3. Taglio (prof. Elio Sacco)

3. Taglio (prof. Elio Sacco)

3.1. Formula di Jourawsky

Si considera inizialmente il caso di una sezione soggetta ad una sollecitazione di taglio V. Si definisce tensione tangenziale media sulla corda AB di lunghezza b, la quantità:

1 ^B

n A ds

b τ

τ ⁼

∫

^{•n (3.1)}

essendo n la normale uscente da A^∗, con A^∗ la parte della sezione delimitata dalla corda AB . Scegliendo un sistema di riferimento principale d’inerzia, la tensione tangenziale media si valuta attraverso la formula di Jourawsky:

2 1

1 2

11 22

1

n

V V

s s

b I I

τ

⎛ ⎞

⎜ ∗ ∗⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + (3.2)

dove:

• s₁^∗ e s₂^∗ sono rispettivamente i momenti statici di A^∗ rispetto all’asse x₁ ed x₂,

• I₁₁ e I₂₂ sono rispettivamente i momenti d’inerzia della sezione rispetto all’asse x₁ ed x₂.

3.2. Deformazione a taglio di una trave

Per la determinazione della deformazione indotta nella trave a causa solo della sua deformabilità a taglio, si può applicare il principio dei lavori virtuali.

Il sistema delle forze è costituito da una forza F , di modulo unitario, applicata dove si intende calcolare lo spostamento, per esempio all’estremità della trave, comunque diretta nel piano della sezione retta della trave. Il sistema degli spostamenti consiste nella trave soggetta ad una forza tagliante V.

Si considera inizialmente il caso di una trave di lunghezza L con sezione rettangolare di dimensioni b h× . Gli assi del sistema di riferimento coincidono con gli assi di simmetria della sezione. Si assume che la forza tagliante abbia componente non nulla solo lungo la direzione x₂, e che si intende determinare lo spostamento lungo la direzione x₂.

La tensione tangenziale media valutata sulla generica corda parallela all’asse x₁, valutata nel sistema delle forze, τ^∗

( )

x2 , e quella valutata nel sistema degli spostamenti,

( )

x2

τ , valgono rispettivamente:

( )

2 ² 1 ^{2 2 2} 2^{2 2}

11 11 2 2 11 4

x h

V V V h

x s b y dy x

bI bI I

∗ ∗

− /

⎛ ⎞

= − = − = − ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∫

τ (3.3)

( )

2 1 ²2 ² 2^{2 2}

11 11 11

1 1

2 4

x h

V h

x s b y dy x

bI bI I

∗

− /

⎛ ⎞

= − = − = − ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∫

τ (3.4)

Per il principio dei lavori virtuali, il lavoro virtuale esterno è uguale lavoro virtuale interno; si ottiene quindi:

( ) ( )

²

( ) ( )

²

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

11

2 2

1

4 4 4

6 5

h

V h

h h

s

u x x dV L x x b dx

G

V h h

x x b dx

GI

V V

GA GA

∗ / ∗

− /

/

− /

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

= =

∫ ∫

∫

τ γ τ τ

(3.5)

essendo A_s l’area efficace a taglio. Il fattore di riduzione dell’area, che nel caso esaminato della sezione rettangolare vale 5/6, è detto fattore di correzione a taglio.

Si intende determinare ora la rotazione della sezione terminale della trave. A tale scopo si considera un sistema di forze caratterizzato dall’applicazione di una coppia unitaria nella sezione terminale della trave.

Le tensioni che nascono nel sistema delle forze sono solo tensioni normali dovuti alla formula di Navier; tali tensioni compiono lavoro per le dilatazioni lineari nella direzione dell’asse della trave, che nel sistema degli spostamenti risultano nulle. Ne consegue che il lavoro virtuale interno risulta nullo e quindi la rotazione della sezione terminale della trave è nulla. In definitiva, la deformazione a taglio induce uno spostamento trasversale accompagnato da rotazione nulla.

La formula di Jourawsky risulta particolarmente soddisfacente per la valutazione delle tensioni tangenziali, nel caso di sezioni in parete sottili.

