Analisi Statistica per le Imprese 4.4 Numeri Indice

Analisi Statistica per le Imprese

4.4 Numeri Indice

Prof. L. Neri

Dip. Economia Politica e Statistica

a.a. 2015-2016

Numeri indice

• I numeri indice sono rapporti statistici che

misurano le variazioni nel tempo o nello spazio tra grandezze della stessa natura.

• Nelle analisi economiche le grandezze

principalmente analizzate attraverso i numeri indice sono i prezzi e le quantità di uno o più prodotti che costituiscono un aggregato.

Dal 2004 al 2008 in Italia le famiglie che hanno contratto un mutuo ad un tasso variabile per

l’acquisto della casa hanno visto crescere la rata mensile del loro mutuo in modo

considerevole a causa dell’innalzamento dei tassi di interesse.

Come possiamo valutare l’entità delle

variazioni della rata del mutuo negli ultimi cinque anni?

Misurare le variazioni nel tempo

Caso 1

Si vuole confrontare i valori del PIL pro-capite ai prezzi di mercato in quattro regioni :

Piemonte, Lombardia, Campania, Lazio Come possiamo valutare l’entità delle

variazioni del PIL a prezzi di mercato tra le quattro regioni ?

Misurare le variazioni nello spazio

Caso 2

Il problema (CASO I) che si pone è quello di confrontare un fenomeno economico (la rata mensile del mutuo) in diversi istanti temporali (gli ultimi cinque anni)

L’informazione statistica che si deve avere a disposizione è quindi una serie storica delle rate mensili del mutuo (in effetti quello che rileviamo è una media delle rate di tutte le famiglie italiane che hanno contratto il

mutuo) supponiamo valutate a gennaio di ogni anno dal 2004 al 2008.

Confronto di un fenomeno nel tempo

Anni Rata mensile media in euro

2004 350

2005 365

2006 400

2007 550

2008 615

Serie storica – Confronti temporali

Il problema (CASO II) che si pone è quello di confrontare un fenomeno economico (il valore del PIL) in diversi luoghi (le quattro regioni

italiane).

L’informazione statistica di cui si deve disporre è quindi una serie territoriale dei valori del PIL pro capite nelle regioni considerate.

Confronto di un fenomeno nello spazio

Regioni PIL pro capite (valori in euro)

Piemonte 23.284

Lombardia 27.429

Campania 13.797

Lazio 25.131

Serie territoriale – Confronti spaziali

In entrambi i casi proposti la variazione della serie può essere valutata tramite l’ausilio dei numeri indice.

I numeri indice sono particolari rapporti

statistici calcolati per misurare le variazioni

relative di un fenomeno in diverse situazioni di tempo o di luogo.

Sono numeri puri, ovvero indipendenti dall'unità di misura e dall’ordine di grandezza della serie.

Usualmente sono espressi in termini percentuali

Numeri indice

T t

1,...y ,..., y Sia y

la serie storica (o territoriale) di un dato

fenomeno economico Y osservato in T tempi diversi (o luoghi)

Il rapporto tra due termini qualsiasi della serie y_t e y_s è un numero indice semplice o elementare che si indica con:

y 100 I y

s s t

/

t   s = tempo (o spazio) di

riferimento (base dell’indice) t = tempo (o spazio) corrente  

Numeri indice semplici

Un numero indice semplice può essere costruito:

• a base fissa se ciascuna intensità o frequenza del fenomeno in ogni istante

temporale (o in ogni spazio) è rapportata ad un’unica intensità che rimane costante

• a base mobile se ciascuna intensità o

frequenza è rapportata a quella del termine immediatamente precedente

Base fissa e base mobile

Numeri indice a base fissa (tempo base 1)

100

,..., 100 ...,

,...

100

, 100 100

1 1

/ 1

1 /

1 2 1

/ 2 1

1 1

/ 1



















y I y

y I y

y I y

y I y

T T

t t

Anni Rata mensile

media (in euro)

Numeri indice base

fissa

(2004=100)

2004 350 100

2005 365 104

2006 400 114

2007 550 157

2008 615 176

(350/350)*100 (365/350)*100 (400/350)*100 (550/350)*100 (615/350)*100

N.I. indice a base fissa e variazioni percentuali

Anni Numeri indici base

fissa

(2004=100)

2004 100

2005 104

2006 114

2007 157

2008 176

La serie evidenzia una dinamica crescente delle rate dei mutui.

