par(a, b) facendo scorrere un lato di quest’ultimo parallelamente al lato opposto, trasformazione questa che, come ben noto, conserva le aree.

a

b b + λa

Figure 1: Invarianza per scorrimento: Sommare a un vettore un multiplo dell’altro, significa fare scorrere un lato parallelamente al lato opposto. L’area non cambia.

Ora il parallelogramma generato dalle righe di (1.2) ha una base lunga (a meno del segno) b2− a2_ab1

1

e l’altezza relativa a tale base lunga (sempre a meno del segno) a1. Quindi la sua area (non negativa, nel senso della geometria elementare) `e data dal valore assoluto di

a1 b2− a2 b1 a1 = a1b2− a2b1 (1.3)

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−b1 a1a a = (a1, a2) b = (b1, b2) b − b1 a1a = (0, b2− a2 b1 a1)

Figure 2: Intepretazione geometrica del calcolo del determinante con il metodo di eliminazione di Gauss.

Definiamo il determinante della matrice A = a1 a2 b1 b2

nel modo seguente:

det a1 a2 b1 b2 = a1b2− a2b1 (1.4)

Intruciamo ora il concetto di area orientata:

L’area orientata del parallelogramma Par(a, b), individuato dai vettori a, b (presi in questo ordine) `

e il determinante della matrice le cui righe (o le cui colonne) sono costituite dalle componenti dei vettori a, b

Area orientata di Par(a, b) = det a1 a2 b1 b2 = a1b2− a2b1 (1.5)

Osservazione. Abbiamo qui un concetto nuovo, che arricchisce quello di area: il concetto di area orientata.

In R2_{, si dice che una coppia ordinata di vettori a = (a}

1, a2), b = (b1, b2) costituisce una base positivamente orientata se det

a1 a2 b1 b2

> 0. Si dice invece che costituisce una base negativamente orientata se det a1 a2 b1 b2

< 0. (Se invece il determinante `e nullo, i vettori a, b non costituiscono una base di R2_{). Ad esempio, la base e}

1 = (1, 0), e2 = (0, 1) è positivamente orientata, mentre la base e2, e1è negativamente orientata. Dunque, l’area del parallelogramma Par(a, b), individuato dai vettori a, b, presi in questo ordine, è positiva o negativa, a seconda che la base (a, b) sia positivamente o negativamente orientata.

2 Determinanti di matrici 3 × 3.

Dati tre vettori a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3) in R3, vogliamo trovare il volume del parallelepipedo Par(a, b, c), definito da a, b, c.

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O

a

b c

Figure 3: Parallelepipedo generato da a, b, c. Come insieme di punti, `e costituito da tutti i punti del tipo: O + sa + tb + uc, s, t, u ∈ [0, 1].

2.1 Calcolo del determinante

Scriviamo i tre vettori a, b, c come righe di una matrice: a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 (2.1)

Applicando ancora il metodo di eliminazione di Gauss. Supponendo a16= 0, sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per −b1/a1e alla terza riga la prima moltiplicata per −c1/a1, in modo tale che la seconda e la terza riga comincino con zero:

a1 a2 a3 0 b2−_ab1 1a2 b3− b1 a1a3 0 c2−_ac1 1a2 c3− c1 a1a3 = a1 a2 a3 0 α β 0 γ δ (2.2)

dove, per semplificare l’aspetto della matrice, abbiamo rinominato b2− b_a1₁a2 = α, b3− _ab1₁a3 = β, c2− _ac1₁a2 = γ, c3− _ac1₁a3 = δ. Ora iteriamo il metodo di eliminazione di Gauss. Precisamente, applichiamo il metodo alla matrice

α β γ δ

in basso a destra. Otteniamo

a1 a2 a3 0 α β 0 0 δ −γ_αβ (2.3)

Per la proprietà di invarianza dei volumi per scorrimento, il volume dei parallelepipedi costruiti sulle righe delle matrici (2.1), (2.2) e (2.3) rimane sempre lo stesso. L’ultimo parallelepipedo (2.3) ha una base la cui area è (a meno del segno) a1α, mentre l’altezza relatva è (sempre a meno del segno) δ − _αγβ. Quindi il suo volume (a meno del segno) è dato dal prodotto dei termini sulla diagonale: a1α(δ −γ_αβ). Ora, sostituendo i valori di α, β, γ, δ e facendo i conti, si trova alla fine che il volume è dato dal seguente numero, al quale si dà il nome di determinante:

det a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1b2c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a1b3c2− a2b1c3− a3b2c1 (2.4)

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diciamo che una terna ordinata di vettori a, b, c costituisce una base positivamente orientata se risulta det a b c > 0

Invece, la terna ordinata a, b, c costituisce una base negativamente orientata se

det a b c < 0

(Se il determinante `e nullo, la terna a, b, c non `_{e una base di R}3_).

