Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A
2 Aprile 2007Domande a Risposta Multipla
Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere.
1. Si considerino due funzion f (t) e g(t) e si indichino con F (s) e G(s) le loro trasformata di Laplace L[f(t)] e L[g(t)].
L[ ¨f(t)] = sF (s) ÝL[ f(t)] = F (s) s ÝL[3f(t) + g(t)] = 3F (s) + G(s)
Commento. L’argomento della domanda riguarda la Trasformata di Laplace dei segnali nel dominio del tempo (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 38 del libro di testo), e la trasfomata della derivata (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 45 del libro di testo)
In particolare:
• Applicando le propriet`a della trasformata di Laplace della derivata, si ottiene che la prima risposta
`
e errata, in quantoL[ ¨f(t)] = s2F (s) − sf(0) − d fd t
t=0,
• Applicando la propiet`a della trasformata dell’integrale si ottiene che la seconda risposta `e corretta. • Applicando la propriet`a di linearit`a si ottiene che la terza risposta `e corretta.
2. Si consideri un sistema descritto da una funzione di trasferimento G(s). L’andamento asintotico dei modi di tale sistema:
Ý
Dipende solo dai poli del sistema
Ý`
E legata alla stabilit`a del sistema
Se il sistema ha almeno uno zero, allora almeno un modo `e
Commento. L’argomento della domanda riguarda la relazione tra i modi e i poli di un sistema, e le sue caratteristiche di stabilit`a.
In particolare, i modi di un sistema corrispondono alla antitrasformata dell’uscita della risposta ad un ingresso impulsivo (e quindi la seconda risposta `e corretta). Attraverso il metodo di antitrasformazione mediante fratti semplici, `e possibile mostrare che a ciascun polo corrisponde un modo (e quindi la prima risposta `e corretta), mentre l’andamento asintotico dei modi non dipende dagli zeri del sistema (e quindi la terza risposta `e errata).
3. Si consideri un sistema elementare del secondo ordine descritto da
G(s) = k
s2+ 2s + 10
dove k > 0
Ý
All’aumentare di k i poli del sistema rimangono invariati
All’aumentare di k la massima sovraelongazione percentuale della
risposta del sistema a un gradino unitario aumenta
Ý
Il tempo di assestamento della risposta del sistema a un gradino unitario rimane invariata all’aumentare di k
Commento. L’argomento della domanda riguarda lo studio dell’andamento della risposta dei sistemi elementari del secondo ordine (Approfondimento: Cap. 2.4 pag. 64 del libro di testo).
I poli del sistema non dipendono dal numeratore k (si faccia attenzione, il sistema NON `e considerato in retroazione, caso nel quale la posizione dei poli del sistema retroazionato dipendono da k), e quindi la prima risposta `e corretta. Ancora, siccome la massima sovraelongazione percentuale e il tempo di assestamento dipendono solo dai poli del sistema e non dagli zeri (numeratore), la seconda affermazione `
e errata e la terza `e corretta.
4. Si consideri il seguente sistema chiuso in retroazione dove G(s) = 3s+2s+1.
G(s)
+
-R(s)
Y(s)
Il diagramma completo di Nyquist del guadagno d’anello circonda
il punto−1 + j0
Ý
Il diagramma di Nyquist del guadagno d’anello del sistema chiuso in retroazione `e uguale a quello della funzione di risposta armon-ica associata a G(s)
Secondo il criterio di Nyquist, il sistema chiuso in retroazione `e
Commento. L’argomento della domanda riguarda l’applicazione del criterio di Nyquist alla analisi di stabilit`a dei sistemi dinamici lineari chiusi in retroazione. In particolare, il criterio ci consente di determinare la stabilit`a del sistema chiuso in retroazione a partire dalla analisi del diagramma polare del sistema in catena aperta. Nel caso in esempio la funzione in catena aperta (guadagno di anello) vale G(s) (Approfondimento: Cap. 4.5, pag. 143 del libro di testo). Il calcolo del diagramma di Nyquist pu`e essere semplicemente portato avanti considerando la funzione di risposta armonica associa al sistema G(s), G(jω) = 3jω+2jω+1 e valutando che per limω→ 0G(jω) = 2, e limω→ ∞G(jω) = 3, con fase iniziale e finale nulla. Il diagramma completo di Nyquist `e raffigurato nella figura seguente
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis
Quindi la prima affermazione `e errata, la seconda `e corretta (la funzione di risposta armonica associata a G(s) `e esattamente il guadagno d’anello del sistema chiuso in retroazione.) e la terza `e errata (la terza proposizione equivale alla prima per il teorema di Nyquist)
