Ipotesi di struttura affine per tassi Euribor

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(1)Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Economia. Scuola Dottorale in Metodi Quantitativi per l’Economia e l’Impresa Metodi Statistici - XXI Ciclo. Tesi di Dottorato. Ipotesi di Struttura Affine per Tassi Euribor. Tutor Prof. Luciano Pieraccini. Candidato Dott. Giulio Tarditi. Roma, a.a. 2009/2010.

(2) A mio Padre..

(3) Abstract In questa tesi empirica vengono messi a confronto modelli di non arbitraggio descritti da un processo latente di OrnsteinUhlenbeck ed un sistema dinamico affine. Si utilizzano i tassi interbancari Euribor per l’importanza che rivestono nei mercati finanziari, ma anche per agevolare la replicabilità della analisi data la loro reperibilità libera e gratuita. I modelli presentati appartengono alla classe di modelli detti a struttura a termine affine (ATSM) resi popolari da Duffie e Kan (1996), i cui gli stati vengono calcolati ricorsivamente attraverso l’utilizzo del filtro di Kalman. Per agevolare la comprensione di questo strumento viene fornita una descrizione classica ed in termini bayesiani. Vengono quindi confrontati modelli in cui varia il numero di fattori latenti ed in cui viene posto un vincolo che rappresenta il contributo originale principale. Attraverso la manipolazione della tipologia di contributo che ciascun fattore può apportare, è possibile definire dei modelli in cui i residui sono minimi e depurati della componente sistematica residua visibile nei modelli classici. Le proprietà della struttura a termine sembrano quindi essere identificate con più precisione. Vengono proposti spunti per sviluppi futuri, in particolare nella specificazione del processo che guida lo stato latente, ma anche sul rilassamento delle caratteristiche di linearità e gaussianità del modello..

(4) Indice Introduzione. 1. I. La Teoria. 8. 1. La struttura a termine 1.1 Contesto Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Un’analisi specifica . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nozioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Elementi Fondamentali . . . . . . . . . . . . 1.2 Contesto Economico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sviluppo della letteratura . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Mercati Efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Mercati segmentati ed aspettative . . . . . . . 1.2.4 Aspettative distorte: liquidità e habitat . . . . . 1.3 Contesto Finanziario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Arbitraggio in un portafoglio finanziario . . . . 1.3.2 Il fattore di sconto stocastico . . . . . . . . . . 1.3.3 La valutazione neutrale del rischio . . . . . . . 1.4 Contesto Statistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Interpretazione grafica: il processo markoviano 1.4.2 Le dinamiche locali: la variabile latente . . . . 1.4.3 Trasformazione affine: la variabile osservata . 1.4.4 L’interpretazione dei dati . . . . . . . . . . . .. 2. Processi ed integrali stocastici 41 2.1 Processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Flusso di informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 9 9 13 17 20 20 21 23 27 30 30 33 34 35 35 36 37 38.

(5) v. INDICE. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 43 44 45 46 47 47 49 51 52 52 52 53. 3. Modelli di non arbitraggio 3.1 Modelli con struttura a termine affine . . . . . . . . 3.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Portafoglio deterministico . . . . . . . . . 3.1.3 Market price of risk . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Il modello affine . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Risoluzione del sistema . . . . . . . . . . 3.2 Il modello Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 La specificazione funzionale . . . . . . . . 3.2.2 Proprietà e limitazioni del modello Vasicek 3.3 Estensioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Il modello Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . 3.3.2 Estensione multifattoriale . . . . . . . . . 3.3.3 La correlazione tra i fattori . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 54 54 54 55 56 57 58 59 59 61 62 62 63 64. 4. Il Filtro di Kalman 4.1 Inferenza bayesiana . . . . . . . . . . . . 4.2 Stimatori ricorsivi bayesiani . . . . . . . 4.2.1 Stimatore a posteriori . . . . . . . 4.3 Lo spazio degli stati . . . . . . . . . . . 4.3.1 Un Modello Lineare Dinamico . . 4.3.2 Stimatore MMSE . . . . . . . . . 4.3.3 Il Kalman Gain . . . . . . . . . . 4.3.4 Filtrazione ed Informazione totale 4.3.5 Calibrazione dei parametri . . . .. . . . . . . . . .. 66 66 68 70 72 72 74 76 77 78. 2.2. 2.3. 2.1.2 Proprietà stocastiche . . . . . . . 2.1.3 Il processo di Wiener . . . . . . . 2.1.4 Il processo di Ito . . . . . . . . . 2.1.5 Il processo di Ornstein-Uhlenbeck Integrali stocastici . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Integrale di Ito . . . . . . . . . . 2.2.2 Lemma di Ito . . . . . . . . . . . 2.2.3 Estensioni multidimensionali . . Cambio di Misura . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Il teorema di Radon-Nikodym . . 2.3.2 La formula di Feynman-Kac . . . 2.3.3 Il teorema di Girsanov . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..

(6) vi. INDICE. II. L’Analisi Empirica. 81. 5. Il quadro di indagine 82 5.1 Descrizione dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2 Apparato metodologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3 Algoritmo dimostrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 6. Modello ad un fattore 88 6.1 Fattore latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2 Residui del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.3 Verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 7. Modelli a più fattori 95 7.1 Fattori latenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2 Residui dei modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3 Verosimiglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. 8. Modelli a fattori vincolati 8.1 Additività . . . . . . 8.2 Fattori latenti . . . . 8.3 Residui dei modelli . 8.4 Verosimiglianze . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 104 104 109 111 115. Conclusione. 118. A Notazione. 120. B Codice. 123. Bibliografia. 162. Elenco delle tabelle. 162. Elenco delle figure. 164.

(7) Introduzione L’importanza di una corretta comprensione della specificazione probabilistica dei tassi di interesse attraverso diversi orizzonti temporali è evidente dalla quantità di risorse accademiche che sono state dedicate a questo argomento. Le serie finanziarie sono un argomento di ricerca di grande interesse e per varie ragioni rappresentano la una grande sfida per economisti, matematici e statistici. Rilevare quanto sia possibile trasformare il caos (o stocasticità) in ordine (o determinismo) è una spinta motivazionale per i più che ricercano in questo settore, anche se non si presenta come vantaggio spendibile sul mercato finanziario. Questo è incoraggiato dalla consapevolezza di operare con quantità non campionate, e di conseguenza senza l’eterno dubbio sulle ipotesi sottostanti alla natura del campionamento. Non è semplice capire cosa spinge alcuni ricercatori ad intraprendere questo sentiero, tuttavia la seguente citazione può essere di aiuto: “The quest for understanding what moves bond yields has produced an enormous literature with its own journals and graduate courses. Those who want to join the quest are faced with considerable obstacles. The literature has evolved mostly in continuous time, where stochastic calculus reigns and partial differential equations spit fire. The knights in this literature are fighting for different goals, which makes it often difficult to comprehend why the quest is moving in certain directions. But the quest is moving fast, and dragons are being defeated. This chapter wants to report some of these victories made by those working on affine term structure models.” (Handbook of Econometrics, 2009).

(8) Le difficoltà poste dalle serie finanziarie sono molteplici e di varia natura. Enormi banche dati sono state raccolte negli anni, ed una serie di regolarità sono state identificate. In particolare, le distribuzioni tendono ad essere leptocurtiche, la volatilità tende a concentrarsi in periodi atipici ed i comportamenti degli agenti non sembrano essere economicamente coerenti tra periodi di crisi ed periodi di ripresa economica. L’obiettivo di un ricercatore in questo campo è di fornire l’interpretazione più utile e verosimile, ma ancora molto rimane inesplorato. Proprio in questi mesi è al centro dell’attenzione l’importanza delle politiche di espansione monetaria e come queste si riflettono sulle aspettative di produttività futura. Questo è ritenuto di cruciale importanza nel combattere i danni creati dalla crisi finanziaria, e misure della stabilità del sistema economico vanno monitorate per evitare che si ripetano crisi di liquidità e l’innescamento della valanga di conseguenze. I tassi di interesse oltre a riflettere le politiche monetarie dei sistemi economici, siano essi degli Stati Uniti o dell’area euro, influenzano milioni di persone attraverso i debiti in cui si incorre per l’acquisto di una casa o di una attività. L’interpretazione delle aspettative sui diversi orizzonti temporali specifica quindi una struttura probabilistica complessa che pone numerose domande ancora irrisolte. Questa tesi propone una serie di formulazioni, senza la presunzione di contribuire con una corretta specificazione, ma nella speranza che questa disamina serva come gradino per sviluppi futuri. Le finalità del lavoro sono molteplici tra cui il confronto tra i diversi modelli proposti ha una posizione predominante. Questo viene sviluppato su più dimensioni, ed il contributo alla maggiore flessibilità dettata da un rilassamento delle ipotesi sottostanti viene misurato sotto diversi profili. In primis vi è il confronto tra i residui dei diversi modelli, non solo sotto forma di discrepanza appropriamente pesata, come può essere una misura proporzionale alla funzione di verosimiglianza, ma anche nella identificazione di pattern che indicano una componente attribuita impropriamente all’errore del modello. L’identificazione e visualizzazione dello sviluppo temporale di questi pattern attraverso grafici statici pone varie difficoltà, ma è necessaria a determinare la specificazione dei fattori latenti in modo da cogliere le componenti deterministiche e valutarne il contributo alla validità del modello ed alla comprensione del processo stesso. Di particolare interesse è la valutazione della flessibilità del modello in situazioni empiricamente atipiche, dal momento che questo può fornire importanti indicazioni rispetto a quale delle ipotesi risulta violata e di conseguenza suggerire strategie volte ad evitare conseguenti aspetti indesiderati. Infine vi è la valutazione di come i residui riflettano le proprietà statistiche postulate dal modello, che nel caso specifico ne determinano la natura gaussiana. Come già accennato è noto che spesso i residui 2.