2.2 Propriet`

a del determinante

Teorema 2.1 (Propriet`a del determinante) Per il determinante di una qualunque matrice quadrata 2 × 2, o 3 × 3 (in generale, n × n), valgono le seguenti propriet`a.

1. Se si somma a una riga un multiplo di un’altra riga, il determinante non cambia (Propriet`a di invarianza per scorrimento).

2. Se si moltiplica una riga per un numero λ, anche il determinante risulta moltiplicato per λ. 3. Se si scambiano tra loro due righe, il determinante cambia segno (Propriet`a di alternanza).

Valgono anche le seguenti due propriet`a, che seguono facilmente da quelle elencate sopra: Se due righe sono uguali, il determinante `e nullo;

Se una riga `e costituita tutta da zeri, allora il determinante `e nullo.

2.3 Calcolo del determinante con la regola di Laplace

Il calcolo del determinante di una matrice 3 × 3 si pu`o effettuare con la cosiddetta regola di Laplace, riconducendolo al calcolo di determinanti di matrici 2 × 2.

La regola di Laplace per sviluppare un determinante rispetto alla prima riga, `e la seguente:

det a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1det b2 b3 c2 c3 − a2det b1 b3 c1 c3 + a3det b1 b2 c1 c2 (2.5)

Infatti, sviluppando il secondo membro di (2.5) si ottiene come risultato il determinante, definito dal secondo membro di (2.4).

Sviluppi del tutto analoghi valgono per ogni altra riga (o colonna).

3 _{Il prodotto vettoriale in R}

3

Nello spazio R3 _{si definisce un’operazione detta prodotto vettoriale (inglese: cross product) che a ogni} coppia di vettori a, b associa un vettore, denotato a × b.

Definizione 3.1 In R3_{, data una coppia ordinata di vettori a, b, il prodotto vettoriale a × b (si legge:} ‘a vettore b’) `e il vettore definito dalle propriet`a seguenti:

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1. a × b `e ortogonale sia al vettore a sia al vettore b.

2. La lunghezza di a × b `e uguale all’area (in valore assoluto) del parallelogramma generato da a e b, vale a dire

|a × b| = |a| |b| sin ϑ (3.1)

dove ϑ, compreso tra 0 e π, `e l’angolo tra i vettori a, b.

3. Quando a × b non è nullo, la terna ordinata a, b, a × b è una base positivamente orientata di R3, cioè det a b a × b > 0

Si noti che se uno dei due vettori a, b `e multiplo dell’altro, e solo in questo caso, il loro prodotto vettoriale `e nullo. 0 b a ϑ a × b

Figure 4: Il prodotto vettore in R3.

3.1 Componenti del prodotto vettoriale

Teorema 3.2 Il prodotto vettoriale di due vettori a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) in R3 `e il vettore di componenti: a × b = det a2 a3 b2 b3 , det a3 a1 b3 b1 , det a1 a2 b1 b2 = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1) Dimostrazione. Poniamo w = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1) (3.2) Dimostriamo che w = a × b. A tale scopo, dobbiamo dimostrare che w soddisfa tutte le propriet`a che definiscono il prodotto vettoriale a × b. Supporremo a e b non paralleli, altrimenti la nostra tesi `

e ovvia, perch´e in questo caso sia w sia a × b sono entrambi uguali al vettore nullo.

a) Dimostriamo che w `e ortogonale sia a a sia a b. La dimostrazione consiste in un semplice conto: w · a = (a2b3− a3b2)a1+ (a3b1− a1b3)a2+ (a1b2− a2b1)a3= 0

w · b = (a2b3− a3b2)b1+ (a3b1− a1b3)b2+ (a1b2− a2b1)b3= 0

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b) Dimostriamo che la norma |w| `e uguale a |a × b|, ossia `e uguale all’area del parallelogramma generato da a, b.

