Metodi di passaggio ciclo aperto ciclo chiuso

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Metodi di passaggio ciclo aperto ciclo chiuso

Francesco Pierri

Scuola di Ingegneria - Università degli Studi della Basilicata

May 23, 2021

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Introduzione

Dalla f.d.t. a ciclo aperto F (s) è possibile individuare alcune proprietà fondamentali del sistema a ciclo chiuso, quali la stabilità e la precisione a regime. La precisione a regime è legata al guadagno e ai poli nell’origine, mentre attraverso lo studio del diagramma di Nyquist della F (jω) abbiamo informazioni sulla stabilità del sistema a ciclo chiuso.

I legami tra la f.d.t. a ciclo aperto F e quella a ciclo chiuso W sono importanti anche perché forniscono metodi per la determinazione dei parametri e della struttura del controllore.

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Introduzione

Esistono diversi strumenti che si possono utilizzare per analizzare i legami tra ciclo aperto e ciclo chiuso, i più noti sono:

1. Le carte di Nichols che sono utilizzate nel dominio della pulsazione ω e mettono in relazione le caratteristiche di F (jω) con quelle di W (jω) e si basano sui diagrammi di Nichols;

2. Le carte di Hall che sono utilizzate nel dominio della

pulsazione ω e mettono in relazione le caratteristiche di F (jω) con quelle di W (jω) e si basano sui diagrammi di Nyquist;

3. Il luogo delle radici nel dominio della variabile complessa s ∈ C (dominio di Laplace) lega i poli di W (s) con i poli, gli zeri e il guadagno di F (s).

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Luogo delle radici (cenno)

Il luogo delle radici è il luogo descritto nel piano complesso dai poli di W (s) al variare del guadagno di anello.

F(s) = k^′

µ

Y

i =1

(s − zⁱ)

ν

Y

i =1

(s − pi)

k^′guadagno di alta frequenza

Esempio

F(s) = k^′

s(s + 1), k^′ > 0

I poli di W (s) coincidono con gli zeri di 1 + F (s) e quindi sono le soluzioni dell’equazione

s²+ s + k^′ = 0 s1,2= −1 ±√ 1 − 4k^′ 2

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Luogo delle radici (cenno)











0 < k^′ < 0.25 → poli reali distinti compresi tra 0 e − 1 k^′ = 0.25 → poli coincidenti uguali a − 0.5 k^′ > 0.25 → poli complessi e coniugati uguali a

−0.5 ± j√

k^′− 0.25

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5 0 0.5 1

Parte Reale

Parte Immaginaria

◮ poli della F (s) in 0 e −1

◮ le frecce indicano come variano i poli di W (s) al variare di k^′

◮ ad ogni punto del luogo è associato un valore di k^′

◮ i poli di W sono reali negativi per k^′ basso, mentre al crescere di k^′ diventano complessi coniugati e si muovono sulle due semirette verticali.

◮ il sistema è A.S. ∀ k^′→ sistema intrinsecamente stabile.

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Carte di Nichols

Le carte di Nichols sono rappresentate sul piano di Nichols ed è costituita da un reticolo di curve a modulo di W e fase di W costante.

Per affrontare il problema in modo più generale si considera invece della W la funzione W_H data da

W(jω) = G(jω)

1 + F (jω), W_H(jω) = F(jω) 1 + F (jω)

La W_H(jω) = W (jω)H(jω) è un numero complesso che può essere rappresentato in termini di modulo e fase

W_H(jω) = M e^{j ϕ}

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Carte di Nichols

Dal momento che WH dipende dalle F , si può dire che anche il suo modulo e la sua fase siano funzione del modulo e della fase di F

M = M(|F |, F ) = M(R(F ), I(F )) ϕ = ϕ(|F |, F ) = ϕ(R(F ), I(F ))

Quindi ad ogni punto del piano di Nichols (|F |, F ) e del piano di Nyquist (R(F ), I(F )) corrisponde un valore diverso per M e ϕ.