Dal 2004 al 2005 si è avuto un

aumento del 4%, dal 2004 al 2006 del 14%, ecc…

Dal 2004 al 2008 l’aumento è stato pari al 76%

y 100 I y

2004 2004 2008

/

2008  

y 100 y VP y

2004

2004 ) 2008

2008 2004

(  

 

è la variazione percentuale dal 2004 al 2008

è il numero indice riferito al 2008 con base 2004

100 I

100 y 1

VP y _2008/2004

2004 ) 2008

2008 2004

(    



 



 

 

Numeri indice a base mobile

Anni Rata

mensile media ( in euro)

N.I. base mobile

2004 350 -

2005 365 104

2006 400 110

2007 550 138

2008 615 112

100

,..., 100

,..., 100

1 1

/ 1

1 / 1

2 1

/

2      









T T T

T t

t t

t y

I y y

I y y

I y

(365/350)*100 (400/365)*100 (550/400)*100 (615/550)*100

Anni N.I. base mobile

2004 -

2005 104

2006 110

2007 138

2008 112

La serie evidenzia che tra il 2004 e il 2005 si è avuto un aumento del 4%, tra il 2005 e il 2006 del 10%, tra il 2006 e il 2007 del 38%, la corsa al rialzo sembra rallentare tra il 2007 e il 2008 quando l’incremento è stato pari al 12%.

y 100 I y

2007 2007 2008

/

2008  

y 100 y VP y

2007

2007 ) 2008

2008 2007

(  

 

è la variazione percentuale dal 2007 al 2008

è il numero indice riferito al 2008 con base 2007

100 I

100 y 1

VP y _2008/2007

2007 ) 2008

2008 2007

(    



 



 

 

N.I. base mobile e variazioni percentuali

CASO II - Variazioni del PIL tra le quattro regioni

Calcoliamo serie di numeri indici a base fissa o mobile?

Dipende dagli obiettivi

• Sceglieremo una base fissa se siamo

interessati a confrontare il PIL di ciascuna regione con il PIL di una stessa regione

(tenendo fisso il termine di confronto)

• Sceglieremo una base mobile se vogliamo fare un confronto tra coppie di regioni senza sceglierne una quale riferimento

Regioni PIL pro capite (in euro)

Numeri indici base fissa

(Campania=100)

Piemonte 23.284 23284/13797=

168,8

Lombardia 27.429 27429/13797=

198,9

Campania 13.797 13797/13797=

100

Lazio 25.131 25131/13797=

182,1

Numeri indici da serie territoriale

Se l’obiettivo è quello di confrontare ogni regione con la

Campania si

calcoleranno N.I.

base fissa ottenendo che il PIL pro capite

•del Piemonte supera quello della

Campania del 68,8%

•della Lombardia è maggiore del 98,9%

rispetto a quello della Campania

•del Lazio supera dell’82,1% quello della Campania

Numeri indice dei prezzi

•

In economia, un indice dei prezzi è un numero indice che serve a studiare la

variazione del prezzo di uno o più beni o servizi in un certo arco temporale.

• Se facciamo riferimento ad un solo

bene/servizio si parla di numero indice semplice se invece ci riferiamo ad un

insieme di beni o servizi si parla di numeri

indice composti

Indici dei prezzi semplici: esempio

Sono dati i seguenti prezzi in euro di un dato prodotto relativamente all’arco temporale 2005-2008

a) Calcolare i numeri indice che descrivono la variazione del prezzo rispetto all’anno 2005 b) Calcolare la variazione corrente del prezzo del prodotto

anno 2005 2006 2007 2008

prezzo 1,9 1,95 1,935 2

a) Calcoliamo la serie di numeri indice (semplici) a base fissa 2005

anni 2005 2006 2007 2008

Numero

indice 100 (1,95/1,9)*1 00

=102,6

(1,935/1,9)*1 00

=101,8

(2/1,9)*1 00

=105,3

La serie evidenzia una dinamica crescente dei prezzi del bene.