A questo scopo, cominciamo a osservare che, per ogni vettore c in R3_{, vale l’uguaglianza:}

w · c = det a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 (3.3) Infatti: w · c = (a2b3− a3b2)c1+ (a3b1− a1b3)c2+ (a1b2− a2b1)c3 = +a2b3c1+ a3b1c2− a1b3c2− a2b1c3− a3b2c1 = det a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

Il valore assoluto V di quest’ultimo determinante `e volume (non orientato) del parallelepipedo generato da a, b, c. Tale volume `e anche dato dall’area di base |a × b| moltiplicata per la relativa altezza h = |c|| cos γ|:

V = |w| |c| | cos γ| = |a × b| |c| | cos γ|

Di qui ricaviamo (dividendo1per |c| cos γ) che w e a × b hanno la stessa lunghezza, |w| = |a × b|

Allora, poich´e w e a × b sono sulla stessa retta e hanno la stessa lunghezza, si deve avere w = a × b oppure w = −a × b. c γ0 altezza h = |c| cos γ0 a b a × b

Figure 5: Il volume V del parallelepipedo a, b, c `e uguale al valore assoluto di |a × b| (area di base) moltiplicata per l’altezza h = |c| cos γ.

c) Resta allora da studiare la questione dell’orientamento. Ebbene, dall’uguaglianza (3.3), valida per ogni c, segue in particolare, per c = w, segue

det a b w = w · w = |w|2> 0

Dunque la terna a, b, w `e positivamente orientata, e quindi concludiamo che w = a × b.

2 1_{Qui supponiamo |c| cos γ 6= 0. Se invece |c| cos γ = 0, c appartiene al piano di a e b, e quindi l’uguaglianza da}

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3.2 Calcolo del prodotto vettoriale con il determinante formale

Abbiamo visto che il prodotto vettoriale di a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) `e il vettore

a × b = det a2 a3 b2 b3 , det a3 a1 b3 b1 , det a1 a2 b1 b2 = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1)

Un modo per calcolare a × b consiste nello sviluppare, lungo la prima riga, il determinante ‘formale’

det e1 e2 e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 (3.4)

Infatti, sviluppando con la regola di Laplace:

det e1 e2 e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = e1det a2 a3 b2 b3 − e2det a1 a3 b1 b3 + e3det a1 a2 b1 b2 = (1, 0, 0) det a2 a3 b2 b3 − (0, 1, 0) det a1 a3 b1 b3 + (0, 0, 1) det a1 a2 b1 b2 = det a2 a3 b2 b3 , det a3 a1 b3 b1 , det a1 a2 b1 b2

3.3 Propriet`

a del prodotto vettoriale

Teorema 3.3 (Propriet`a del prodotto vettoriale) 2

Il prodotto vettoriale in R3 _{ha le seguenti} propriet`a.

1. Il prodotto vettoriale (a × b) 7−→ a × b `e bilineare:

(a1+ a2) × b = a1× b + a2× b (h a) × b = h (a × b) _{(h ∈ R)} a × (b1+ b2) = a × b1 + a × b2

a × (h b) = h (a × b) _{(h ∈ R)}

2. Il prodotto vettoriale `e alternante:

b × a = −a × b (3.5)

4 Esercizi e complementi

Esercizio 4.1 Dati tre punti A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) in R2, trovare l’area (senza segno) del triangolo da essi determinato.

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Soluzione. Un modo di risolvere il problema è il seguente. L’area del triangolo ABC è la metà dell’area del parallelogramma generato dai vettori B − A e C − A:

1 2 det b1− a1 b2− a2 c1− a1 c2− a2 L’area del triangolo ABC `e anche data da

1 2 det   a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1   Dare una interpretazione geometrica di quest’ultima formula.

Esercizio 4.2 Dati due punti distinti A = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ R2, la retta che li contiene ha equazione x y 1 a1 a2 1 b1 b2 1 = 0 (4.1) Spiegare perch´e.

Soluzione. L’equazione 4.3è di primo grado in x, y (perché?) e quindi rappresenta una retta. Ovvi-amente tale retta passa per A = (a1, a2) e per B = (b1, b2) (perché?). Dunque tale retta è proprio la retta AB.

Esercizio 4.3 Dati due punti distinti A = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ R2, la retta che li contiene ha equazione det x − a1 y − a2 b1− a1 b2− a2 = 0 (4.2)

Spiegare perch´e. (Interpretazione geometrica?).

(Suggerimento: Il punto X = (x, y) appartiene alla retta passante per A e B se e solo se il paral-lelogramma X − A, B − A ha area nulla).

Esercizio 4.4 Dati, nello spazio R3, tre punti non allineati A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3), il piano che li contiene ha equazione

det x − a1 y − a2 z − a3 b1− a1 b2− a2 b3− a3 c1− a1 c2− a2 c3− a3 = 0 (4.3)

Spiegare perch´e. (Interpretazione geometrica?).

