Unità Didattica N° 16 I momenti ed il prodotto vettoriale
1) Prodotto vettoriale ( 101 )
2) Momento di un vettore rispetto ad un punto ( 101 )
3) Momento di una coppia di vettori ( 103 )
4) Momento di un vettore rispetto ad una retta ( 104 )
5) Proprietà dei sistemi di vettori ( 109 )
6) Identità vettoriali e loro interpretazione geometrica ( 81 )
7) Il cambiamento del sistema di riferimento ( 59 )
Prodotto vettoriale o prodotto esterno
Data la coppia ordinata di vettori ( ) a b G G , non nulli , indicato con ϑ l'angolo convesso da essi formato , definiamo prodotto vettoriale ( o prodotto esterno ) di a →
e b → , nell'ordine , il vettore c →
che ha :
1) come modulo il numero reale relativo a b sin ϑ 2) come direzione la retta perpendicolare al piano individuato dai vettori → a
e → b
immaginati applicati ad uno stesso punto O 3) come verso quello dato da una delle seguenti regole :
Regola della mano destra : Si ruoti il vettore → a
dell'angolo convesso ϑ fino a farlo sovrapporre al vettore → b
; si pieghino le dita della mano destra nello stesso verso in cui ha ruotato il vettore → a
; il pollice della mano destra avrà il verso del vettore c → a b
= →
∧ →
Regola delle tre dita : Il verso di → c
coincide con quello del pollice della mano destra allorché questa viene disposta in modo che medio ed indice abbiano rispettivamente la direzione ed il verso di → a
e di → b .
Regola del vettore personificato o dell'omino di Ampere Il verso di → c
coincide col verso di un osservatore avente la stessa direzione di → c
ed orientato dai piedi al capo , quando l'osservatore vede sovrapporre il primo vettore → a
al secondo vettore → b attraverso una rotazione antioraria di un angolo convesso ϑ .
→ a
→ b
c a b
→ = → ∧ → ϑ
→ a
→ b ϑ
c a b
→ = → ∧ →
→ c
→ a
→ b ϑ
indice medio pollice
Prodotto Vettoriale Pagina 2 di 18
Regola della mano sinistra di Fleming Il verso di c →
coincide con quello del pollice della mano sinistra allorché questa viene disposta in modo che medio ed indice abbiano rispettivamente la direzione ed il verso di a →
e b → . Il prodotto vettoriale si indica col simbolo a → b
∧ →
e si legge
<< a vettore b >> oppure << a esterno b >> . Il vettore c →
è un vettore libero .
( 10 )Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà formali :
1) proprietà alternante a → b b a
∧ →
= − →
∧ →
cioè per il prodotto vettoriale non è valida la proprietà commutativa , cioè il prodotto vettoriale è anticommutativo .
2) proprietà di omogeneità o proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto ad un numero
reale m : m a → b m a b a m b
∧ →
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = ⎛ →
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ∧ →
= →
∧ ⎛ →
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
3) proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma di vettori
a b c a c b c
→ + →
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∧ →
= →
∧ → + →
∧ →
c → a b c a c b
∧ →
+ →
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = →
∧ → + →
∧ →
4) a → b c a b c
∧ →
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ∧ →
≠ →
∧ →
∧ →
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Condizione di parallelismo di due vettori
C.N.S. perché due vettori → a e → b
siano paralleli è che si abbia → a b o
∧ →
= →
, cioè :
a b o
→ ∧ →
= →
⇔ a → → b
/ / oppure : → a o
= →
oppure → b o
= → Teorema
Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori rappresenta l'area del parallelogramma avente come lati consecutivi i vettori → a
e → b
, oppure il doppio dell’area del triangolo da essi individuato . .
S = → a b a b sin
∧ →
= ⋅ ⋅
1 2
1
2 ϑ = 1 ( ) ( )
2
1
2 0
a h ⋅ = A − ∧ B − O
( 10 )
Molti autori usano il simbolo
×
in luogo di∧
e la conseguente scritturaa b G
G ∧
per il prodotto esterno→ c
→ a
→ b ϑ indice
medio pollice
O A
B
H h
→ a
→ b ϑ
Prodotto Vettoriale Pagina 3 di 18
Momento di un vettore rispetto ad un punto Dato un vettore a →
applicato nel punto P [ simbolo usato P a ⎛ , →
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ] ed un punto O non appartenente al sostegno di a →
, dicesi momento ( polare ) del vettore a →
rispetto al punto O ( detto polo ) , il vettore libero M →
definito dalla seguente relazione vettoriale :
( − ) ∧ →
→ =
a O P
M
M
→
può essere indicato anche col simbolo τ G . M →
è nullo : 1) quando è nullo il vettore a → 2) quando O appartiene al sostegno del vettore a →
.
