Si determini la distribuzione di probabilità di X, la sua funzione di ripartizione, il valore atteso e la varianza

ESERCIZI SU V.C. DICRETE

1. In un dado la probabilità di ottenere una faccia con un punteggio pari è 0.6.

Si consideri un esperimento che consiste nel lanciare 2 volte il dado e sia X la v.c. “numero di facce con punteggio pari”. Si determini la distribuzione di probabilità di X, la sua funzione di ripartizione, il valore atteso e la varianza.

X probabilità Probabilità cumulate

0 0.4×0.4=0.16 0.16

1 0.4×0.6+0.6×0.4=0.48 0.64

2 0.6×0.6=0.36 1.00

1.00

𝐹(𝑥) = {

0 𝑥 < 0 0.16 0 ≤ 𝑥 < 1 0.64 1 ≤ 𝑥 < 2 1 𝑥 ≥ 2

E(X)=0×0.16+1×0.48+2×0.36=1.2 E(X²)=0×0.16+1×0.48+4×0.36=1.92 V(X)=1.92-(1.2) ²=0.48

2. Considerato un dado non bilanciato le cui facce presentano le seguenti probabilità di verificarsi

Punteggio probabilità

1 0.1

2 0.2

3 0.1

4 0.2

5 0.2

6 0.2

X probabilità

0 0.4

1 0.6

1.0

E(X)=0.6 E(X²)=0.6 V(X)=0.24

3. Considerato lo stesso dado non bilanciato dell’esercizio precedente, sia X la v.c. che conta il numero di facce dispari in due lanci. Determinare la sua funzione di probabilità, il valore atteso e la varianza

x probabilità 0 0.36 1 0.48 2 0.16 1.00 E(X)=0.8

E(X²)=1.12 V(X)=0.48

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 1 2

probabilità

X

4. Considerata una v.c. discreta X con funzione di ripartizione

𝐹(𝑥) = {

0 𝑥 < 0 0.2 0 ≤ 𝑥 < 2 0.5 2 ≤ 𝑥 < 5 0.75 5 ≤ 𝑥 < 8 1 𝑥 ≥ 8

disegnarne il grafico e determinare la probabilità che la v.c. assuma un valore compreso nell’intervallo (0, 5]

F(5) – F(0) = 0.75 – 0.2 = 0.55

5. Considerata una v.c. discreta X c on funzione di ripartizione

𝐹(𝑥) = {

0 𝑥 < −1 0.2 − 1 ≤ 𝑥 < 0 0.7 0 ≤ 𝑥 < 2 1 𝑥 ≥ 2

disegnarne il grafico, determinare la sua funzione di probabilità e farne la rappresentazione grafica

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

-2 0 2 4 6 8 10

F(x)

X

X probabilità -1 0.2

0 0.5

2 0.3

1.0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

-2 -1 0 1 2 3

probabilità

X 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

-2 -1 0 1 2 3

F(x)

X

6. Considerata un’urna contenente 20 palline di cui 4 bianche, 6 rosse e 10 gialle, si consideri un esperimento che consiste nell’estrazione di due palline con ripetizione. Indicata con X la v.c. “numero di palline bianche estratte” se ne determini la distribuzione di probabilità, il valore atteso, il coefficiente di variazione e la moda.

X probabilità 0 0.8×0.8=0.64 1 2×0.8×0.2=0.32 2 0.2×0.2=0.04

1.00 E(X) =0.4

E(X²)=0.48 V(X)=0.32 𝐶𝑉_𝑥 =√0.32

0.4 = √2 Moda=0