Esercizi svolti utilità attesa e rischio Esercizio1.
La ricchezza iniziale dei consumatori A e B è zero. Le loro preferenze per il consumo certo sono rappresentate dalle funzioni di utilità: uA(cA) = 2
c
A uB(cB) =c
B1/4Il consumo condizionato di A e B è generato dalla lotteria L, con premi L1 ≠ L2, negli stati 1 e 2 , che si manifestano con probabilità π e (1 – π), rispettivamente. Le loro preferenze per il consumo condizionato soddisfano la proprietà dell’utilità attesa.
Quale delle seguenti affermazioni è errata?
a. L’avversione al rischio per A è minore che per B b. |MRSA| < |MRSB| se c1B < c2B
c. |MRSA| > |MRSB| se c1B > c2B
d. Le preferenze di A per il consumo condizionato sono debolmente convesse, quelle di B sono strettamente convesse
e. L’equivalente certo di una lotteria L per A è minore dell’equivalente certo della stessa lotteria L per B
f. Nessuna
Esercizio 2
La ricchezza iniziale certa del consumatore A è W = 8. Le sue preferenze per il consumo certo sono rappresentate dalla funzione di utilità: uA(cA) = log(
c
A).A può ottenere una frazione α di una lotteria L, dove 1 ≥ α ≥ 0 e L offre il premio L1 = − 4 con probabilità ½ e il premio L2 = 8 con probabilità ½ .
Determinare la quota ottimale α di partecipazione alla lotteria.
Il consumo condizionato corrispondente alla quota α della lotteria è c1(α) = W1 – 4α
c2(α) = W2 + 8α
Il vincolo di bilancio che esprime le possibilità di trasferimento del consumo fra i due stati 1 e 2, in relazione alla dimensione della quota α è espresso dalla relazione:
2 2
1 1
[ ( ) ] 8 [ ( ) ] 4 2
c w
c w
La pendenza della retta di bilancio è pertanto – 2.
L’utilità attesa di A è EUA = ½ uA(c1(α)) + ½ uA(c2(α)). Ricordando che u(c) = log(c) e che la derivata di log(c) è 1/c, possiamo scrivere:
| MRSA|= [½ u’A(c1(α))] /[ ½ u’A(c2(α))] = (c2(α)) / (c1(α)) =
8 8 8 4
La condizione di scelta ottima interna prevede la condizione di 1° ordine:
|MRS| = |pendenza retta di bilancio| cioè:
8 8 8 4
=2
2(1 + α)= 2 (2 − α) (1 + α)= (2 − α) 2α = 1 α =
½
Esercizio 3
La ricchezza iniziale dei consumatori A e B è zero. Le loro preferenze per il consumo certo sono rappresentate dalle funzioni di utilità: uA(cA) = 2
c
A uB(cB) =c
B1/2 . A e B si dividono le vincite di una lotteria L, che offre il premio L1 = 4 con probabilità ½ e il premio L2 = 16 con probabilità ½ .Quale fra le seguenti assegnazioni di premi a B (ed il rimanente ad A) corrisponde ad una ripartizione Pareto efficiente del rischio fra A e B?
a. L1B = 1 L2B = 13 b. L1B = 2 L2B = 8 c. L1B = 3 L2B = 3 d. Nessuna
A è neutrale al rischio, B è avverso al rischio. Se la ripartizione del rischio è Pareto efficiente, tutto il rischio deve ricadere su A. Pertanto la risposta corretta è c.
Esercizio 4
Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 1200 Euro, le sue preferenze per
il consumo condizionato rispettano la forma dell'utilità attesa, e la sua funzione di utilità per il consumo certo è u(c) = c½. Ad A viene offerta la scelta alternativa fra una somma certa C, oppure un investimento B dal costo di 300 Euro, che ha un valore 700 nello stato G ed un valore zero nello stato B. La probabilità dei due stati è ½, ½. A quale delle seguenti condizioni A decide di effettuare l’investimento B?
a. C < 25 b. C < 35 c. C > 25 d. C < 40
e. Nessuna risposta
L’utilità attesa dell’ investimento B è:
EU(W +B) = ½[cG]1/2 + ½[cB]1/2 =
½( 1200 – 300 + 700)1/2+ ½ (1200 − 300)1/2 = ½ 40 + ½ 30 = 35 L’equivalente certo dell’investimento B e la somma certa x tale che u(W + x) = (W + x)1/2 = EU(W + B) = 35
W + x = 352 = 1225
CE(B) = x = 1225 – W = 25
Nel caso c. A preferisce certamente la somma certa C a B. Ciò potrà accadere anche nei casi b. e d.
La risposta corretta è a.
Esercizio 5
Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 121 Euro, le sue preferenze per il consumo condizionato rispettano la forma dell'utilità attesa, e la sua funzione di utilità per il consumo certo è u(c) = 2c½. Egli ha l'opportunità di partecipare ad una lotteria L che offre il premio di 23 Euro con
probabilità ½ e la perdita - 21 Euro con probabilità ½. Definendo αL la lotteria che offre 23α con probabilità ½ e (−21α) con probabilità
½, quale delle seguenti quote delle lotteria L il consumatore A decide sicuramente di accettare e perché?
a. α = 1 b. α = 0 c. α = 2 d. 0 < α < 1
e. nessuna delle altre risposte
Si osservi innanzitutto che la quota α = 1, genera il consumo condizionato (W + L), la quota α = 0 genera il consumo condizionato W (tale che W1 = W2).
L’utilità attesa di accettare la quota α della lotteria è:
EU(W + αL) = ½ 2[121 + α23]1/2 + ½ 2[121 − α21]1/2 = [121 + α23]1/2 + [121 − α21]1/2
Semplici calcoli mostrano che EU(W + L) = U(W); il consumatore è indifferente fra la quota α = 1 e la quota α = 0. Cioè l’equivalente certo di W + L è CE = W.
Valori di α tali che 0 < α < 1 generano panieri di consumo condizionato intermedi rispetto ai panieri W e W + L. Poiché il consumatore è avverso al rischio a preferenze per il consumo
condizionato strettamente convesse. Il consumatore è sicuramente disposto ad accettare quote α di L comprese nell’intervallo 0 < α < 1, perché esse corrispondono a panieri di consumo condizionato strettamente preferiti sia a W che a W + L.
Il consumatore non è sicuramente disposto ad accettare quote α di L
tali che α > 1, perché tali quote comportano un rischio maggiore rispetto a L, cioè panieri ‘più estremi’. Pertanto la risposta corretta è d.