Si consideri allora il caso di una trave, con sezione in parete sottile, soggetta ad una forza di taglio V per la quale si intende determinare lo spostamento lungo la direzione F , con F =1, dovuto esclusivamente alla deformazione a taglio. Si introduca un’ascissa curvilinea ζ lungo la linea media della parete sottile e si scelga un sistema di riferimento principale d’inerzia. La tensione tangenziale media valutata sulla generica

corda individuata dall’ascissa curvilinea ζ , nel sistema delle forze, ^{τ ζ∗}

( )

, e quella nel sistema degli spostamenti, ^{τ ζ}

( )

, valgono rispettivamente:

( ) ( )

11^{2 1}

( )

22^{1 2}

( ) ( ) ( )

1 V V 1

s s

b I I b

∗ ⎛ ∗ ∗ ⎞

= − ⎜ + ⎟= − •

⎝ ⎠

τ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ^{k V (3.6)}

( ) ( )

11^{2 1}

( )

22^{1 2}

( ) ( ) ( )

1 F F 1

s s

b I I b

∗ ∗

⎛ ⎞

= − ⎜ + ⎟= − •

⎝ ⎠

τ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ^{k F (3.7)}

con

( )

( ) ( )

2 22

1 11

s I s

I

∗

∗

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

ζ

ζ ζ

k (3.8)

Si ricava allora:

( ) ( ) ( ) ( )

V dV L a b d

G

∗ ∗

• =

∫

^{τ ζ γ ζ} =

∫

^{τ ζ τ ζ ζ}

F u (3.9)

essendo a la linea media della sezione. Tenendo conto delle espressioni (3.6), (3.7) e (3.8), l’equazione (3.9) fornisce:

( ) (

¹

)

a

L d

G b

⎡ ⎤

• = ⎢ • ⎥•

⎣

∫

_ζ ^ζ⎦

F u k V k F (3.10)

da cui si deduce:

( ) ( ) ( )

( )

2

1 1 1 2 2

2

1 2 1 2 2

1

1

1

a

a

a

L d

G b

k V k k V

L d

G b k k V k V

L d

G b

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= •

= +

+

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

∫

∫

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

u k V k

K V

(3.11)

con

2

1 1 2

2

1 2 2

k k k k k k

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

K (3.12)

Introducendo il tensore simmetrico dei fattori di correzione a taglio come:

( )

2 1

1 1

a d

A b

⎡ ⎛ ⎞ ⎤−

⎢ ⎥

= ⎢⎣

∫

⎜⎜⎝ _ζ ⎟⎟⎠ ^ζ⎥⎦

χ K (3.13)

ovvero, tenendo conto delle (3.12) e (3.8), si ha:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 1

2 2 1

22 22 11

2

2 1 1

22 11 11

1

a

s s s

b I b I b I

b d

A s s s

b I b I b I

⎡ ∗ ∗ ∗ ⎤ −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ∗ ∗ ∗ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥

⎢ ⎜⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

∫

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

χ (3.14)

La formula (3.11) si riscrive nella forma:

L 1

GA

= −

u χ V (3.15)

E’ necessario notare che le direzioni principali di χ in generale non coincidono con le direzioni principali del tensore d’inerzia. Ciò significa che anche se la flessione associata al taglio è retta, si possono avere spostamenti da taglio con componente anche lungo la direzione ortogonale all’azione tagliante. Ciò non si verifica evidentemente nelle sezioni che ammettono un asse di simmetria, sollecitate lungo tale asse.

In particolare, si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

2

1 11 1

22

11

1

a a

s I s

b d b d

A b I A b

− −

∗ ∗

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢⎣

∫

⎜⎜⎝ ^ζ ⎟⎟⎠ ⎥⎦ = ⎢⎣

∫

⎜⎜⎝ ^ζ ⎟⎟⎠ ⎥⎦

χ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ^(3.16)

3.3. Modello di trave di Timoshenko

Timoshenko¹ ha proposto una teoria tecnica della trave capace di tener in conto in modo semplice, ma generalmente molto soddisfacente, la deformazione a taglio che avviene nelle travi. Nel seguito gli assi coordinati del sistema di riferimento sono denotati con x, y e z.

3.3.1. Cinematica

La cinematica della trave è definita dalla deformazione dell’asse e dalle rotazioni delle sezioni. Nel seguito viene trattato esclusivamente il problema piano della trave; infatti, posto il cartesiano sistema di riferimento illustrato in Figura 3- 1, si considera il caso in cui la trave si infletta nel piano yz .