(9) presentano un maggior numero di valori estremi che ne provocano una eccessiva pesantezza nelle code, tuttavia rimane aperto il dibattito sull’utilità alla comprensione delle dinamiche sottostanti di un modello che introduca una specificazione leptocurtica. Una possibile estensione è data dall’utilizzo del Particle Filtering, tuttavia le difficoltà computazionali difficilmente sono compensate da una comprensione più intuitiva del processo. La difficoltà computazionale rappresenta infatti un altro metro di paragone nel confronto tra i modelli, infatti può succedere che questa limiti l’affidabilità dei parametri stimati a causa dei tempi di calcolo nella simulazione delle traiettorie o nella massimizzazione della verosimiglianza. Questo è evidente nel confronto tra il modello ad un fattore ed i modelli a più fattori, in cui gli algoritmi di ricerca difficilmente convincono il ricercatore di aver raggiunto il massimo globale della funzione e vanno quindi presi come valori indicativi. In questi casi è quindi necessario stabilire delle priorità di ricerca attraverso ipotesi semplificatrici, valutare se vi siano chiari effetti compensatori attraverso i parametri di diversi fattori latenti ma anche valutare l’affidabilità dei risultati data l’inizializzazione. L’interpretazione dell’effetto netto della variazione marginale di un parametro in ambito multidimensionale spesso non è facilmente identificabile, e può essere contestuale ad una combinazione specifica di parametri. In questi casi può essere utile ricorrere alla identificabilità degli effetti apportati dai fattori latenti, in modo da avere maggiori informazioni su cui impostare il metodo di ricerca dei parametri. Attraverso la specificazione dei contributi dei fattori possiamo valutare in modo quasi indipendente gli apporti dei fattori latenti, e selezionare un percorso di ricerca nello spazio parametrico che rispecchi la componente stocastica residua. L’additività dei fattori è quindi non solo una caratteristica matematicamente conveniente per avere una soluzione esplicita all’ipotesi di non arbitraggio, ma fornisce anche una interpretazione intuitiva dei risultati ottenuti. L’analisi svolta è caratterizzata da un approccio fortemente pragmatico. Di particolare interesse è la replicabilità dell’analisi, la quale è stata favorita dall’utilizzo di una banca dati non solo universalmente nota, ma perfino disponibile liberamente e gratuitamente, coerentemente con i valori della dichiarazione di Berlino. L’analisi si propone come punto di partenza per successivi sviluppi, in modo da fornire il corrispettivo quantitativo a considerazioni di ordine teorico sulla convenienza di un certo modello. Un maggiore sviluppo della letteratura empirica in questo ambito consentirebbe di valutare quanto siano restrittive le ipotesi di lavoro adottate, e quanto i mercati obbligazionari interbancari siano effettivamente efficienti. Un secondo aspetto caratteristico è l’aspetto interdisciplinare. Questo comporta alcune difficoltà nello svelare analogie tra teorie economiche, formulazioni matematiche ed applicazioni statistiche, tuttavia è ripagato dai vantaggi di 3.

(10) una comprensione organica dell’argomento. In questo modo non solo è alimentato l’interesse per la materia, ma vengono suggerite al lettore nuove ipotesi e possibili congetture. Il contributo originale principale della tesi verte sulla specificazione dei modelli a struttura a termine affine. Nell’analisi empirica, dopo alcune considerazioni sulla natura dei dati, viene discusso il modello ad un fattore, ed in particolare vengono evidenziati i limiti dall’utilizzo di una sola fonte di incertezza. Successivamente sono messe a confronto le estensioni a due e tre fattori, la cui flessibilità consente una identificazione nettamente superiore. Tuttavia, non avendo specificato alcun vincolo identificativo, i fattori non sono in grado di captare diversi aspetti della struttura a termine, e di conseguenza in situazioni atipiche non riescono a cogliere appieno la variabilità del processo. Questi tre modelli fungono quindi da riferimento per i due modelli nell’ultimo capitolo, a due e tre fattori latenti, in cui sono stati sperimentati dei vincoli in modo da caratterizzarne il contributo di ciascuna componente e di conseguenza identificare diversi aspetti specifici della struttura a termine. Da un punto di vista operativo i calcoli sono stati compiuti con il software statistico R, il quale ha buone prospettive di sviluppo come standard in ambito statistico. Oltre al codice riportato in appendice, è stato compilato un package specifico con tutte le funzioni necessarie a compiere l’analisi riportata. La disponibilità alla diffusione di tale materiale è completa e le formule possono essere facilmente modificate nel caso si vogliano utilizzare come punto di partenza per una verifica dei risultati o per sviluppare gli spunti forniti nei vari capitoli. Estensioni di varia natura sono quindi attuabili con modifiche minime. La tesi è divisa in una prima parte teorica ed in una seconda parte empirica. Il primo capitolo è diviso in quattro sezioni e fornisce la base interdisciplinare per comprendere l’ambito di ricerca e gli sviluppi più importanti. Nella prima sezione si riflette sull’importanza dei tassi di interesse, e la ragione per cui questa tipologia di dati ha caratteristiche che non rendono attuabile una analisi statistica standard. Sono introdotte le possibili cause di variabilità, il ruolo che ha l’Euribor rispetto alla liquidità circolante, e vengono specificati i concetti teorici necessari ad una corretta comprensione della analisi. Nella sezione economica viene introdotto il concetto di mercato efficiente, e come questo fornisca informazioni sui comportamenti degli agenti. Vengono quindi richiamati due modelli specificati da ipotesi contrastanti, il modello dei mercati segmentati in cui non vi è interazione attraverso le maturità e quindi nemmeno tra le diverse serie temporali, ed il modello delle aspettative pure in cui le aspettative sono l’unica determinante del prezzo futuro. Infine vi è un accenno a due modelli intermedi che introducono nel modello nuove riflessionisulla natura del mercato obbligazionario, e come que4.

(11) sti aspetti possano essere formalizzati in modo da rendere i modelli matematici più descrittivi della realtà. Nella sezione finanziaria si estende l’idea economica di efficienza dei mercati al suo corrispettivo matematico di assenza di arbitraggio. Lo sviluppo della letteratura in matematica finanziaria è notevole, anche se l’applicazione pratica di queste nozioni spesso non viene perseguita con altrettanto fervore. In questo lavoro, che si propone di evidenziare le discrepanze tra la modellistica e la crudezza dei dati reali, vengono quindi riportati i concetti teorici di maggiore interesse quali il legame tra il fattore di sconto stocastico e la misura neutrale al rischio. Infatti la peculiarità della specificazione del modello è data dalla necessità di integrare le informazioni legate alla assenza teorica di possibili arbitraggi, e di conseguenza il passaggio tra la misura naturale e la misura neutrale al rischio attraverso la derivata di Radon-Nikodym che identifica il market price of risk. Come vedremo l’identificazione empirica di questa misura teorica sarà impegnativa, e relativamente poco significativa. Infine la sezione statistica rivisita e contestualizza le varie componenti precedenti nella realizzazione computazionale. La sezione economica contribuisce con la nozione di efficienza del mercato, e questa si riflette nell’ipotesi di markovianità del processo latente, in cui tutte le informazioni necessarie sono riassunte nell’ultimo istante disponibile. Si ha quindi una completa specificazione di dipendenze condizionate tra gli stati latenti e gli stati osservati. La sezione di matematica finanziaria invece è necessaria a definire la forma funzionale, ovvero come i parametri del processo sottostante debbano essere modificati per specificare la corretta trasformazione affine, la quale è unica sotto l’ipotesi di non arbitraggio. Il grafo direzionale aciclico risultante identifica quindi una propagazione dell’informazione che sotto l’ipotesi di errori gaussiani è coincidente con un Hidden Markov Model i cui stati osservati e latenti abbiano supporto continuo, ovvero ciò che in ambito ingegneristico viene identificato con il filtro di Kalman. Questo ha una notevole interpretazione bayesiana in cui per ogni istante temporale la distribuzione previsiva risulta essere la distruzione a priori, la quale, una volta integrata della verosimiglianza della osservazione corrente, dà luogo alla distribuzione a posteriori o filtrata, di cui la filtrazione di Kalman è lo stimatore modale o massimo. Nel secondo capitolo viene rivista la strumentazione necessaria per trattare matematicamente il contesto informativo. Nel campo dei dati longitudinali è necessario estendere il concetto di variabile aleatoria a processo aleatorio, la sigmaalgebra a filtrazione ed il processo di Markov al processo martingala1 . Vengono 1. In questo caso non necessariamente si ha l’assenza di memoria, ma rispetto al valore atteso il contributo della filtrazione è limitato al valore dell’ultima osservazione. 5.