Quindi si possono costruire curve nel piano corrispondenti a valori di M e ϕ costanti → luoghi a moduli e fase costante. Si ottiene un reticolo di curve

◮ carte di Nichols (nel piano di Nichols)

◮ carte di Hall (nel piano di Nyquist)

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Carte di Nichols

Sovrapponendo il diagramma di Nichols di F (jω) ai luoghi a M e ϕ costanti, in corrispondenza di ciascuna ω si possono leggere i valori di modulo M e della fase ϕ della corrispondente funzione W_H(jω) per la stessa pulsazione (si interpola se siamo tra due luoghi contigui).

Si può così rilevare l’andamento della W_H(jω), e soprattutto i parametri caratteristici della W (jω). Inoltre è possibile valutare gli effetti di modifiche della F (jω) sulla corrispondente funzione a ciclo chiuso.

I parametri che si possono valutare sono:

◮ modulo di risonanza,

◮ banda passante,

◮ pulsazione di risonanza,

◮ guadagno statico.

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Luoghi a M costante

Me^{j ϕ}= |F |e^j F

1 + |F |e^j F = Ae^{j α}

1 + Ae^{j α}, |F | = A, F = α.

Uguagliando i quadrati dei moduli

M² = A²

(1 + A cos α)²+ A²sin²α

M² = A²

1 + A²+ 2A cos α → α = acos A²− (1 + A²)M² 2AM²

◮ l’espressione di α consente di tracciare il luogo a M costante nel piano (α, A)

◮ Esistono soluzioni solo per valori di A e M fanno sì che l’argomento dell’arcoseno sia compreso tra −1 e 1.

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Luoghi a M costante

I luoghi a M costante sono periodici rispetto ad α di periodo 2π.

α = acos A²− (1 + A²)M² 2AM²

Le intersezioni con la retta α = −π avvengono a:

1. M> 1 →









M = A

1 − A → M − AM = A → A = M M+ 1

M = A

A− 1 → AM − A = A → A = − M

1 − M = M M − 1 2. M = 1 → A² = (1 − A)²→ A = 0.5

3. M < 1 → la soluzione A/(A − 1) non è accettabile perchè A> A − 1 quindi l’unica soluzione è A = M

M+ 1

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Luoghi a M costante

Questo vuol dire che nell’intervallo −2π < α < 0:

◮ Le curve sono chiuse (due intersezioni con asse delle ordinate) per M > 1 e aperte per M ≤ 1

◮ Per M ≪ 1 i luoghi a M costante sono approssimarti con rette orizzontali M ≃ A

◮ Per M → ∞ il luogo degenera nel punto (−π, 0 dB)

0 45 90 135 180 225 270 315 360

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-20 dB -12 dB -6 dB -3 dB -1 dB -0.05 dB 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB

3 dB 6 dB 9 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-Loop Gain (dB)

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Luoghi a ϕ costante

W_H(jω) = F(jω)

1 + F (jω) → 1 + Ae^{j α}= Ae^{j α}

Me^{j ϕ} = α − ϕ

sin(α − ϕ) = A sin ϕ α = ϕ + asin(A sin ϕ)

Fissando ϕ dall’espressione α = ϕ + asin(A sin ϕ) ricaviamo le curve di α in funzione di A → curve a fase costante.

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Luoghi a ϕ costante

◮ Anche i luoghi a ϕ costante sono periodici rispetto ad α di periodo 2π.

◮ L’espressione di α ha soluzione solo per i valori di A e ϕ che soddisfano

−1 ≤ A sin ϕ ≤ 1

◮ Dal momento che asin(sinϕ) =

ϕ

−π − ϕ , l’intersezione con l’asse A = 0 dB (1 in valore naturale) si ha in corrispondenza dei punti α = 2ϕ e α = −π.

◮ Il punto α = −π è un punto comune per tutti i luoghi a ϕ = cost.

◮ Per A → 0 (A^dB ≪ 0) dal momento che asin0 = 0 si ha che i luoghi tendono a rette verticali (α ≃ ϕ).