Si assume che la sezione retta all’ascissa z , inizialmente piana ed ortogonale alla linea d’asse della trave, a deformazione avvenuta, sia ancora piana ma non necessariamente ortogonale alla deformata dell’asse della trave.

In Figura 3- 1 è riportata schematicamente la cinematica della trave, sovrapponendo gli effetti della sola flessione e del taglio. Per la flessione la sezione retta a deformazione avvenuta resta ortogonale alla deformata della linea d’asse. Per effetto del taglio si ha uno spostamento verticale della sezione senza ulteriore rotazione della sezione stessa.

Ne consegue che la rotazione non risulta più uguale alla derivata dell’inflessione totale della trave, ottenuta tenendo conto anche della deformazione a taglio. In definitiva, in Figura 3- 2 è evidenziata la deformazione della tipica sezione della trave: la sezione all’ascissa generica z ha uno spostamento w lungo l’asse z , uno spostamento ₀ v lungo l’asse y ed inoltre presenta una rotazione ϕ intorno all’asse x, ortogonale al piano yz . I parametri cinematici sono quindi lo spostamento assialew , l’inflessione ₀ v e la rotazione ϕ; tali quantità sono funzioni esclusivamente dell’ascissa z , i.e.

0 0( )

w =w z , v=v z( ), ϕ ϕ= ( )z .

Riguardando la trave come un solido tridimensionale, è possibile calcolare lo spostamento di un generico punto della sezione retta della trave. Infatti, il tipico punto della sezione retta subisce uno spostamento u nullo lungo l’asse ₁ x, uno spostamento u pari a 2 v lungo l’asse y ed uno spostamento u lungo l’asse z che si ottiene come ₃ somma dell’effetto di w , spostamento lungo ₀ z in corrispondenza dell’asse della trave, e di ϕ rotazione della sezione:

11Stephen Timoshenko, (Špotovka 1878-Wuppertal 1972), ingegnere russo naturalizzato statunitense. Professore al Politecnico di Kijev (1907-11), alla Scuola di ponti e strade di Pietroburgo (1912-18), si recò successivamente negli USA dove insegnò meccanica teorica e applicata nelle università.

1 2

3 0

0 u

u v

u w yϕ

=

=

= +

(3.17)

vF

ϕ_F= -vF’ -v_F’ y

z

y

z

vT

ϕ_Τ=0

y

z

v

ϕ=ϕF= -vF’? -v’ -v’

Deformazione dovuta all’effetto flessionale

Deformazione dovuta all’effetto di taglio

Deformazione totale della trave

+

=

Figura 3- 1: Trave con deformazione a taglio.

ϕ

ϕ=−v’

w v

0

Figura 3- 2: Cinematica della trave con deformazione a taglio.

Sulla base della cinematica introdotta tramite le espressioni (3.17), è possibile determinare lo stato deformativo della trave. Infatti, le componenti non nulle del tensore di deformazione valgono:

3

0 0

3

2 2 z

yz

u w y y c

z

u

u v

z y

′ ′

′

= =∂ = + = +

∂

∂

= =∂ + = +

∂ ∂

ε ε ϕ ε

γ ε ϕ

(3.18)

dove l’apice ^′ indica la derivazione rispetto a z , ε₀ è la dilatazione lineare dell’asse della trave e c è la curvatura flessionale della trave.

3.3.2. Legame costitutivo

Note che siano le deformazioni del solido trave, è possibile determinare le tensioni presenti in esso utilizzando le equazioni del legame costitutivo. Infatti, si ottiene:

E G

σ ε

τ γ

=

= (3.19)

dove E è il modulo elastico longitudinale, modulo di Young, e G è il modulo a taglio.