(Suggerimento: L’annullarsi del determinante a primo membro equivale al fatto che il paral-lelepipedo X − A, B − A, C − A ha volume nullo).

Esercizio 4.5 Dati tre punti A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) ∈ R3 trovare l’area (in valore assoluto) del triangolo di vertici A, B, C.

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(Suggerimento: Interpretare geometricamente la lunghezza di (B − A) ∧ (C − A) ).

Esercizio 4.6 Il volume (in valore assoluto) del tetraedro di vertici A, B, C, D ∈ R3_`_{e il valore assoluto} di

1

6(B − A) · (C − A) × (D − A) (4.4)

Spiegare perch´e.

Esercizio 4.7 Siano v, w ∈ R3 due vettori linearmente indipendenti. a) Trovare un vettore z che sia ortogonale sia a v che a w.

b) Scrivere equazioni parametriche per la retta r passante per un dato punto P0 = (x0, y0, z0) e ortogonale al piano generato da v e w.

Soluzione. a) Un vettore ortogonale sia a v che a w `e il prodotto vettore v × w. b) Sia v × w = (l, m, n). Equazioni parametriche per la retta r sono:

   x = x0+ lt y = y0+ mt, t ∈ R z = z0+ nt

Esercizio 4.8 Dati due vettori v, w ∈ R3linearmente indipendenti, scrivere una equazione cartesiana del piano da essi generato.

Soluzione. Per risolvere il problema, basta trovare un vettore (a, b, c) ∈ R3 ortogonale sia a v che a w. Un’equazione cartesiana del piano generato da v, w sar`a

ax + by + cz = 0

Poich´e il prodotto vettore v × w `e ortogonale sia a v che a w, basta scegliere (a, b, c) = v × w.

Esercizio 4.9 Dati due vettori a, b ∈ R3, trovare l’area del parallelogramma da essi individuato.

Soluzione. In R3 - o, pi`u in generale, in uno spazio vettoriale euclideo orientato V di dimensione tre - l’area (in valore assoluto) del parallelogramma individuato da a, b `e data dalla lunghezza del loro prodotto vettore:

area del parallelogramma = |a × b| (4.5)

Un’altra formula per l’area non orientata del parallelogramma individuato da due vettori a, b (cio`e l’area nel senso della geometria elementare) `e

area del parallelogramma = |a| |b| sin ϑ (4.6)

dove |a| =√a · a e |b| =√b · b sono le lunghezze dei lati e ϑ, 0 ≤ ϑ ≤ π, `e l’angolo compreso tra a e b:

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a

b |b| sin ϑ

ϑ

Figure 6: L’area del parallelogramma è |a||b| sin ϑ, perché |a| è la base e |b| sin ϑ è l’altezza.

Si noti che |a| |b| sin ϑ `e un numero non negativo. Infatti, sin ϑ ≥ 0 (perch´e 0 ≤ ϑ ≤ π).

La formula 4.5, che coinvolge il prodotto vettore, vale in uno spazio di dimensione 3, dove tale prodotto è definito. Invece, la formula4.6è più intrinseca e vale in uno spazio di arbitraria dimensione n ≥ 2.

Esercizio 4.10 Nello spazio R3, siano P e P0 due piani non paralleli, di equazioni P : ax + by + cz + d = 0, P0: a0x + b0y + c0z + d0 = 0 Trovare un vettore di direzione della retta r = P ∩ P0_.

Soluzione.

Consideriamo i due piani

P0: ax + by + cz = 0, P00 : a0x + b0y + c0z = 0

paralleli rispettivamente a P e P0 e passanti per l’origine. Denotiamo con r0 = P0∩ P00 la retta parallela a r e passante per l’origine. Il vettore v = (a, b, c) è ortogonale a ogni vettore (x, y, z) ∈ P0, e v0= (a0, b0, c0) è ortogonale a a ogni vettore (x, y, z) ∈ P₀0. Dunque, sia v = (a, b, c) che v0= (a0, b0, c0) sono ortogonali alla retta r0. Ne segue che un vettore di direzione della retta r0 (e quindi di r) è dato dal prodotto vettore v × v0.

Esercizio 4.11 Trovare un’equazione cartesiana del piano in R3_{passante per i tre punti non allineati} A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3).