(12) quindi introdotti il conosciuto processo di Wiener, il generico processo di Ito e lo specifico processo di Ornstein-Uhlenbeck (OU) giustificando l’utilizzo di quest’ultimo date le sua proprietà di convergenza asintotica. Lavorando nell’ambito di processi stocastici e non di funzioni differenziabili, vengono chiarite alcune delle differenze tra queste impostazioni matematiche. La ragione principale di questa digressione è data dal fatto che l’integrale di Lebesgue-Stieltjes non è sufficiente per calcolare l’integrale di processi aleatori, ed è necessario l’integrale di Ito il quale dà luogo alla nota formula di Ito della quale è fornita una derivazione informale e l’estensione multifattoriale. Infine vengono richiamate tre nozioni riguardanti i cambi di misura dal momento che serviranno nella derivazione della formulazione del modello. Nel terzo capitolo ci si addentra nella derivazione del modello di non arbitraggio con struttura affine, di cui il corrispettivo ad un fattore con processo OU del tasso spot istantaneo è detto modello di Vasicek. Il processo stocastico del tasso spot istantaneo viene lasciato genericamente in termini di processo di Ito in modo da poter illustrare la componente di derivazione comune ad altre specificazione di modelli di non arbitraggio con struttura affine come ad esempio il modello di Cox, Ingersoll e Ross. Per prima cosa è necessario l’utilizzo del lemma di Ito per ottenere l’equazione stocastica differenziale che regola l’andamento del prezzo di un titolo obbligazionario che abbia come processo stocastico sottostante un tasso spot istantaneo definito da un processo di Ito. Si costruisce quindi un portafoglio in due obbligazioni a diversa maturità nel quale ciascuna componente è pesata in modo da annullare la componente stocastica, e quindi caratterizzare un portafoglio deterministico. Sotto l’ipotesi di non arbitraggio possiamo affermare che un portafoglio deterministico deve necessariamente retribuire il detentore il tasso di interesse privo di rischio su un teorico intervallo dt. Questa affermazione comporta che il ritorno dato da una obbligazione in eccesso sul tasso di interesse privo di rischio, pesato per la propria rischiosità, deve essere costante attraverso diverse obbligazioni, e ci consente di riscrivere l’originaria equazione stocastica differenziale come una equazione differenziale alle derivate parziali. Infine una specificazione affine che lega il tasso spot istantaneo al prezzo della obbligazione ci consente di risolvere l’equazione differenziale alle derivate parziali attraverso un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Ottenuta la soluzione generica, viene risolta la specificazione necessaria al caso più rilevante, ovvero il modello Vasicek, e vengono riportate tre estensioni: la specificazione del processo CIR anziché del processo di Ornstein-Uhlenbeck, il caso multifattoriale e la formulazione in caso di correlazione nei fattori latenti. L’analisi condotta si limita alla estensione multifattoriale, fino ad un massimo di tre fattori indipendenti, ed in particolare 6.

(13) valuta gli effetti di vincoli sulla componente moltiplicativa della specificazione affine. Il quarto capitolo conclude la parte teorica, richiamando l’aspetto più propriamente statistico. Il primo passo in questa direzione è dato da un breve ripasso su che cosa si intende per inferenza bayesiana, ovvero come il teorema di Bayes leghi distribuzione a priori, verosimiglianza e distribuzione a posteriori per reinterpretare la natura dei parametri ed il ruolo che hanno gli stimatori di massima verosimiglianza sulla funzione di verosimiglianza. Viene quindi ripreso il grafo diretto aciclico che specifica il legame probabilistico intertemporale, e come questa specificazione sia in grado di definire la funzione di verosimiglianza congiunta degli stati latenti ed osservati. Di particolare interesse è l’espressione ricorsiva. Viene quindi fornita una prima giustificazione del filtro di Kalman facendo riferimento a proprietà note della distribuzione gaussiana bivariata, ed in seguito viene sviluppata una seconda derivazione che fa riferimento al modello matematico detto modello lineare dinamico, più consono alla trattazione nello spazio degli stati. In un’ottica di correzione ricorsiva di perturbazioni, la specificazione del filtro di Kalman consente di minimizzare l’errore quadratico medio, ovvero fornire stime aggiornate dette Minimum Mean Square Error Estimates. Per completezza viene distinta la cosiddetta filtrazione, che fornisce stime attraverso l’utilizzo delle osservazioni fino all’istante da stimare, dallo smoothing, in cui le stime dello stato latente utilizzano l’informazione di tutte le osservazioni disponibili. Il capitolo si conclude con la giustificazione del calcolo della funzione di verosimiglianza rispetto ad altre procedure. La parte empirica approfondisce gli obbiettivi di ricerca ed i contributi originali, per difendere le conclusioni che seguono..

(14) Parte I La Teoria. 8.

(15) Capitolo 1 La struttura a termine 1.1 1.1.1. Contesto Generale Un’analisi specifica. La necessità estrarre di informazioni utili dalla crescente mole di dati finanziari ha generato una delle più vaste letterature all’interno del campo dell’econometria. Nuovi strumenti sono stati sviluppati, alcuni obbiettivi sono stati raggiunti, ma persistono difficoltà che richiedono lo sviluppo di modelli sempre più complessi e dettagliati, in grado di comprendere meglio il legame che lega diversi tassi di interesse, e quindi confermare o escludere comportamenti degli agenti a livello aggregato in questo settore. I tassi di interesse sono inoltre considerati un barometro del buon funzionamento dell’economia in quanto caratterizzano la valutazione intertemporale di investimenti economici rappresentando il costo opportunità del presente rispetto a quello del futuro. La situazione economica di chiunque detenga risparmi sul conto bancario, abbia un mutuo o debba pagare un acquisto rateizzato è influenzata da queste misure, oltre a determinare l’ammontare degli interessi sul debito pubblico nazionale, e quindi indirettamente il fabbisogno della politica fiscale. Non va inoltre sottovalutato come i tassi di interesse di un certo paese abbiano un effetto diretto sul mercato internazionale, competendo efficientemente per attrarre i risparmi di individui esterni al paese stesso, e di conseguenza riflettono il rischio di default che l’intero sistema attribuisce al governo in questione. E’ quindi indiscutibile che la variazione del tasso di interesse si riflette sulla economia universalmente e globalmente.. 9.