Una volta definite le tensioni nel generico punto della sezione retta della trave tramite le relazioni (3.19), è possibile determinare le equazioni costitutive della trave. Infatti, lo sforzo normale ed il momento flettente si calcolano come la risultante ed il momento risultante delle tensioni normali sulla sezione, mentre il taglio si calcola come la risultante delle tensioni tangenziali integrate sull’area A_s efficace a taglio. Nel paragrafo 3.2, formula (3.15), si è già visto che nella determinazione della deformazione a taglio della trave interviene il fattore di correzione a taglio χ. Ciò equivale a considerare un’area a taglio efficace pari a A_s =χA. Tale argomento sarà ripreso successivamente, evidenziando che il modello proposto da Timoshenko non fornisce un profilo delle tensioni tangenziali accurato tramite la seconda delle formule (3.19), per cui è necessario introdurre il coefficiente χ di correzione a taglio nell’espressione della risultante.

A A As

N =

∫

^σdA M =

∫

y dA^σ T =

∫

^τdA ^(3.20)

Sostituendo nelle tre equazioni (3.20) la relazione costitutiva (3.19), si ottiene:

A A As

N =

∫

E dA^ε M =

∫

yE dA^ε T =

∫

G dA^{γ (3.21)} Ricordando poi la relazione (3.18), si ha:

(

0

) (

0

)

0 0

A A

N =

∫

E ε +yc dA=

∫

Eε +Eyc dA=EAε +ES c=EAε ^(3.22)

(

⁰

) (

^{0 2}

)

⁰

A A

M =

∫

yE ε +yc dA=

∫

Eyε +Ey c dA=ESε +EI c=EI c ^(3.23)

s

A s

T =

∫

G dA^γ =GA ^{γ (3.24)}

essendo S il momento statico rispetto all’asse x, che risulta nullo poiché x è baricentrico, I il momento d’inerzia rispetto all’asse x ed inoltre ε₀ e c la deformazione assiale e la curvatura della trave. Si evidenzia che nell’equazione (3.24) sia G che γ sono costanti nella sezione retta della trave.

Le equazioni (3.22), (3.23) e (3.24) rappresentano le relazioni costitutive globali della trave che legano gli enti cinematici, cioè deformazione elastica assiale ε₀, curvatura c e scorrimento angolare γ , agli enti statici sforzo normale N , momento flettente M e taglio T .

3.3.3. Equazioni di equilibrio

Si assume che la trave T sia soggetta ad un sistema piano di sollecitazioni: forze agenti nel piano yz , coppie lungo l’asse x. Le equazioni di equilibrio della trave sono:

traslazione lungo l’asse z

N^′= − (3.25) f

traslazione lungo l’asse y

T^′= − (3.26) q

rotazione intorno all’asse x

M^′= (3.27) T

Le equazioni (3.25), (3.26) e (3.27) sono le equazioni di equilibrio locale della trave, dette anche equazioni indefinite di equilibrio della trave.

3.3.4. Equazione della linea elastica

In definitiva, le equazioni che governano il problema della trave sono le seguenti:

congruenza

0 w0

ε = ^′ (3.28)

c= (3.29) ϕ^′

γ = + (3.30) v^′ ϕ

legame costitutivo

N =EAε0 (3.31)

M =EIc (3.32)

T =GAsγ (3.33)

equilibrio

N^′= − (3.34) f

M^′′ = − (3.35) q

M^′= (3.36) T

Tenendo conto delle equazioni (3.28) e (3.31), la (3.34) fornisce:

EAw0^{′ ′} f

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ = − (3.37)

Analogamente, tenendo conto delle equazioni (3.29), (3.30) e (3.32), (3.33), le equazioni di equilibrio (3.35) e (3.36) forniscono:

EIϕ^{′ ′′} q

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ = − (3.38)

( )

EIϕ^{′ ′} GA vs ^′ ϕ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ = + (3.39)

Le equazioni differenziali (3.37), (3.38) e (3.39) rappresentano le equazioni del problema dell’equilibrio elastico della trave soggetta a sforzo normale, momento flettente e taglio, dette anche equazioni della linea elastica. Si evidenzia che il problema assiale risulta disaccoppiato da quello di flessione e taglio; infatti il problema assiale si può risolvere tramite la (3.37) indipendentemente dalle (3.38) e (3.39). Analogamente, il problema di flessione e taglio si può risolvere tramite le (3.38) e (3.39) indipendentemente dal problema assiale.