5. Si consideri un sistema descritto da G(s) = s+21 e lo si ecciti con un gradino di ampiezza 1.
Ý
Il guadagno statico del sistema `e 0.5
A regime, la risposta del sistema vale 1
I modi del sistema sono limitati ma non convergenti
La domanda riguarda la risposta al gradino di un sistema elementare del primo ordine (Approfondi-mento: Cap. 2.4 pag. 64 del libro di testo).
L’uscita del sistema vale Y (s) = s+21 1s,con ingresso a gradino U (s) = 1s. Il guadagno statico, definito come il lims→ 0G(s) = 12, `e effettivamente 0.5, e quindi la prima affermazione `e corretta. In base al teorema del valor finale limt→ ∞ = y(t) = lims→ 0ss+21 1s = 12, e quindi la seconda risposta ´e er-rata. Il sistema ha un solo polo in p1 = −2, a parte reale strettamente negativa, e quindi il modo corrispondente `e asintoticamente convergente, e quindi la terza affermazione `e errata.
6. Si consideri un sistema descritto con un ingresso u(t) e un’uscita y(t) e si supponga che il comportamento del sistema sia dato da ¨u(t) = y(t)
ÝG(s) = Y (s)
U (s) = s2
Il sistema non `e fisicamente realizzabile
L’errore a regime in risposta a un gradino unitario u(t) = 1 `e
nullo
- G(s)
-u(s) y(s)
La domanda riguarda la trasfomata di Laplace applicata ai sistemi dinamici lineari (Cap. 2, pagg. 38 e successive del libro di testo).
Applicando il teorema della derivata (pag. 44), si ottiene s2 U(s) = Y (s), da cui G(s) = Y (s)U (s) = s2, e qundi la prima affermazione `e corretta. Il grado relativo del sistema, vale a dire la differnze fra il numero di poli n e il numero di zeri m `e negativo (n− m = −2), per cui il sistema non `e fisicamente realizzabile, e quindi la seconda affermazione `e errata. In base al teorema del valor finale, l’uscita a regime del sistema vale limt→ ∞y(t) = lims→0ss2 = 0, per cui e(t) = u(t)− y(t) = 1 − 0 = 1per cui la terza affermazione `e errata.
7. Si consideri il seguente sistema chiuso in retroazione dove G(s) = s+1s+3
G(s)
+
-R(s)
C(s)
Y(s)
e C(s) = s12 ÝL’errore a regime in risposta a una rampa unitaria `e nullo
Ý
L’errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza arbitraria `e nullo
Per annullare l’errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza
arbitraria `e necessario che G(s) abbia un polo nell’origine
La domanda riguarda l’uso del teorema del valor finale per il calcolo della risposta a regime di un sistema (approfondimento sul libro di testo Cap. 4.4, pagg. 139 e successive).
Il sistema complessivamente da considerare `e C(s)G(s) = s+1s+3s12, ha due poli nell’orgine (il sistema complessivo `e quindi di tipo 2), per cui gli errori di posizione e di velocit`a, er sono nulli, e quindi la prima e la seconda affermazioni sono corrette. La terza affermazione non `e corretta in quanto la funzione C(s) ha due poli nell’origine (ne sarebbe sufficiente uno), e quindi non `e necessario che G(s) sia di tipo 1 (un polo nell’origine).
8. Sia dato un sistema rappresentato da una funzione di trasferimento
G(s). Si indichi con F (ω) la funzione di risposta armonica del sistema. F (ω) = G(ω)
Ý
La funzione di risposta armonica pu`o venire rappresentata con i diagrammi di Nyquist
Ý
I diagrammi di Bode sono equivalenti ai diagrammi di Nyquist
La domanda riguarda lo studio della funzione armonica di un sistema dinamico (approfondimento sul libro di testo Cap. 3, pagg. 87 e successive).