Soluzione. I due vettori B − A e C − A sono paralleli al piano. Pertanto un vettore ortogonale al piano `e il prodotto vettore (B − A) × (C − A). Poniamo

(B − A) × (C − A) = (α, β, γ)

Il piano passante per A, B, C `e dunque il piano passante per A e ortogonale a (α, β, γ). Una sua equazione cartesiana `e

α(x − a1) + β(y − a2) + γ(z − a3) = 0

Esercizio 4.12 Siano b, c ∈ V due vettori linearmente indipendenti. Dimostrare che il vettore a × (b × c) appartiene al piano generato da b e c (ossia `e combinazione lineare di b e c). Precisamente, vale l’uguaglianza

(12)

Soluzione. Per definizione, il vettore a × (b × c) `e ortogonale a b × c. Anche i vettori b e c sono ortogonali a b × c. Dunque i tre vettori a × (b × c), b e c, essendo ortogonali allo stesso vettore b × c, appartengono al piano passante per l’origine e ortogonale a b × c. Quindi sono complanari.

0 a

b c

b × c

a × (b × c)

Figure 7: Il vettore a × (b × c) `e ortogonale a b × c, come lo sono b e c. Dunque i tre vettori a × (b × c), b e c sono complanari.

Dunque, il vettore d = a×(b×c) `e combinazione lineare di b e c, cio`e si scrive come d = a × (b×c) = mb + nc

per opportuni numeri m, n ∈ R. Si tratta ora di determinari tali coefficienti. Osserviamo che d = a×(b×c) `e ortogonale anche al vettore a, e quindi

a · d = m(a · b) + n(a · c) = 0 Da quest’ultima uguaglianza, ricaviamo

m = h(a · c), n = −h(a · b) per un opportuno h ∈ R. Quindi si ha

a × (b × c) = d = h(a · c)b − (a · b)c (4.8)

Dimostriamo adesso che h = 1, e con questo la nostra identità4.7sarà dimostrata. Per determinare il coefficiente di proporzionalità h, fissiamo una base e confrontiamo le componenti, rispetto a tale base, del primo e del secondo membro dell’uguaglianza 4.8. Per semplificare i conti, conviene scegliere una qualunque base ortonormale u1, u2, u3 tale che u1 abbia la direzione e il verso di a. (Escludiamo il caso a = 0, in cui la tesi 4.7è banalmente vera). Con una tale scelta della base, le coordinate di a sono (a1, a2, a3) = (a, 0, 0), dove a = |a| è il modulo di a. Siano (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) le coordinate di b e c. Facendo i conti, vediamo che l’uguaglianza4.8si scrive, in componenti, nel modo seguente:

(0, −a(b1c2− b2c1), a(b3c1− b1c3)) = h(0, −a(b1c2− b2c1), a(b3c1− b1c3)) (4.9) Se (0, −a(b1c2− b2c1), a(b3c1− b1c3)) = 0, dalla4.9segue che i vettori a × (b × c) e(a · c)b − (a · b)c sono entrambi nulli, e quindi l’uguaglianza 4.7`e soddisfatta. Se invece (0, −a(b1c2− b2c1), a(b3c1− b1c3)) 6= 0, dalla4.8si ricava h = 1, e quindi dalla4.8segue la tesi.

Esercizio 4.13 Sia V uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale orientato. Dimostrare, per ogni a, b, c ∈ V , vale l’uguaglianza:

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Le due identità 4.7e4.10mostrano chiaramente che il prodotto vettore non è associativo. Soluzione. Per la proprietà anticommutativa del prodotto vettore e la4.7, si ha:

(a × b) × c = −c × (a × b)

= −(b · c)a − (a · c)b = (a · c)b − (b · c)a

Esercizio 4.14 (Identit`a di Lagrange.) In uno spazio vettoriale euclideo V tridimensionale, ori-entato, vale l’uguaglianza

(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d) (4.11) In particolare (se c = a e d = b),

(a × b) · (a × b) = (a · a)(b · b) − (a · b)2 (4.12) Soluzione. Dall’identit`a del prodotto misto

(x × y) · z = x · (y × z) (4.13)

segue:

(a × b) · (c × d) = ((a × b) × c) · d = (a · c)b − (b · c)a · d = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d)

Esercizio 4.15 (Decomposizione di un vettore.) Sia V uno spazio vettoriale euclideo tridimen-sionale orientato. Sia a un vettore diverso da zero. Allora un qualunque vettore b si scrive, in modo unico, come somma b = b_k+ b⊥, dove bk `e parallelo ad a e b2 ortogonale ad a. Precisamente:

bk= b · a

a · aa, b⊥=

a × (b × a)

a · a (4.14)

Prima soluzione. Se nell’identit`a 4.7poniamo c = a, otteniamo

a × (b × a) = (a · a)b − (a · b)a (4.15) da cui si ricava b = b · a a · aa + a × (b × a) a · a (4.16) Ovviamente bk= b · a a · aa ` e parallelo ad a, mentre b⊥= a × (b × a) a · a ` e ortogonale ad a.

