Ex2 CV

Esercizi di Analisi Complessa in Pi`

u Variabili - 2

24/01/2012

Samuele Mongodi

s.mongodi@sns.it oppure samuele.mongodi@gmail.com

Esercizio 1 In C2 _{con coordinate z}

j= xj+ iyj, j = 1, 2, siano Ω1= {|z1| < 1, 1/4 < |z2| < 1} ∪ {|z1| < 1/2, |z2| < 1/2} Ω2= q x2 1+ x 2 2< 1, 1/4 < q y2 1+ y 2 2< 1} ∪ { q x2 1+ x 2 2< 1/2, q y2 1+ y 2 2< 1/2 

Si dica se sono domini circolari, se sono di Reinhardt e nel caso se sono propri e completi. Per entrambi si trovi il pi`u piccolo dominio di Reinhardt proprio, completo e log-convesso che li contiene.

Esercizio 2 In C3\ {0}, sia T = {x31+ x 3 2+ x 3 3= 0} .

1. Si calcoli la forma di Levi di T e se ne determini la segnatura sul tangente olomorfo di T . 2. Si trovino gli autovettori di autovalore nullo per la forma di Levi.

3. Si determini la foliazione associata alla distribuzione di piani generata dagli autovettori di cui al punto precedente. Esercizio 3 In C3_{, sia} M =  Rez3= |z1|2+ Re(z21z2) 1 − |z2|2 , |z2| < 1  .

1. Si calcoli la forma di Levi di T e se ne determini la segnatura sul tangente olomorfo di T . 2. Si trovino gli autovettori di autovalore nullo per la forma di Levi.

3. Si determini la foliazione associata alla distribuzione di piani generata dagli autovettori di cui al punto precedente.

Esercizio 4 In C3, sia

S =|z1|2+ |z2|2+ |z3|2= 1, z1= z1 ; .

1. Si determini un campo di vettori olomorfi

Z = 3 X j=1 aj ∂ ∂zj di C3

che sia tangente a S e si scriva Z = (X − iJ X)/2, con J la struttura complessa di C3 _{e X a}

coefficienti reali.

2. Si calcolino i seguenti commutatori

[J X, X], J [J X, X], [X, [J X, X]], [J X, [J X, X]], [X, J [J X, X]], [J X, J [J X, X]], [[J X, X], J [J X, X]] 3. Determinare una foliazione di S che sia indotta da una olomorfa di un suo intorno.

Esercizio 5 Si consideri la mappa φ : R3→ C3_{data da}

φ(x1, x2, x3) = (x1cos x3, x1sin x3, x2eix3/2) .

Si dimostri che l’immagine di φ `e una sottovariet`_{a totalmente reale di un aperto di C}3. Esercizio 6 Sia Ω ⊂ Cn _{un aperto limitato e connesso; sia S = S}

Ω⊂ bΩ il minimo insieme tale che

sup Ω |f | = sup S |f | . 1

1. Si dimostri che S esiste!

2. Si calcoli S nel caso Ω = B(0, 1). 3. Sia C = {(x, y) ∈ R2

: |y| ≤ x} e sia Ω = {z ∈ C2 _{: Imz ∈ C}; supponiamo che f sia olomorfa in}

un intorno di Ω e che sup_Ω|f | sia effettivamente raggiunto su bΩ (che accade quando f `e limitata). Si dimostri che il massimo `e ottenuto in un punto di {Imz = 0}.

4. Nel caso precedente, SΩ coincide con bΩ ∩ {Imz = 0} o `e pi`u piccolo?

Esercizio 7 Sia

Ω = {(z, w) ∈ C2 : |z|2+p|w| < 1} .

In quali punti del bordo `e strettamente pseudoconvesso? In quali pseudoconvesso? In quali convesso?