Statistica di Base, N-Z. Prova scritta del

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Statistica di Base, N-Z. Prova scritta del 28-4-2021 Nome e Cognome:

Matricola:

Avvertenze:

L’esame consta di 2 parti:

1. Parte A (punteggio massimo 6 punti): 6 domande a risposta multipla: per ognuna delle 10 domande si ottiene 1 punto per ogni risposta esatta, e si perde 0.25 punti per ogni risposta sbagliata. Le risposte doppie o assenti valgono zero.

Relativamente alle domande a risposta chiusa, una sola delle risposte è cor- retta.

2. Parte B (punteggio massimo 18 punti). La parte B è costituita da tre esercizi che valgono, rispettivamente, 6, 8 e 4 punti

3. Voto massimo conseguibile: 24 la prova scritta è superata con un voto superiore o uguale a 24.

4. Tempo: 90 minuti

5. Chi vuole ottenere un punteggio superiore a 24 può richiedere una prova orale.

6. Si ricorda l’articolo 17 della carta dei diritti e dei doveri delle studentesse e degli studenti della Sapienza. Le studentesse e gli studenti hanno il dovere di assumere un comportamento rigoroso e leale in tutte le loro attività all’inter- no dell’Università. In particolare, sono tenuti ad un comportamento corretto durante lo svolgimento delle prove di esame dando esempio tangibile dei loro valori di integrità personale e di onestà intellettuale.

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Parte A

1. Data le due seguenti distribuzioni di per unità A e B per un carattere X indicante la Facoltà di appartenenza di due collettivi di 7 studenti

A : M edicina M edicina Economia Economia Economia Biologia Biologia Biologia B : Economia Economia Economia Economia Economia Economia M edicina Biologia A. L’eterogeneità in A è maggiore che in B

B. L’eterogeneità in B è maggiore che in A C. La moda di B è maggiore della moda di A Risposta corretta A

2. La distribuzione delle frequenze relative di un collettivo di 100 studenti secondo il carattere “numero di esami superati è

Esami Studenti

0 0.15

1 0.22

2 0.15

3 0.21

4 0.12

5 0.15

La mediana del carattere è A. 2

B. 1.5 C. 1

Risposta corretta A

3. Sia X una variabile casuale Normale con media 6 e varianza 9 . La probabilità P (X ≤ 4) è

A. 0.2525 B. 0.3085 C. 0.8413

Risposta corretta A

4. Si lanciano insieme un D4 (dado regolare a 4 facce numerate da 1 a 4) e un D20 (dado regolare a 20 facce numerate da 1 a 20). La probabilità che esca la coppia di valori 2 e 16 è

A. 2 × 14×201

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B. 14×201 C. 14×201 +14

Risposta corretta B

5. Se l’indice di concentrazione di Gini è pari a 0 A. tutte le osservazioni assumono lo stesso valore B. c’è una perfetta relazione lineare tra i due caratteri

C. tutte le osservazioni sono pari a 0 ad eccezione di una che è pari a T > 0 Risposta corretta A

6. Si lancia una moneta. Se esce croce la si lancia altre due volte, se esce testa la si lancia una volta sola. Sia X il numero totale di teste osservate (compresa quella eventuale del primo lancio). La probabilità di osservare 2 teste è A. Né B né C

B. 1/2 × 1/4 + 1/2 × 1/2 C. 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/4

C e B sono uguali e sono le risposte corrette. Infatti la probabilità dell’evento X = 0 corrisponde a P (C1)P (T2, T3|C1) + P (T1)P (T2|T1).

• • •

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Parte B

1. Esercizio 1. 6 punti. La seguente tabella riporta il carattere X = ‘goal segnati nella stagione 19-20” e il carattere Y = “goal segnati nella stagione 20- 21” per N = 6 attaccanti che giocano nella massima serie di un campionato di calcio di una nazione europea

i xi yi

1 12 6

2 9 5

3 11 15

4 24 23

5 36 26

6 27 16

a) Determinare l’equazione della retta di regressione di Y rispetto a X

µx= 19.83 µy = 15.17 1 n

n

X

i=1

xiyi= 367 σxy= 66.19

1 n

n

X

i=1

x2i = 491.17 σ2x= 97.80

b1= 66.19

97.80 ≈ 0.7 b0= 15.17 − 0.68 · 19.83 ≈ 1.7

b) Valutare la bontà di adattamento della retta determinata al punto prece- dente.

r = 0.86 r2= 0.74

c) Calcolare il numero stimato di goal nella stagione 20-21 per un giocatore che nella scorsa stagione ne ha segnati 10

1.7+10*0.7=8.7

d) Due giocatori hanno segnato nel 19-20 rispettivamente 10 e 20 goal. Sulla base della retta di regressione quanti goal in più dovrebbe aver segnato il secondo giocatore nella stagione 20-21?