Dal 2005 al 2006 si è avuto un incremento del 2,6%; dal 2005 al 2007 si è osservata una

variazione di + 1,8%; dal 2005 al 2008 +5,3%

b) Calcoliamo la serie di numeri indice a base mobile

anni 2005 2006 2007 2008

Numero

indice - (1,95/1,9)*

100

=102,6

(1,935/1,95)*

100

=99,2

(2/1,935)*

100

=103,4

La serie evidenzia come dal 2005 al 2006 si è avuto un incremento del 2,6%;

dal 2006 al 2007 si registra una diminuzione dello 0,8%; dal 2007 al 2008 un aumento

dello 0,8%

Per poter considerare le variazioni nel livello generale dei prezzi abbiamo bisogno di

considerare contemporaneamente le variazioni dei prezzi di più beni costruendo numeri indici complessi

Numeri indice complessi

Numeri indice complessi

Con i numeri indici complessi si confrontano le variazioni di più fenomeni economici e si ottengono combinando tra loro gli indici

semplici

Se le M componenti sono tutte di una stessa specie (es. prezzi di M beni che

compongono un paniere) la combinazione degli indici semplici dà luogo a un indice sintetico

Abbiamo M serie storiche dei prezzi, una per ogni bene

p_1t p_2t … p_mt … p_Mt (t=0,1,2,...T)

attraverso un’unica serie di numeri indici si

vogliono sintetizzare le variazioni relative di tutte le M serie, rispetto ad una base fissa oppure mobile.

Numeri indice complessi dei prezzi

La sintesi è realizzata mediante una media aritmetica ponderata di indici elementari

Indichiamo con

il generico indice elementare di prezzo al tempo t con base al tempo 0

La generica media ponderata è data da:

0 m

mt

p p













1

m m

M 1

m m

0 m

mt 0

/

t

s

p s p

I

Sintesi con la media ponderata

Se la ponderazione è fatta con il valore

(prezzo x quantità) dei beni al tempo base, cioè

l’indice dei prezzi sintetico costruito come media aritmetica ponderata degli indici

elementari prende il nome di indice dei prezzi di Laspeyres

0 m 0

m

m

p q

s  

Indice dei prezzi di Laspeyres

Indice dei prezzi di Laspeyres





























 _M

1

m m0 m0 M

1

m mt m0 M

1

m m0 m0 M

1

m m0 m0

0 m

mt L

0 /

t p q

q p

q p

q p p

p I

quindi l’indice di Laspeyres si ottiene anche come rapporto tra il valore “fittizio” dell’aggregato

ottenuto moltiplicando i prezzi al tempo corrente per le quantità al tempo base,

e il valore dell’aggregato al tempo base



1

m pmt qm0



1

m pm0 qm0

media ponderata

somma ponderata

Se la ponderazione è fatta con il valore

ottenuto moltiplicando le quantità al tempo corrente per i corrispondenti prezzi espressi al tempo base, cioè

l’indice dei prezzi sintetico costruito come media aritmetica ponderata degli indici

elementari prende il nome di indice dei prezzi di Paasche

mt 0

m

m

p q

s  

Indice dei prezzi di Paasche

Indice dei prezzi di Paasche





























 _M

1

m m0 mt

M

1

m mt mt

M

1

m m0 mt

M

1

m m0 mt

0 m

mt P

0 /

t p q

q p

q p

q p p

p I

quindi l’indice di Paasche si ottiene anche come rapporto tra il valore dell’aggregato al tempo corrente,

e il valore “fittizio” dell’aggregato ottenuto

applicando ai prezzi del tempo base le quantità del tempo corrente



1

m pmt qmt



mt 0

m q

p

media ponderata somma ponderata

Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres

Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei tre beni

Beni

Anno A B C

p q p q p q

2004 10 3 20 1 14 5

2005 12 2 25 2 15 7

2006 15 2 23 4 17 7

2007 15 4 26 5 20 8

Prodotti prezzo x quantità

A B C

p_tq₀₄ p_tq₀₄ p_tq₀₄ 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36 25*1=25 15*5=75 15*3=45

15*3=45 23*1=2323*1=23 17*5=8517*5=85 15*3=45

15*3=45 26*1=2626*1=26 20*5=10020*5=100

3 , 113 70 100

20 30

75 25

100 36

3

1

04 04

3

1

04 05

04 /

05  







 

















m

m m

m

m L m

q p

q p

I

Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres

Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 27,5%

Beni

Anno A B C

p q p q p q

2004 10 3 20 1 14 5

2005 12 2 25 2 15 7

2006 15 2 23 4 17 7

2007 15 4 26 5 20 8

Prodotti prezzo x quantità

A B C

p_tq₀₄ p_tq₀₄ p_tq₀₄ 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36

12*3=36 25*1=2525*1=25 15*5=7515*5=75 15*3=45 23*1=23 17*5=85 15*3=45

15*3=45 26*1=2626*1=26 20*5=10020*5=100

5 , 127 70 100

20 30

85 23

100 45 q

p

q p

I ₃

1

m m04 m04

3

1

m m06 m04

L

04 /

06  







 