In base al teorema 3.1.1 di pag. 88, la funzione di risposta armonica si ricava dalla funzione di trasferimento per cui si `e ristretto il dominio di variabilit`a della variabile indipendente s alla sola retta immaginaria s = jω, in altre parole F (ω) = G(jω), per cui la prima affermazione `e errata. I diagrammi di Nyquist o Diagrammi polari (Cap. 3.5., pag. 109) definiscono una curva nel piano di Gauss al variare del numero complesso G(jω) in funzione della pulsazione ω. Poich`e i valori del modulo e dell’argomento sono facilmente deducibili sul diagramma polare, tali diagrammmi sono equivalenti ai diagrammi di Bode, e quindi la seconda e terza affermazioni sono corrette.
9. Si consideri una funzione f (t) e si indichi con F (s) la sua trasformata di Laplace
Per ottenere il limt→∞f(t) a partire da F (s) `e necessario
anti-trasformare F (s)
limt→0f(t) = lims→∞sF (s)
limt→∞f(t) = lims→∞F (s)
La domanda riguarda le propriet`a della trasformata di Laplace, in particolare il teorema del valore finale (Teorema C2.2.3, pag. 76).
In base a tale teorema, `e possibile ricavare il valore asintotico limt→∞f(t) a partire dalla funzione di trasferimento senza ricorre alla antitrasformazione utilizzando l’enunciato del teorema: limt→∞f(t) =
lims→0sF (s), e quindi tutte le affermazioni sono errate.
10. Si consideri un sistema descritto da G(s) = (s2+4)(s2s−3+9)(s2+16) Il sistema `e instabile
Ý
I modi del sistema sono limitati ma non convergenti
Il sistema `e asintoticamente stabile
La domanda riguarda le propriet`a di stabilit`a di un sistema in releazione al valore dei poli del sistema (approfondimento Cap. 4, pagg. 121 e seguenti).
Il sistema ha 3 poli complessi coniugati tutti distinti pari a ±j2, ±j3, ±j4 per cui i corrispondenti modi sono oscillanti (limitati ma non convergenti) e in base al teorema 4.1.1 il sistema `e semplicemente stabile.
11. Si consideri il sistema rappresentato in figura. Si indichi con Gcl(s) la funzione di trasferimento Y (s)/R(s).
G(s)
H(s)
+
-
-+
R(s)
Y(s)
Gcl(s) = H(s)−G(s)1−G(s)Gcl(s) e’ sempre instabile ÝG
cl(s) = 1+G(s)G(s) + H(s)
La domanda riguarda la riduzione degli schemi a blocchi (approfondimento Cap. 1.2, pagg. 7 e seguenti).
La stabilit`a deve essere studiata in base ai valori assunti dalla funzione G(s), ed in particolare dai suoi poli. In base alle regole di riduzione degli schemi a blocchi, la sola affermazione 3 `e corretta.
12. Si consideri il sistema rappresentato in figura, dove k > 0
G(s)
+
-R(s)
Y(s)
K
ÝIl luogo delle radici consente di studiare i poli del sistema chiuso in retroazione al variare di k da 0 a∞
Ý
Se G(s) = s+21 il sistema chiuso in retroazione `e asintoticamente stabile per ogni valore di k
Se G(s) = 1
s−2 allora il sistema chiuso in retroazione `e instabile
La domanda riguarda il metodo del luogo delle radici per il progetto del controllore. (approfondimento Cap. 5, pagg. 173 e seguenti).
La prima affermazione `e corretta in quanto corrisponde alla definizione del luogo delle radici. La seconda affermazione `e corretta in quanto, disegnando il luogo delle radici, esso rimane sempre nel semipiano reale negativo del piano di Gauss.
-Im(s) Re(s) X −2 6
la terza affermazione `e errata, in quanto il luogo delle radici attraversa l’asse immaginario, per cui il sistema passa da instabilea stabile.
-Im(s) Re(s) X 2 6 .