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Luoghi a ϕ costante

Esempio per ϕ = −45^◦

Per A_dB = 0 abbiamo due intersezioni una in −180^◦ e una in −90^◦. Per AdB ≪ 0 si ha una retta verticale in −45^◦

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

10 Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

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Luoghi a ϕ costante

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

40 Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

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Carta di Nichols

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20 -10 0 10 20 30 40

-12 dB -6 dB -3 dB -1 dB -0.05 dB 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB

3 dB

6 dB 9 dB

-20 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

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Lettura della carta di Nichols

Un modo per utilizzare la carta di Nichols è quello di leggere pulsazione per pulsazione in corrispondenza del diagramma di Nichols della F (jω) i luoghi a M e ϕ costanti. In questo modo leggo per ciascuna pulsazione il valore di modulo e fase della WH(jω) e potrei riportare questi valori in un diagramma costruito per punti.

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

-100 dB -80 dB -60 dB -40 dB -20 dB -12 dB -6 dB -3 dB -1 dB -0.05 dB 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB 3 dB 6 dB 9 dB

-120 dB Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

-210 -180 -150

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

Problema: determinazione delle ω corrispondenti alle singole intersezioni

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Lettura della carta di Nichols

Spesso più che il diagramma completo della W (jω) serve conoscere i parametri caratteristici della funzione di risposta armonica.

◮ Guadagno statico

◮ Banda passante

◮ Modulo di risonanza

◮ Pulsazione di risonanza

La carta di Nichols è costruita in riferimento alla funzione WH(jω), la modalità di lettura dei parametri della funzione di risposta armonica a ciclo chiuso dipende dalla natura di H(jω)

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Lettura della carta di Nichols

1. Caso H(jω) = 1 −→ In questo caso W (jω) = W^H(jω)

◮ Guadagno statico k_W = |W (j0)|: il valore in dB è individuato dalla curva a modulo costante M₀ passante per F(j0)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-80 -60 -40 -20 0 20 40

-60 dB -40 dB -20 dB -12 dB -6 dB -3 dB -1 dB -0.05 dB 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB

3 dB 6 dB 9 dB

Open-Loop Gain (dB)

-30 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

-3 dB

Open-Loop Gain (dB)

Quindi il guadagno statico della W (jω) è uguale a −6 dB.

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Lettura della carta di Nichols

◮ Banda passante a # dB: il valore in rad/s è individuato dalla pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma di F(jω) interseca la curva a modulo costante pari a M0− # dB

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-80 -60 -40 -20 0 20 40

-60 dB -40 dB -20 dB -12 dB -6 dB -3 dB -1 dB -0.05 dB 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB 3 dB 6 dB 9 dB

Open-Loop Gain (dB)

-180 -135 -90

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

System: F Gain (dB): -13.8 Phase (deg): -160 Frequency (rad/s): 3.35

La banda passante a −6 dB della W (jω) è uguale a 3.35 rad/s.

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Lettura della carta di Nichols

◮ Modulo di risonanza Mr: se esiste il suo valore in dB è ricavabile valutando la la curva a modulo massimo tangente al diagramma della F (jω). Detto Mmax tale valore il modulo di risonanza in dB risulta pari a Mr = Mmax− M⁰

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -80

-60 -40 -20 0 20 40

Open-Loop Gain (dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -80

-60 -40 -20 0 20 40

0.25 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

Il modulo di risonanza della W (jω) è uguale a M_r = 0.25 − (−6) = 6.25 dB.

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Lettura della carta di Nichols

1. Caso H(jω) = 1 −→ In questo caso W (jω) = WH(jω)

◮ Pulsazione di risonanza ω_r: è il valore della pulsazione in corrispondenza della quale si ha la tangenza tra F (jω) e il luogo a modulo Mmax

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -80

-60 -40 -20 0 20 40

Open-Loop Gain (dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -80

-60 -40 -20 0 20 40

0.25 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

System: F Gain (dB): -1.61 Phase (deg): -129 Frequency (rad/s): 1.87

La pulsazione di risonanza della W (jω) è circa ω_r = 1.87 rad/s.