(16) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 10. Tra i soggetti che hanno maggiore interesse ad una corretta comprensione scientifica dei tassi di interesse si collocano le banche centrali il cui compito di fornire la corretta liquidità al sistema economico, senza innescare dinamiche inflattive, richiede una specificazione della curva dei rendimenti coerente con le aspettative dei mercati finanziari. Garantendo un certo rendimento, la banca centrale influenza le preferenze dei mercati finanziari, in particolare a breve scadenza, tuttavia la discrezionalità nel determinare le aspettative può risultare difficile al crescere della maturità, dal momento che l’incertezza del futuro rende la persistenza di specifiche azioni presenti meno credibili agli occhi degli operatori finanziari. Per plasmare coerentemente il rapporto tra le varie maturità longitudinalmente, ovvero la struttura a termine, serve quindi una profonda comprensione delle proprietà intrinseche della stessa, e misure affidabili del contesto informativo nel quale viene inserita, in modo da determinare il corretto shock monetario in grado di raggiungere i prefissati obiettivi. I tassi a lungo termine sono quindi determinati principalmente dalle aspettative dei mercati finanziari sull’economia, tengono conto delle azioni delle banche centrali, e definiscono le condizioni dei mutui che influiscono su decisioni fondamentali di consumo o investimento intertemporale di una proporzione significativa della popolazione. Un’analisi statistica del “meccanismo di trasmissione”, ovvero di come reagisce il sistema economico ad immissioni di liquidità, è di fondamentale importanza sia per la specificazione della teoria economica, sia da un punto di vista quantitativo. Le banche commerciali necessitano di queste informazioni per stabilire i corretti importi da corrispondere ai prestiti dei depositanti a breve, e come questi debbano essere ripagati coerentemente e consistentemente con le cedole ottenute dalle obbligazioni a lunga scadenza dei mutuatari. Il governo deve stabilire il prezzo delle proprie obbligazioni, che può dar luogo a diverse strategie di indebitamento rispetto a diversi orizzonti temporali, ovvero la strategia secondo cui oltre alla quantità ottimale di debito da contrarre è specificato anche come questo sia distribuito rispetto a diverse scadenze. Decisioni incoerenti portano a possibili arbitraggi e di conseguenza a possibili speculazioni, che possono mettere in ginocchio l’economia di un paese o quantomeno indurre notevoli perdite. Analogamente al governo, anche le aziende valutano il prezzo delle obbligazioni da emettere, tuttavia essendovi rischio di default non trascurabile, il tasso richiesto è superiore in proporzione al rischio che viene attribuito alla azienda. Infine i mercati finanziari hanno recentemente sviluppato un armamentario di strumenti finanziari derivati in grado di coprire specifici profili di rischio. L’esistenza di questi strumenti è di fondamentale importanza per una larga parte di operatori commerciali, di aziende o di semplici privati, che in questo modo sono in grado di ridurre il rischio causato dalla sto-.

(17) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 11. casticità dei valori sottostanti. Tuttavia questi strumenti finanziari devono essere correttamente prezzati, e dal momento in cui trattano valutazioni intertemporali, hanno un forte legame con la misura del tasso di interesse stesso. Il tasso di interesse permea direttamente o indirettamente qualsiasi ambito del contesto economico di un paese, ed è quindi una variabile di importanza cruciale oltre che probabilmente il dato finanziario che influenza maggiormente gli agenti economici. Non esiste un tasso di interesse unico: vi sono varie misure ed in particolare possiamo distinguere due categorie distinte: • I tassi obbligazionari: i tassi obbligazionari hanno come obbiettivo la rimunerazione del capitale investito, e possono essere intesi come prestiti richiesti dall’agente emittente. I meno rischiosi sono i tassi obbligazionari governativi, mentre i più rischiosi sono quelli emessi da aziende a rischio di fallimento. • I tassi bancari: i tassi bancari vengono stabiliti dalle banche, che a differenza delle aziende hanno l’obbiettivo il garantire liquidità ai mercati finanziari ed alla attività economica in genere. A monte abbiamo una banca centrale responsabile della emissione di una certa valuta, la quale può concedere liquidità alle banche commerciali ad un certo tasso autodeterminato. Le banche di riferimento, ottenuta la liquidità dalla banca centrale, possono gestire questa liquidità in vari modi, concedendo mutui (prestiti alle persone fisiche), comprando obbligazioni (prestiti alle persone giuridiche) oppure prestando ad altre banche che per qualche ragione non sono in grado di raggiungere i livelli minimi di riserva determinati dal governo, riserve il cui obbiettivo è evitare crisi bancarie e le successive corse alle banche. Il tasso EURIBOR è l’oggetto di questa tesi, ovvero il tasso del mercato interbancario relativo all’Euro (EURo Inter Bank Offered Rate), dal momento che è spesso citato come il tasso di riferimento di maggiore impatto1 . Lo studio dei tassi di interesse consiste nell’analisi longitudinale di varie serie temporali, ciascuna determinata da una specifica scadenza, o maturità. Se le serie temporali fossero sconnesse, potremmo analizzare la variazione nei tassi di interesse come un VAR2 , tuttavia l’ipotesi che la variazione nel tasso di interesse 1 Essendo 2 Vector. la controparte europea del LIBOR, discusso in MacKenzie (2009). Auto Regression (Christopher A. Sims, 1980)..

(18) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 12. a tre mesi non influisca sul tasso di interesse a quattro mesi è chiaramente irrealistica. Il modello VAR non integra informazioni che invece sono note, e questo è l’obiettivo di una parte considerevole della teoria necessaria allo studio dei tassi di interesse. Vi sono informazioni di vario genere che è necessario integrare in modo oggettivo per interpretare correttamente i dati. Un modello probabilistico adatto a questo scopo è quindi un modello più restrittivo, che elimini a priori risultati incompatibili con la teoria, ma allo stesso tempo sia flessibile a sufficienza da consentire il riconoscimento di tutte le complessità della struttura a termine, e di conseguenza si adatti ad una varietà di realizzazioni empiriche. Per capire quali soluzioni vadano escluse è necessario comprendere perché i mercati finanziari possono essere detti efficienti e come questo escluda profitti in assenza di rischio. L’eliminazione di queste soluzioni porta alla specificazione di modelli probabilistici di non arbitraggio, che integrano la nozione di mercati efficienti. Oltre a esistere in un contesto di mercati efficienti, i tassi di interesse sono vincolati all’interno di un certo intervallo, ovvero non possono assumere valori estremi per una serie di ragioni legate al funzionamento del sistema economico. Analizzando tassi di interesse nominali possiamo escludere che questi assumano valori negativi, in quanto è improbabile che la rinuncia ad un certo costo opportunità non venga indennizzata con una somma positiva. La possibilità di tassi di interesse negativi è una questione dibattuta, poiché le banche forniscono altri servizi oltre alla remunerazione del capitale (sicurezza del deposito, sistemi agevolati di pagamento) e che una argomentazione paragonabile potrebbe essere fatta relativamente ai tassi di interesse reali. Tuttavia la verità empirica circa il fatto che non sono stati mai registrati tassi di interesse nominali negativi ci può rassicurare che anche se fosse possibile, tale valore non sarebbe molto elevato in valore assoluto. Il limite superiore è meno chiaro, in quanto sono stati registrati tassi nominali anche molto elevati in periodi di iperinflazione, dal momento che l’argomento di interesse è il potere di acquisto. Tuttavia tassi di interesse a più cifre comportano notevoli difficoltà al sistema economico, ed in genere tendono a non durare per periodi estesi. Infine possiamo supporre che vi siano degli interessi comuni, promossi in primis dalle banche centrali, per il mantenimento di un tasso di interesse di riferimento stabile. Per questo possiamo ipotizzare che il tasso di interesse sia soggetto ad una caratteristica di mean reversion, ovvero che nonostante shock di varia natura, il tasso di interesse sia soggetto a forze che lo ripristinino al valore reale, ottimale per il sistema economico. Date queste informazioni aggiuntive è chiaro che un modello che non inserisca questi fattori non sfrutterebbe appieno il contesto informativo a priori specifico di questo settore, e di conseguenza non consentirebbe una struttura probabilistica credibile in vicinanza di limiti in cui.

(19) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 13. agiscono forze stabilizzatrici, assegnando probabilità positive al raggiungimento di stati impossibili, o non uniformemente probabili. Vi sono altri ostacoli da superare per una corretta modellistica di riferimento, tuttavia questi possono essere affrontati solo dopo una corretta contestualizzazione dei primi. Una corretta comprensione delle dinamiche longitudinali e trasversali3 del tasso di interesse è necessaria per interpretare correttamente le affermazioni codificate del mercato sul contesto informativo che meglio descrive l’opinione sul futuro sviluppo della economia. Questo sviluppo è descritto attraverso le obbligazioni su un certo intervallo temporale, nonostante comportamenti strategici possano perturbare il segnale sottostante. Va però considerato che la variabilità prodotta da comportamenti strategici è parte del contesto informativo e quindi gli effetti di questa variabilità possono essere di fondamentale interesse ad una corretta comprensione del fenomeno. Come vedremo, le ipotesi sottostanti al modello proposto, che descrive le proprietà a priori di un sistema economico, sono state messe a dura prova durante la crisi finanziaria, e questo è visibile dai residui superiori alla norma negli intervalli in cui vi sono stati problemi di liquidità nei mercati finanziari. Queste informazioni che possiamo astrarre dal comportamento passato sono necessariamente predittive di futuri sviluppi economici, e possono essere utili per informare operatori o identificare in anticipo malfunzionamenti del sistema economico o finanziario. Nell’analisi empirica svolta nella seconda parte vengono messi a confronto diversi modelli a struttura a termine affine (ATSM), viene valutato il compromesso tra l’adattamento ad i dati disponibili e la complessità della struttura del modello e vengono proposte misure originali di identificazione di livello, pendenza e curvatura della struttura a termine.. 1.1.2. Nozioni generali. Il tasso di interesse è il prezzo che un debitore deve pagare al creditore per una disponibilità finanziaria che deve restituire alla scadenza, e viene generalmente espresso come valore percentuale della somma avuta in prestito su un periodo di riferimento. Storicamente i tassi di interesse risultano come un compromesso tra i tassi bancari, stabiliti dalla banca centrale, ed i tassi espressi dalle forze presenti nel mercato delle obbligazioni. In particolare nell’Unione Europea possiamo 3 Per. dinamiche longitudinali si intende le strutture sistematiche identificabili allo scorrere della dimensione temporale, mentre per dinamiche trasversali si intende le strutture sistematiche identificabili allo scorrere della data di scadenza dell’obbligazione..