 









Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres

Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi

Beni

Anno A B C

p q p q p q

2004 10 3 20 1 14 5

2005 12 2 25 2 15 7

2006 15 2 23 4 17 7

2007 15 4 26 5 20 8

Prodotti prezzo x quantità

A B C

p_tq₀₄ p_tq₀₄ p_tq₀₄ 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36

12*3=36 25*1=2525*1=25 15*5=7515*5=75 15*3=45

15*3=45 23*1=2323*1=23 17*5=8517*5=85 15*3=45 26*1=26 20*5=100

5 , 142 70 100

20 30

100 26

100 45 q

p

q p

I ₃

1

m m04 m04

3

1

m m07 m04

L

04 /

07  







 





 









Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche

Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 13,3%

Beni

Anno A B C

p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8

Beni

A B C

p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t

30 30 20 20 70 70

20 24 40 50 98 105

2020 3030 8080 9292 9898 119119 4040 6060 100100 130130 112112 160160

3 , 113 98 100

40 20

105 50

100 24 q

p

q p

I ₃

1

m m04 m05

3

1

m m05 m05

P

04 /

05  







 





 









Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche

Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei

Beni

Anno A B C

p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8

Beni

A B C

p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t

30 30 20 20 70 70

2020 2424 4040 5050 9898 105105

20 30 80 92 98 119

4040 6060 100100 130130 112112 160160

7 , 121 98 100

80 20

119 92

100 30 q

p

q p

I ₃

1

m m04 m06

3

1

m m06 m06

P

04 /

06  







 





 









Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche

Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 38,9%

Beni

Anno A B C

p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8

Beni

A B C

p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t p₀₄q_t p_tq_t

30 30 20 20 70 70

2020 2424 4040 5050 9898 105105 2020 3030 8080 9292 9898 119119 40 60 100 130 112 160

9 , 138 112 100

100 40

160 130

100 60 q

p

q p

I ₃

1

m m04 m07

3

1

m m07 m07

P

04 /

07  







 





 









Indice dei prezzi al consumo (IPC)

Numero indice complesso che misura la variazione dei prezzi dei beni e servizi nazionali acquistati dal consumatore medio (variazione del livello generale dei prezzi al consumo);

IPC è (quasi) un indice dei prezzi di Laspeyres che utilizza:

• quantità dei beni che entrano in un paniere di consumo nell'anno base (0);

• prezzi dei beni che costituiscono quel paniere

• nell'anno base (0);

• nell'anno di riferimento (t).

IPC diversi per:

• paniere di consumo considerato;

• anno base

Modalità di calcolo dell’IPC

• Analisi del comportamento dei consumatori e

determinazione della struttura del paniere di consumo, cioè quanta parte delle spese del consumatore medio sono costituite da acquisti di ogni bene:

v¹⁰=q¹⁰*p¹⁰; v⁰²=q²⁰*p²⁰; … ; vⁿ⁰=qⁿ⁰*pⁿ⁰;

• Rilevazione del prezzo di ciascun bene nell'anno base:

p¹⁰; p²⁰; … ; pⁿ⁰;

• Rilevazione del prezzo di ciascun bene nel periodo t per cui si vuole calcolare l'indice:

p^1t ; p^2t ; … ; p^nt ;

Modalità di calcolo dell’IPC

• Calcolo degli indici semplici di prezzo:

p^1t/p¹⁰ ; … ; p^nt/pⁿ⁰;

• Calcolo dell'IPC come media ponderata (moltiplicata per 100) degli indici di prezzo semplici:

(v¹⁰*p^1t/p¹⁰+ … + vⁿ⁰*p^nt/pⁿ⁰)*100

Esempio calcolo IPC

• I consumatori consumano 2 soli beni: pizza margherita e birra media alla spina.