Seconda soluzione. Senza ledere la generalit`a, possiamo ovviamente assumere che il vettore a = u abbia lunghezza unitaria (a · a = 1). Si tratta allora di dimostrare che ogni vettore b si scrive come

bk= (b · u)u, b⊥= u × (b × u) (4.17)

(14)

Esercizio 4.16 (Identit`a di Jacobi) Sia V uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale orien-tato. Dimostrare l’identit`a di Jacobi:

u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0 (4.18)

Soluzione. Sviluppare il primo membro usando l’uguaglianza4.7e semplificare.

Problema 4.17 Sia V uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione tre. Siano a, b vettori fissati in V , a 6= 0. Risolvere l’equazione

a × y = b (4.19)

Soluzione. Il vettore a × y `e ortogonale al vettore a (quale che sia y). Dunque, supponiamo d’ora in poi che b sia ortogonale ad a, altrimenti l’equazione4.19non ha soluzioni.

L’equazione a × y = b `e lineare (non omogenea, se b 6= 0). In termini pi`u precisi, l’operatore

V a×( − )−→ V, y 7−→ a × y (4.20)

`

e lineare in y. Quindi, per un ben noto teorema, lo spazio delle soluzioni dell’equazione non omogenea 4.19`e la somma dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea a × y = 0 (il nucleo dell’operatore 4.20) e di una (qualsiasi) soluzione particolare dell’equazione non omogenea a × y = b.

L’equazione omogenea a × y = 0 ha come soluzioni tutti i vettori paralleli al vettore a (i multipli di a), ed essi soltanto:

Soluzioni dell’equazione omogenea a × y = 0: ta, _{t ∈ R} (4.21)

Resta allora da trovare una qualunque soluzione particolare y0dell’equazione non omogenea a×y = b. Poiché la componente di y0 parallela a a non dà alcun contributo al prodotto a × y0, possiamo assumere y0 ortogonale al vettore a. Del resto, se richiediamo a × y0 = b, il vettore y0 deve essere ortogonale a b. Dunque, la situazione è la seguente: dati due vettori a, b, ortogonali tra loro, trovare un vettore y0, ortogonale sia a che b, per il quale valga

a × y0= b (4.22)

Poich´e a, y0e b = a × y0sono a due a due ortogonali tra loro, si ha b × a = hy0, per un opportuno numero positivo h:

b × a = hy0 (4.23)

b = a × y0 a

y0

Figure 8: Se a × y0= b, con a, y0 e b a due a due ortogonali, allora b × a = hy0, per un opportuno numero positivo h.

Per determinare il valore di h, si noti che da 4.22 segue |a||y0| = |b|, mentre da 4.23 si ricava |a||b| = h|y0|. Dunque, h = |a|2 e pertanto abbiamo:

(15)

Una soluzione particolare di a × y = b: y0= b × a

|a|2 (4.24)

In conclusione, lo spazio delle soluzioni di a × y = b (quando b `e ortogonale ad a) `e la retta affine

X(t) = b × a |a|2 + ta, t ∈ R b a b×a |a|2 b×a |a|2 + ta

Figure 9: Le soluzioni di a × y = b sono i vettori b×a

|a|2 + ta, t ∈ R (retta tratteggiata).

Problema 4.18 (Distanza tra due rette sghembe) Nello spazio R3_{, siano}

r : X(t) = P + tu, _{t ∈ R}

e

s : X(t) = Q + uv, _{u ∈ R}

due rette sghembe. Trovare una formula che dia la distanza tra di esse.

Soluzione. La distanza `e data da

(P − Q) · (u × v) |u × v| (4.25) Si ragioni sulla figura.

u v v u × v |u × v| P Q H K r s

Figure 10: La distanza tra r e s `e la lunghezza del segmento HK, intercettato da r e s sull’unica retta incidente e ortogonale a entrambe. Il vettore unitario u×v

|u×v| `e diretto come HK e (P −Q)·(u×v) |u×v| = HK.