dS ≈ Rd ϑ ϕ rd
per la simmetria del problema opereremo se
dS
massa totale
M
Determinare il momento d’inerziadl
1= rd ϕ
1 2
dS ≈ dl dl ⋅
edl
2= Rd ϑ
il momento d’inerzia
I
z e’ 2I
z= ∫ r dm dm = σ dS
e di densita’ superficiale di massa di un sottile guscio sferico omogeneo
σ
costante
rispetto ad un asse passante
2
r σ Rd ϑ ϕ rd
∫∫
in coordinate polari sferiche di superficie del guscio sferico dove
R r d d
3σ ∫∫ ϑ ϕ
r = Rsen ϑ
di raggio
R
,per il centro del guscio.
z
r
R
dϕ
R R
r
dl1
dl2
dS
4 3
R sen d d σ ∫∫ ϑ ϑ ϕ
4 2 3
0 0
R
π πsen d d σ ∫ ∫ ϑ ϑ ϕ
[ 0 ≤ θ ≤ π ] [ 0 ≤ ϕ < 2π ] e’ una porzione infinitesima
ma θ e ϕ sono indipendenti tra loro e l’integrale doppio fattorizza
4 3 2
0 0
R
πsen d
πd σ ∫ ϑ ϑ ∫ ϕ
z
R r
dϑ dϕ
O
dS
costante
σ =
costante
R =
guscio sottile problema bidimensionale integrale doppio
dS ≈ Rd ϑ ϕ rd
4 3
2 πσ R ∫
0πsen ϑ ϑ d
8
4 z3
I = πσ R
3
0π
sen ϑ ϑ d
∫
4
2S = π R
in conclusione il momento d’inerzia
e dato che la massa
M σ = S
la superficie del guscio e’
Determinazione di
σ
:2
2 z3
I = MR
per cui rispetto all’asse
z
e’e’ distribuita in maniera uniforme
4 2
8
3 4
M R π R
= π 8
4z
3
I = πσ R
1 2
1
(1 cos ) cos 4 d 3
ϑ ϑ
= − ∫
−− =
4
2M π R
= 2
23 MR
=
4 3 2
0 0
R
πsen d
πd σ ∫ ϑ ϑ ∫ ϕ
ma
sul guscio sferico
