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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta]
¾ […] nell’appello scorso c’era da dire se la funzione f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w) è surgettiva.
Ho fatto così :
Applico il metodo di confronto
z+ w = a w=a-z w = a-z w = a-z w = a-z 3z+6w = b 6w= b-3z w = b-3z /6 a-z = b-3z / 6
Una volta trovata la soluzione come riconosco la funzione?
In questo caso NON può proseguire senza osservare se l’operazione di dividere per 6 è lecita o no:
siamo in Z e non in R ! Ma comunque anche se prosegue, trova z= (6a-b)/3 che è elemento di Z solo se 6a-b è multiplo di 6.
Quindi se ad esempio a=0, b=1 troviamo z=-1/3 che non appartiene a Z ! Questo significa che la controimmagine di (0,1) tramite f è l’insieme vuoto !
Se vuole può fare la verifica che (0,1)∉Imf . Se fosse vero il contrario, si avrebbe : 1) 0=z+w => z=-w
2) 1=3(z+2w) , sostituendo la 1) => 1=3(-w+2w) => 1= 3w => w=1/3 che non sta in Z : OK !
C’è da notare che più facilmente si poteva rispondere così :
f(z,w)= (z+w,3(z+2w)) e allora la seconda componente è multipla di 3 indipendentemente dai valori attribuiti a z e w .
Quindi f non è surgettiva, ad esempio (1,2) ∉Imf non essendo 2 un multiplo di 3.
¾ La seconda domanda chiedeva se f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w) è iniettiva .
[…] f e’ iniettiva se la controimmagine e’ vuota o ha 1 elemento… […]
No, così non arriva alla meta, perché torna ad imbattersi nel problema precedente, dividendo trovo un elemento di Z … se …
Meglio applicare la definizione di funzione iniettiva !
Cosa vuol dire f(z,w) ? Secondo la definizione data dal testo dell’esercizio f(z,w) = (z+w, 3z+6w).
Cosa vuol dire f(x,y) ? Secondo la definizione data dal testo dell’esercizio f(x,y) = (x+y, 3x+6y) , (cambiando ‘i nomi’ ).
Ora f(x, y) = f(z, w) => (x+y, 3x+6y) = (z+w, 3z+6w) => uguagliamo le componenti, le prime danno 1) x+y=z+w , le seconde danno 2) 3x+6y= 3z+6w .
Mettiamo a sistema 1) e 2) e con la riduzione o sostituzione o confronto …fa i passaggi e deve trovare x=z e y=w e quindi (x,y)=(z,w), ossia abbiamo ricavato che :
f(x, y) = f(z, w) => (x,y)=(z,w) il che significa che f è iniettiva .
1.STUDIO DELLA FUNZIONE: f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w)
2 […] Avrei una domanda sulle funzioni riguardante surgettivita' e iniettivita' :
nel caso in cui dominio e codominio sono (R,Z,N,Q) il tutto ricade nel casi trattati dall'Analisi.
Nel caso in cui il dominio ed il codominio della funzione e' pari in dimensione
cioe' ZxZ -> ZxZ , RxR -> RxR si risolve con un sistema secondo la definizione di iniettivita' e surgettivita'.
I problemi esistono ,almeno per me , quando la dimensione del dominio e del codominio
non sono uguali esempio (ZxZ -> Z) o (Q -> QxQ) […] vorrei sapere se oltre al semplice caso del controesempio mi puo' fornire una rigorosa dimostrazione matematica nei due sensi per risolvere il problema della surgettivita' e della iniettivita' e se puo' dare una breve spiegazione del significato di esse in spazi multidimensionali sempre a livello matematico […]
Ecco la mia risposta.
a. Occorre precisare che il concetto di funzione ( privo di ogni altro attributo) è uguale in ogni ambito ed è quello che abbiamo dato nel corso.
b. L'analisi reale I studia funzioni da R in R o comunque da intervalli reali ad R.