(20) 14. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. separare il tasso ufficiale di sconto (TUS), oggi rinominato tasso ufficiale di riferimento (TUR), dal tasso interbancario (EURIBOR), e nonostante vi sia tra loro una forte correlazione, essi non vanno necessariamente di pari passo. Il mercato obbligazionario statunitense parallelamente pubblica il tasso stabilito dal comitato dei governatori della Federal Reserve (FED), ovvero la banca centrale degli Stati Uniti d’America ed il tasso interbancario LIBOR (London InterBank Offered Rate), la cui differenza è data da un indicatore chiamato TED4 spread. Osservando la serie storica del tasso FED5 americano, possiamo vedere in figura 1.1 come si è sviluppato il percorso del tasso di interesse dettato dalla banca centrale americana:. Figura 1.1: Tassi federali americani 1954 - 2008

(21) !"

(22) . .

(23) . . . . . . . . . . . . . Vi sono varie ragioni che determinano la variazione del tasso di interesse, di cui le seguenti sono generalmente ritenute le più importanti: • Consumo: Il creditore rinuncia a spendere la somma prestata fino ad una data successiva a quella di scadenza del credito. La teoria economica ci dice che le preferenze temporali degli agenti privilegiano il consumo presente rispetto al consumo futuro, il che implica che in un libero mercato il tasso di interesse sarà necessariamente positivo. 4 T-Bill 5 Data. and EuroDollar future contract. la recente nascita della BCE non è disponibile una serie storica equivalente per l’euro..

(24) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 15. • Investimento: Nel momento in cui il creditore si vincola ad un prestito rinuncia alla possibilità di investire la somma a condizioni che potrebbero essere più vantaggiose in un futuro prossimo. Queste condizioni potrebbero non essere note al tempo in cui viene stipulato il contratto, e la possibilità che si concretizzi questa evenienza presuppone un rischio determinato dal costo opportunità. • Investimento rischioso: Per quanto non venga approfondito qui il tema della possibilità di fallimento dell’emittente, è necessario accennare alla possibilità di non ricevere la somma data a prestito nei tempi e nei modi stabiliti. Questo genere di rischio viene generalmente compensato da un sovrapprezzo detto risk premium. • Liquidità: Il creditore preferisce investimenti più liquidi, ovvero che possono essere trasformati in denaro facilmente e velocemente. Questa caratteristica differenzia investimenti di natura diversa ed identifica una retribuzione detta liquidity premium. • Inflazione: La maggior parte delle economie presenta un valore positivo di inflazione, il che implica che la stessa somma di denaro espressa in termini nominali, sarà in grado di acquistare una quantità minore di beni in un futuro prossimo. Il tasso di interesse deve tenere conto di questo costo implicito, poiché il creditore è interessato al consumo in termini reali, non nominali. • Tassazione: I diversi regimi di tassazione possono aumentare o diminuire il tasso di interesse nominale richiesto. Il creditore è interessato al tasso di interesse netto, non lordo. La teoria macroeconomica ritiene il tasso di interesse la principale variabile di riferimento per un qualsiasi investimento. Un aumento dei tassi di interesse comporta una riduzione degli investimenti da parte delle aziende, il che porta ad un minore reddito e pertanto ad una minore ricchezza. Tuttavia se vi sono tassi di interesse alti, la potenzialità dell’economia è ritenuta alta, ovvero ci si attendono opportunità di investimento che producono una maggiore ricchezza. Al contrario, la diminuzione (detta anche taglio) dei tassi di interesse comporta un aumento dell’investimento da parte delle aziende, e di conseguenza una maggiore produzione di ricchezza. In modo analogo, tassi di interesse bassi implicano opportunità poco remunerative, e di conseguenza un’economia in difficoltà. Queste semplici nozioni possono sembrare contraddittorie, tuttavia il primo effetto descritto si riferisce al valore differenziale, mentre il secondo al valore assoluto..

(25) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 16. Come precedentemente accennato, il tasso di interesse viene gestito dalle banche centrali attraverso la determinazione del TUR. In questo modo la banca centrale persegue la propria politica monetaria stabilendo il proprio tasso di riferimento. Il TUR stabilisce il tasso al quale la banca centrale presta grandi quantità di liquidità alle banche attraverso le “operazioni di mercato aperto”, ed in questo modo manovra i tassi di interesse a breve scadenza. Dal momento in cui la maggior parte del denaro circolante è elettronico e non cartaceo, le operazioni di mercato aperto definiscono le riserve delle banca centrale necessarie per comprare o vendere strumenti finanziari quali le obbligazioni. La liquidità disponibile viene quindi impiegata per acquistare obbligazioni bancarie, obbligazioni governative, valuta straniera o beni materiali quali le riserve auree. La vendita di questi asset nel mercato diminuisce effettivamente la quantità di denaro circolante. Non è quindi necessario un aumento di valuta circolante tramite la creazione e la diffusione fisica di denaro, ma è possibile regolare la politica monetaria in modo elettronico. Questo è possibile dato che la “moneta” circolante è una percentuale minima del “denaro” circolante, di cui la maggior parte è in realtà contabilizzata elettronicamente all’interno dei conti correnti. Il livello di riserve necessario stabilisce un altro parametro che lega il denaro virtuale al denaro effettivo. Dato che le banche devono tenere per legge una percentuale -generalmente attorno al 10%- del valore dei prestiti concessi, viene limitata la propagazione di risorse nell’economia in base al valore tenuto all’interno delle riserve. Durante il gold standard 6 le banche dovevano avere riserve auree proporzionali al denaro circolante, mentre oggi con il distaccamento dal gold standard queste riserve possono essere sotto forma di altre valute o obbligazioni governative. Nel caso in cui una banca scenda sotto il livello di riserve necessario per legge, si deve quindi rivolgere al mercato dei prestiti interbancari sul quale vige il tasso di interesse oggetto di questa analisi. Il tasso EURIBOR è il tasso giornaliero di riferimento al quale le banche nella zona Euro si prestano fondi non coperti da collaterale, e definisce il mercato interbancario, detto anche money market. Nel mercato interbancario vengono scambiati fondi liquidi a breve scadenza, ragione per cui le maturità di riferimento sono mensili fino alla durata massima di un anno contabile. Contrapposto vi è il cosiddetto capital market in cui vengono scambiati titoli azionari e titoli obbligazionari a più lunga scadenza. Da un punto di vista tecnico il tasso EURIBOR viene calcolato da interrogazioni giornaliere a un panel di banche che forniscono stime arrotondate a due 6 Normativa. negli Stati Uniti d’America secondo la quale il dollaro era funzione biunivoca di una certa quantità di oro, interrotta dal presidente repubblicano Nixon nel 1971..