Problema assiale

Assumendo EA costante, il comportamento assiale della trave è governato dall’equazione:

EAw0^′′ = − (3.40) f

la cui soluzione, nel caso di carico assiale uniformemente distribuito f costante, è:

2

0 1 2

0 0 1

0 1

2

w f z a z a

EA

w f z a

EA

N EA fz EAa

ε

ε

′

= − + +

= = − +

= = − +

(3.41)

dove a₁ ed a₂ sono costanti di integrazione che si determinano tramite opportune condizioni al contorno.

Problema di flessione e taglio

Assumendo EI ed GA_s costanti, il comportamento a flessione e taglio della trave è governato dalle equazioni:

EIϕ^′′′ = − (3.42) q

( )

EIϕ^′′ =GA vs ^′+ϕ (3.43)

Nel caso di carico uniformemente distribuito q costante, integrando la (3.42) si ottiene:

3 2

1 2 3

6

q z b z b z b

ϕ= − EI + + + (3.44)

che sostituita nella (3.43) fornisce:

3 2

1 1 2 3

6

s

s

v EI GA

EI q q

z b z b z b z b

GA EI EI

ϕ ϕ

′ ′′

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

= − + − − + + +

(3.45)

Integrando l’equazione differenziale (3.45) si ottiene:

2 4 3 2

1 1 2 3 4

1 1

2 24 3 2

s

EI q q

v z b z z b z b z b z b

GA EI EI

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜− + ⎟ ⎜− − + + + ⎟+

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.46)

Ne consegue che:

( )

( )

2

1 2

2

1 2

1

1

3 1 3

s s

s

c q z b z b

EI

M EIc qz EI b z b

EI EI q

v z b

GA GA EI

T GA qz EIb

ϕ

γ ϕ ϕ

γ

′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

′ ′′

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = − + +

= = − + +

= + = = − +

= = − +

(3.47)

Le quantità b , ₁ b , ₂ b , e ₃ b sono costanti di integrazione che si determinano tramite ₄ opportune condizioni al contorno.

3.3.5. Fattore di correzione a taglio

Sulla base della seconda delle equazioni (3.19), tenendo conto della seconda delle (3.18) , le tensioni tangenziali presentano un andamento costante nella sezione retta della trave.

Ne consegue che, per la simmetria delle tensioni tangenziali, si hanno irrealisticamente tensioni τ diverse da zero sull’estradosso e sull’intradosso della trave. Al contrario le tensioni tangenziali derivate tramite la formula di Jourawsky, ovvero tramite una condizione di equilibrio, sono nulle all’intradosso ed all’estradosso della trave, presentando un profilo certamente più accurato. In definitiva, le tensioni tangenziali possono essere valutate in due modi differenti:

dalla cinematica applicando il legame costitutivo:

τ =Gγ (3.48)

dalla formula di Jourawsky

J

Ts

τ = − Ib^∗ (3.49)

con la (3.49) che fornisce un profilo delle tensioni tangenziali molto più soddisfacente di quanto ottenuto tramite la (3.48).

Valutando il lavoro virtuale interno di sezione tramite la formula (3.48) e la formula (3.49), si ha:

1

vi A A

L dA dA

τ γ^∗ Aγ γ

=

∫

=

∫

= ^(3.50)

2

2 J

vi A A

s Ts T s

L dA dA

Ib GIb GI b

∗ ∗ ⎛ ⎞∗

= = ⎜ ⎟

∫ ∫

⎝ ⎠ ^(3.51)

Eguagliando i lavori virtuali ottenuti si ha:

2

2 A

T s

GI b dA γ = ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟^∗

∫

⎝ ⎠ ^(3.52)

ovvero

2

2 A

T s

G dA

I b

γ = ^{⎛ ⎞}⎜ ⎟^∗

∫

⎝ ⎠ ^(3.53)

e quindi, per la (3.33), si ha:

2

2 A

s

T T s

A I b dA

⎛ ⎞∗

= ⎜ ⎟

∫

⎝ ⎠ ^(3.54)

Ricordando che A_s =χA, si ottiene:

( )

2 s 2 A b

I

A dA

χ = ∗

∫

^(3.55)

Di seguito è riportato il programma in linguaggio Maple per il calcolo del fattore di correzione a taglio per la sezione rettangolare.

