2) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 2 4 2 ( 1

(1)

A - Test d’ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del 8 Maggio 2004

1) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi

{

e⁻³^tsin(4t+ϕ1), sin(4te⁻³^t t+ϕ2)

}

T s( )=

2) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento

2

4 2

( 1)

( ) ( 5) ( 2) T s s

s s s

= +

+ + stabilire:

Σ è asintoticamente stabile: vero ٱ falso ٱ Σ è semplicemente stabile vero ٱ falso ٱ

Σ è instabile: vero ٱ falso ٱ Σ è a fase minima: vero ٱ falso ٱ

Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ٱ falso ٱ

3) Un sistema dinamico Σ ha il polinomio caratteristico s⁴−2s³+3s²+4s+5 stabilire:

Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ٱ falso ٱ Σ è semplicemente stabile vero ٱ falso ٱ Σ è a fase minima: vero falso non è possibile stabilirlo , , ,

4) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento 1 4 s s +

+ viene applicato l’ingresso u t( ) 8 1( )= ⋅ t

(segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y t( )= +A Be⁻⁴^t per t>0. Determinare le costanti

A= e B= .

5) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento 80 ₃

( ) ( 2)

L s =s s

+ presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σ_a di tale asintoto: σ_a =

6) Un sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Il diagramma polare del guadagno di anello associato ha cinque intersezioni con l’asse reale negativo in −0, 2 0,5 3 5− − − . Determinare il margine di ampiezza M_A= 7) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f t( )=t²1( )t : F s( )=

8) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento

2

( 1)( 2)( 4) s s

s s s

+

+ + + . Determinare i suoi

poli:

{

^{poli di}Σ =

} {

}

9) Dato il segnale definito da f t( ) 0 per = t<0 e ( ) 4 3 per f t = + t t≥0 determinarne la derivata seconda generalizzata: D f t^*2 ( )=

10) Dato un sistema rappresentato dall’eq. differenziale

(

^D³⁺²^D²⁺⁴^D⁺⁸

)

^y⁼³^u^dove^{u t}^{( )} è l’ingresso e

( )

y t è l’uscita stabilire:

Se u t( )∈C⁰⇒y t( )∈C² vero falso , , Se u t( )∈C⁰⇒y t( )∈C³ vero falso , , Se u t( )∈C¹⇒y t( )∈C⁵ vero falso , , Se u t( )∈C⁵⇒y t( )∈C² vero falso , ,

(2)

B - Test d’ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del 8 Maggio 2004

1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento

2

4 2 2

( 2)

( ) ( 3) ( 2) T s s

s s s

= +

+ + stabilire:

Σ è asintoticamente stabile: vero ٱ falso ٱ Σ è semplicemente stabile vero ٱ falso ٱ Σ è instabile: vero ٱ falso ٱ Σ è a fase minima: vero ٱ falso ٱ

Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ٱ falso ٱ

2) Un sistema dinamico Σ ha il polinomio caratteristico s³+ +s² s stabilire:

Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero ٱ falso ٱ Σ è semplicemente stabile vero ٱ falso ٱ Σ è a fase minima: vero falso non è possibile stabilirlo , , ,

3) Ad un sistema dinamico in quiete con funzione di trasferimento 1 2 s s +

+ viene applicato l’ingresso u t( ) 4 1( )= ⋅ t (segnale a gradino). L’uscita corrispondente ha la struttura y t( )= +A Be⁻²^t per t>0. Determinare le costanti

A= e B= .

4) Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema dinamico avente i modi

{

^e⁻²^t^sin(3^t⁺^ϕ¹^{), sin(3}^te⁻²^t ^t⁺^ϕ²⁾

}

T s( )=

5) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento ( ) 40₂ ( 2) ( 1) L s =s s s

+ + presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σ_a di tale asintoto: σ_a =

6) Un sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Il diagramma polare del guadagno di anello associato ha cinque intersezioni con l’asse reale negativo in −0,1 0,3 2 4− − − . Determinare il margine di ampiezza M_A = 7) Dato un sistema rappresentato dall’eq. differenziale

(

^D³⁺^D²⁺⁷^D⁺²

)

^y⁼⁽³^D⁺²⁾^u^dove^{u t}^{( )} è l’ingresso e y t( ) è l’uscita stabilire:

Se u t( )∈C⁰⇒y t( )∈C² vero falso , , Se u t( )∈C⁰⇒y t( )∈C³ vero falso , , Se u t( )∈C¹⇒y t( )∈C⁵ vero falso , , Se u t( )∈C⁵⇒y t( )∈C² vero falso , ,