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Lettura della carta di Nichols

2. Caso retroazione algebrica H(jω) = 1

k_d −→ In questo caso W(jω) = k_dW_H(jω)

◮ Come prima è possibile costruire i diagrammi di Bode della W_H e da lì ricavare i diagrammi della W (jω):

|W (jω)|dB = |kd|dB + |WH(jω)|dB, W(jω) = WH(jω) si ha semplicemente una traslazione dei moduli di una quantità pari a |kd|dB per ottenere W (jω)

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Lettura della carta di Nichols

2. Caso retroazione algebrica H(jω) = 1

k_d −→ In questo caso W(jω) = kdW_H(jω)

Per quanto riguarda i parametri caratteristici:

◮ Guadagno statico:

|W (j0)| = kdM0 → |W (j0)|dB = |kd|dB+ |M⁰|dB

◮ Banda passante, modulo e pulsazione di risonanza sono gli stessiper W (jω) e W_H(jω), poiché sono parametri definiti sul diagramma normalizzato.

(25)

Lettura della carta di Nichols

2. Caso retroazione dinamica

|W (jω)| = W_H(jω) H(jω)

◮ Si può tracciare per punti il diagramma della W_H(jω) e per ricavare la W (jω) è necessario sottrarre pulsazione per pulsazione il diagramma della H(jω)

|W (jω)|dB = |WH(jω)|dB − |H(jω)|dB, W(jω) = W_H(jω)− H(jω)

◮ Guadagno statico |W (j0)|dB = |M⁰|dB− |H(j0)|dB

◮ ω_#, ωr, Mr vanno rilevati sul diagramma di Bode della W (jω).

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

1. Variazione di guadagno di F (jω)

Una variazione di guadagni della F (jω) si traduce in una traslazione verticale del diagramma di Nichols verso l’alto per k > 1 e verso il basso per k < 1.

Le conseguenze per la W (jω) sono:

◮ Aumento di ω_#

◮ Aumento M_r

◮ diminuzione dei margini di stabilità

Quindi si ha una maggiore prontezza (ω#↑) a fronte di una peggiore precisione dinamica (M_r ↑→ s% ↑, aumento delle oscillazioni e aumento della durata del transitorio)

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

Esempio

F(s) = 2

s³+ 10s²+ 3s + 2

-360 -315 -270 -225 -180 -150 -120 -90 -45 -160

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

-20 dB -12 dB -6 dB -1 dB 0 dB 0.25 dB 1.8 dB 10 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

◮ Guadagno statico M0= −6 dB

◮ Modulo di risonanza Mr= 1.8 + 6 = 7.8 dB

◮ Pulsazione di Risonanza ωr = 0.61 rad/s

◮ Banda Passante a 6 dB ω⁶= 1.08 rad/s Margini di stabilità: ma= 22.9 dB ωπ = 1.73 rad/s

mϕ= 50^◦, ωt = 0.57 rad/s

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

Variazione di Guadagno ad anello aperto

F(s) = 10

s³+ 10s²+ 3s + 2

-360 -315 -270 -225 -180 -150 -120 -90 -45 -160

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

-20 dB -12 dB -7.5 dB -1.5 dB 0 dB 0.25 dB 1.8 dB 14.1 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

◮ Guadagno statico M0= −1.5 dB

◮ Modulo di risonanza Mr= 14.1 + 1.5 = 15.6 dB

m_ϕ= 11.4^◦, ωt= 1.09 rad/s

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

2. Variazione di fase di F (jω)

Una variazione di fase si ha in corrispondenza di ritardi temporali finiti.

F_R(jω) = F (jω)e^{−j ωT}

|F^R(jω)| = |F (jω)|, F_R(jω) = F (jω)− ωT Effetti attesi: riduzione dei margini di stabilità, incremento del modulo di risonanza

La risposta nel dominio del tempo della W (jω) dipende da dove si colloca il ritardo:

◮ Ritardo su G (jω) → W (jω) = G(jω)e^{−j ωT}

1 + F (jω)e^{−j ωT} l’uscita è temporalmente ritardata rispetto all’ingresso di T secondi

◮ Ritardo su H(jω) → W (jω) = G(jω)

1 + F (jω)e^{−j ωT} non c’è un ritardo temporale sull’uscita, il ritardo ha effetto solo sulle dinamiche dei poli.