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e) Rappresentare graficamente i dati e la retta di regressione

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0 5 10 15 20 25 30

051015202530

x

y

2. Esercizio 2. 8 punti. Nella librearia di Barbara e Antonio la distrbuzione doppia dei libri per tipologia e proprietario risulta essere

Gialli Romanzi Guide Università

Antonio 3 2 2 1

Barbara 5 1 0 4

a) Un loro amico prende un libro di Antonio. Qual è la probabilità che sia un giallo

P (G) = 3

8 = 0.375

b) Se prende insieme e a caso 3 libri, sempre tra quelli di Antonio, qual è la probabilità che due siano gialli

P (due gialli) =

3 2

 5 1



8 3

 = · · · = 3 · 2 · 5

8 · 7 · 63 ≈ 0.268

c) Supponiamo ora che ogni volta che l’amico prende un libro lo rimette a posto. In questo caso se prende 5 libri di Antonio qual’è la probabilità di avere almeno un giallo

X ∼ Binomiale(5, 0.375)

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 5 8

5

≈ 0.904

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d) Supponiamo ora di aver preso a caso 5 libri e che questi 5 libri sono o tutti di Barbara o tutti di Antonio. Ogni volta che un libro viene preso viene rimesso a posto. Tra i libri presi c’è almeno un giallo. Qual è la probabilità che i libri siano di Barbara?

Dato che nella libreria ci sono 10 libri di Barbara e 10 libri di Antonio prima di sapere che tipo di libri sono possiamo dire che gli eventi A = i 5 libri sono di Antonio e B = i 5 libri sono di Antonio hanno la stessa probabilità. Quindi P (A) = P (B) = 0.5. Sia X il numero di gialli. si tratta di calcolare

P (B|X > 0) = P (X > 0|B)P (B)

P (X > 0) = P (X > 0|B)P (B)

P (X > 0|A)P (A) + P (X > 0|B)P (B)

P (X > 0|B) = 1−P (X = 0|B) = 1−(1/2)5= 0.97 P (X > 0|A) = 1−(5/8)5= 0.90

P (B|X > 0) = 0.5 · 0.97

0.5 · 0.97 + 0.90 · 0.5 = 0.52

3. Esercizio 3. 6 punti. I seguenti quesiti assumono i seguenti dati. Michele e Francesca vivono insieme. Il 20% dei loro libri sono gialli, il 30% romanzi, il 30% sono guide turistiche e la parte restante sono libri di testo di scuola e dell’Universita. In totale hanno 1000 libri e l’80 % sono di Francesca.

(a) Stabilire se Il numero totale di guide turistiche di Francesca può essere calcolato o meno

Si hanno solo informazioni con le frequenze marginali quindi le frequenze comgiunte non possono essere calcolate

(b) Nell’ipotesi che la distribuzione della tipologia di libro sia indipendente dal proprietario, stabilire il numero totale di guide turistiche di Michele Il numero di guide turistiche è 300, il numero di libri di Michele 200 quin- di il numero di guide turistiche di Michele sotto l’ipotesi di indipendenza è 300*200/1000=60

(c) Supponendo che il 60% dei libri gialli siano di Michele e il 40% sono di Francesca riportare il numero di libri gialli di MicheleI libri gialli sono 200, se Michele ne possiede il 60% allora ne avrà 120

(d) Riportare una distribuzione congiunta per le variabili tipo di libro e pro- prietario compatibile con le informazioni di partenza dove i due caratteri sono però dipendenti

Nella seguente distribuzione non è rispettata l’indipendenza. infatti la distribuzione della tipologia di libro è uniforme per Michele ma non lo è per Francesca

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G R T U

F 150 250 250 150 800

M 50 50 50 50 200

200 300 300 200 1000

FINE COMPITO

figura

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