• Nel 2005: 1/3 delle loro spese va in pizza ed i restanti 2/3 in birra. I prezzi sono:

p

p

• Nel 2012 i prezzi sono

: p

p

• Calcolare IPC dell’anno 2012 con base 2005

IPC_200122005 =(1/3*4/3.5+2/3*4.5/3)*100=138.09

INDICI DEI PREZZI IN ITALIA

In Italia, ISTAT calcola tre diversi indici:

• Indice Nazionale dei prezzi al consumo per l'Intera Collettività (NIC): calcolato con riferimento a intera

popolazione presente sul territorio nazionale; insieme di tutti i beni e servizi acquistati dalle famiglie ed aventi un collettivo prezzo di mercato;

• Indice nazionale dei prezzi al consumo per le Famiglie di Operai e Impiegati (FOI): calcolato con riferimento ai

consumi delle famiglie facenti capo a un lavoratore

dipendente (extragricolo); utilizzato per l'adeguamento di atti e assegni di mantenimento;

• Indice dei Prezzi al Consumo Armonizzato per i Paesi membri dell'Unione Europea (IPCA): calcolato dal 1997

Valori nominali e variabili reali

• Non siamo interessati al denaro in quanto tale, ma al suo potere d'acquisto;

• Data una somma di denaro X, ipotizzando che il prezzo di un “paniere tipo” di

consumo al tempo t sia P

, il valore reale di X, cioè il numero di panieri acquistabili con X, è:

X/P

al tempo t;

X/P

al tempo t+1.

Valori nominali e variabili reali

Per confrontare valori nominali in periodi diversi dobbiamo tenere conto del livello dei prezzi:

X

/X

= P

/P

• X

valore monetario nel periodo ti (i =1,2);

• P

livello dei prezzi nel periodo ti .

Esempio: utilizzo dell'IPC per depurare dall'inflazione

Dati IPC del 2000 e del 2010 (generali medi senza tabacchi, anno base = 1995):

IPC²⁰⁰⁰ = 112.7 IPC²⁰¹⁰ = 139.0

Per sapere quanti euro garantiscono nel 2010 lo stesso potere d'acquisto garantito da 1000 Euro nel 2000, occorre calcolare:

IPC²⁰⁰⁰/IPC²⁰¹⁰⁼1000/X²⁰¹⁰

X²⁰¹⁰=1000*(139/112.7)= 1233.36

Nel periodo 2000-2010 c'e stata un'inflazione pari al 23.3%.

Esempio: di quanto è variato in termini reali il PIL dal 2000?

Anno t

PIL_t/t

PIL a prezzi correnti 2000

(base) 1.191.057 2001 1.248.648 2002 1.295.226 2003 1.335.354 2004 1.388.870 2005 1.417.241

I_t/0 Numeri indici dei

prezzi

PIL_t/0

PIL a prezzi costanti

(2000) 100,0 1.191.057 102,7 1.215.821 105,2 1.231.203 107,8 1.238.733 109,9 1.263.758 111,8 1.267.657

7 100 ,

102

648 .

248 .

100 1 I

PIL PIL

2000 / 2001

2001 / 2001 2000

/

2001    

Variazioni reali

Anno t

PIL_t/t PIL a prezzi costanti

(2000)

Numeri indici (base fissa

2000) 2000

(base) 1.191.057 100,0 2001 1.215.821 102,1 2002 1.231.203 103,4 2003 1.238.733 104,0 2004 1.263.758 106,1 2005 1.267.657 106,4

Dal 2000 al 2002 il PIL è cresciuto in termini reali del 3,4%

Dal 2000 al 2005 la crescita reale è stata del 6,4%

La serie del PIL a prezzi costanti varia nel tempo solo per effetto di

variazioni nelle quantità (variazioni reali)

Le variazioni reali sono evidenziate dai numeri indici calcolati sulla serie deflazionata

Numeri indice delle quantità

Misurano variazioni fisiche (o di volume) di un fenomeno nel tempo o nello spazio

L’indice complesso che sintetizza le variazioni nelle quantità di M fenomeni si può costruire con la formula di Laspeyres

o con quella di Paasche

oppure con quella di Fisher



















 





 _M

1

m m0 m0 M

1

m m0 mt M

1

m m0 m0 M

1

m m0 m0

0 m

mt L

0 /

t p q

q p

q p

q q p

q I



















 







 _M

1

m mt m0 M

1

m mt mt

M

1

m mt m0 M

1

m mt m0

0 m

mt P

0 /

t p q

q p

q p

q q p

q I

P t L

t F

t I I

I  