8) Determinare la trasformata di Laplace del segnale f t( ) 3 1( )= t² t : F s( )=

9) Un sistema dinamico Σ è rappresentato dalla funzione di trasferimento

2 2

( 2)( 3)( 4)

s s

s s s

+

+ + + . Determinare i suoi

poli:

{

^{poli di}Σ =

} {

}

10) Dato il segnale definito da f t( ) 0 per = t<0 e ( ) 2 5 per f t = + t t≥0 determinarne la derivata seconda generalizzata: D f t^*2 ( )=

(3)

Università di Parma – Facoltà di Ingegneria

Prova Scritta di Controlli Automatici A dell’ 8 maggio 2004 PARTE A

A1) Considerare il sistema seguente

con ( ) ₂ 50

[( 1) 4]( 10)

P s = s s

+ + + .

1) Dato ( ) 3 1( )u t = ⋅ t , stimare il tempo di assestamento T . _a

2) Dato ( ) 7sin(2 )u t = t , calcolare l’andamento a regime dell’uscita.

A2) Un treno è costituito da una motrice e da un vagone entrambi di massa M collegati per mezzo di una molla con costante elastica K e di un ammortizzatore con costante di smorzamento L.

1- Calcolare la funzione di trasferimento che esprime la trasformata di Laplace Y(s) della posizione y del vagone in funzione della trasformata di Laplace U(s) della posizione u della motrice. Le due posizioni sono riferite a due sistemi di riferimento scelti in modo tale che la forza esercitata dalla molla sia nulla quando u=y.

2- Il treno procede lentamente in prossimità della stazione ad una velocità di 20 km/h quando, improvvisamente, il macchinista distratto va a sbattere contro il blocco di fine corsa. Assumendo per semplicità che la motrice si fermi istantaneamente, calcolare la frequenza delle oscillazioni del vagone e l’accelerazione avvertita dai passeggeri dello stesso all’istante della frenata. Assumere M=10⁴ kg, K=10⁴ N/m, L =5 ⋅10³ N s/m.

Data la bassa velocità tutti i passeggeri sono illesi. La direzione generale della società treni

Puntualità & Sicurezza decide di installare su tutte le locomotive dei radar con controllo automatico di fine corsa.

P(s)

u y

(4)

Prova Scritta di Controlli Automatici A del 8 maggio 2004

PARTE B B1. Sia dato il sistema retroazionato di figura:

+

- K P(s) _c

r

dove

( ) ( )

( )

2

1 5 P s s

s s

= +

+

^.

Si chiede di

1. Posto K=10 tracciare il diagramma di Nyquist del guadagno di anello L(s) del sistema determinando le eventuali intersezioni con l’asse reale.

2. Nelle condizioni di cui al punto 1) studiare la stabilità del sistema retroazionato utilizzando il criterio di Nyquist.

3. Nelle condizioni di cui al punto 1) calcolare i margini di stabilità M e _A M . _F

B2. Si consideri il sistema retroazionato in figura:

+

- K P(s) _c

r

dove K∈ \ e

( ) ( )

( ¹ ^s )( ² ¹⁰ )

P s s s s

= +

− +

^.

Si determinino i valori di K per i quali il sistema retroazionato è asintoticamente stabile.

(5)

Prova Scritta di Controlli Automatici A del 8 Maggio 2004

PARTE C

C1) Enunciare il Criterio di Nyquist (sia il caso generale che quello particolare) avendo cura di definire i concetti e le premesse teoriche sui quali si basa. Riportare inoltre una dimostrazione di tale criterio.

C2) Sia dato un sistema retto dall’equazione differenziale 7D y3 +4Dy y+ =3Du u+

Siano note le condizioni iniziali D y² (0 )− , (0 ), Dy − y(0 )− , (0 )u − ed il segnale d’ingresso ( ) 0u t = per t≥ . Determinare la trasformata di Laplace dell’uscita ( )0 Y s .

2) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 2 4 2 ( 1

{

}

{

} {

}

(

)

{

}

(

)

{

} {

}

+

- K P(s) c

r

( ) ( )

( )

1 5 P s s

s s

= +

+

+

- K P(s) c

r

( ) ( )

( 1 s )( 2 10 )

P s s s s

= +

− +

- K P(s) _c

- K P(s) _c

( ¹ ^s )( ² ¹⁰ )