(26) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 17. punti decimali. Le banche di riferimento esprimono la loro valutazione sul tasso richiesto per un prestito interbancario. Ogni giorno di mercato viene compiuta questa indagine non più tardi delle 10:45 a.m. (tempo centrale europeo, CET), e la media aritmetica semplice troncata al 15%, arrotondata a tre cifre decimali, viene diffusa dalla agenzia Reuters7 . I tassi EURIBOR sono tassi spot, ovvero sono validi a partire da due giorni successivi al giorno di rilevazione. Il primo tasso EURIBOR è stato pubblicato il 30 Dicembre del 1998, rendendo disponibile ad oggi una serie storica giornaliera di 11 anni, su oltre 12 maturità.. 1.1.3. Elementi Fondamentali. Il primo passo per una corretta comprensione dei modelli di tasso di interesse è la specificazione delle relazioni fondamentali della analisi. Segue quindi una breve introduzione ad i concetti fondamentali della analisi obbligazionaria o fixed income. Per maggiori dettagli Bjork (1998) è un testo di riferimento appropriato. Zero Coupon Bond [P(t, T )]: l’elemento sottostante a tutta la teoria sui tassi di interesse è lo Zero Coupon Bond (ZCB), detto alternativamente risk-free pure discount bond, ovvero una obbligazione il cui rendimento è calcolato come la differenza tra la somma che il sottoscrittore riceve alla scadenza e la somma che versa al momento della sottoscrizione. Questa obbligazione non ha cedole, e l’esempio più classico è il buono ordinario del tesoro. Viene detta priva di rischio dal momento che ipotizziamo trascurabile il rischio di fallimento dell’emettitore. Il valore di questa obbligazione è determinato dal tempo alla scadenza, quindi è una funzione P(t, T ). Il primo argomento è il tempo corrente, ed il secondo la data di scadenza, di conseguenza t < T ∀t. Essendo priva di rischio di default possiamo standardizzare il valore al tempo di scadenza, ovvero matematicamente P(T, T ) = 1. Tasso spot [R(t, T )]: Dato il prezzo di uno ZCB è possibile computare il tasso di interesse composto continuo, ovvero il tasso di ritorno della obbligazione nel momento in cui ipotizziamo possibile poter reinvestire la somma per ogni istante infinitesimale, ovvero il tasso di interesse che retribuisce 1$ al tempo di scadenza nel momento di cui investiamo P(t, T ) al tempo corrente e l’investimento viene continuamente reinvestito ad ogni istante. Questo rendimento è unico dato P(t, T ) e viene scritto come R(t, T ) o z(t, T ) 8 . 7 http://www.euribor.org 8 P(t, T ) exp{(T. − t)R(t, T )} = 1 ⇒ R(t, T ) = − ln{ P(T,t) T −t }..

(27) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 18. Tasso spot istantaneo [r(t)]: Il tasso spot dipende dalla distanza tra il tempo corrente ed il tempo di scadenza, ovvero dalla maturità dell’obbligazione τ = T − t. Lasciando T → t 9 possiamo valutare il limite del tasso di interesse spot, ora sconnesso dal valore dalla data di scadenza. Il tasso spot diventa quindi il tasso di interesse non più pagato alla maturità, ma per un periodo di tempo infinitesimale. Questa quantità è una costruzione teorica che ci discosta dall’evidenza empirica, e ci introduce alle funzioni matematiche continue con cui possiamo utilizzare strumenti matematici adeguati per giustificare le ipotesi di lavoro del modello. Tasso forward [F(T1 , T2 )]: Il tasso forward è il tasso di interesse relativo ad una obbligazione da contrarre in una data futura ma accordata al tempo corrente, la quale analogamente alla obbligazione da contrarre in data corrente, ha una remunerazione composta continua. Il tasso forward è quindi funzione della data di entrata del contratto e della data di uscita. Potremmo scrivere il tasso forward come un tasso spot in cui la data corrente è sostituita da una data specifica della obbligazione forward di riferimento. Tasso forward istantaneo[ f (T1 )]: Analogamente al tasso spot istantaneo il tasso forward istantaneo si ottiene prendendo il limite della data di uscita rispetto alla data di entrata, ovvero T2 → T1 . Il tasso forward ed il tasso spot hanno incorporata la stessa informazione della struttura a termine, ovvero possiamo passare da una serie di tassi forward ad una serie di tassi spot in modo univoco. Fattore di sconto (FdS): Un modo alternativo per indicare il valore intertemporale del denaro è il fattore di sconto, ovvero il moltiplicatore necessario per convertire il valore futuro al valore presente, tuttavia non viene utilizzato in questa analisi ed è quindi citato qui per completezza. Curva dei rendimenti (CdR): La curva dei rendimenti è una rappresentazione dei tassi spot, fissato un certo istante temporale, quindi attraverso le rispettive maturità. La curva dei rendimenti tende ad avere una pendenza positiva per cause che determinano i tassi di interesse, tuttavia non è necessariamente inclinata positivamente dal momento che è profondamente influenzata dalle aspettative future del mercato. 9 r(t) =. ∂ P(t,t) lim − ln{ P(T,t) T −t } = − ln{ ∂t }.. T →t.

(28) 19. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. Struttura a termine (SaT): La struttura a termine del tasso di interesse è l’estensione della curva dei rendimenti attraverso la dimensione temporale, ovvero comprende i fattori che ne specificano il legame longitudinale. A differenza della curva dei rendimenti, che è rappresentabile come una funzione nello spazio delle maturità, la struttura a termine è un piano nello spazio delle maturità e degli istanti temporali.. . . . . Figura 1.2: SaT tra [t0 ,t2 ] comprensiva di CdR in {t0 ,t1 ,t2 }.

(29) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 1.2 1.2.1. 20. Contesto Economico Sviluppo della letteratura. Vi sono vari modelli per i tassi di interesse, ciascuno con punti di forza e debolezze. Occorre quindi specificare un criterio per scegliere la tipologia di modello. Le classi di modelli sono tre: • Modelli Spot (Vasicek, CIR) • Modelli Forward (HJM) • Modelli LIBOR (BGM) Gli ATSM sono modelli di tassi spot resi popolari da Duffie e Kan (1996). In questa tesi viene condotta una analisi empirica che mette a confronto vari modelli scaturiti come naturale proseguimento dall’articolo rivoluzionario di Vasicek (1977), i quali introducono nuovi fattori e valutano l’introduzione di vincoli sulla struttura probabilistica così da identificare il ruolo dei diversi fattori in modo univoco. Quanto il modello sia adattabile ad i dati empirici ci servirà per valutare la credibilità delle ipotesi di lavoro ed il ruolo delle variazioni del tasso di riferimento. In questi modelli si assume che un certo numero di fattori latenti evolva secondo una certa relazione funzionale contaminata da errore gaussiano, generalmente chiamata equazione di transizione. Da questo fattore latente possiamo determinare una nuova relazione funzionale perturbata da errore gaussiano che ci fornisce le stime per il fattore osservato, da mettere a confronto con i dati raccolti. Si tratta quindi di stimare il segnale nei dati, il quale come vedremo è un problema originariamente sviluppato in ambito ingegneristico con il nome di filtraggio ottimale (Optimal Filtering). Tuttavia, nel caso dei tassi di interesse il problema non è di così semplice risoluzione in quanto dobbiamo introdurre le limitazioni di questo processo dettate dalla teoria, ovvero dobbiamo escludere le possibilità di arbitraggio nella evoluzione del processo, in modo che un agente nel contesto informativo del modello non possa realizzare extra profitti. Per questo buona parte dello sviluppo teorico si articola lungo la natura di queste restrizioni e su come possiamo contestualizzare l’informazione dei dati in modo coerente all’interno della specificazione del modello probabilistico. L’assenza di arbitraggio ci consente di ottenere una relazione deterministica unica tra la struttura a termine e la variabile latente..

(30) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 21. Attraverso questa ipotesi arricchiamo il contesto informativo riguardo la natura del processo, ipotizzando l’esistenza di mercati finanziari efficienti, dal momento in cui le ipotesi necessarie, come ad esempio costi di transazione trascurabili ed informazione perfetta risultano verosimili, o quantomeno utili a modellare una prima approssimazione del fenomeno. I ATSM sono una classe di modelli estremamente flessibile, soggetti ad ipotesi di lavoro piuttosto restrittive. Lo spazio parametrico consente di catturare quasi per intero la variazione nella evoluzione della struttura a termine, il che è un requisito critico perché il modello possa apparire realistico e di conseguenza in grado di simulare scenari alternativi. I parametri hanno inoltre sempre una chiara interpretazione matematica che spesso si traduce in una chiara interpretazione economica. In particolare ci consente di incorporare le proprietà suggerite dalla teoria economica, quali l’attrazione ad una media di lungo periodo e la limitatezza dell’intervallo di variazione. Le estensioni multifattoriali, dove sono presenti più variabili latenti e quindi maggiori fonti di incertezza in grado di guidare l’evoluzione dei dati, sono più realistiche e come vedremo vi è una forte evidenza a loro supporto. Queste estensioni complicano la matematica, anche se risultano concettualmente relativamente semplici ed intuitive, e suggeriscono linee guida importanti per successive estensioni e/o valutazioni dei risultati ottenuti.. 1.2.2. Mercati Efficienti. Un mercato efficiente è un mercato che incorpora tutta l’informazione disponibile nel prezzo del bene di riferimento. Per questo l’ipotesi dei mercati efficienti stabilisce che è impossibile realizzare profitti superiori a quelli ottenuti in media dal mercato, utilizzando l’informazione a disposizione del mercato, se non per un caso fortuito. Questa ipotesi fu per la prima volta espressa nella Théorie de la spéculation scritta nel 1900 da Louis Bachelier, un matematico francese ignorato fino a metà del ventesimo secolo. Louis Bachelier si riferiva ai mercati di titoli azionari, e possiamo dire che è stato il precursore dei modelli a passeggiata aleatoria (random walk). In particolare l’interesse di Alfred Cowles ed Eugene Fama, sviluppò queste idee mostrando evidenza che gli investitori professionisti non erano in grado di realizzare sistematicamente risultati al di sopra di quelli del mercato. Nella ipotesi dei mercati efficienti gli agenti di un mercato oltre a voler massimizzare la propria funzione di utilità hanno anche aspettative razionali, ovvero hanno aspettative che in media sono corrette. Alternativamente possiamo dire.