P
O
→ a
→ τ
= → M
O P −
O P −
ϑ
→
→
→
= = P − O ∧ a
M τ ( )
Il modulo del momento polare è dato da : b
a sin OP a
M = ⋅ ⋅ ϑ = ⋅ dove
ϑ sin OP
b = ⋅ =
= braccio del vettore a G
rispetto al polo O = distanza del punto O dal sostegno del vettore a G
.
Il momento di a →
rispetto ad O non dipende dal punto di applicazione del segmento orientato che rappresenta il vettore a →
, cioè non dipende dal punto di applicazione P del vettore a G
. Quindi il momento polare del vettore applicato P a ⎛ , →
⎝⎜
⎞
⎠⎟ è uguale al momento polare del vettore a G applicato in un punto qualsiasi del sostegno del vettore a G
. Definiamo momento risultante di un sistema di vettori ( P a
1, G
1)
, ( P a
2, G
2)
, ( P a
3, G
3)
...rispetto ad uno stesso punto O ( detto polo ) la somma vettoriale dei momenti di ciascun vettore rispetto ad O , cioè il vettore libero M →
definito dalla seguente relazione vettoriale :
( ) G ( ) G ( ) G "
"
G G
G
G = M
1+ M
2+ M
3+ = P
1− O ∧ a
1+ P
2− O ∧ a
2+ P
3− O ∧ a
3+ M
M
→
varia al variare del polo O .
Momento Polare Pagina 4 di 18
Momento di una coppia di vettori
Definiamo coppia di vettori un sistema di vettori costituito da due vettori complanari ( P a
1, G
1)
,
( P a
2, G
2)
aventi la stessa direzione , lo stesso modulo , versi opposti e sostegni diversi . Il piano individuato dai due vettori è detto piano della coppia , mentre la distanza b dei rispettivi sostegni è detto braccio della coppia .
1 2
1 1
2 2
1 1
2
1
M ( P O ) a ( P O ) a ( P O ) a ( P O ) a
M
M G G G G G G G
∧
−
−
∧
−
=
∧
− +
∧
−
= +
= =
= ( P
1− O − P
2+ O ) ∧ a G
1= ( P
1− P
2) ∧ a G
1= momento del vettore a G
1rispetto al polo P
2momento del vettore a G
2rispetto al polo P
1= P P a G P P a G M G
=
∧
−
=
∧
−
1 2 1 2 12
) ( )
(
Possiamo concludere affermando che il momento di una coppia di vettori è uguale al momento di uno di essi rispetto al punto di applicazione dell'altro .
Il momento M →
, essendo un vettore libero , ha indeterminati il sostegno ed il punto di applicazione . Una coppia di vettori rappresenta l ' esempio di un sistema di vettori il cui momento non dipende dal polo .
O
α
→ a
1
→ a
2
a a
→ = − →
2 1
→ M
P
1P
2•
•
•
Momento di una coppia di vettori Pagina 5 di 18
Momento di un vettore rispetto ad una retta ( Momento assiale )
Sia ( P a , G ) un vettore a →
applicato in un punto P ed G
r una retta orientata di versore G
e . Definiamo
momento del vettore → a
rispetto alla retta orientata G
r
( 13 )la componente ortogonale secondo G r del momento del vettore → a
rispetto ad un qualsiasi punto O di G
r . In formule abbiamo :
( )
[ P O a ] e ( S O ) e
e M
M
rG G G G G
×
−
=
×
∧
−
=
×
=
(13a )
Il momento assiale M
rnon varia al variare di O su G
r . Infatti , se O è un altro punto di ′ G r , abbiamo :
( ) O [ ( P O ) a ] e
M
r′ = = − ′ ∧ G × G = { [ ( P − O ) ( + O − O ′ ) ] ∧ a G × } e G =
= [ ( O − P ) ∧ a G ] × e G + [ ( O ′ − O ) ∧ a G ] × e G = [ ( O − P ) ∧ a G ] × e G = M
r( ) O
( )
[ O ′ − O ∧ a G ] × e G = 0
perché i vettori ( O ′ − O ) ∧ a G ed G
e sono fra loro perpendicolari .
C.N.S. perché sia nullo il momento assiale M
rè che siano complanari il sostegno del vettore → a e la retta G
r . Questo si verifica quando il sostegno del vettore a G
e la retta r G
sono paralleli o quando si incontrano in un punto .
In questo caso risulterebbe : ( O − P ) ∧ a G ⊥ e G .