> restart:

with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Ss:=int(b*eta,eta=-h/2..y);

> iSs:=int(int((Ss/b)^2,y=-h/2..h/2),x=-b/2..b/2);

> iner:=b*h^3/12; area:=b*h;

> eq:=1/(chi*area)=iSs/iner^2;

> fact:=solve(eq, chi);

Di seguito è riportato il programma in linguaggio Maple per il calcolo del fattore di correzione a taglio per la sezione circolare.

> restart:

with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> b:=2*R*cos(psi);

eta:=R*sin(psi);

deta:=diff(eta,psi);

> Ss:=int(b*eta*deta,psi=-Pi/2..theta);

> iSs:=int(Ss^2/subs(psi=theta,b)*R*cos(theta), theta=- Pi/2..Pi/2);

> iner:=int(eta^2*b*deta,psi=-Pi/2..Pi/2);

area:=int(b*deta,psi=-Pi/2..Pi/2);

> eq:=1/(chi*area)=iSs/iner^2;

> fact:=solve(eq, chi);

3.4. Applicazioni

3.4.1. Esercizio

Si consideri la trave isostatica riportata in Figura 1. In particolare, si affronta esclusivamente il problema di flessione e taglio, trascurando l’aspetto assiale.

B A

F

Figura 1: Mensola caricata con una forza F sull’estremo libero.

La soluzione generale è fornita dalle espressioni:

2

1 2 3

3 2

1 2 3

1 4

1 1

3 2

s

b z b z b

v EI b z b z b z b z b GA

ϕ= + +

⎛ ⎞

= −⎜ + + ⎟+

⎝ ⎠

ed inoltre:

(

1 2

)

1

M EI b z b T EIb

= +

=

Le costanti di integrazione si determinano imponendo condizioni al contorno di tipo sia statico che cinematico. In particolare si ha:

Nodo A: sono nulli i valori dello spostamento trasversale e della rotazione,

4 3

(0) 0 0

(0) 0 0

v b

ϕ b

= ⇒ =

= ⇒ =

Nodo B: sono noti entrambi gli enti statici

(

1 2

)

1

( ) 0 0

( )

M l EI b l b

T l F EIb F

= ⇒ + =

= ⇒ =

Risolvendo si ottiene:

1 F 2 Fl 3 0 4 0

b b b b

EI EI

= = − = =

e quindi

( ) ( )

2

3 2

1 1

3 2

s

F z lz EI

F F

v z z lz

GA EI

M F z l

T F

ϕ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

= − −

= −

=

3.4.2. Esercizio

Si determini la soluzione della struttura in Figura 2 utilizzando l’equazione della linea elastica.

Figura 2: Trave continua soggetta a carico distribuito e distorsione termica a farfalla.

La struttura si compone di 3 tratti, per ognuno di questi tratti si scrivono le equazioni differenziali della linea elastica. Si noti che nel secondo tratto è presente una distorsione termica a farfalla, per cui la curvatura flessionale totale si ottiene come somma della curvatura elastica e di quella termina:

e t

c=ϕ^′= + c c dove

2

e t

M T

c c

EI h

αΔ

= =

con α coefficiente di variazione termica ed h altezza della sezione della trave.

La soluzione per ogni tratto assume la forma:

primo tratto da A a B, sistema di riferimento z₁ con origine in A

2

1 1 1 2 1 3

3 2

1 1 2 1 3 1

1 1 1 4

1 1 2

1

1 1

1 1

3 2

s

b z b z b

v EI b z b z b z b z b GA

M EI b z b T EIb ϕ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= +

=

secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z₂ con origine in B

2

2 1 2 2 2 3

3 2

1 2 2 2 3 2

2 1 2 4

1 2 2

2

2 1

1 1

3 2

2

s

c z c z c

v EI c z c z c z c z c GA

M EI c z c EI T h T EIc

ϕ

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= + − Δ

=

terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z con origine in C ₃

3 2

3 3 1 3 2 3 3

2 4 3 2

3 1 3 3 1 3 2 3 3 3

3 4

2

1 3 2

3 3

3 3 1

6

1 1

2 24 3 2

1 3

s

q z d z d z d EI

q q

v EI z d z z d z d z d z d

EI EI

GA

M qz EI d z d T qz EId

ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + + +

= − + − − + + + +

=− + +

=− +

Le costanti di integrazione b , ₁ b , ₂ b , ₃ b , ₄ c , ₁ c , ₂ c , ₃ c , ₄ d , ₁ d , ₂ d , ₃ d si determinano ₄ imponendo le opportune condizioni al contorno.