(31) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 22. che utilizzano per intero le informazioni a disposizione, e questo implica che non possono avere aspettative sistematicamente distorte (John F. Muth, 1961). La teoria dei mercati efficienti è stata propugnata in particolare da Eugene Fama nel sul articolo Efficient Capital Markets (1970). Eugene Fama individua tre possibili forme di efficienza, che si basano su tre set informativi diversi: L’efficienza debole stabilisce che rendimenti sopra la media non sono possibili dato l’utilizzo di prezzi storici. Questo tipo di efficienza preclude l’utilizzo di una analisi tecnica, ovvero una analisi che utilizzi i prezzi ed i volumi dei titoli azionari. In questo contesto non è dunque possibile individuare strategie come medie mobili, regressioni, cicli o altri pattern in grado di realizzare consistentemente profitti fuori norma, ragione per cui l’analisi tecnica risulterebbe inutile all’individuazione di un presunto segnale non incorporato istantaneamente dai mercati finanziari. L’efficienza semi-forte sostiene che i prezzi di riferimento si adattano naturalmente a tutta l’informazione disponibile pubblicamente, allargando quindi il set informativo rispetto alla efficienza debole. Questo tipo di efficienza oltre alla analisi tecnica preclude l’utilizzo di una analisi fondamentale. Tecniche di trading come l’acquisto di titoli apparentemente sottovalutati o la vendita di titoli sopravalutati risultano quindi inefficaci all’ottenimento di rendimenti al di sopra della media, in quanto il mercato valuta sempre correttamente il valore di una azione rispetto al proprio set informativo comprensivo di altre informazioni pubbliche al di là dei prezzi e volumi storici. Queste potrebbero essere i comunicati della azienda o comunicati su variabili di impatto sul valore della azienda. L’efficienza forte infine estende il set informativo a tutta l’informazione, privata oltre che pubblica, quindi anche chi è a conoscenza di informazioni privilegiate non è in grado di ottenere profitti al di sopra di quelli ottenibili dal mercato. Data la generica estensione del set informativo, la verifica della efficienza forte risulta alquanto difficile da dimostrare, dal momento in cui nella quasi totalità dei mercati l’utilizzo di informazione privata a scopi speculativi è perseguibile per legge. L’ipotesi dei mercati efficienti più accettata è una via di mezzo tra l’efficienza debole e l’efficienza semi-forte, se i mercati reagiscono coerentemente con la diffusione di informazioni al pubblico. Da questo punto di vista è probabile che i tempi tecnici necessari alla diffusione di informazioni non precludano rendimenti in eccesso ad i detentori delle informazioni, nel momento in cui decidano di utilizzarle prima della diffusione al pubblico. L’ipotesi dei mercati efficienti viene sostenuta da studi che dimostrano come spesso fondi azionari gestiti attivamente da agenti del settore non ottengono risultati al di sopra di fondi gestiti passivamente il cui scopo è quello di riflettere l’andamento del mercato di riferimento.

(32) CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 23. (benchmark). Queste considerazioni hanno promosso lo sviluppo e la diffusione di fondi passivi, tra cui gli Exchange Traded Funds (ETF) in cui il responsabile del fondo non cerca di battere il mercato, ma si limita a copiarne il rendimento. Empiricamente la teoria dei mercati efficienti è messa in difficoltà dalla irrazionalità degli agenti in momenti di crollo (bear market) o forte ripresa (bull market), nei quali analisi dette sui fondamentali -condotte su passati rapporti tra il prezzo ed il dividendo di una azione- non risultano coerenti con un comportamento. Queste bolle speculative, mosse da una “esuberanza irrazionale” difficilmente si giustificano in un’ottica di mercati efficienti. Spesso si fa ricorso alla forma più blanda di efficienza, ovvero l’efficienza debole. E’ possibile quindi giustificare uno schema markoviano in cui il percorso della variabile è determinato da shock informativi che avvengono a ciascun istante temporale, e la cui natura generatrice non viene ulteriormente scomposta. Questo aspetto è rassicurante in quanto non dobbiamo tenere conto di istanti precedenti all’ultimo disponibile per compiere previsioni, tuttavia gli shock che riscontriamo difficilmente sono gaussiani ed hanno invece spesso code più larghe, ovvero una tendenza a presentare valori estremi.. 1.2.3. Mercati segmentati ed aspettative. Tutte le teorie economiche che provano a spiegare il comportamento della struttura a termine ipotizzano l’eliminazione dell’opportunità di arbitraggio che sorgono tra la differenza del tasso spot ed il tasso forward al tempo t. Questo può essere espresso matematicamente come: ´T f (t, x)dx R(t, T ) = x=t (1.1) T −t Queste teorie possono essere suddivise in due classi, in base ad una ulteriore ipotesi. Nel caso in cui creditori ed investitori sono disposti a cambiare la maturità dei loro contratti per cogliere opportunità che sorgono dalla discrepanza tra il prezzo di mercato ed il prezzo teorico si parla di modelli ad aspettative, mentre se gli agenti di mercato non sono disposti a cambiare la maturità del proprio contratto si parla di modelli a mercati segmentati. Nei modelli a mercati segmentati le varie maturità definiscono diversi mercati indipendenti tra loro, dal momento che gli agenti in un mercato non sono disposti ad interagire con agenti di un altro mercato in seguito a variazioni del tasso di interesse di riferimento. In mercati efficienti come i mercati finanziari, i modelli ad aspettative rappresentano l’area di.

(33) 24. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. maggiore interesse dal momento che viene riconosciuta la possibilità di arbitraggio. Il modello ad aspettative più semplice è detto modello ad aspettative pure, e viene espresso tramite quattro diverse forme equivalenti: l’ipotesi delle aspettative locali, ritorno sulla maturità, rendimento sulla maturità ed aspettative non distorte. L’ipotesi riguarda il grado di interscambiabilità di obbligazioni con diverse maturità, ovvero se i beni di riferimento sono completi sostituti, sostituti parziali o identificano mercati distinti. Essendo la relazione di natura quantitativa, è chiaro che il grado di scambiabilità sarà proporzionale alla differenza di maturità. Se è corretto dire che obbligazioni a due mesi hanno un impatto sul mercato delle obbligazioni a tre mesi più che non su quello delle obbligazioni ad un anno, esiste un certo grado di scambiabilità. Secondo la teoria delle aspettative pure il tasso forward è dato dal valore atteso del tasso di interesse al tempo di entrata forward, ovvero F(t, T1 , T2 ) = Et [z(T1 , T2 )]. Questo vale anche per i rispettivi tassi istantanei, quindi se scriviamo con Ft un generico set informativo al tempo t possiamo scrivere: f (t, T ) = E[r(T )|Ft ]. (1.2). Sostituendo (1.2) in (1.1) otteniamo una nuova formula: ´T E[r(x)|Ft ]dx R(t, T ) = x=t (1.3) T −t Da questa formula vediamo come il tasso di interesse su una obbligazione a lunga scadenza è pari al valore medio dei tassi di interesse che il mercato si attende nell’arco temporale definito dalla maturità della obbligazione a lunga scadenza. Nel caso in cui il tasso di interesse atteso sia costante, ovvero non vi siano nè aspettative in rialzo nè in ribasso, la teoria delle aspettative pure sostiene che il tasso di interesse annuo su una generica obbligazione sarà costante. Una rappresentazione grafica in cui il tasso di interesse tende ad un certo valore può chiarire quanto sopra riportato..

