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Equazioni Differenziali 3

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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni Differenziali 3

o

test — 19.2.2010

1) Sia B

R

= {x ∈ R

n

: |x| < R}. Si consideri il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson

 −∆u = 1 in B

R

u = 0 su ∂B

R

.

a) Verificare che se esiste una soluzione u ∈ C

2

(B

R

) ∩ C( ¯ B

R

) allora verifica u(x) = u(y) se |x| = |y|.

b) Calcolare la soluzione del problema.

2) Siano Ω ⊂ R

n

un aperto limitato e v ∈ C

2

(Ω) ∩ C( ¯ Ω) una soluzione del problema

 −∆v = f (x) in Ω

v = 0 su ∂Ω,

con f (x) ≥ 1 per ogni x. Provare che per ogni x ∈ Ω si ha v(x) ≥ 1

2n dist(x; ∂Ω)

2

.

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