Nodo A- nell’incastro si devono scrivere 2 condizioni di tipo cinematico, la prima sugli spostamenti verticali, la seconda condizione sulle rotazioni:

1

1

(0) 0 (0) 0 v

ϕ

=

=

Nodo B- in corrispondenza del carrello elastico in B si devono scrivere 4 condizioni al contorno, una sugli spostamenti trasversali, una sulle rotazioni, una sul momento flettente ed una sul taglio:

1 2

1 2

1 2

1 1 2

( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) (0)

v l v l

M l M

T l kv l T

ϕ ϕ

=

=

=

+ =

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in B.

Nodo C- per il vincolo in C devono essere scritte 4 equazioni:

2

3

2 3

2 3

( ) 0 (0) 0

( ) (0) ( ) (0) v l

v l

M l M

ϕ ϕ

=

=

=

=

Nodo D- in corrispondenza dell’estremo libero si scrivono 2 equazioni:

3 3

( ) 0 ( ) 0 M l

T l

=

=

In definitiva si ottiene il seguente un sistema di 12 equazioni in 12 incognite.

3.4.3. Esercizio

Si determini la soluzione della struttura in figura ? utlizzando l’equazione della linea elastica.

Figura 3: Schema della struttura dell’esercizio in sezione 3.4.3

La struttura si compone di 4 tratti:

primo tratto da A a B, sistema di riferimento z con origine in A ₁

2

1 1 1 2 1 3

3 2

1 1 2 1 3 1

1 1 1 4

1 1 2

1

1 1

1 1

3 2

s

b z b z b

v EI b z b z b z b z b GA

M EI b z b T EIb ϕ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= +

=

secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z con origine in B ₂

2

2 1 2 2 2 3

3 2

1 2 2 2 3 2

2 1 2 4

1 2 2

2

2 1

1 1

3 2

2

s

c z c z c

v EI c z c z c z c z c GA

M EI c z c EI T h T EIc

ϕ

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= + − Δ

=

terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z con origine in C ₃

2

3 1 3 2 3 3

3 2

1 3 2 3 3 3

3 1 3 4

1 3 2

3

3 1

1 1

3 2

s

d z d z d

v EI d z d z d z d z d GA

M EI d z d T EId

ϕ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= +

=

quarto tratto da D a E, sistema di riferimento z con origine in D ₄

2

4 1 4 2 4 3

3 2

1 4 2 4 3 4

4 1 4 4

1 4 2

4

4 1

1 1

3 2

s

e z e z e

v EI e z e z e z e z e GA

M EI e z e T EIe

ϕ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= − + + +

= +

=

Le costanti di integrazione b , ₁ b , ₂ b , ₃ b , ₄ c , ₁ c , ₂ c , ₃ c , ₄ d , ₁ d , ₂ d , ₃ d , ₄ e , ₁ e , ₂ e , ₃ e ₄ si determinano imponendo le opportune condizioni al contorno.

Nodo A:

1

1

(0) 0 (0) 0 v

ϕ

=

= Nodo B:

1 2

1 2

1 2

( ) 0 (0) 0

( ) (0) ( ) (0) v l

v l

M l M

ϕ ϕ

=

=

=

= Nodo C:

2 3

2 3

2 3

2 2 3

( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) (0)

v l v l

M l M

T l kv l T

ϕ ϕ

=

=

=

+ =

dove k è la rigidezza del vincolo elastico in C.

Nodo D:

3 4

3 4

3 4

3 4

( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) v l v

l

M l M

T l T F

ϕ ϕ

=

=

=

= +

Nodo E:

4

4

( ) 0 ( ) 0 M l

T l

=

=

In definitiva, esprimendo le rotazioni, i momenti flettenti ed i tagli in funzione delle derivate dell’inflessione dei singoli tratti, si ottiene un sistema di 16 equazioni che permette di determinare le 16 costanti di integrazione.