(34) 25. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. z(t,T2). f(x). z(t,T1) f(x)=E[r(T)|r(t)] t. T1. T2. Figura 1.3: Tasso spot e tasso spot istantaneo. Nella figura 1.3 è visibile il tasso di interesse al tempo t, ed il suo percorso atteso f (x) = E(r(T )|r(t)). Dal momento in cui il tasso di interesse segue un processo mean reverting in assenza di shock il tasso di interesse tende alla sua media di lungo periodo identificata con la linea tratteggiata. Il percorso f (x) segna la funzione del tasso istantaneo dato il tasso r(t) noto al tempo t. I tassi di interesse spot z(t, T1 ) e z(t, T2 ) segnano i corrispettivi tassi per le diverse maturità in accordo con la teoria delle aspettative attraverso la computazione sugli intervalli T1 − t e T2 − t. In accordo con la teoria delle aspettative, la curva dei rendimenti con pendenza positiva comporta un aumento del tasso di interesse al crescere del tempo di maturità, ovvero aspettative al rialzo.. La teoria delle aspettative è cosi in grado di spiegare alcuni fatti empirici come il fatto che i tassi di interesse su obbligazioni con diverse maturità hanno una correlazione positiva, ovvero tendono a subire gli stessi shock. Possiamo ipotizzare che il tasso di interesse si trovi al livello di lungo periodo, di conseguenza si avrà che r(t) = z(t, T1 ) = z(t, T2 ). Nel caso in cui uno shock negativo diminuisca il.

(35) 26. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. f(x). z(t,T). f’(x) f”(x) t. T. Figura 1.4: Aspettative future dal tasso spot valore di r(t) ne conseguirebbe una riduzione dei valori z(t, T1 ) e z(t, T2 ) in linea con il grafico appena riportato in figura 1.4. Un altro importante fatto empirico che possiamo spiegare con la teoria delle aspettative pure è che quando i tassi di interesse a breve scadenza assumono valori bassi, la curva dei rendimenti tende ad avere una pendenza positiva con una inclinazione maggiore, mentre quando i tassi di interesse assumono valori relativamente alti la curva dei rendimenti tende ad avere una inclinazione minore se non addirittura negativa. Questo nel grafico sarebbe il caso in cui al tasso istantaneo vicino alla media di lungo periodo o sopravalutato, corrispondono una progressione dei tassi z(t, T1 ) e z(t, T2 ) con inclinazione minore (cioè i valori sono più ravvicinati o mostrano pendenza negativa). Tuttavia un fatto empirico che la teoria delle aspettative non spiega è il fatto che la curva dei rendimenti tende ad avere una pendenza positiva, infatti secondo la teoria delle aspettative pure dovrebbe tendere a non avere alcuna inclinazione particolare. Per questo ci serviremo di estensioni che ipotizzano una distorsione volta a retribuire il carattere meno liquido di obbligazioni a lunga scadenza. La misura della distorsione, e le sue dinamiche temporali, sono evidentemente di grande interesse alla comunità scientifica come a quella degli operatori finanziari..

(36) 27. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. 1.2.4. Aspettative distorte: liquidità e habitat. Per inquadrare correttamente le alternative alla teoria delle aspettative pure è necessario fare un passo indietro. Ipotizziamo un agente del mercato obbligazionario con possibili percorsi o strategie di investimento illustrate nella figura 1.5. z03 z01 T0. z23. z12 T1 z02. T2. T3. z13. Figura 1.5: Percorsi di investimento zXY=z(TX,TY). Quattro possibili percorsi di investimento sono possibili: per l’intero periodo, ogni anno consecutivamente o due combinazioni di periodi intermedi. Il problema nasce dal momento che la decisione deve essere presa al tempo T0 , mentre l’agente non ha a disposizione informazioni sufficienti a completare alcun percorso tranne quello relativo all’intero periodo, infatti al tempo T0 ha a disposizione con certezza solo {z01 , z02 , z03 }. Gli altri tassi vanno quindi stimati, perché saranno noti con certezza solo nell’istante in cui si possono scambiare sul mercato. La teoria delle aspettative pure si limita a fornire un metodo di stima, infatti propone di utilizzare i tassi forward al tempo T0 come sostituti dei tassi spot ad i tempi T1 , T2 . Questo è possibile sotto le seguenti ipotesi: zi j ≡ fi j ≡ E[zi j ] ∀i ∈ {1, 2}; j ∈ {2, 3}. (1.4). Empiricamente tuttavia questa ipotesi appare poco credibile, dal momento che le rispettive zi j sono valori stocastici al tempo T0 mentre le fi j sono determinate. La discrepanza è identificabile attraverso la valutazione delle fonti di incertezza e quindi di rischio che vengono annullate sotto la precedente ipotesi. Introduciamo quindi il termine risk premium {ki j }, come la quantità minima che un generico agente richiede per accettare una payoff stocastica anziché una payoff certa. Sotto questa specificazione l’ipotesi precedente rappresenta una approssimazione della seguente formula:.

(37) 28. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. f. zi j ≡ E[zi j ] + ki j ≡ fi j + ki j. ∀i ∈ {1, 2}; j ∈ {2, 3}. (1.5). Per capire cosa identifica il risk premium {ki j } e quale parte di questo non sia f compreso nei tassi forward {ki j } è utile avere a mente le fonti di rischio a cui sono soggetti i tassi obbligazionari. In particolare possiamo identificare: 1. Credit risk - trascurabile potendo sempre stampare moneta 2. Liquidity risk - dovuto alle difficoltà di vendita dell’obbligazione 3. Interest rate risk - dovuto a variazioni impreviste del tasso di interesse 4. Inflation risk - dovuto a variazioni impreviste del tasso di inflazione 5. Currency risk - dovuto a variazioni impreviste del tasso di cambio Il rischio di default della banca centrale in questione è trascurabile, mentre il legame tra liquidità e variabilità al crescere della maturità rappresenta la direzione principale di sviluppo in questo campo. Seppure l’inflazione ed il tasso di cambio si manifestano sui tassi di interesse, l’utilizzo di altre fonti ne ha limitato l’approfondimento metodologico. Da varie riflessioni di questa natura sulla teoria delle aspettative pure (Fisher 1896; Lutz 1940), si sono sviluppati altre due teorie, in cui agli agenti non è sufficiente il valore atteso, ma necessitano di una ulteriore compensazione dovuta a caratteristiche intrinseche dei mercati al crescere delle maturità, il che spiegherebbe la curvatura positiva nell’evidenza empirica. La prima è detta preferenza di liquidità (Keynes 1936; Hicks 1974), e la seconda preferenza di habitat (Modigliani & Sutch 1966). Nella teoria della preferenza di liquidità viene accentuato come la liquidità assuma un valore economico, dal momento che discrimina l’oggetto del contendere, e questo comporta che obbligazioni con maturità a lunga scadenza debbano essere compensate con ritorni maggiori, data la maggiore volatilità e maggiori differenziali denaro-lettera. Questo significa che obbligazioni con diverse maturità presenteranno tassi di ritorno sull’investimento diversi, ed i tassi forward saranno stime distorte al rialzo di futuri tassi spot, dal momento che comprenderanno sia il valore atteso del tasso spot che un sovrapprezzo che compensi la minore liquidità dell’obbligazione detta liquidity premium. Questo liquidity premium sarà quindi indispensabile a stimare i futuri tassi spot in modo da computare correttamente i.

(38) 29. CAPITOLO 1. LA STRUTTURA A TERMINE. diversi percorsi di investimento, tuttavia non vi è alcuna ragione per cui questo valore debba essere costante attraverso il tempo, e quindi introduce nuove difficoltà nella corretta stima e verifica della struttura a termine. In particolare la teoria di preferenza di liquidità propone nuovi vincoli identificativi, del seguente genere: fi j ≡ E[zi j ] + l j−i li ≥ l j. ∀i ∈ {1, 2}; j ∈ {2, 3} ∀i > j. (1.6) (1.7). Nella preferenza di habitat, ovvero un approfondimento di Modigliani e Sutch (1966) alla teoria dei mercati segmentati di Culbertson (1957), viene evidenziato come siano presenti diverse tipologie di operatori sul mercato, ciascuno dei quali è caratterizzato da una preferenza su una certa porzione della curva dei rendimenti, e deve essere compensato per cambiare posizione. Questo è empiricamente intuitivo, dal momento che chi cede obbligazioni in genere ha preferenze di lungo periodo a differenza di chi acquista obbligazioni che ha preferenze di breve periodo, e spiegherebbe la tipica pendenza positiva della curva dei rendimenti. A differenza della teoria dei mercati segmentati in questo caso i mercati sono interconnessi e subiscono le stesse spinte di offerta e di domanda che fanno variare i tassi nel tempo, tuttavia in questo caso vi sono maggiori difficoltà a spiegare l’effetto di trasmissione della politica monetaria, dal momento che si rende necessario specificare come questo impatta le preferenze dei diversi agenti..