→ e
→ M
→ M
→ ′ M //
O
′ O
P → a
S π
2
→ r
•
•
•
( 13 )
o momento assiale rispetto alla retta orientata
r G
(13a )
Affinché la definizione di momento assiale abbia senso , occorre verificare che
M
r dipenda soltanto dalla retta orientatar G
e non dal particolare punto O fissato su di essa .
Momento assiale Pagina 6 di 18
Proprietà dei sistemi di vettori
Due sistemi di vettori si dicono equivalenti quando hanno lo stesso risultante G
R ( che è la somma vettoriale di tutti i vettori del sistema ) ed uguale momento risultante → M
rispetto ad un qualsiasi ( ma comune ) polo O . Si dimostra che un qualsiasi sistema di vettori è equivalente ad un vettore G
R ( detto risultante ) somma vettoriale di tutti i vettori del sistema immaginati applicati in un punto O arbitrariamente scelto e ad una coppia di vettori di momento → M
uguale al momento risultante di tutti i vettori del sistema rispetto al punto O .
Proprietà dei sistemi di vettori Pagina 7 di 18
Il cambiamento del sistema di riferimento
La traslazione degli assi cartesiani
Riferiamo il piano a due sistemi ortonormali di assi cartesiani : xOy ( di versori G i e G
j ) ed XO Y ' (di versori G G
′ =
i i e G G
′ =
j j ) . Si dice pure che il sistema XO Y ' si ottiene dal sistema xOy mediante la traslazione O ' − O = α ⋅ + i G β ⋅ G j
( ) x y , [ ( X Y , ) ] sono le coordinate cartesiane di un generico punto P del piano rispetto al riferimento cartesiano xOy [ XO Y ' ] . Siano ( α β , ) le coordinate cartesiane di O rispetto al sistema di riferimento xOy . Quali sono le relazioni che intercorrono tra le coordinate ( ) x y , del punto P riferito al sistema xOy e le coordinate ( X Y , ) dello stesso punto riferito al sistema XO Y ' ?
Scrivendo il vettore P − ' in coordinate cartesiane , una volta rispetto ad xOy e poi rispetto ad O XO Y ' , ricordando che G G
′ =
i i e G G
′ =
j j , otteniamo :
( ) ( )
P − O ' = x − α i G + y − β G j = X i ⋅ ′ + ⋅ ′ G Y j G e quindi :
X x
Y y
= −
= −
⎧ ⎨
⎩
α
β x X
y Y
= +
= +
⎧ ⎨
⎩ α
β
O
O'
x X
y Y
P
X
x α
β
y Y
→ i
→ j → ′
i
→ ′ j
i i
→ = ′ →
j j
→ = ′ →
La traslazione degli assi Pagina 8 di 18
La rototraslazione degli assi cartesiani
Riferiamo il piano a due sistemi ortonormali di assi cartesiani : Oxy di versori i G e G j
ed O′ XY di versori i ′ G
e G j′
. Un generico punto P del piano ha , rispetto al riferimento Oxy , coordinate cartesiane ( ) x; y e rispetto , al riferimento O′ XY , coordinate cartesiane ( X ; Y ) .
x X Y
O' P
•
y
y
Q R
O x
Y'
X'
• ϑ ϑ α
β
→
i A
→
j
→′j
→′j
→′i
→′i
Siano ( α ; β ) le coordinate del punto O′ rispetto al riferimento Oxy . Se Q − ed O R − sono due O versori equipollenti rispettivamente ai versori i ′ G
e G j′
e ϑ = ang ( ) i G ′ ; G j ′ , possiamo scrivere :
( ) A O R i ( ) A O R j ( ) i ( ) j i j
j G G G G G G
G ′ = cos ˆ ⋅ + sin ˆ ⋅ = cos 90 ° + ϑ ⋅ + sin 90 ° + ϑ ⋅ = − sin ϑ ⋅ + cos ϑ ⋅ [1]
j i
i G G
G ′ = cos ϑ ⋅ + sin ϑ ⋅ [2]
Questo significa che , rispetto al riferimento cartesiano Oxy , le componenti cartesiane del versore i ′ G
sono cos ϑ e sin ϑ , mentre le componenti cartesiane del versore G j′
sono − sin ϑ e cos ϑ . Rispetto al riferimento Oxy abbiamo : P − O ′ = ( x − α ) ⋅ i G + ( y − β ) ⋅ G j [3]
Rispetto al riferimento O′ XY abbiamo :
( i j ) Y ( i j )
X j Y i X O
P G G G G G G
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅
′ =
⋅
′ +
⋅
′ =
− cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ
( X Y ) i ( X Y ) j
O
P G G
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅
−
⋅
′ =
− cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ [4]
La rototraslazione degli assi cartesiani Pagina 9 di 18
Ricordando che due vettori cartesiani sono uguali quando le loro componenti omonime sono uguali , possiamo scrivere :
⎩ ⎨
⎧
⋅ +
⋅
=
−
⋅
−
⋅
=
−
ϑ ϑ
β
ϑ ϑ
α
cos sin
sin cos
Y X
y
Y X
x [5] e quindi :
⎩ ⎨
⎧
⋅ +
⋅ +
=
⋅
−
⋅ +
=
ϑ ϑ
β
ϑ ϑ
α
cos sin
sin cos
Y X
y
Y X
x [6]
Queste formule ci consentono di passare dal punto P ( X ; Y ) , riferito al sistema O′ XY , al punto
( ) x y
P ; , riferito al sistema Oxy .