Quelle che lei chiama a 'dominio e codominio semplice' sono oggetto, per quanto riguarda le loro proprietà più elementari ( iniettività e surgettività ) del corso di Matematica Discreta.
c. Veniamo alla parte più interessante della sua domanda, lei individua una certa 'classificazione' di funzioni e vorrebbe avere a disposizione un metodo matematico che possa essere applicato a ciascun caso.
Come giustamente osserva, escludendo il caso delle funzioni dell’analisi reale I, c'è poi il caso delle funzioni da ZxZ in sè stesso, RxR in sè stesso etc..
Il caso RxR →RxR può essere studiato (vantaggiosamente ) con lo studio di un sistema, specie se questo è lineare ( di I grado) , applicando le regole elementari di riduzione o sostituzione che sono note dalla scuola media.
Non altrettanto si può dire del caso ZxZ→ZxZ, come mostra la domanda 1. !
Infine quello che lei individua come uno dei suoi problemi : casi del tipo Z -> ZxZ, RxR->R , R->RxR etc., in cui si debba mostrare la surgettività o iniettività.
2. TANTE DOMANDE SULLE FUNZIONI : ALLA RICERCA DI UNA CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI …
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Vediamo ad esempio questa funzione:f : Z x Z → Z la funzione così definita f (m,n) = m+n. Vogliamo provare la surgettività.
f è surgettiva se per ogni x∈Z esiste (m,n)∈ZxZ t.c. m+n = x.
Può sembrare una forzatura proseguire l’analogia con il caso di funzioni da ZxZ in sè stesso, ma c’è !
Si tratta di studiare L’ EQUAZIONE m+n = x nelle due incognite m ed n e con termine noto x.
Ha almeno una soluzione? Cioè c’è almeno una coppia (m, n) che la risolve in funzione di x ? Sì , ad esempio la coppia (x,0). Questo ci prova che la controimmagine di ⎨x⎬ è non vuota, qualunque sia x∈Z e quindi f è surgettiva.
Già che ci siamo … proseguiamo sulla stessa linea : f è iniettiva ? Essendo la controimmagine di
⎨x⎬ non vuota, qualunque sia x∈Z, f sarà iniettiva se questa controimmagine è costituita da un solo elemento . Ma così non è : L’ EQUAZIONE m+n = x nelle due incognite m ed n e con termine noto x, non ha un’unica soluzione, la coppia (x,0) è distinta dalla coppia (0,x) (se x ≠0) ed
entrambe le coppie risolvono l’equazione. Quindi la controimmagine di x (se x ≠0) è costituita almeno da 2 elementi e allora f non è iniettiva.
Le ho mostrato questo ‘metodo’ per uno dei casi che lei evidenzia, perché in termini astratti si può ricondurre, in analogia con il caso ZxZ->ZxZ etc., allo studio di un’equazione. Ma non è affatto vantaggioso disporre di questo ‘metodo’ per lo studio dell’iniettività !
La risposta naturale, spontanea, che viene in mente ai più è dettata dall’osservazione ( in questo caso la risposta è negativa) : f non è iniettiva (1,0) ≠(0,1) , ma f(1,0)=f(0,1)=1.
Questo per spiegarle che NON c’è un unico metodo matematico vantaggioso per lo studio di surgettività – iniettività.
Si tratta di procedere caso per caso, osservando inizialmente qualche esempio numerico particolare, e poi usando le definizioni di iniettività, surgettività.
d. Infine la sua domanda :
‘se puo' dare una breve spiegazione del significato di iniettività-surgettività in spazi multi- dimensionali sempre a livello matematico.’
Questo non è possibile poiché il termine di funzione e i suoi attributi sono strettamente legati all’ambiente e al contesto in cui compaiono.
Per farsi un’idea può rivedere l’esercizio 2. dell’esercitazione N.4 in cui la funzione fa parte del mondo della teoria dei numeri, essendo connessa ad un’equazione diofantea.
E per farsi un’idea nel mondo informatico, guardi la funzione di Hash !