(30)

Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

Ritardo temporale finito

F(s) = 2

s³+ 10s²+ 3s + 2e^−0.3s

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -160

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

-20 dB -12 dB -6 dB -1 dB 0 dB 0.25 dB 1.8 dB 4 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

◮ Guadagno statico M0= −6 dB

◮ Modulo di risonanza Mr= 4 + 6 = 10 dB

m_ϕ= 40^◦, ωt = 0.57 rad/s

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

3. Aggiunta di zeri a parte reale < 0

A questi zeri sono associati anticipi di fase che migliorano le caratteristiche di stabilità del sistema.

◮ zero a frequenza ≪ della ω^t: migliorano i margini (anticipi a basse frequenze), migliora la banda passante (incremento modulo ad alte frequenze). Effetti trascurabili su M_r.

◮ zero a frequenza nell’intorno di ω_t: migliorano i margini (anticipi a basse frequenze), migliora la banda passante (incremento modulo ad alte frequenze), migliora il Mr (anticipi in corrispondenza di ω_t non bilanciati da aumento modulo).

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Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

Aggiunta di uno zero

F(s) = 2(1 + sτ0)

s³+ 10s²+ 3s + 2 (ωt = 0.57)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 -80

-60 -40 -20 0 20 40

-20 dB -12 dB -6 dB -1.6 dB 0 dB

0.25 dB 1.8 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

◮ Modulo di risonanza Mr

1/τ0 / 0.015 0.2 Mr 7.8 7.9 4.4

◮ Banda Passante a 6 dB ω⁶ 1/τ⁰ / 0.015 0.2

ω⁶ 1.08 24.3 4.08

Margini di stabilità:

1/τ₀ / 0.015 0.2

m_a 22.9 +∞ +∞

m_ϕ 50^◦ 47.1^◦ 89.5^◦

(33)

Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

4. Aggiunta di poli a parte reale < 0

Ai poli sono associati ritardi di fase che peggiorano le caratteristiche di stabilità del sistema.

◮ Polo a frequenza > della ω_t, peggiorano i margini di stabilità (ritardi di fase), peggiora la banda passante (diminuzione moduli ad alte frequenze), peggiora il modulo di risonanza (ritardi di fase)

◮ Polo a frequenza ≪ della ω^t, effetto positivo sui margini (effetto attenuazione dei moduli maggiore dell’effetto ritardo di fase) e sul modulo di risonanza. Effetto negativo sulla banda passante.

◮ Polo a frequenza ≫ della ω^t, effetto trascurabile.

(34)

Effetto di modifiche di F (jω) sulla W (jω)

Aggiunta di un polo

F(s) = 2

s³+ 10s²+ 3s + 2 1 (1 + sτp)

1/τ₀ / 2 0.01 100

m_a 22.9 8.7 29.1 22.1 m_ϕ 50^◦ 36.1^◦ +∞ 49.6^◦

M_r 7.8 11.2 / 7.8

ω6 1.08 1.03 0.04 1.08

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -200

-150 -100 -50 0

-20 dB -12 dB -6 dB -1.6 dB 0 dB 0.25 dB 1.8 dB 5.2 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -200

-150 -100 -50 0

-20 dB -12 dB -6 dB -1.6 dB 0 dB 0.25 dB 1.8 dB 5.2 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Gain (dB)

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Carte di Hall (cenno)

Le carte di Hall sono un reticolo di curve a modulo M e fase ϕ di W_H costante, disegnate nel piano complesso.

M = M(R(F ), I(F )); ϕ = ϕ(R(F ), I(F ));

0

−4 −3 −2 −1 1 2 3

0

−2 2

−3

−1 1 3

−2.5

−1.5

−0.5 0.5 1.5 2.5

Asse dei numeri reali

Asse dei numeri immaginari

90°

60°

40°

30°

25°

20°

−20°

−25°

−30°

−40°

−60°

9dB −90°

5dB 3.3dB 2.5dB 2dB 1.7dB

−1.7dB

−2dB

−2.5dB

−3.3dB

−5dB

−9dB Grafico di Hall

◮ F(jω) = R(ω) + jI (ω)

◮ M²= R²+ I² (1 + R)²+ I²

◮ ϕ = arctg I R

− arctg

I I+ R