Per ottenere le formule che ci consentono di passare dal punto P ; ( ) x y , riferito al sistema Oxy , al punto P ( X ; Y ) ,riferito al sistema O′ XY basta risolvere il sistema [10] rispetto alle variabili X ed Y . Otteniamo :
( ) ( )
( ) ( )
⎩ ⎨
⎧
⋅
− +
⋅
−
−
=
⋅
− +
⋅
−
=
ϑ β
ϑ α
ϑ β ϑ
α
cos sin
sin cos
y x
Y
y x
X cioè :
⎩ ⎨
⎧
⋅
−
⋅ +
⋅ +
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅ +
⋅
=
ϑ β ϑ α ϑ ϑ
ϑ ϑ
α ϑ ϑ
cos sin
cos sin
sin cos
sin cos
y x
Y
y y
x X
La rotazione degli assi cartesiani
Se risulta O ′ ≡ O , i due sistemi di assi cartesiani hanno la stessa origine ed il secondo sistema XY
O′ si ottiene dal primo Oxy mediante una rotazione di un certo angolo ϑ . Le equazioni che fanno passare da un sistemo all’altro sono :
[7]
⎩ ⎨
⎧
⋅ +
⋅
=
⋅
−
⋅
=
ϑ ϑ
ϑ ϑ
cos sin
sin cos
Y X
y
Y X
x
⎩ ⎨
⎧
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
=
ϑ ϑ
ϑ ϑ
cos sin
sin cos
y x
Y
y x
X [8]
P
O
x y
X Y
Y
X
ϑ
La rotazione degli assi cartesiani Pagina 10 di 18
Le equazioni [8] si ottengono risolvendo il sistema [7] rispetto alle incognite X ed Y .
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ϑ
sin 1 cos
sin cos
sin cos
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
2
2
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
+
⋅ +
= ⋅
−
−
= y x y x y x y
x X
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ
cos 1 sin
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin
sin cos
sin cos
2
2
− ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅
+ =
⋅
−
= ⋅
= − y y x x y x y
x Y
Se risulta ϑ = 0 abbiamo una traslazione degli assi cartesiani . Le equazioni che ci fanno passare da un sistema all’altro si ottengono ponendo ϑ = 0 nelle [11] e nelle [12] oppure , in base alle seguenti considerazioni :
Riferiamo il piano a due sistemi ortonormali di assi cartesiani : xOy ( di versori G i e G
j ) ed XO Y ' (di versori G G
′ =
i i e G G
′ =
j j ) . Si dice pure che il sistema XO Y ' si ottiene dal sistema xOy mediante la traslazione O ' − O = α ⋅ + i G β ⋅ G j
( ) x y , [ ( X Y , ) ] sono le coordinate cartesiane di un generico punto P del piano rispetto al riferimento cartesiano xOy [ XO Y ' ] . Siano ( α β , ) le coordinate cartesiane di O rispetto al sistema di riferimento xOy . Quali sono le relazioni che intercorrono tra le coordinate ( ) x y , del punto P riferito al sistema xOy e le coordinate ( X Y , ) dello stesso punto riferito al sistema XO Y ' ?
Scrivendo il vettore P − ' in coordinate cartesiane , una volta rispetto ad xOy e poi rispetto ad O XO Y ' , ricordando che G G
′ =
i i e G G
′ =
j j , otteniamo :
( ) ( )
P − O ' = x − α i G + y − β G j = X i ⋅ ′ + ⋅ ′ G Y j G e quindi :
X x
Y y
= −
= −
⎧ ⎨
⎩
α
β x X
y Y
= +
= +
⎧ ⎨
⎩ α
β
La rotazione degli assi cartesiani Pagina 11 di 18
